1.1 数列极限

1．用定义证明极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2 n^{2}+1}{n^{2}-1}=2$ ．

2．设 $\displaystyle a_{n} \geqslant 0(n=1,2,3, \cdots), \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{a_{n}}=\sqrt{a}$ 。

3．证明下列结论．
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$（ $\displaystyle a$ 为有限数或 $\displaystyle \pm \infty$ ），则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}=a$（ $\displaystyle a$ 为有限数或 $\displaystyle \pm \infty$ ）．
（2）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n+\sqrt{n}}=a$ ．
（3）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt[n]{n}}{n}=1$ ．
（4）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n}} \sum_{k=1}^{n} \mathrm{C}_{n}^{k} x_{n}=a$ ，其中 $\displaystyle \mathrm{C}_{n}^{k}=\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdots k}$ ．
（5）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n-1}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=b$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}=\frac{a+b}{2}$ ．
（6）已知数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 非负且单调递减， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} b_{n}=b$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} \frac{a_{1} b_{n}+a_{2} b_{n-1}+\cdots+a_{n} b_{1}}{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}=b$ ．
（7）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为正实数列，$\displaystyle s_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}, r_{n}=\frac{a_{1}^{-1}+a_{2}^{-1}+\cdots+a_{n}^{-1}}{n}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}, \lim _{n \rightarrow \infty} r_{n}$ 均存在。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} s_{n} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty} r_{n} \geqslant 1$ ．

4．证明下列结论或求极限．
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=b$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1} y_{n}+x_{2} y_{n-1}+\cdots+x_{n} y_{1}}{n}=a b$ 。
（2）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a, ~ \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=b$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{1} y_{2 n}+x_{3} y_{2 n-2}+\cdots+x_{2 n-1} y_{2}}{n}$ 。

5．设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛，且 $\displaystyle a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \cdots a_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$（几何平均值收敛公式）．

6．证明：若 $\displaystyle x_{n}>0$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}$ 存在，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{x_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}$ ，并求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{(n+1)!}}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{\sqrt[n]{n!}}$ ；
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n^{\alpha}}(\alpha>0)$ ；
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n!}}$ ．

7．设 $\displaystyle a_{n}>0, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=q<1$（或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{a_{n+1}}=l>1$ ），证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ 。

8．证明下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1(a>0)$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$ ．

9．设 $\displaystyle a>0, a_{n}>0$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{n}}=1$ ，并求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{4+\frac{1}{2 n}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n+b} .(b=2$ ：南京航空 2011；$\displaystyle b=1:$ 山东大学，计量学院 2009）
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1-\frac{1}{n}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n^{k}+k^{n}} .(k=2$ ：山西师大 2008 ；$\displaystyle k=3$ ：哈师大 2008）

10．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{m}^{n}}, a_{k}>0, k=1,2, \cdots, m$ ．

特例：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}$ ，其中 $\displaystyle a, b>0$ ．（南京大学 2009／2003（ $\displaystyle b=1$ ），华东师大 2006，暨南大学 2010，苏州大学 2005，扬州大学 2005，南京理工 2001；$\displaystyle b=1$ ：南京师大 2000 ，四川师大 2013，陕西师大 2005 ，北京大学 1999／1998；$\displaystyle b=2006, a=2005$ ：兰州大学 2006）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}+c^{n}}$ ，其中 $\displaystyle a, b, c>0$ ．（中科院 2000／2003，辽宁大学 2004／2005，扬州大学 2005，湘潭大学2009，哈师大 2006（ $\displaystyle a=1, b=2, c=3$ ），山东大学 2002（ $\displaystyle a=3, b=5, c=7$ ））
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+2^{n}+3^{n}+4^{n}+5^{n}}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sin ^{2} n+2 \cos ^{2} n}$ ．

11．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(n!)^{\frac{1}{n^{2}}}$ 。
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \cdots(2 n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots \cdot 2 n}}$
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}}$ ．．苏州大学 2012，华中师大 04 ，辽宁大学 2007，青岛理工 2010，安徽大学 2006，华中科技 2008）
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sin 1+\sin \frac{1}{2}+\cdots+\sin \frac{1}{n}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2006}}}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\cos ^{2} 1+\cos ^{2} 2+\cdots+\cos ^{2} n}$ ．

12．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为有界正数列，$\displaystyle a=\sup \left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, \cdots\right\}$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{n}^{n}}=a$ 。
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是单调递减的非负数列，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{n}\right)^{\frac{1}{n}}=a_{1}$ ．
（3）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 非负单调增加，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{n}^{n}\right)^{\frac{1}{n}}=a$ 。

13．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+n+1}+\frac{2}{n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n+n}\right)$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{3}{n^{2}+3}+\cdots+\frac{2 n-1}{n^{2}+2 n-1}\right)$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right)$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}-1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}-2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}-n}}\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+\sqrt{2}}+\frac{1}{n+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{n+\sqrt{n}}\right)$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}+\cdots+\frac{1}{(n+n)^{2}}\right]$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=n^{2}}^{(n+1)^{2}} \frac{1}{\sqrt{k}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{2}{n^{2}+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+\frac{1}{n}}\right)$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}}{n^{3}+2 n+k}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt{7} n}{2 n^{2}+1}+\frac{\sqrt{7} n}{2 n^{2}+2}+\cdots+\frac{\sqrt{7} n}{2 n^{2}+n}\right)$ ．

14．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(a+k \frac{b-a}{n}\right)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ，并求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right)$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{2 n} \frac{1}{n+k}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{p}+2^{p}+\cdots+n^{p}}{n^{p+1}},(p>0)$ 。
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+2^{4}+\cdots+n^{4}}{n^{\alpha}}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right)$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n^{2}} \frac{n}{n^{2}+k^{2}}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{2}+k^{2}}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n}{(n+1)^{2}}+\frac{n}{(n+2)^{2}}+\cdots+\frac{n}{(n+n)^{2}}\right]$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2^{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n^{2}}}\right)$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{4 n^{2}-1^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{4 n^{2}-2^{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{4 n^{2}-n^{2}}}\right)$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left(\sqrt{n^{2}-1^{2}}+\sqrt{n^{2}-2^{2}}+\cdots+\sqrt{n^{2}-(n-1)^{2}}\right)$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{3}} \sqrt{n^{2}-k^{2}}$ ．
（13） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{n-1}{n}}\right)$ ．
（14） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\sin \frac{\pi}{n}+\sin \frac{2 \pi}{n}+\cdots+\sin \frac{(n-1) \pi}{n}\right) \cdot(x=\pi$ ：中南大学 2009 ，新疆大学 2005 ，华中师大 2004；$\displaystyle x=1$ ：北京理工 2007）
（15） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1+\sin \frac{k-1}{n} \pi}$ ．
（16） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin \frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{\cos \frac{k \pi}{n}}{2+\sin \frac{k \pi}{n}}$ ．
（17） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n} k \mathrm{e}^{\frac{k}{n}}$ ．
（18） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(1+\mathrm{e}^{\sqrt{\frac{1}{n}}}+\mathrm{e}^{\sqrt{\frac{2}{n}}}+\cdots+\mathrm{e}^{\sqrt{\frac{n-1}{n}}}+\mathrm{e}\right)$ ．
（19） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\mathrm{e}^{\frac{k}{n}}}{n+n \mathrm{e}^{\frac{2 k}{n}}}$ ．
（20） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \frac{k \pi}{n}$ ．
（21） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left[\sqrt{1+\left(\frac{1}{n}\right)^{2}}+2 \sqrt{1+\left(\frac{2}{n}\right)^{2}}+\cdots+n \sqrt{1+\left(\frac{n}{n}\right)^{2}}\right]$ ．
（22） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n}+\frac{\sin n}{n}+\frac{n}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right]$ ．
分析：定积分为一特定和式的极限。对具有特殊结构的 $\displaystyle n$ 项和或积形式的极限，可考虑用定积分法求解．

15．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上．Riemann 可积，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} 4 \ln \left(1+\frac{1}{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\right)$ 。

16．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{f\left(\frac{1}{n}\right) f\left(\frac{2}{n}\right) \cdots f\left(\frac{n}{n}\right)}$ ，其中 $\displaystyle f \in C[0,1]$ 且取正值．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)}$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \ln \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1) \cdots(2 n-1)(n+n)}$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{n(n+1) \cdots(2 n-1)}$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+2)(n+4) \cdots(n+2 n)}$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(2 n+1) \cdots(2 n+2)(2 n+n)}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{2\left(2+\frac{2}{n}\right)\left(2+\frac{4}{n}\right) \cdots\left(2+\frac{2(n-1)}{n}\right)}$ ．
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \ln \sqrt[n]{\left(1+\frac{1^{2}}{n^{2}}\right)\left(1+\frac{2^{2}}{n^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{n^{2}}{n^{2}}\right)} \cdot$
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)\left(1+\frac{2^{2}}{n^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{n^{2}}{n^{2}}\right)}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)^{\frac{1}{2}} \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)^{\frac{1}{n}}$ ．

17．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1} f\left(\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{n+\frac{1}{2}} f\left(\frac{2}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n+\frac{1}{n}} f\left(\frac{n}{n}\right)\right)$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 上的非负连续函数．
（1）$\displaystyle f(x)=\sin \pi x$ ．
（2）$\displaystyle f(x)=a^{x}$. ．$\displaystyle a=$ 3：云南大学 $\displaystyle 2006 ; a=2$ ：武汉大学 2010 ，四川大学 2001，兰州大学 2001，河南师大 2014）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{a^{\frac{k}{n}}}{n+(a-1) k^{-1}}, a>1$ 。
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt{1+\frac{k}{n^{2}}}-1\right)$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}\left(\sqrt{1+\frac{k^{2}}{n^{3}}}-1\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n}\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\sin } \frac{k}{n}}-1\right)$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k(n-k+1)}}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{(n x+k)(n x+k-1)}, x>0$ ．

18．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)$ 存在，定义 $\displaystyle x_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(\frac{1}{n^{2}}\right)+f\left(\frac{2}{n^{2}}\right)+\cdots+f\left(\frac{n}{n^{2}}\right)\right)$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2} f^{\prime}(0)$ ，
并求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{a}{n^{2}}+\sin \frac{2 a}{n^{2}}+\cdots+\sin \frac{n a}{n^{2}}\right) .(a=\pi$ ：四川大学 $\displaystyle 2005, a=1$ ：江西师大 2012）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \sin \left(\frac{2 k-1}{n^{2}} a\right)$ ，其中 $\displaystyle a>0$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right) \sin \frac{\pi}{n^{2}}+\left(1+\frac{2}{n}\right) \sin \frac{2 \pi}{n^{2}}+\cdots+\left(1+\frac{n-1}{n}\right) \sin \frac{(n-1) \pi}{n^{2}}\right]$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1} f\left(\frac{k}{n}\right)=0$ ．
（3）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(n^{2}+1\right)\left(n^{2}+2\right) \cdots\left(n^{2}+n\right)}{\left(n^{2}-1\right)\left(n^{2}-2\right) \cdots\left(n^{2}-n\right)}$ ．

19．证明或求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n^{2}}$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n(n+1)}$ ，其中 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\cos 1+2 \cos \frac{1}{2}+\cdots+n \cos \frac{1}{n}}{1+2+\cdots+n}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} p_{k} a_{k}}{\sum_{k=1}^{n} p_{k}}=a$ ，其中 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, \sum_{i=1}^{\infty} p_{i}=+\infty, p_{i}>0$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ ．
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+\frac{a_{2}}{2}+\cdots+\frac{a_{n}}{n}}{\ln n}=a$ ，其中 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}$ ．
（7） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\sqrt[n]{2}+\sqrt[n]{3}+\cdots+\sqrt[n]{n}}{n}$.
（8） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=0}^{n} \ln \mathrm{C}_{n}^{k}}{n^{2}}$ ，其中 $\displaystyle \mathrm{C}_{n}^{k}=\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdots k}$ ．
（9） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2}+3^{2}+\cdots+(2 n-1)^{2}}{n^{3}}$ ．
（10） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}}{(1+2+\cdots+n)^{2}}$ ．
（11） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{3^{k}}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k^{2}}$ ．
（12） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{d}+2^{d}+\cdots+n^{d}-\frac{n^{d+1}}{d+1}}{n^{d}}, d>0$ ．

20．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle 0<\lambda<1, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}+\lambda a_{n-1}+\lambda^{2} a_{n-2}+\cdots+\lambda^{n} a_{0}\right)=\frac{a}{1-\lambda}$ 。
（2）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=A$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(a_{n}+2 a_{n-1}+\cdots+(n-1) a_{2}+n a_{1}\right)=A$ ．
（3）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是收玫级数，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n}=0$ 。
（4）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)=a$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n}$ 存在，并求之．
（5）已知数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{2 n}}{2 n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{2 n-1}}{2 n-1}=b$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{1+2+\cdots+n}=\frac{a+b}{2}$ ．

21．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle 0<x_{1}<1, x_{n+1}=x_{n}\left(1-x_{n}\right)$ 。证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}=1$ 。
（2）设 $\displaystyle 0<x_{1}<1, x_{n+1}=x_{n}\left(1-q x_{n}\right), 0<x_{1}<\frac{1}{q}(0<q<1)$ ．证明：（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限；
（2）数列 $\displaystyle \left\{n x_{n}\right\}$ 收敛，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}=\frac{1}{q}$ ；（3）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{a}$ 的敛散性．
（3）设 $\displaystyle x_{n+1}=\sin x_{n}, n \in \mathbf{N}^{+}, 0<x_{1}<\frac{\pi}{2}$ ．证明：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ ；（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \sin ^{2} x_{n}=3$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}{ }^{2}=3$ ；
（3）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{p}$ ，当 $\displaystyle p>2$ 时收敛，当 $\displaystyle p \leqslant 2$ 时发散。
（4）设 $\displaystyle a_{1}>0, a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{a_{n}}$ ，证明：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=+\infty$ ；（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{\sqrt{2 n}}=1$ 。

22．证明下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a^{n}}{n!}=0$ ，其中 $\displaystyle a>0 .(a=3$ ：浙江师大 $\displaystyle 2011 / 2005$ ，首都师大 $\displaystyle 2013 ; a=7:$ 山东大学；$\displaystyle a=e:$ 上海铁道学院；$\displaystyle a=2$ ：扬州大学2007，中山大学2009）
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{3^{n} n!}=0$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}}{2^{n}}=0$； $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{5}}{\mathrm{e}^{n}}=0$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5^{n} n!}{(2 n)^{n}}=0$； $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n} n!}{n^{n}}=0$ ．

23．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{a^{2}}+\cdots+\frac{n}{a^{n}}\right)$ ．（中山大学 $\displaystyle 2011(a>0)$ ，温州大学 2012，武汉大学 2004，湖北大学 2011，重庆大学2004（a $\displaystyle >1$ ））
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^{2}}+\cdots+\frac{2 n-1}{2^{n}}\right)$ ．

24．求下列极限．
（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n} \pm \frac{1}{n^{2}}\right)^{n}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2 n}-\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[2 n-1]{n^{2}+n}$ ．
（4） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \tan ^{n}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{n}\right) .(\alpha=1$ ：南航 2013；$\displaystyle \alpha=2$ ：湖南农大 2008，陕西师大 1997，西北工大 2003）
（5） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(n \sin \frac{1}{n}\right)^{n^{2}}$ 或 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \ln \left(n \sin \frac{1}{n}\right)$ 。
（6） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{1}^{2} \sqrt[n]{1+x} \mathrm{~d} x\right)^{n}$.

25．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛．
（2）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{\sin 1}{2}+\frac{\sin 2}{2^{2}}+\cdots+\frac{\sin n}{2^{n}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛。
（3）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{\cos 1}{\mathrm{e}}+\frac{\cos 2}{\mathrm{e}^{2}}+\cdots+\frac{\cos n}{\mathrm{e}^{n}}$ ，按提示思路利用三种不同的方法证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛。

提示：I 利用 cauchy 准则；II 利用绝对收敛和收敛的关系；III 利用 dirichlet 判别法；IV 其他方法。
（4）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 发散．
（5）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}$ ，用柯西收敛准则证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 发散。
（6）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{2 \ln 2}+\frac{1}{3 \ln 3}+\cdots+\frac{1}{n \ln n}$ ，用柯西收敛准则证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 发散．

26．若存在常数 $\displaystyle M>0$ ，对 $\displaystyle \forall n$ ，有 $\displaystyle A_{n}=\left|x_{n}-x_{n-1}\right|+\left|x_{n-1}-x_{n-2}\right|+\cdots+\left|x_{2}-x_{1}\right| \leqslant M$ ，则称 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$为有界变差。证明：数列 $\displaystyle \left\{A_{n}\right\}$ 收敛，数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 也收玫。

27．证明下列命题．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足：$\displaystyle \left|x_{n+1}-x_{n}\right| \leqslant\left|q_{n}\right| \cdot\left|x_{n}-x_{n-1}\right|,\left|q_{n}\right| \leqslant r<1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛．
（2）设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足：$\displaystyle \left|x_{n+1}-a\right| \leqslant|k|\left|x_{n}-a\right|, 0<|k|<1$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}=a$ ．（华中师大 1996，扬州大学 2003，深圳大学 2006（ $\displaystyle a=0$ ），湘潭大学 2008，地质大学 2005）

28．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle a>0, x_{1}=\sqrt{a}, x_{n+1}=\sqrt{a+x_{n}}, n \geqslant 1$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（2）设 $\displaystyle x_{1}>a>0, x_{n+1}=\sqrt{x_{n}^{2}-2 a x_{n}+2 a^{2}}, n \geqslant 1$ ，求其极限．
（3）设 $\displaystyle a>1,0<x_{1}<a, x_{n+1}=a-\sqrt{a^{2}-x_{n}}(n=1,2, \cdots)$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（4）设 $\displaystyle 0<x_{1}<3, x_{n+1}=\sqrt{x_{n}\left(3-x_{n}\right)}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求其极限．
（5）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$\displaystyle y_{1}=1,2 y_{n+1}=y_{n}+\sqrt{y_{n}^{2}+a_{n}}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{y_{n}\right\}$ 是递增的收敛数列．（福建师大，湖南大学2007（ $\displaystyle a_{n}=n^{-p}, p>1$ ））
（6）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$\displaystyle y_{1}=1, y_{n+1}=\sqrt{y_{n}\left(y_{n}+a_{n}\right)}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{y_{n}\right\}$ 收敛．
（7）设 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=\sqrt{4+3 x_{n}}, n \geqslant 1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（8）设 $\displaystyle x_{1}=\sqrt{2}, x_{n+1}=\sqrt{3+2 x_{n}}, n \geqslant 1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（9）设 $\displaystyle a>0, x_{1}=\sqrt{a}, x_{n+1}=\sqrt{a x_{n}}, n \geqslant 1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（10）若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足：$\displaystyle a_{1}=0, a_{n}=\frac{a_{n-1}+3}{4}, n \geqslant 2$ ，则数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有极限，并求之．

29．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle x_{1}=a, x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right)(a>0), n=1,2, \cdots$ ，证明：（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限值；（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x_{n}}{x_{n+1}}-1\right)$ 收玫。

（2）设 $\displaystyle a>0, x_{0}>0, x_{n+1}=\frac{1}{4}\left(3 x_{n}+\frac{a}{x_{n}^{3}}\right)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{1}>0, a>0, x_{n+1}=\frac{2 x_{n}^{3}+a}{3 x_{n}^{2}}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}$ ．

30．证明下列结论并求极限．
（1）已知 $\displaystyle 0<c<1, x_{1}=\frac{c}{2}, x_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{x_{n}^{2}}{2}$ ，证明：（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ； （2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x_{n+1}}{x_{n}}-1\right)$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{3}, x_{n+1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3} x_{n}^{2}, n=2,3, \cdots$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{1}=-1, x_{n+1}=x_{1}+\frac{1}{2} x_{n}^{2}, n=1,2, \cdots$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在．
（4）设 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} x_{n}^{2}, n=1,2, \cdots, A=\sqrt{2}-1$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n}-A\right)$ 绝对收敛．
（5）设 $\displaystyle a>0,0<x_{1}<a, x_{n+1}=x_{n}\left(2-\frac{x_{n}}{a}\right), n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限值．
（6）设 $\displaystyle 0<x_{1}<1,0<\alpha<1, x_{n+1}=1-\left(1-x_{n}\right)^{a}, n \geqslant 1$ ．求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}$ ．
（7）设 $\displaystyle a>-4, x_{1}=\frac{a}{2}, x_{n}=\frac{a}{2}+\frac{1}{2} x_{n-1}^{2}, n=2,3, \cdots$ ，试讨论数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 的敛散性．

31．证明下列结论并求极限：
（1）设 $\displaystyle c>0, x_{1}=a>0, x_{n+1}=\frac{c\left(1+x_{n}\right)}{c+x_{n}},(n=1,2, \cdots)$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求极限．$\displaystyle (c=2:$ 北京科技 2014，西南大学 2003，南京师大 2002，北京理工 2007，东南大学 2003，曲阜师大 2010，温州大学 2008，西安电子科技 $\displaystyle 2005 ; c=3$ ；广西师大 2014，南京大学 2000 ，南京理工 2010 ，四川大学 2003／2002，桂林电子科技 2008，天津大学 2004，武汉大学 2004，湖南师大 $\displaystyle 2008 ; c=4$ ：浙江大学 2007 ，扬州大学 2011，浙江工商 2014）
（2）设 $\displaystyle x_{1}>\sqrt{\alpha}>1, x_{n+1}=\frac{\alpha+x_{n}}{1+x_{n}}, n=1,2, \cdots$ ，试证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+1}$ ，数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 由如下递推公式定义：$\displaystyle x_{0}=1, x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)(n=0,1,2, \cdots)$ ，求证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\sqrt{2}$ ．
（4）设 $\displaystyle a>1, x_{1}=a, x_{2}=\frac{a}{a+a}, x_{n+1}=\frac{a}{a+x_{n}}$ ，证明：（1）$\displaystyle \forall n>2, \frac{1}{2}<x_{n}<1$ ；（2）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求其极限．
（5）设 $\displaystyle x_{0}=1, x_{n+1}=\frac{3+2 x_{n}}{3+x_{n}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限值．

32．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle x_{1}=2, x_{2}=2+\frac{1}{2}, x_{n+1}=2+\frac{1}{x_{n}}, n=2,3, \cdots$ ．证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求极限．
（2）设 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=1+\frac{1}{x_{n}},(n=2,3, \cdots)$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限值．
（3）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为 Fibonacci 序列，即 $\displaystyle a_{1}=1, a_{2}=1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_{n}}$ 。
（4）设 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\frac{1}{1+x_{n}}$ 或 $\displaystyle x_{n+1}\left(1+x_{n}\right)=1, n=1,2,3, \cdots$ 。证明：（1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求其极限； （2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)$ 绝对收玫，并求级数的和。南京大学 2006，西安电子科技 2010，南京理工 2009，哈工大 2005）
（5）设 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=1+\frac{x_{n}}{1+x_{n}}$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限值．
（6）设 $\displaystyle x_{0}>0, x_{n+1}=2+\frac{1}{\sqrt{x_{n}}},(n=1,2,3, \cdots)$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限值．

33．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle a>0, b>0, a_{1}=a, a_{2}=b, a_{n+2}=2+\frac{1}{a_{n+1}^{2}}+\frac{1}{a_{n}^{2}}, n=1,2,3, \cdots$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。华东师大 2003）
（2）设 $\displaystyle x_{0} \in\left(1, \frac{3}{2}\right), x_{1}=x_{0}^{2}, x_{n+1}=\sqrt{x_{n}}+\frac{x_{n-1}}{2},(n=1,2, \cdots)$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{1}=a, x_{n+1}=1+\frac{x_{n}^{2}}{1+x_{n}^{2}}, n=1,2, \cdots$ ．证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛。
（4）设 $\displaystyle x_{1}=2, x_{n}=2-\frac{1}{x_{n-1}^{2}}, n=2,3, \cdots$ ．证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（5）设 $\displaystyle x_{1}>0, x_{n+1}=\frac{x_{n}\left(x_{n}^{2}+3\right)}{1+3 x_{n}^{2}}, n=1,2, \cdots$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。

34．求下列极限．
（1）设 $\displaystyle x_{1}=a, x_{2}=b, x_{n}=\frac{x_{n-1}+x_{n-2}}{2}, n=3,4, \cdots$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（2）设 $\displaystyle x_{0}=a, x_{1}=b, x_{n}=\frac{1}{2}\left(x_{n-2}-x_{n-1}\right), n=2,3,4, \cdots$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle x_{0}=a, x_{1}=b, x_{n}=\frac{x_{n-2}-x_{n-1}}{3}, n=2,3, \cdots$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
（4）设 $\displaystyle 0<\alpha<1,\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle x_{n+1}=\alpha x_{n}+(1-\alpha) x_{n-1}, n=3,4, \cdots$ ，证明：$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 是收敛的，用 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 表示 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
（5）设 $\displaystyle x_{0}=a, x_{1}=b, 0<a<b, x_{n+1}=\sqrt{x_{n} x_{n-1}}, n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$.

35．证明下列结论并求极限．
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, ~ \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=b$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \max \left\{a_{n}, b_{n}\right\}$ 。（哈T．大 2004）
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 为两数列，满足 $\displaystyle a_{n+1}=b_{n}-q a_{n}, n=1,2, \cdots$ ，其中 $\displaystyle 0<q<1$ 。证明：（1）若 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 有界，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界；（2）若 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\}$ 为两数列，满足 $\displaystyle y_{n}=x_{n-1}+2 x_{n}, n=2,3, \cdots$ 证明：$\displaystyle \left\{y_{n}\right\}$ 收敛的充要条件是 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$收敛．
（4）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 为两个有界数列，满足 $\displaystyle a_{n+1}+2 a_{n}=2 b_{n}$ ，如果 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} b_{n}$ 存在，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} a_{n}$ 也存在．
（5）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 为正整数数列。令 $\displaystyle a_{1}=b_{1}=1, a_{n}+\sqrt{3} b_{n}=\left(a_{n-1}+\sqrt{3} b_{n-1}\right)^{2}$ ，证明：$\displaystyle \left\{\frac{a_{n}}{b_{n}}\right\}$ 收敛并求极限．
（6）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 为两数列，满足 $\displaystyle a_{n+1}=b_{n}-\frac{n}{2 n+1} a_{n}, n=1,2, \cdots$ 。证明：（1）若 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 有界，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界；（2）若 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（7）设 $\displaystyle a_{1}, b_{1}$ 为任意选定的实数，定义 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1} \max \left\{b_{n-1}, x\right\} \mathrm{d} x, n=2,3, \cdots, b_{n}=\int_{0}^{1} \min \left\{a_{n-1}, x\right\} \mathrm{d} x, n=2,3, \cdots$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=2-\sqrt{2}, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\sqrt{2}-1$ ．

36．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle \alpha_{n} \neq 0, \lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n}=0, \lim _{n \rightarrow \infty} \beta_{n}=+\infty$ ，常数 $\displaystyle a>0$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\alpha_{n}\right)^{\beta_{n}}=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \alpha_{n} \beta_{n}=\ln a$ ．
（2）对正数数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}^{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}^{n}=b, a>0, b>0, p, q$ 皆非负，$\displaystyle p+q=1$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(p a_{n}+q b_{n}\right)^{n}=a^{p} b^{q}$ ．
（3）设 $\displaystyle \alpha \in(0,1),\left\{a_{n}\right\}$ 为严格单调增加的正数列，$\displaystyle \left\{a_{n+1}-a_{n}\right\}$ 有界．证明：$\displaystyle \left\{a_{n+1}^{\alpha}-a_{n}^{\alpha}\right\}$ 极限存在，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}^{\alpha}-a_{n}^{\alpha}\right)$ ．

37．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle a_{1}>b_{1}>0, a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}, b_{n+1}=\frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n}+b_{n}},(n \geq 1)$ 。证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 都收敛于 $\displaystyle \sqrt{a_{1} b_{1}}$ ．
（2）设 $\displaystyle b_{1}>a_{1}>0, b_{n+1}=\sqrt{a_{n} b_{n}}, a_{n+1}=\frac{2 a_{n} b_{n}}{a_{n}+b_{n}},(n \geqslant 2)$ 。证明：（1）$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 都收敛且极限值相等；（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{b_{n}}{b_{n+1}}-1\right)$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle a_{1}>b_{1}>0, a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}, b_{n+1}=\sqrt{a_{n} b_{n}},(n \geqslant 1)$ 。证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 都收敛且极限值相等。

38．证明下列结论并求极限．
（1）证明：若 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为递增数列，$\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 为递减数列， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x}\left(a_{n}-b_{n}\right)=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} a_{n}, \lim _{n \rightarrow x} b_{n}$ 存在且相等。
（2）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调增加，$\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 单调减少，$\displaystyle \left\{a_{n}-b_{n}\right\}$ 有界，证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 和 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 的极限都存在。
（3）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足条件：$\displaystyle \left\{a_{2 n}\right\}$ 为递增数列，$\displaystyle \left\{a_{2 n-1}\right\}$ 为递减数列， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0$ ，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．

39．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 十连续，满足 $\displaystyle 0 \leqslant f(x) \leqslant x, x \in[0,+\infty)$ ，设 $\displaystyle a_{1} \geqslant 0, a_{n+1}=f\left(a_{n}\right), n=1,2, \cdots$ 。证明：（1）$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为收敛数列；（2）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} a_{n}=t$ ，则有 $\displaystyle f(t)=t$ ；（3）若条件改为 $\displaystyle 0 \leqslant f(x)<x, x \in(0,+\infty)$ ，则 $\displaystyle t=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ ：有二阶连续导数，$\displaystyle f^{\prime}(0)=1, f^{\prime \prime}(0) \neq 0,0 \leqslant f(x)<x, x \in(0, a)$ ．设 $\displaystyle x_{1} \in(0, a), x_{n+1}=f\left(x_{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，证明：（1）$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为收敛数列并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} x_{n}$ ；（2）$\displaystyle \left\{n x_{n}\right\}$ 是否收敛？若不收敛，则说明理由。若收敛，则求极限。

40．证明下列结论并求极限．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的连续减函数，$\displaystyle f(x)>0$ ，又设 $\displaystyle a_{n}=\sum_{k=1}^{n} f(k)-\int_{1}^{n} f(x) \mathrm{d} x$ 。证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为收敛数列．
（2）证明：极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right)$ 存在，并由此计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right)$ ．
（3）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n}$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在．
（4）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2 n-1}}-\sqrt{2 n-1}$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在。重庆大学 2003）
（5）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{1}{2 \ln 2}+\frac{1}{3 \ln 3}+\cdots+\frac{1}{n \ln n}-\ln (\ln n)$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在。

41．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\},\left\{a_{n}\right\}$ 是两个非负无穷数列，$\displaystyle x_{n+1} \leqslant x_{n}+a_{n}, n=1,2, \cdots$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，证明 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛．
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为非负数列，$\displaystyle a_{n+1} \leqslant a_{n}+\frac{1}{n^{2}}, n=1,2, \cdots$ ，证明 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 是正数列，对所有自然数 $\displaystyle m, n$ 成立 $\displaystyle x_{n+m} \leqslant x_{n}+x_{m},(n=1,2, \cdots)$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n}$ 存在．
（4）设 $\displaystyle 0<x_{1}<1,\left(1-x_{n+1}\right) x_{n}>\frac{1}{4},(n=1,2, \cdots)$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2}$ 。

42．设 $\displaystyle S$ 为有界数集，证明：若 $\displaystyle a=\sup S$ 不属于 $\displaystyle S$ ，则存在严格递增数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset S$ ，使得 $\displaystyle a=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。

43．证明下列命题．
（1）数列 $\displaystyle \{\sin n\}$ 发散．
（2）叙述数列 $\displaystyle \forall x_{1}, x_{2} \in[0,+\infty)$ 发散的定义，并证明数列 $\displaystyle \{\cos n\}$ 发散．
（3）从定义出发证明数列 $\displaystyle \left\{(-1)^{n}\right\}$ 的极限不存在。福建师大 2004）
（4）若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是单调数列，$\displaystyle \left\{a_{n_{1}}\right\}$ 是 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 的某一子列且 $\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty} a_{n_{1}}=a$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ 。
（5）若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 无界，但非无穷大量，则存在两个子数列 $\displaystyle \left\{a_{n_{k}}^{(1)}\right\},\left\{a_{n_{k}}^{(2)}\right\}$ 使得 $\displaystyle \left\{a_{n_{k}}^{(1)}\right\}$ 是无穷大量，$\displaystyle \left\{a_{n_{i}}^{(2)}\right\}$ 为收敛子列。又问，当 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是有界发散数列时，能有何结论？
（6）若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 不是无穷大量，则它一定存在收敛子列。
（7）对数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ ，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ 的充要条件为 $\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty} a_{2 k}=\lim _{k \rightarrow \infty} a_{2 k+1}=a$ ．
（8）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛，$\displaystyle a=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 。证明： $\displaystyle \inf \left\{a_{n}\right\}$ 与 $\displaystyle \sup \left\{a_{n}\right\}$ 中至少有一个属于 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 。北京交大 2008，青岛科技 2009 ，曲阜师大 2006 ，上海交大 2005）
（9）证明：若 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 的任一子列 $\displaystyle \left\{a_{n_{n}}\right\}$ 都存在且收敛于 $\displaystyle a$ ，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛于 $\displaystyle a$ ．

44．判断题．
（1）单调序列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 中有一子列 $\displaystyle \left\{a_{n_{1}}\right\}$ 收敛，则序列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．