5.2 反常积分敛散性的判定

1．讨论下列反常积分的敛散性．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}\right] \mathrm{d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{1+x}\right] \mathrm{d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\sin \frac{1}{x}\right] \mathrm{d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{~d} x}{\sin ^{p} x \cos ^{q} x}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \ln \left(\cos \frac{1}{x}+\sin \frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ ．

2．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛与条件收敛）．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} x^{2} \sin x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sqrt{x}}{100+\sqrt{x}} \cos x \mathrm{~d} x$ 。
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sqrt{x} \sin x}{1+x} \mathrm{~d} x$ ．

3．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散）．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．

4．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散）．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ 。
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos x}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ 。（沈阳工大 2014，西安理工 2011，太原科技 2006，青岛大学 2009（ $\displaystyle p=1$ ），南京师大2002（ $\displaystyle p=2^{-1}$ ））
（3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos 2 x}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ ．
（4） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\alpha}} \sin \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（5） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin \sqrt{x}}{x^{q}} \mathrm{~d} x, q \geqslant 2^{-1}$ ．
（6） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \sin x^{\alpha} \mathrm{d} x$ 。
（7） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} x \sin x^{4} \mathrm{~d} x$ 。

5．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散）
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{x \sin x}{1+x^{p}} \mathrm{~d} x, p \geqslant 0$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x+\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x$ ．

6．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散）
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x^{p}}{x^{q}} \mathrm{~d} x, p>0$ ．（中南大学2003，华南师大2005（ $\displaystyle p>0, q>0$ ））
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x^{2}}{x^{q}} \mathrm{~d} x$ 。

7．讨论下列反常积分的敛散性．
（1） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x(\alpha>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x(\alpha>0)$ 。西南交大 2006）
（3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{|\cos x|}{x} \mathrm{~d} x$ ．
（4） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x} \mathrm{~d} x, \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos ^{2} x}{x} \mathrm{~d} x$ ．

8．设 $\displaystyle f(x)=\ln \left(1+\frac{\sin x}{x^{p}}\right)$ ，讨论不同的 $\displaystyle p$ 对 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上积分的敛散性．

9．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛、条件收敛和发散）．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin \left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ ．

10．讨论下列反常积分的绝对收敛和条件收敛性．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left[\left(1-\frac{\sin x}{x}\right)^{-\alpha}-1\right] \mathrm{d} x(\alpha>0)$ 。北京理工 2007，北京大学 $\displaystyle \left(\alpha=\frac{1}{3}\right)$ ）
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left\{\left[1-\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}\right]^{a}-1\right\} \mathrm{d} x$ 。

11．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛与条件收敛）
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x$ 。（南航 2012，地质大学 2003，广西大学 2003（ $\displaystyle \alpha=2$ ），杭州师 大 2009／2008，昆明理工 2006，计量学院 2007）
（2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x \cdot \arctan x}{x^{p}} \mathrm{~d} x(p>0)$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x \arctan x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．

12．判断下列反常积分的玫散性．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{\ln (1+x)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln \left(1+x^{\alpha}\right)}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ ．

13．讨论下列反常积分的敛散性（包括绝对收敛与条件收敛）．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{x} \sin x \mathrm{~d} x$ 。
（2） $\displaystyle \int_{e}^{+\infty} \frac{\ln \ln x}{\ln x} \cos x \mathrm{~d} x$ ．

14．证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \ln \left(1+\sin ^{2} x\right) \sin (\sin x) \mathrm{d} x=0$ ，并讨论 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln \left(1+\sin ^{2} x\right) \sin (\sin x)}{x} \mathrm{~d} x$ 的绝对收敛和条件收敛性．

15．讨论积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x|\sin x|}$ 的敛散性．

16．讨论下列积分的敛散性．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha}|\sin x|}(\alpha>0)$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{\alpha} \sin ^{2} x}, \alpha \in(-\infty,+\infty)$ ．

17．讨论积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{\sin x} \sin 2 x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 的绝对收敛和条件收敛．

18．讨论下列积分的敛散性．
（1） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} \mathrm{~d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
（3） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x} \cos \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

19．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \forall x \in[1,+\infty)$ ，有 $\displaystyle f(x)>0, \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln f(x)}{\ln x}=-\lambda$ ，试证：若 $\displaystyle \lambda>1$ ，则 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．

用此结论讨论积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left(1-\frac{p \ln x}{x}\right)^{x} \mathrm{~d} x$ 的玫散性．

20．设 $\displaystyle f(x)$ 为定义在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上的正值连续函数．证明若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x+1)}{f(x)}=q<1$ ，则反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。

21．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续可导，$\displaystyle f^{\prime}(0)>0$ ．证明：积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(x)-f(0)}{x^{p}} \mathrm{~d} x,(p>1)$ 当 $\displaystyle 1<p<2$ 时，收敛；当 $\displaystyle p \geqslant 2$ 时，发散．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续， 0 为 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的唯一零点，$\displaystyle f_{+}^{\prime}(0)>0$ ，证明积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x}{f(x)} \mathrm{d} x$ 收玫．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 可微，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 单调增加无上界，证明反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+f^{2}(x)} \mathrm{dx}$ 收敛。

22．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 单调递减，$\displaystyle f(x)>0$ ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 和 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 的敛散性相同．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 单调递减，$\displaystyle f(x)>0$ ．证明： $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 和 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ 的敛散性相同．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 连续可导，$\displaystyle f^{\prime}(x) \leqslant 0$ ，极 限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．证 明：无 穷 积 分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f^{\prime}(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 收敛。

23．判断下列积分的玫散性．
（1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x^{p}\left(x^{p}+\sin x\right)} \mathrm{d} x$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}+\sin x} \mathrm{~d} x$ ．

24．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 单调递增无上界．证明：反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \cos (f(x)) \mathrm{d} x$ 收敛．

25．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 连续，又设极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A \neq 0$ ．证明：无穷积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \sin x \mathrm{~d} x$ 发散．

26．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续函数，且当 $\displaystyle x \rightarrow+\infty$ 时，$\displaystyle f(x)$ 递减地趋于 0 ，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛的充要条件为 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 收敛．（北京化工 2007，广西大学2008（充分条件），广西师大 2001，江苏大学 2008，北京大学）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续可导，$\displaystyle f^{\prime}(x)<0$ ，积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 收敛。哈工大 2000）
（3）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续可微，且 $\displaystyle g(x)$ 有界，$\displaystyle f^{\prime}(x) \leqslant 0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．证明积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 收敛。深圳大学 2012）

27．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant 0, f(0)>0$ ，证明若积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)+f^{\prime}(x)} \mathrm{d} x$ 收玫，则 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x$ 也收敛．

28．证明下列结论．
（1）若 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 也收敛．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上非负连续函数，若 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 也收敛．

29．若瑕积分 $\displaystyle \int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收敛（ $\displaystyle a$ 是㻓点），那么 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。并举例说明命题的逆不成立．

30．证明：（1） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{x+n \pi} \mathrm{~d} x$ ；（2） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x<\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ ．

31．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \infty)$ 上连续， $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 收敛，$\displaystyle g(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{g(x)}{x}=f(0)$ ； （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{g^{2}(x)}{x}=0$ ；（3）反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{g^{2}(x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ 收玫，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{g^{2}(x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x \leqslant 4 \int_{0}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 。

32．设函数 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上，并且 $\displaystyle f(x) \geqslant 0, b>a$ 为常数．
（1）举例说明：反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，但 $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 不收敛；反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 收敛，但 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 不收敛。
（2）证明：若 $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。
（3）假设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有界，且积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明：对任意常数 $\displaystyle p>1, \int_{a}^{b} f^{p}(x) \mathrm{d} x$收敛．

33．举例．
（1）举一个非负函数 $\displaystyle f(x)$ ，它在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上积分收玫，但极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 不存在．
（2）作一非负连续且无界的函数使无穷积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛．

34．讨论下列问题．
（1）设反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 和 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 收玫，问积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 是否一定收玫？．
（2）设 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=1$ ，问积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 是否一定收敛？若收敛，请证明之；若不一定收敛，请举出反例．
（3）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续，并有 $\displaystyle f(x) \geqslant 0$ 且 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。这一结论是否成立？（若成立，需给出证明；若认为不一定成立，需给出反例）。西安交大 1997）

35．判断题．
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上的㻓积分均存在，则乘积 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上的瑕积分 必存在。