📝 清华大学 2021年强基真题

共 23 题
第1题
椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1, A(-2,0), P(1,0)$ 过 $\displaystyle P$ 作 $\displaystyle l$ 交椭圆于 $\displaystyle M N, A M, A N$ 交 $\displaystyle x=1$ 于 $\displaystyle B, C$ ，下面正确的有 ）。
A. $\displaystyle |P B|+|P C|$ 为定值B. $\displaystyle |P B \| P C|$ 为定值C. $\displaystyle |P B|+|P C|$ 可能等于 2D. $\displaystyle |P B||P C|$ 可能等于 2
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第2题
$\displaystyle B C / / D E, B C$ 为直径，四边形 $\displaystyle A E B C$ 为圆 $\displaystyle O$ 外接，$\displaystyle B E=12, D E=D C=14$ ，求 $\displaystyle A E, B D$ 。 图片
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第3题
$\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 为互不相等的正实数，$\displaystyle x_{i 1}, x_{i 2}, x_{i 3}, x_{i 4}$ 为 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的任意顺序排列， $\displaystyle X=\max \left\{\min \left\{x_{i 1}, x_{i 2}\right\}, \min \left\{x_{i 3}, x_{i 4}\right\}\right\}, Y=\min \left\{\max \left\{x_{i 1}, x_{i 2}\right\}, \max \left\{x_{i 3}, x_{i 4}\right\}\right\}$ ，求 $\displaystyle X$ 大于 $\displaystyle Y$ 的概率。
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第4题
有 $\displaystyle n$ 个质点，每个质点质量为 $\displaystyle m_{k}$ ，则质心位置 $\displaystyle x=\frac{\sum m_{k} x_{k}}{\sum m_{k}}$ ，对于一杆，长 3 m ，放于 $\displaystyle x \in[-1,2]$间，且线密度满足 $\displaystyle \beta=2+x$ ，则质心应位于： 。
A. $\displaystyle x=\frac{2}{15}$B. $\displaystyle x=\frac{2}{5}$C. $\displaystyle x=\frac{3}{5}$D. $\displaystyle x=\frac{4}{5}$
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第5题
有限项等差数列的公差为 4 ，第二项起各项之和 + 首项的平方 $\displaystyle \lt 100$ ，则该数列可能有几项？
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第6题
已知 $\displaystyle y^{2}=4 x$ ，过 $\displaystyle A(-2,3)$ 做抛物线两条切线，交 $\displaystyle y$ 轴于 $\displaystyle B, C$ 两点，则 $\displaystyle \triangle A B C$ 外接圆方程为 。
A. $\displaystyle (x+1)^{2}+\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{13}{4}$B. $\displaystyle (x+1)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{13}{4}$C. $\displaystyle \left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{2}$D. $\displaystyle \left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}+(y-1)^{2}=\frac{17}{4}$
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第7题
在平面直角坐标系中，$\displaystyle O$ 是坐标原点，两定点 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle |\overrightarrow{O A}|=|\overrightarrow{O B}|=\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}=2$ ，则点集 $\displaystyle \{P|\overrightarrow{O P}=\lambda \overrightarrow{O A}+\mu \overrightarrow{O B},|\lambda|+|\mu| \leqslant 1, \lambda, \mu \in \mathbf{R}\}$ 所表示的区域的面积是 。
A. $\displaystyle 2 \sqrt{2}$B. $\displaystyle 4 \sqrt{2}$C. $\displaystyle 2 \sqrt{3}$D. $\displaystyle 4 \sqrt{3}$
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第8题
已知集合 $\displaystyle U=\{0,1,2, \cdots, 2021\}, S \subseteq U$ ，且 $\displaystyle S$ 中任意两项相加不是 5 的倍数，求 $\displaystyle S$ 的元素个数最大值。
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第9题
已知 $\displaystyle f(x)=\sin x \cos x+\sin x+\frac{2}{5} \cos x, x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ ，设 $\displaystyle f(x)$ 的最大值为 $\displaystyle M$ ，最小值为 $\displaystyle m$ ，则 。
A. $\displaystyle M=\frac{23}{8}$B. $\displaystyle m=\frac{2}{5}$C. $\displaystyle M=\frac{38}{25}$D. $\displaystyle m=\frac{1}{5}$
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第10题
已知 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{10}$ 十等分圆，则在其中取四点构成凸四边形为梯形个数为 。
A. 60B. 45C. 40D. 50
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第11题
已知非负实数 $\displaystyle a, b, c$ 满足 $\displaystyle a+b+c=1$ ，则 $\displaystyle a^{2}(b-c)+b^{2}(c-a)+c^{2}(a-b)$ 的最大值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
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第12题
在 $\displaystyle \triangle A B C$ 中，$\displaystyle D$ 为 $\displaystyle B C$ 的中点，$\displaystyle \angle C A D=15^{\circ}$ ，则 $\displaystyle \angle A B C$ 的最大值为 ，
A. $\displaystyle 120^{\circ}$B. $\displaystyle 105^{\circ}$C. $\displaystyle 90^{\circ}$D. $\displaystyle 60^{\circ}$
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第13题
已知三棱雉 $\displaystyle D-A B C$ 中，$\displaystyle A C=B C=A D=B D=1$ ，则三棱雉 $\displaystyle D-A B C$ 体积的最大值 。
A. $\displaystyle \frac{4 \sqrt{2}}{27}$B. $\displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{8}$C. $\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{27}$D. $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{18}$
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第14题
设 $\displaystyle a$ 为常数，$\displaystyle f(0)=\frac{1}{2}, f(x+y)=f(x) f(a-y)+f(y) f(a-x)$ ，则 。
A. $\displaystyle f(a)=\frac{1}{2}$B. $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}$ 恒成立C. $\displaystyle f(x+y)=2 f(x) f(y)$D. 满足条件的 $\displaystyle f(x)$ 不止一个
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第15题
已知 $\displaystyle m, n$ 最大公约数为 $\displaystyle 10!$ ，最小公倍数为 $\displaystyle 50!$ ，数对 $\displaystyle (m, n)$ 的组数为 。
A. $\displaystyle 2^{9}$B. $\displaystyle 2^{15}$C. $\displaystyle 2^{21}$D. $\displaystyle 2^{18}$
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第16题
已知 $\displaystyle [x]$ 为高斯函数，$\displaystyle \left[\frac{x}{2}\right]+\left[\frac{x}{3}\right]+\left[\frac{x}{5}\right]=x$ 解的组数为 。
A. 30B. 40C. 50D. 60
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第17题
恰有一个实数 $\displaystyle x$ 使得 $\displaystyle x^{3}-a x-1=0$ 成立，则实数 $\displaystyle a$ 的取值范围为 。
A. $\displaystyle (-\infty, \sqrt[3]{2})$B. $\displaystyle \left(-\infty, \frac{3 \sqrt[3]{2}}{2}\right)$C. $\displaystyle \left(\frac{3 \sqrt{2}}{2}\right)$D. $\displaystyle \left(-\infty, \frac{3 \sqrt{2}}{2}\right)$
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第18题
已知 $\displaystyle \omega=\cos \frac{\pi}{5}+i \sin \frac{\pi}{5}$ ，则（ ）。
A. $\displaystyle x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=(x-\omega)\left(x-\omega^{3}\right)\left(x-\omega^{7}\right)\left(x-\omega^{9}\right)$B. $\displaystyle x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1=(x-\omega)\left(x-\omega^{3}\right)\left(x-\omega^{7}\right)\left(x-\omega^{9}\right)$C. $\displaystyle x^{4}-x^{3}-x^{2}+x+1=(x-\omega)\left(x-\omega^{3}\right)\left(x-\omega^{7}\right)\left(x-\omega^{9}\right)$D. $\displaystyle x^{4}+x^{3}+x^{2}-x-1=(x-\omega)\left(x-\omega^{3}\right)\left(x-\omega^{7}\right)\left(x-\omega^{9}\right)$
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第19题
定义 $\displaystyle x * y=\frac{x+y}{1+x y}$ ，则 $\displaystyle (\cdots((2 * 3) * 4) \cdots) * 21=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
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第20题
甲乙丙丁四人共同参加 4 项体育比赛，每项比赛第一名到第四名的分数依次为 $\displaystyle 4 、 3 、 2 、 1$ 分，比赛结束甲获得 14 分第一名，乙获得 13 分第二名，则 。
A. 第三名不超过 9 分B. 第三名可能获得其中一场比赛的第一名C. 最后一名不超过 6 分D. 第四名可能一项比赛拿到 3 分
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第21题
现有 3 堆货物，每次取一件（从上到下），每次只能拿走最上面一个，有 种取法。
A. 840B. 900C. 71D. 1260 图片
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第22题
将一列格子 $\displaystyle n$ 个排成一排，用三种颜色染色，相邻两格颜色不同，且首尾颜色不同，则染色数 $\displaystyle a_{n}$的通项公式、递推公式 。
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第23题
$\displaystyle a, b, c$ 成等差数列，直线 $\displaystyle l, a x+b y+c=0, p(1,0)$ 在 $\displaystyle l$ 上投影为 $\displaystyle M, N(3,2)$ ，则以下正确的是 。
A. $\displaystyle l$ 过定点B. $\displaystyle l$ 垂直于定值线C. $\displaystyle |M N|$ 最小值为 $\displaystyle \sqrt{2}$D. $\displaystyle |M N|$ 最大值为 $\displaystyle 4 \sqrt{2}$
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