📝 复旦大学 2020年强基真题

抛物线 $\displaystyle y^{2}=2 p x$ ，过焦点 F 作直线交抛物线于 $\displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点，满足 $\displaystyle \overrightarrow{A F}=3 \overrightarrow{F B}$ ，过 A 作抛物线准线的垂线，垂足记为 $\displaystyle \mathrm{A}^{\prime}$ ，准线交 x 轴于 C 点，若 $\displaystyle S_{C F A A^{\prime}}=12 \sqrt{3}$ ，求 p 。

已知实数 xy ，满足 $\displaystyle x^{2}+2 x y=1$ ，求 $\displaystyle x^{2}+y^{2}$ 最小值。

已知 $\displaystyle f(x)=a \sin 2 \pi x+b \cos 2 \pi x+c \sin 4 \pi x+d \cos 4 \pi x$ ，若 $\displaystyle f\left(\frac{1}{2}+x\right)+f(x)=f(2 x)$ ，则在 $\displaystyle a, b, c, d$ 中能确定的参数是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

若三次方程 $\displaystyle x^{3}+a x^{2}+4 x+5=0$ 有一个根是纯虚数，则 $\displaystyle \mathrm{a}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

展开式 $\displaystyle \left(x^{2}+\frac{1}{x}+y^{3}+\frac{1}{y}\right)^{10}$ 中，常数项为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

$\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{1 \times 4}+\frac{1}{2 \times 5}+\cdots+\frac{1}{n(n+3)}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

点 $\displaystyle (4,5)$ 绕点 $\displaystyle (1,1)$ 顺时针旋转 60 度，所得的点的坐标为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

方程 $\displaystyle 5 \rho \cos \theta=4 \rho+3 \rho \cos 2 \theta$ 所表示的曲线形状是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

设 $\displaystyle x, y \in\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ ，若 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{3}+\cos \left(x+\frac{3 \pi}{2}\right)-2 a=0 \\ 4 y^{3}+\sin y \cos y+a=0\end{array}\right.$ ，则 $\displaystyle \cos (x+2 y)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

实数 $\displaystyle \mathrm{x}, \mathrm{y}$ 满足 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，若 $\displaystyle |x+2 y-a|+|a+6-x-2 y|$ 的值与 $\displaystyle \mathrm{x}, \mathrm{y}$ 无关，则 a 的范围是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

在 $\displaystyle \triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\displaystyle \cos B A C=\frac{1}{3}$ ，若 O 为内心，且满足 $\displaystyle \overrightarrow{A O}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}$ ，则 $\displaystyle x+y$ 最大值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

抛物线 $\displaystyle 3 y^{2}=x$ 的焦点为 $\displaystyle \mathrm{F}, \mathrm{A}$ 在抛物线上， A 点处的切线与 AF 夹角为 30 度，则 A 点横坐标为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知 P 为直线 $\displaystyle \left|\begin{array}{cc}x & y-6 \\ -1 & 4\end{array}\right|=0$ 上一点，且 P 点到 $\displaystyle \mathrm{A}(2,5)$ 和 $\displaystyle \mathrm{B}(4,3)$ 的距离相同。则 P 点坐标为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知 $\displaystyle x, y \in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ 且 $\displaystyle y \neq x$ ，联结原点 $\displaystyle O$ 和 $\displaystyle \mathrm{A}(\mathrm{x}, \mathrm{y}), \mathrm{B}(\mathrm{y}, \mathrm{x})$ 两点，则 $\displaystyle \angle A O B=2 \arctan \frac{1}{3}$ 的概率为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

$\displaystyle \arcsin \frac{\sqrt{14}+3 \sqrt{2}}{8}+\arcsin \frac{3}{4}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知三棱雉 $\displaystyle P-A B C$ 的体积为 10.5 ，且 $\displaystyle \mathrm{AB}=6, \mathrm{AC}=\mathrm{BC}=4, \mathrm{AP}=\mathrm{BP}=10$ ，则长度为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

在 $\displaystyle \triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\displaystyle \mathrm{AB}=9, \mathrm{BC}=6, \mathrm{CA}=7$ ，则 BC 边上中线长度为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

若 $\displaystyle f(x)=x^{2}-1$ ，则 $\displaystyle f(f(x))$ 的图像大致为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

定义 $\displaystyle f_{M}(x)=\left\{\begin{array}{cc}1 & x \in M \\ -1 & x \notin M\end{array}, M \otimes N=\left\{x \mid f_{M}(x) f_{M}(x)=-1\right\} \quad\right.$ ，已知 $\displaystyle A=\{x \mid x\lt \sqrt{2-x}\}, B=\{x \mid x(x+3)(x-3)\gt 0\}$ ，则 $\displaystyle A \otimes B=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

方程 $\displaystyle 3 x+4 y+12 z=2020$ 的非负整数的组数为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知 $\displaystyle m, n \in Z$ ，且 $\displaystyle 0 \leq n \leq 11$ ，满足 $\displaystyle 2^{2020}+3^{2021}=12 m+n$ ，则 $\displaystyle \mathrm{n}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

凸四边形 ABCD ，则 $\displaystyle \angle B A C=\angle B D C$ 是 $\displaystyle \angle D A C=\angle D B C$ 的 $\displaystyle \_\_\_\_$条件。

设函数 $\displaystyle f(x)=3^{x}-3^{-x}$ 的反函数为 $\displaystyle y=f^{-1}(x)$ ，则 $\displaystyle g(x)=f^{-1}(x-1)+1$ 在 $\displaystyle [-3,5]$ 上的最大值和最小值的和为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

若 $\displaystyle \mathrm{K}\gt 4$ ，直线 $\displaystyle k x-2 y-2 k+8=0$ 与 $\displaystyle 2 x+k^{2} y-4 k^{2}-4=0$ 和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

已知 ABCD 四点共圆，且 $\displaystyle \mathrm{AB}=1, \mathrm{CD}=2, \mathrm{AD}=4, \mathrm{BC}=5$ ，则 PA 的长度为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

给定 5 个函数，其中 3 个奇函数， 2 个偶函数，则在这 5 个函数中任意取 3 个，其中既有奇函数，又有偶函数的概率为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

向量数列 $\displaystyle \left\{\overrightarrow{a_{n}}\right\}$ 满足 $\displaystyle \overrightarrow{a_{n+1}}=\overrightarrow{a_{n}}+\vec{d}$ ，且满足 $\displaystyle \left|\vec{a}_{1}\right|=3, \overrightarrow{a_{1}} \cdot \vec{d}=-\frac{3}{2}$ ，令 $\displaystyle S_{n}=\overrightarrow{a_{1}} \cdot\left(\sum_{i=1}^{n} \overrightarrow{a_{i}}\right)$ ，则当 $\displaystyle S_{n}$ 取最大时， n 的值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

某公司安排甲乙丙等 7 人完成 7 天的值班任务，每人负责一天。已知甲不安排在第一天，乙不安 排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有 $\displaystyle \_\_\_\_$种。

直线 $\displaystyle l_{1}, l_{2}$ 交于 O 点， M 为平面上任意一点，若 $\displaystyle \mathrm{p}, \mathrm{q}$ 分别为 M 点到直线 $\displaystyle l_{1}, l_{2}$ 的距离，则称 $\displaystyle (\mathrm{p}, \mathrm{q})$ 为点 M 的距离坐标。已知非负常数 $\displaystyle \mathrm{p}, \mathrm{q}$ ，下列三个命题正确的个数是 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （ i ）若 $\displaystyle \mathrm{p}=\mathrm{q}=0$ ，则距离坐标为 $\displaystyle (0,0)$ 的点有且仅有 1 个。 （ii）若 $\displaystyle \mathrm{pq}=0$ ，且 $\displaystyle p+q \neq 0$ ，则距离坐标为 $\displaystyle (0,0)$ 的点有且仅有 1 个。 （iii）若 $\displaystyle p q \neq 0$ ，则距离坐标为 $\displaystyle (p, q)$ 的点有且仅有 4 个。