📝 上海交通大学 2020年强基真题
第2题
若三条直线 $\displaystyle x-2 y+2=0, x=2, x+k y=0$ 将平面划分成 6 个部分，则 $\displaystyle k$ 可能的取值情况是 ，
第3题
非零实数 $\displaystyle a, b, c$ ，若 $\displaystyle \frac{b c}{a}, \frac{c a}{b}, \frac{a b}{c}$ 成等差数列，则下列不等式一定成立的是 。
第4题
若四面体的各个顶点到平面 $\displaystyle \alpha$ 距离都相等，则称平面 $\displaystyle \alpha$ 为该四面体的中位面，则一个四面体的中位面的个数为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第7题
函数 $\displaystyle f(x)$ 的定义域为 $\displaystyle (0,1)$ ，若 $\displaystyle c \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ ，则函数 $\displaystyle g(x)=f(x+c)+f(x-c)$ 的定义域为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第9题
已知边长为 $\displaystyle a$ 的正三角形 $\displaystyle A B C, D, E$ 分别在边 $\displaystyle A B, B C$ 上，满足 $\displaystyle A D=B E=\frac{a}{3}$ ，连接 $\displaystyle A E, C D$ ，则 $\displaystyle A E$ 和 $\displaystyle C D$ 的夹角为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第10题
$\displaystyle \triangle A B C$ 的顶点坐标分别为 $\displaystyle A(3,4), B(6,0), C(-5,-2)$ ，则角 $\displaystyle A$ 的平分线所在的直线方程为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第12题
已知 $\displaystyle y=a x^{2}+b x+c$ 过 $\displaystyle A(-3,4), B(5,4)$ ，则 $\displaystyle 2 a+b=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
第13题
过抛物线 $\displaystyle y^{2}=2 p x(p\gt 0)$ 的焦点 $\displaystyle F$ 作直线 $\displaystyle m$ 交抛物线于 $\displaystyle A, B$ 两点，若 $\displaystyle A, B$ 横坐标之和为 5 ，则直线 $\displaystyle m$ 的条数为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第14题
用同样大小的正 $\displaystyle n$ 边形平铺整个平面（没有重叠），若要将平面铺满，则 $\displaystyle n$ 的值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第15题
若集合 $\displaystyle M$ 中任意两个元素的和差积商的运算结果都在 $\displaystyle M$ 中，则称 $\displaystyle M$ 是封闭集合，下列集合： （1）$\displaystyle R$ ； （2）$\displaystyle Q_{\text {；}}$ （3）$\displaystyle C_{R} Q$ ； （4）$\displaystyle \{x \mid x=m+\sqrt{2} n, m, n \in Z\}$ 中，封闭集合的个数为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第17题
若 $\displaystyle a, b\lt 0$ ，且满足 $\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a-b}$ ，则 $\displaystyle \frac{a}{b}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
第18题
设 $\displaystyle m(a)$ 是函数 $\displaystyle f(x)=\left|x^{2}-a\right|$ 在区间 $\displaystyle [-1,1]$ 上的最大值，则 $\displaystyle m(a)$ 的最小值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第20题
矩形 $\displaystyle A B C D$ 的边 $\displaystyle A B=\sqrt{2}$ ，过 $\displaystyle B, D$ 作直线 $\displaystyle A C$ 的垂线，垂足分别为 $\displaystyle E, F$ ，且 $\displaystyle E, F$ 分别为 $\displaystyle A C$的三等分点，沿着 $\displaystyle A C$ 将矩形翻折，使得二面角 $\displaystyle B-A C-D$ 成直角，则 $\displaystyle B D$ 长度为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第21题
平面上给定 5 个点，任意三点不共线，过任意两点作直线，已知任意两条直线既不平行也不垂直，过 5 点中任意一点向另外四点的连线作垂线，则所有这些垂线的交点（不包括已知的 5 点）个数至多有 $\displaystyle \_\_\_\_$个。
第22题
实数 $\displaystyle a, b$ 满足 $\displaystyle (a+b)^{59}=-1,(a-b)^{60}=1$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{60}\left(a^{n}+b^{n}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。