数列极限的定义（ε-N语言）

### 【强化篇】第1题（填空题） 1． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\arcsin x}{x}\right)^{\frac{1}{\sin ^{2} x}}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第1题（选择题） 1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{4}{\pi} \arctan \frac{n}{n+1}\right)^{n}=$ ． （A） $\displaystyle \mathrm{e}^{-\frac{2}{\pi}}$ （B）$\displaystyle e^{-\frac{\pi}{2}}$ （C）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ （D）$\displaystyle \frac{2}{\pi}$

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $\displaystyle a_{n}=(n+3) \frac{1}{n+3}, n=1,2, \cdots$ ，则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是（ ）． （A）单增的 （B）单减的 （C）不单调的 （D）无界的

### 【基础篇】第1题（填空题） 1．设 $f(x)$ 浿足 $f(0)=0$ ，且 $f^{\prime}(0)$ 存在，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1-\cos x)}{\ln (1-x \sin x)}=$ $\_\_\_\_$。

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．已知函数 $\displaystyle f(x)=a\left(\ln |x|+\frac{3}{2}\right)-b x^{2}$ 有 4 个不同的零点，则 $\displaystyle \frac{b}{a}$ 的取值范围是（ ）。 （A）$\displaystyle \left(0, \frac{\mathrm{e}}{2}\right)$ （B）$\displaystyle \left(\frac{\mathrm{e}}{2},+\infty\right)$ （C）$\displaystyle \left(0, \frac{\mathrm{e}^{2}}{2}\right)$ （D）$\displaystyle \left(\frac{\mathrm{e}^{2}}{2},+\infty\right)$

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设函数 $f(x, y)=|x|+y|y|$ ，则 $\quad)$ ． （A）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 存在，$f_{y}^{\prime}(0,0)$ 存在 （B）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 存在，$f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在 （C）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在，$f_{y}^{\prime}(0,0)$ 存在 （D）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在，$f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在

### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设正项数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\},\left\{c_{n}\right\}$ ，则＂$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{c_{n}}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_{n}}{b_{n}}$ 均收敛＂是＂$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}$ 收敛＂的（ ）。 （A）充分必要条件 （B）充分非必要条件 （C）必要非充分条件 （D）既非充分又非必要条件

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．对级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a n}{2 n+b}\right)^{n}(a>0, b>0)$ ，下列结论正确的是（ ）。 （A）对任意 $a$ ，级数都收敛 （B）对任意 $a$ ，级数都发散 （C）当 $a \geqslant 2$ 时，级数一定发散 （D）级数的敛散性与 $b$ 有关

### 【基础篇】第1题（填空题） 1．已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，$f(0,0)=0, f_{x}^{\prime}(0,0)=1, f_{y}^{\prime}(0,0)=-1$ ，且 $\boldsymbol{n}=(-1$ ， $1,1)$ ，则 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{(x, y, f(x, y)) \cdot n}{\mathrm{e}^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-1}=$ $\_\_\_\_$。

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $\displaystyle X \sim\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & 2 & 3 \\ \frac{1}{16} & \frac{3}{8} & \frac{1}{16} & \frac{1}{2}\end{array}\right)$ 的简单随机样本，若取值为 2 的样本个数 $K$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{K-a}{b} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$ ，其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数，则 $a, b$ 分别是（ ） （A）$\displaystyle \frac{1}{16}, \frac{\sqrt{15}}{16}$ （B）$\displaystyle \frac{n}{16}, \frac{\sqrt{15 n}}{16}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{16}, \frac{\sqrt{15 n}}{16}$ （D）$\displaystyle \frac{n}{16}, \frac{\sqrt{15}}{16}$

### 第10题 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}\left(2^{\frac{1}{x}}-2^{\frac{1}{x+1}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

## 第10题 (高等数学 - 填空题) $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}\left(2^{\frac{1}{x}}-2^{\frac{1}{x+1}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第10题（填空题） 10． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(2^{\frac{1}{x}}-3^{\frac{1}{x}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【强化篇】第10题（填空题） 10．已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{3}-3 x^{2}+b x^{2}+x-3 b x-3}{x+a}=25$ ，则 $a b=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第10题（解答题） 10．设 $a_{n}>0, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=0$ ，且 $\mathrm{e}^{a_{n}}+a_{n}=\mathrm{e}^{b_{n}}, n=1,2, \cdots$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ．

### 【强化篇】第10题（解答题） 10．设 $x_{1}<0, x_{n+1}=\mathrm{e}^{x_{n}}-1$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n+1}}\right)$ ．

### 【基础篇】第10题（选择题） 10．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{3} \sin \frac{1}{x}, & x>0, \\ x^{2}, & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处（ ）。 （A）不连续 （B）连续，但不可导 （C）可导，但导函数不连续 （D）可导，且导函数连续

### 【强化篇】第10题（解答题） 10．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{g(x)-\mathrm{e}^{-x}}{x}, & x \neq 0, \\ a, & x=0,\end{array}\right.$ 其中 $g(x)$ 二阶连续可导，$g(0)=1, g^{\prime}(0)=-1$ ． （1）$a$ 为何值时，$f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续？ （2）当 $f(x)$ 为连续函数时，$f(x)$ 是否可导？若可导，求 $f^{\prime}(x)$ ．

### 【基础篇】第10题（填空题） 10．设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处一阶导数连续，且 $f^{\prime}(1)=2$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{f(x)-f(1)}{\ln x}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第11题 设 $\alpha>0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x^{2}+x\right)^{x^{\alpha}}=$ $\_\_\_\_$ ．