数列极限的定义（ε-N语言）

### 第137题 设 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在，则 （A）$f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续． （B）$f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微． （C） $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f\left(x, y_{0}\right)$ 存在． （D） $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x, y)$ 存在． $y \rightarrow y_{0}$

### 第139题 二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}} \sin \frac{1}{\sqrt{x^{4}+y^{4}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）极限存在但不连续． （B）连续但偏导数不存在． （C）偏导数存在但不可微。 （D）可微。

### 第14题 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\arctan \frac{x}{2}}{1-\mathrm{e}^{\sin x}}, & x>0, \\ a \mathrm{e}^{2 x}, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ． 建议签题时间 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$

### 第140题 140设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点连续，且 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)+3 x-4 y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\alpha}}=2(\alpha>0)$ ，则 $f(x, y)$ 在 $(0$ ， 0）点可微的充要条件是 （A）$\alpha<1$. （B）$\displaystyle \alpha<\frac{1}{2}$ ． （C）$\displaystyle \alpha \geqslant \frac{1}{2}$ ． （D）$\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$ ．

### 第144题 已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续，且 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{\mathrm{e}^{(x+y)^{2}}-1}=3$ ，则 （A）点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的驻点． （B）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点，但不是极值点． （C）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点，且是极小值点． （D）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点，且是极大值点．

### 第172题 （1）已知 Stolz 定理：若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=L$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}=L$ ． 证明：若 $x_{n}>0, n=1,2, \cdots$ ，且 $\displaystyle x_{1}=1, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=L(L>0)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{x_{n}}=L$ 。 （2）设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足： $$ x_{1}=1, x_{2}=1, x_{n+2}=x_{n+1}+x_{n}, n=1,2, \cdots, $$ 证明：$\displaystyle x_{n}=\frac{a^{n}-b^{n}}{\sqrt{5}}$ ，其中 $\displaystyle a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ ． （3）对（2）中的 $x_{n}$ ，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{x_{n}}$ ．

### 第173题 设 $\displaystyle a_{0} \in(-1,1), a_{n}=\sqrt{\frac{1+a_{n-1}}{2}}, n=1,2, \cdots$ ，求： （1） $\lim _{n \rightarrow \infty} 4^{n}\left(1-a_{n}\right)$ ． （2） $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\right)$ ．