常数项级数的概念（级数、部分和、收敛、发散）

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $X, Y$ 独立同分布，$\displaystyle P\{X=k\}=\frac{1}{a^{k}}, k=1,2, \cdots$ ，则 $P\{X>Y\}=(\quad)$ ． （A）$\displaystyle \frac{1}{2}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{2 a}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ （D）$\displaystyle \frac{1}{3 a}$

### 【基础篇】第1题（填空题） 1．设总体 $X$ 服从参数为 2 的指数分布，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, \cdots$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，则 $\displaystyle Y_{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$ 依概率收敛于 $\_\_\_\_$。

### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{10}$ 是来自正态总体 $X \sim N\left(0, \sigma^{2}\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本，$\displaystyle Y^{2}=\frac{1}{9} \sum_{i=2}^{10} X_{i}^{2}$ ，则 （ ）． （A）$X_{1}^{2} \sim \chi^{2}(1)$ （B）$Y^{2} \sim \chi^{2}$（9） （C）$\displaystyle \frac{X_{1}}{|Y|} \sim t(9)$ （D）$\displaystyle \frac{X_{1}^{2}}{Y^{2}} \sim F(9,1)$

### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $\displaystyle X \sim B\left(1, \frac{1}{2}\right), X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 为样本均值，则 $\displaystyle P\left\{\bar{X}>\frac{1}{3}\right\}=(\quad)$ 。 （A）$\displaystyle \frac{3}{8}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ （C）$\displaystyle \frac{5}{8}$ （D）$\displaystyle \frac{7}{8}$

### 【强化篇】第1题（填空题） 1．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X \sim N\left(1, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，$\sigma>0$ 未知，记 $\sigma^{2}$ 的最大似然估计量为 $\hat{\sigma}^{2}$ ，则 $D\left(\hat{\sigma}^{2}\right)=$ $\_\_\_\_$。

### 【基础篇】第11题（填空题） 11．已知函数 $f(x)=x^{2} \ln (1-x)$ ，则当 $n \geqslant 3$ 时，$f^{(n)}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第11题（填空题） 11．篇级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \cdot \frac{x^{\frac{n}{2}}}{n}$ 在 $(0,1]$ 内的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

### 【基础篇】第11题（解答题） 11．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本，$X$ 的概率密度为 $$ f(x)=\frac{1}{2 \lambda} \mathrm{e}^{-\frac{|x|}{\lambda}}, \quad-\infty0 $$ 求：（1）$\lambda$ 的矩估计量； （2）$\lambda$ 的最大似然估计量．

### 【强化篇】第11题（填空题） 11．设总体 $X$ 服从区间 $(-\theta, \theta)(\theta>0)$ 上的均匀分布，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，则参数 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第128题 设 $\displaystyle u_{n}=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)$ ，则下列命题正确的是 （A） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ ． （B） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=A>0$ ． （C） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=+\infty$ ． （D） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}$ 不存在，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n} \neq+\infty$ ．

### 【基础篇】第13题（解答题） 13．设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X$ 服从二项分布 $\displaystyle B\left(2, \frac{1}{2}\right), Y$ 的概率密度为 $f_{Y}(y)= \left\{\begin{array}{ll}4 y^{3}, & 0 \leqslant y \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 记 $Z=X+Y$ ，求： （1）$\displaystyle P\left\{\left.Z \leqslant \frac{5}{2} \right\rvert\, X>1\right\}$ ； （2）$Z$ 的概率密度．

### 【基础篇】第13题（解答题） 13．设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，$X$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x ; \theta)= \begin{cases}\frac{x}{\theta^{2}} \mathrm{e}^{\frac{x^{2}}{y^{2}}}, & x>0, \\ 0, & x \leqslant 0,\end{cases} \theta>0$ ．求 $\theta$ 的最大似然估计量．

### 【基础篇】第14题（解答题） 14．设某元件的使用寿命 $T$ 的分布函数 $F(t)$ 满足微分方程 $\displaystyle F^{\prime}(t)+\frac{2 t}{\theta^{2}}[F(t)-1]=0, t \geqslant 0, \theta$ 为大于 0 的常数，$F(0)=0$ ，且该元件性能 $\displaystyle Q(\theta)=\theta^{2}\left(\frac{\ln \theta}{2}-\frac{3}{4}\right)+\theta$ 。任取 $n$ 个此种元件做寿命试验，润得值分别为 $l_{1}, l_{2}, \cdots, l_{n}$ 。 （1）求 $\theta$ 的最大似然估计值 $\hat{\theta}$ ； （2）求该元件性能 $Q$ 的最大似然估计值 $Q$ 。

### 【基础篇】第15题（选择题） 15．设总体 $X$ 的数学期望 $E(X)=0$ ，方差 $D(X)=\sigma^{2}$ ，而 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n>2)$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本， $\displaystyle \bar{X}-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{1}, S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{1}-\bar{X}\right)^{2}$ ，则下列属于 $\sigma^{2}$ 的无佩估计量的是（ ）。 （A） $7 \bar{X}^{2}+S^{2}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{2}\left(n \bar{X}^{2}+S^{2}\right)$ （C）$\displaystyle \frac{1}{3}\left(n \bar{X}^{2}+S^{2}\right)$ （D）$\displaystyle \frac{1}{4}\left(n \overline{X^{2}}+S^{2}\right)$

### 【基础篇】第15题（填空题） 15．设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，满足 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{5}=\boldsymbol{O}$ ，则 $\boldsymbol{A}^{-1}=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第152题 设 $f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{3 x}$ ，则 $f^{(n)}(0)=$ （A）$\displaystyle \frac{3^{n}}{n!}$ ． （B）$n^{2} 3^{n-1}$ ． （C） $3^{n-2} n(n-1)$ ． （D） $3^{n-2}(n-1)(n-2)$ ． □

### 【基础篇】第16题（选择题） 16．设 $\mu$ 是总体 $X$ 的数学期望，$\sigma$ 是总体 $X$ 的标准差，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样 本，则总体方差 $\sigma^{2}$ 的无偏估计量是（ ）。 （A）$\displaystyle \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}, \mu$ 末知 （B）$\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}, \mu$ 末知 （C）$\displaystyle \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}, \mu$ 已知 （D）$\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}, \mu$ 已知

### 【强化篇】第16题（解答题） 16．议总体 $X$ 的概率分布为 | $X$ | 1 | 2 | 8 | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $P$ | $1-\theta$ | $\theta-\theta$ | $\theta^{2}$ | 其中参数 $\theta \in(0,1)$ 末外。以 $N_{1}$ 表示来自总体 $X$ 的简单随机样本（样本容量为 $n$ ）中等于 $i$ 的个数 （ $i=1,2,3$ ）。求常数 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ ，使 $T=\sum_{i=1}^{J} a_{1} N_{1}$ 为 $\theta$ 的无偏估计量，并求 $T$ 的方兼。