4.2 定积分计算
4 一元函数积分学 · 共 37 题
第1题计算题
1．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x .(a=2$ ：山东师大 2007；$\displaystyle a=1$ ：广西民大 2009，曲阜师大 2008）
（2） $\displaystyle \int_{1}^{2} \sqrt{x^{2}-1} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{2 a} x \sqrt{2 a x-x^{2}} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int_{0}^{2} \sqrt{x^{3}-2 x^{2}+x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x .(a=2$ ：山东师大 2007；$\displaystyle a=1$ ：广西民大 2009，曲阜师大 2008）
（2） $\displaystyle \int_{1}^{2} \sqrt{x^{2}-1} \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{2 a} x \sqrt{2 a x-x^{2}} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int_{0}^{2} \sqrt{x^{3}-2 x^{2}+x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
郑州大学 2000北京交大 2004南京农业大学 2004陕西师范大学 2005广西民族大学 2010桂林电子科技 2013
第2题计算题
2．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{9} x \sqrt[3]{1-x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{4} \frac{x+2}{\sqrt{2 x+1}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{4} \frac{1}{x(1+\sqrt{x})} \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\frac{x+1}{\sqrt[3]{3 x+1}}+x \arctan x\right) \mathrm{d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{9} x \sqrt[3]{1-x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{4} \frac{x+2}{\sqrt{2 x+1}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{4} \frac{1}{x(1+\sqrt{x})} \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\frac{x+1}{\sqrt[3]{3 x+1}}+x \arctan x\right) \mathrm{d} x$ ．
上海师范大学 2005华南理工大学 2007山东科技大学 2010西南大学 2011
第3题计算题
3．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{-2}^{2} \mathrm{e}^{-|\mathrm{x}|}|1-\mathrm{x}| \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{3} \sqrt{|x(x-2)|} \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{n+1} \ln [x] \mathrm{d} x, n \in \mathbf{N}^{+}$．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{2}\left[\mathrm{e}^{x}\right] \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{-1}^{3} \min \left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{2} x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{-2}^{2} \max \left\{1, x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ 。
（7） $\displaystyle \int_{-1}^{2} \min \left\{2, x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ 。
（1） $\displaystyle \int_{-2}^{2} \mathrm{e}^{-|\mathrm{x}|}|1-\mathrm{x}| \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{3} \sqrt{|x(x-2)|} \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{n+1} \ln [x] \mathrm{d} x, n \in \mathbf{N}^{+}$．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{2}\left[\mathrm{e}^{x}\right] \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{-1}^{3} \min \left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{2} x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{-2}^{2} \max \left\{1, x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ 。
（7） $\displaystyle \int_{-1}^{2} \min \left\{2, x^{2}\right\} \mathrm{d} x$ 。
东华大学 2004电子科技大学 2004上海理工 2005西南大学 2007太原科技大学 2008华侨大学 2011广西民族大学 2011湖南师范大学 2013
第4题计算题
4．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{\sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{\sqrt[3]{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 或 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{\sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{\sqrt[3]{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} \sin (\ln x) \mathrm{d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{e}^{x} \sin x \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 或 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{x} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ ．
中国科学院 1997中国科学院 2000河南大学 2002浙江大学 2005深圳大学 2005扬州大学 2007武汉科技大学 2008兰州大学 2010
+3
第5题计算题
5．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} \arctan x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\pi}(x \sin x)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} x \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x^{2} \sqrt{1-\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{\arcsin x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}} \mathrm{dx}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x$ 。
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} \arctan x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\pi}(x \sin x)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} x \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x^{2} \sqrt{1-\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{\arcsin x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}} \mathrm{dx}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x$ 。
四川大学 1999复旦大学 2000山东大学 2001杭州师大 2009东北师范大学 2011杭州师大 2014
第6题计算题
6．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \ln x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1}(\ln x)^{n} \mathrm{~d} x$. ．
（5） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}+1} x^{2} \ln (x-1) \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left[\frac{x(1+x)}{\sqrt{1+2 x}}+\ln x\right] \mathrm{d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{e^{-1}}^{e}|\ln x| d x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} \ln x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1}(\ln x)^{n} \mathrm{~d} x$. ．
（5） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}+1} x^{2} \ln (x-1) \mathrm{d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{1}\left[\frac{x(1+x)}{\sqrt{1+2 x}}+\ln x\right] \mathrm{d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{e^{-1}}^{e}|\ln x| d x$ ．
河南大学 2000中南大学 2002湖北大学 2004兰州大学 2005山东师范大学 2005太原理工大学 2008安徽大学 2008湘潭大学 2008
+3
第7题计算题
7．求下列积分．
（1）设 $\displaystyle m, n$ 为正整数，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} t^{n}(\ln t)^{m} \mathrm{~d} t$ 。华中科技 2014，湖南大学 2006，西安理工 2005，北师大，武汉大学 2014（ $\displaystyle m=n$ ））
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} x \ln x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int_{1}^{e}(x \ln x)^{3} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int_{0}^{1} x(\ln x)^{2006} \mathrm{~d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{1} x(\ln x)^{2012} \mathrm{~d} x$ 。
（1）设 $\displaystyle m, n$ 为正整数，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} t^{n}(\ln t)^{m} \mathrm{~d} t$ 。华中科技 2014，湖南大学 2006，西安理工 2005，北师大，武汉大学 2014（ $\displaystyle m=n$ ））
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} x \ln x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2}(\ln x)^{2} \mathrm{~d} x$ 。
（4） $\displaystyle \int_{1}^{e}(x \ln x)^{3} \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \int_{0}^{1} x(\ln x)^{2006} \mathrm{~d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{1} x(\ln x)^{2012} \mathrm{~d} x$ 。
浙江师范大学 2004华东师范大学 2006南京农业大学 2006浙江师范大学 2008山东科技大学 2010北京交大 2012
第8题计算题
8．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{\mathrm{e}}^{\mathrm{e}^{2}} \frac{\ln (\ln x)}{x \ln x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{1}{x\left(2+\ln ^{2} x\right)} \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} \sqrt{1-\mathrm{e}^{-2 x}} \mathrm{dx}$ 。
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} \sqrt{\mathrm{e}^{x}-1} \mathrm{~d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} \frac{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{\mathrm{e}}^{\mathrm{e}^{2}} \frac{\ln (\ln x)}{x \ln x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{1}{x\left(2+\ln ^{2} x\right)} \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} \sqrt{1-\mathrm{e}^{-2 x}} \mathrm{dx}$ 。
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} \sqrt{\mathrm{e}^{x}-1} \mathrm{~d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} \frac{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
昆明理工大学 2004深圳大学 2005兰州大学 2007山东科技大学 2007中山大学 2008山东科技大学 2009暨南大学 2013
第9题证明题
9．求证下列问题．
（1）证明：当 $\displaystyle x>0$ 时，恒有 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{\int_{\ln 2} \frac{\mathrm{~d} t}{1-\mathrm{e}^{-1}}}=1$ ．
（2）设 $\displaystyle \int_{x}^{2 \ln 2} \frac{\mathrm{~d} t .}{\sqrt{\mathrm{e}^{t}-1}}=\frac{\pi}{6}$ ，求 $\displaystyle x$ ．
（1）证明：当 $\displaystyle x>0$ 时，恒有 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{\int_{\ln 2} \frac{\mathrm{~d} t}{1-\mathrm{e}^{-1}}}=1$ ．
（2）设 $\displaystyle \int_{x}^{2 \ln 2} \frac{\mathrm{~d} t .}{\sqrt{\mathrm{e}^{t}-1}}=\frac{\pi}{6}$ ，求 $\displaystyle x$ ．
四川大学 2001南开大学 2008
第10题计算题
10．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin \theta-\sin ^{3} \theta} \mathrm{~d} \theta$ ．
（2） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x \cos ^{3} x+\sqrt{\cos x-\cos ^{3} x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sqrt{\cos x-\cos ^{3} x}+\frac{\sin x}{1+x^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|\sin \theta-\cos \theta| \mathrm{d} \theta$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{x^{5}}{1+x^{2}}+\sqrt{1-\cos x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\sin x} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{n \pi} \sqrt{1-\sin 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\cos 2 x} \mathrm{dx}$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin \theta-\sin ^{3} \theta} \mathrm{~d} \theta$ ．
（2） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x \cos ^{3} x+\sqrt{\cos x-\cos ^{3} x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sqrt{\cos x-\cos ^{3} x}+\frac{\sin x}{1+x^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|\sin \theta-\cos \theta| \mathrm{d} \theta$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\left(\frac{x^{5}}{1+x^{2}}+\sqrt{1-\cos x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\sin x} \mathrm{~d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{n \pi} \sqrt{1-\sin 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{1+\cos 2 x} \mathrm{dx}$ ．
河南大学 2001中国科学院 2002天津大学 2003中国矿业大学 2005青岛大学 2005浙江师范大学 2006湘潭大学 2009浙江大学 2010
+6
第11题计算题
11．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \cos x}{1+\sin ^{4} x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{3+\sin 2 x}{2+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac{\mathrm{~d} \theta}{2+\cos \theta}$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\cos 4 \theta d \theta}{1+\cos ^{2} \theta}$ ．（浙江 大 学 2013）
（7） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} \theta}{1-\sqrt{2} \cos \theta+a}(a>1)$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{~d} \dot{x}}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x}$ ，其中 $\displaystyle a, b$ 为非零常数．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \cos x}{1+\sin ^{4} x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\right)^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{3+\sin 2 x}{2+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac{\mathrm{~d} \theta}{2+\cos \theta}$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（6） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\cos 4 \theta d \theta}{1+\cos ^{2} \theta}$ ．（浙江 大 学 2013）
（7） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} \theta}{1-\sqrt{2} \cos \theta+a}(a>1)$ ．
（8） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{~d} \dot{x}}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x}$ ，其中 $\displaystyle a, b$ 为非零常数．
东南大学 2001中国科学院 2003华东师范大学 2007苏州大学 2007青岛理工 2007徐州师范大学 2009山东大学 2010中山大学 2011
+1
第12题计算题
12．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{2 x^{2}+x \cos x}{1+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．（华北水电 2007）
（2） $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\left(x^{7} \mathrm{e}^{|x|}+\mathrm{e}^{|x|} \cos x\right) \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{x\left(x+\ln \left(x^{2}+1\right)\right)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}+\int_{-1}^{1} x^{2007} \ln \left(x^{2}+\cos x\right) \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} x^{2} \ln x \mathrm{~d} x+\int_{-2002}^{2002} x^{2003} \ln \left(x^{4}+x^{2}+1\right) \mathrm{d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{-2}^{2} x^{2}\left(\frac{\sin ^{3} x}{1+x^{6}}+\sqrt{4-x^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int_{-1}^{1} x\left(1+x^{1997}\right)\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(x^{2004} \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)+\frac{x \arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（10） $\displaystyle \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{x \arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ 。
（11） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x+\cos x}{1+\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（12） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\tan ^{2} x+\tan x \cos ^{2} x\right) \mathrm{d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{2 x^{2}+x \cos x}{1+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．（华北水电 2007）
（2） $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\left(x^{7} \mathrm{e}^{|x|}+\mathrm{e}^{|x|} \cos x\right) \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{x\left(x+\ln \left(x^{2}+1\right)\right)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}+\int_{-1}^{1} x^{2007} \ln \left(x^{2}+\cos x\right) \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} x^{2} \ln x \mathrm{~d} x+\int_{-2002}^{2002} x^{2003} \ln \left(x^{4}+x^{2}+1\right) \mathrm{d} x$ 。
（6） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（7） $\displaystyle \int_{-2}^{2} x^{2}\left(\frac{\sin ^{3} x}{1+x^{6}}+\sqrt{4-x^{2}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（8） $\displaystyle \int_{-1}^{1} x\left(1+x^{1997}\right)\left(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{-x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（9） $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(x^{2004} \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)+\frac{x \arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}\right) \mathrm{d} x$ ．
（10） $\displaystyle \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{x \arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ 。
（11） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x+\cos x}{1+\sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（12） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\tan ^{2} x+\tan x \cos ^{2} x\right) \mathrm{d} x$ ．
山东大学 2000山东大学 2002东南大学 2003陕西师范大学 2003哈工大 2004哈尔滨师范大学 2005上海大学 2006华北水电 2007
+4
第13题证明题
13．证明下列结论．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sin \left(k+\frac{1}{2}\right) t}{\sin \frac{t}{2}} \mathrm{~d} t=\pi,(k=0,1,2, \cdots)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sin (2 n+1) x}{\sin x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\pi} \frac{\sin (2 n-1) x}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ，并计算其值，其中 $\displaystyle n$ 为正整数．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sin \left(k+\frac{1}{2}\right) t}{\sin \frac{t}{2}} \mathrm{~d} t=\pi,(k=0,1,2, \cdots)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sin (2 n+1) x}{\sin x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\pi} \frac{\sin (2 n-1) x}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ，并计算其值，其中 $\displaystyle n$ 为正整数．
东华大学 2004太原科技大学 2006华南理工大学 2008沈阳工业大学 2009
第14题证明题
14．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [-a, a]$ 上的连续函数．证明： $\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{a}(f(x)+f(-x)) \mathrm{d} x$ ，并计算 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\sin x} \mathrm{dx}$ 。
西南交大 2005
第15题证明题
15．设 $\displaystyle f(x)$ 是区间 $\displaystyle [-a, a](a>0)$ 上的连续偶函数．证明 $\displaystyle \int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x$ ，并求下列积分．（1） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{4} x}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ，（2） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{x^{4}}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ，（3） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{3} x}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
西南交大 2005中国科学院 2006南京航空航天大学 2011暨南大学 2012北京科技大学 2014
第16题证明题
16．设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在区间 $\displaystyle [-a, a](a>0)$ 上连续，$\displaystyle g(x)$ 为偶函数，且 $\displaystyle f(x)$ 满足条件： $\displaystyle f(x)+f(-x)=A(A$ 为常数 $\displaystyle )$ ．证明： $\displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) g(x) \mathrm{d} x=A \int_{0}^{a} g(x) \mathrm{d} x$ ，并求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}|\sin x| \arctan \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin ^{4} x}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3）$\displaystyle I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin ^{2} x}{1+\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}|\sin x| \arctan \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{e}^{x} \sin ^{4} x}{1+\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3）$\displaystyle I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin ^{2} x}{1+\mathrm{e}^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．
东北大学 2004西北大学 2005山东科技大学 2008杭州师大 2010西安理工 2011
第17题计算题
17．设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，求证 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(a+b-x) \mathrm{d} x$ ，并计算下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos ^{2} x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x, \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{\sin ^{2} x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2-x}} \mathrm{~d} x$ ．（3） $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin ^{3} x}{\sin ^{3} x+\cos ^{3} x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos ^{2} x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x, \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{\sin ^{2} x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{x}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2-x}} \mathrm{~d} x$ ．（3） $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin ^{3} x}{\sin ^{3} x+\cos ^{3} x} \mathrm{~d} x$ ．
东华大学 2002东华大学 2005清华大学 2006北京交大 2008北京交大 2011
第18题证明题
18．若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \mathrm{d} x$ ，并计算下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（2）$\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（3）$\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x+\int_{-1}^{1} \frac{\cos x+x \sin ^{2} x+1}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x \sec ^{2} x}{1+\sec ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（2）$\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（3）$\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x+\int_{-1}^{1} \frac{\cos x+x \sin ^{2} x+1}{1+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x \sec ^{2} x}{1+\sec ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
哈工大 1999哈工大 2000浙江大学 2000南京航空航天大学 2001四川大学 2001西北大学 2001重庆大学 2001陕西师范大学 2001
+26
第19题计算题
19．计算计算积分．
（1）$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \int_{(k-1) \pi}^{k \pi}|\sin x| \mathrm{d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{n \pi} x|\sin x| \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle n$ 为正整数．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x|\sin n x| \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle n$ 为自然数。
（1）$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \int_{(k-1) \pi}^{k \pi}|\sin x| \mathrm{d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{n \pi} x|\sin x| \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle n$ 为正整数．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x|\sin n x| \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle n$ 为自然数。
扬州大学 2004武汉理工大学 2004太原科技大学 2005南京农业大学 2007广西师范大学 2007燕山大学 2009中山大学 2012
第20题证明题
20．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 连续函数，证明： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) \mathrm{d} x$ ，并计算下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$ 及 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+(\tan x)^{\lambda}} \mathrm{d} x$ ．（宁波大学2009（ $\displaystyle \lambda=2009$ ），北京理工 $\displaystyle 2005(\lambda=\sqrt{3}$ ），中科院2012（ $\displaystyle \lambda=3$ ））
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{2} x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$ 及 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+(\tan x)^{\lambda}} \mathrm{d} x$ ．（宁波大学2009（ $\displaystyle \lambda=2009$ ），北京理工 $\displaystyle 2005(\lambda=\sqrt{3}$ ），中科院2012（ $\displaystyle \lambda=3$ ））
（3） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^{2} x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
燕山大学 2003重庆大学 2003温州大学 2004暨南大学 2005中国科学院 2007中山大学 2007山东师范大学 2008山东理工 2008
+4
第21题证明题
21．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 连续函数，证明： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(|\cos x|) \mathrm{d} x=\frac{1}{4} \int_{0}^{2 \pi} f(|\cos x|) \mathrm{d} x$ ．
第22题计算题
22．计算下列积分．
（1）求 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ 或 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (1+\tan \theta) \mathrm{d} \theta$ ．
（2）设 $\displaystyle I(a)=\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+a x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x, a>0$ ，求 $\displaystyle I^{\prime}(a), I(1)$ ．
（1）求 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ 或 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln (1+\tan \theta) \mathrm{d} \theta$ ．
（2）设 $\displaystyle I(a)=\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+a x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x, a>0$ ，求 $\displaystyle I^{\prime}(a), I(1)$ ．
东华大学 2001南京大学 2003武汉理工大学 2004深圳大学 2004南京航空航天大学 2005中国科学院 2006南京农业大学 2006电子科技大学 2007
+10
第23题证明题
23．设 $\displaystyle f(x)$ 为连续函数，且满足 $\displaystyle f(x)+f(y)=f(x y), x>0, y>0$ ，证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(1+x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{8} f(2)$ ．
中国地质大学 2004
第24题证明题
24．计算积分或证明等式．
（1）计算 $\displaystyle J(m, n)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{m} x \cos ^{n} x \mathrm{~d} x, m, n \in \mathbf{Z}^{+}$。
（2）计算 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．（重庆大学 2013，华南师大 2007，兰州大学 2003，北京科技，中科大 2011（ $\displaystyle n=7$ ））
（3）证明： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \cos ^{n} x \mathrm{~d} x=2^{-n} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x, n \in \mathbf{Z}^{+}$。（哈 工 大，沈阳 工 大 2008）
（4）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{(2 n)!!}{(2 n-1)!!}\right)^{2} \frac{1}{(2 n+1)}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{(2 n)!!}{(2 n-1)!!}\right)^{2} \frac{1}{2 n}=\frac{\pi}{2}$ ．
（1）计算 $\displaystyle J(m, n)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{m} x \cos ^{n} x \mathrm{~d} x, m, n \in \mathbf{Z}^{+}$。
（2）计算 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．（重庆大学 2013，华南师大 2007，兰州大学 2003，北京科技，中科大 2011（ $\displaystyle n=7$ ））
（3）证明： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x \cos ^{n} x \mathrm{~d} x=2^{-n} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x, n \in \mathbf{Z}^{+}$。（哈 工 大，沈阳 工 大 2008）
（4）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{(2 n)!!}{(2 n-1)!!}\right)^{2} \frac{1}{(2 n+1)}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{(2 n)!!}{(2 n-1)!!}\right)^{2} \frac{1}{2 n}=\frac{\pi}{2}$ ．
北京交大 2005北京交大 2007沈阳工业大学 2008
第25题未分类
25．设 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} \mathrm{~d} x$ ．证 明 ：（1）$\displaystyle I_{n}=\frac{2 n}{2 n+1} I_{n-1}, n=2,3, \cdots$ ，且 $\displaystyle I_{n} \geqslant \frac{2}{3 \sqrt{n}}, n=1,2, \cdots$ ；
（2） $\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} \mathrm{~d} x \geqslant \frac{4}{3 \sqrt{n}}$ ．
（2） $\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} \mathrm{~d} x \geqslant \frac{4}{3 \sqrt{n}}$ ．
华东师范大学 2000扬州大学 2007天津大学 2009山东大学 2011
第26题证明题
26．设 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x, n$ 为自然数．证明：（1）$\displaystyle I_{n}=\frac{n-1}{n+2} I_{n-2}, n \geqslant 3$ ；（2）$\displaystyle I_{n} \leqslant I_{n-1} \leqslant I_{n-2}$ ；
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{I_{n}}{I_{n-1}}=1$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{I_{n}}{I_{n-1}}=1$ ．
南京理工大学 2009
第27题计算题
27．求下列积分．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n} \mathrm{~d} x(m, n$ 都是自然数）．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} x(1-x)^{2006} \mathrm{~d} x$ 。
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n} \mathrm{~d} x(m, n$ 都是自然数）．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} x(1-x)^{2006} \mathrm{~d} x$ 。
上海师范大学 2006中国科学院 2006
第28题证明题
28．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内连续，$\displaystyle a>0$ ．证明： $\displaystyle \int_{\frac{1}{a}}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{\frac{1}{a}}^{a}\left(f(x)+\frac{1}{x^{2}} f\left(\frac{1}{x}\right)\right) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是连续函数，证明： $\displaystyle \int_{1}^{a} f\left(x^{2}+\frac{a^{2}}{x^{2}}\right) \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\int_{1}^{a^{2}} f\left(x+\frac{a^{2}}{x}\right) \frac{1}{2 x} \mathrm{~d} x$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内连续，$\displaystyle a>0$ ．证明： $\displaystyle \int_{\frac{1}{a}}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{\frac{1}{a}}^{a}\left(f(x)+\frac{1}{x^{2}} f\left(\frac{1}{x}\right)\right) \mathrm{d} x$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是连续函数，证明： $\displaystyle \int_{1}^{a} f\left(x^{2}+\frac{a^{2}}{x^{2}}\right) \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\int_{1}^{a^{2}} f\left(x+\frac{a^{2}}{x}\right) \frac{1}{2 x} \mathrm{~d} x$ ．
华中科技 2000昆明理工大学 2011
第29题计算题
29．计算 $\displaystyle I=\int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(1+x-\frac{1}{x}\right) \mathrm{e}^{x+\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x$ ．
华东理工大学 2005
第30题证明题
30．证明下列结论．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0, a]$ 上严格递增且可导，$\displaystyle f(0)=0, g(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的反函数，证明： $\displaystyle \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{f(a)}(a-g(x)) \mathrm{d} x$.
（2）设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 是由 $\displaystyle y-\frac{1}{2} \sin y=2 x$ 所确定的隐函数，证明 $\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上严格递增，并求 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) d x$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 可导，$\displaystyle f(0)=0$ ．若 $\displaystyle f(x)$ 的反函数 $\displaystyle g(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=x^{2} \mathrm{e}^{x}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0, a]$ 上严格递增且可导，$\displaystyle f(0)=0, g(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的反函数，证明： $\displaystyle \int_{0}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{f(a)}(a-g(x)) \mathrm{d} x$.
（2）设函数 $\displaystyle y=f(x)$ 是由 $\displaystyle y-\frac{1}{2} \sin y=2 x$ 所确定的隐函数，证明 $\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上严格递增，并求 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) d x$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 可导，$\displaystyle f(0)=0$ ．若 $\displaystyle f(x)$ 的反函数 $\displaystyle g(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=x^{2} \mathrm{e}^{x}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
武汉大学 1992电子科技大学 2014首都师范大学 2014
第31题证明题
31．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有三阶连续导数，证明：
$$
f(x)-\left(f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) x^{2}\right)=\frac{1}{2} \int_{0}^{x} f^{\prime \prime \prime}(t)(x-t)^{2} \mathrm{~d} t .
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶导函数连续，$\displaystyle c=\frac{a+b}{2}$ ，证明：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) f(c)+\frac{1}{2} \int_{c}^{b}(b-x)^{2} f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x+\frac{1}{2} \int_{a}^{c}(a-x)^{2} f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
（3）设 $\displaystyle f(x, y)$ 有处处连续的二阶偏导数，$\displaystyle f_{x}^{\prime}(0,0)=f_{y}^{\prime}(0,0)=f(0,0)=0$ ．证明：
$$
f(x, y)=\int_{0}^{1}(1-t)\left(x^{2} f_{11}(t x, t y)+2 x y f_{12}(t x, t y)+y^{2} f_{22}(t x, t y)\right) \mathrm{d} t . }
$$
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶导函数连续．证明：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}+\frac{1}{2} \int_{c}^{b}(x-a)(x-b) f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上有三阶连续导数，证明：
$$
f(x)-\left(f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) x^{2}\right)=\frac{1}{2} \int_{0}^{x} f^{\prime \prime \prime}(t)(x-t)^{2} \mathrm{~d} t .
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶导函数连续，$\displaystyle c=\frac{a+b}{2}$ ，证明：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) f(c)+\frac{1}{2} \int_{c}^{b}(b-x)^{2} f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x+\frac{1}{2} \int_{a}^{c}(a-x)^{2} f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
（3）设 $\displaystyle f(x, y)$ 有处处连续的二阶偏导数，$\displaystyle f_{x}^{\prime}(0,0)=f_{y}^{\prime}(0,0)=f(0,0)=0$ ．证明：
$$
f(x, y)=\int_{0}^{1}(1-t)\left(x^{2} f_{11}(t x, t y)+2 x y f_{12}(t x, t y)+y^{2} f_{22}(t x, t y)\right) \mathrm{d} t . }
$$
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶导函数连续．证明：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}+\frac{1}{2} \int_{c}^{b}(x-a)(x-b) f^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
华中科技 2003华中科技 2004西安电子科技大学 2009
第32题计算题
32．求下列积分．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\ln x-\int_{1}^{\mathrm{e}} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)=3 x^{2}+2 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 连续， $\displaystyle \int_{0}^{1} t f(2 x-t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \arctan x^{2}, f(1)=1$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 连续， $\displaystyle \int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{d} t=1-\cos x$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（5）设 $\displaystyle F(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的一个原函数，$\displaystyle F(0)=1, F(x) f(x)=\cos 2 x$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{\pi}|f(x)| \mathrm{d} x$ ．
（6）设 $\displaystyle f^{\prime}(\tan x)=\sin x$ ，且 $\displaystyle f(0)=1$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（8）设 $\displaystyle F(x)>0$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的一个原函数，$\displaystyle F(0)=1, F(x) f(x)=\sin ^{2} 2 x$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（9）设 $\displaystyle f(2)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(2)=0, \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=1$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} f^{\prime \prime}(2 x) \mathrm{d} x$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)=\ln x-\int_{1}^{\mathrm{e}} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)=3 x^{2}+2 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 连续， $\displaystyle \int_{0}^{1} t f(2 x-t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \arctan x^{2}, f(1)=1$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 连续， $\displaystyle \int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{d} t=1-\cos x$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（5）设 $\displaystyle F(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的一个原函数，$\displaystyle F(0)=1, F(x) f(x)=\cos 2 x$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{\pi}|f(x)| \mathrm{d} x$ ．
（6）设 $\displaystyle f^{\prime}(\tan x)=\sin x$ ，且 $\displaystyle f(0)=1$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（8）设 $\displaystyle F(x)>0$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的一个原函数，$\displaystyle F(0)=1, F(x) f(x)=\sin ^{2} 2 x$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（9）设 $\displaystyle f(2)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(2)=0, \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=1$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} f^{\prime \prime}(2 x) \mathrm{d} x$ 。
天津大学 2000西北工大 2002西南大学 2002上海师范大学 2003上海大学 2005福建师范大学 2007福建师范大学 2008聊城大学 2008
+7
第33题求解题
33．求函数表达式．
（1）已知 $\displaystyle f(x)=x \mathrm{e}^{-x}+2 \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续，且 $\displaystyle f(x)=1+x \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（3）已知 $\displaystyle f(x)=x^{2}-x \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t+2 \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 的值．
（4）设 $\displaystyle f(x)=3 x-\sqrt{1-x^{2}} \int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 。
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，$\displaystyle f(1)=3$ ．若 $\displaystyle f(x)$ 的反函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{2}^{f(1+\ln x)} \varphi(t) \mathrm{d} t=x \ln x$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微，且满足 $\displaystyle \int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t=\frac{x}{3} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t, x>0$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（1）已知 $\displaystyle f(x)=x \mathrm{e}^{-x}+2 \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续，且 $\displaystyle f(x)=1+x \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（3）已知 $\displaystyle f(x)=x^{2}-x \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t+2 \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 的值．
（4）设 $\displaystyle f(x)=3 x-\sqrt{1-x^{2}} \int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 。
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，$\displaystyle f(1)=3$ ．若 $\displaystyle f(x)$ 的反函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{2}^{f(1+\ln x)} \varphi(t) \mathrm{d} t=x \ln x$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微，且满足 $\displaystyle \int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t=\frac{x}{3} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t, x>0$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
郑州大学 2003西安电子科技大学 2007云南大学 2008华南师大 2010中国计量学院 2011武汉科技大学 2012
第34题计算题
34．求函数值．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上二阶连续可导，且 $\displaystyle f(\pi)=2$ ，满足 $\displaystyle \int_{0}^{\pi}\left(f(x)+f^{\prime \prime}(x)\right) \sin x \mathrm{~d} x=5$ 。试计算 $\displaystyle f(0)$的值．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 二二阶连续可导，$\displaystyle f^{\prime}(\pi)=3, \int_{0}^{\pi}\left(f(x)+f^{\prime \prime}(x)\right) \cos x \mathrm{~d} x=2$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上二阶连续可导，且 $\displaystyle f(\pi)=2$ ，满足 $\displaystyle \int_{0}^{\pi}\left(f(x)+f^{\prime \prime}(x)\right) \sin x \mathrm{~d} x=5$ 。试计算 $\displaystyle f(0)$的值．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 二二阶连续可导，$\displaystyle f^{\prime}(\pi)=3, \int_{0}^{\pi}\left(f(x)+f^{\prime \prime}(x)\right) \cos x \mathrm{~d} x=2$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．
华东师范大学 1998哈工大 2003陕西师范大学 2003上海理工 2004西南大学 2009南京大学 2011西北师范大学 2014
第35题计算题
35．求下列积分．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}1+x^{2}, x \leqslant 0, \\ \mathrm{e}^{-x}, x>0,\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle \int_{1}^{3} f(x-2) \mathrm{d} x$ ．
（2）当 $\displaystyle x>0$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{\ln x}{2}\right)=\sqrt{x}$ 且 $\displaystyle f(g(x))=(1+x)^{\frac{1}{x^{2}}}$ ，计算积分 $\displaystyle \int_{1}^{2} g(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x+1}, x \geqslant 0, \\ \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}, x<0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x-1) \mathrm{d} x$ 。
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}1+x^{2}, x \leqslant 0, \\ \mathrm{e}^{-x}, x>0,\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle \int_{1}^{3} f(x-2) \mathrm{d} x$ ．
（2）当 $\displaystyle x>0$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{\ln x}{2}\right)=\sqrt{x}$ 且 $\displaystyle f(g(x))=(1+x)^{\frac{1}{x^{2}}}$ ，计算积分 $\displaystyle \int_{1}^{2} g(x) \mathrm{d} x$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x+1}, x \geqslant 0, \\ \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}, x<0,\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x-1) \mathrm{d} x$ 。
华南理工大学 2001西安电子科技大学 2002西安电子科技大学 2005东南大学 2006
第36题证明题
36．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left[-\sqrt{a^{2}+b^{2}}, \sqrt{a^{2}+b^{2}}\right]$ 上连续．证明：
$$
\int_{0}^{2 \pi} f(a \cos \theta+b \sin \theta) \mathrm{d} \theta=2 \int_{0}^{\pi} f\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}} \cos \lambda\right) \mathrm{d} \lambda .
$$
$$
\int_{0}^{2 \pi} f(a \cos \theta+b \sin \theta) \mathrm{d} \theta=2 \int_{0}^{\pi} f\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}} \cos \lambda\right) \mathrm{d} \lambda .
$$
第37题证明题
37．证明或求解下列问题．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x} \frac{\ln (1+t)}{t} \mathrm{~d} t,(x>0)$ 。证明：$\displaystyle f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{2}(\ln x)^{2}$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1+t} \mathrm{~d} t,(x>0)$ ．求 $\displaystyle f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right), f(2)+f\left(\frac{1}{2}\right)$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x} \frac{\ln (1+t)}{t} \mathrm{~d} t,(x>0)$ 。证明：$\displaystyle f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{2}(\ln x)^{2}$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1+t} \mathrm{~d} t,(x>0)$ ．求 $\displaystyle f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right), f(2)+f\left(\frac{1}{2}\right)$ ．
山东科技大学 2006安徽师大 2007安徽师大 2012