📝 清华大学 2020年强基真题
第1题
已知实数 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ ，则 $\displaystyle x^{2}+x y-y^{2}$ 的最大值为 。
第2题
非等边三角形 $\displaystyle A B C$ 中，$\displaystyle B C=A C, O, P$ 分别为 $\displaystyle \triangle A B C$ 的外心和内心，$\displaystyle D$ 在 $\displaystyle B C$ 上且 $\displaystyle O D \perp B P$ ，下列选项正确的是 。
第3题
已知 $\displaystyle A, B, C$ 是集合 $\displaystyle \{1,2, \cdots, 2020\}$ 的子集，且满足 $\displaystyle A \subseteq B \subseteq C$ ，则这样的有序组 $\displaystyle (A, B, C)$ 的总数为 。
第4题
$\displaystyle P$ 为椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 上的动点，$\displaystyle A(1,0), B(1,1)$ ，求 $\displaystyle |P A|+|P B|$ 的最值 。
第5题
设 $\displaystyle \triangle A B C$ 的边长为 $\displaystyle a, b, c$ ，且均为正整数，若 $\displaystyle \triangle A B C$ 的面积为有理数，则 $\displaystyle a$ 的值可以等于 。
第6题
已知 $\displaystyle A, B$ 分别为双曲线 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$ 的左右顶点，$\displaystyle I$ 为该双曲线上不同于 $\displaystyle A, B$ 的任意一点，设 $\displaystyle \angle I A B=\alpha, \angle I B A=\beta, \triangle I A B$ 的面积为 $\displaystyle S$ ，则 。
第8题
R，$\displaystyle \triangle A B C$ 中，$\displaystyle \angle A B C=90^{\circ}, A B=\sqrt{3}, B C=1, \frac{\overrightarrow{P A}}{|\overrightarrow{P A}|}+\frac{\overrightarrow{P B}}{|\overrightarrow{P B}|}+\frac{\overrightarrow{P C}}{|\overrightarrow{P C}|}=\overrightarrow{0}$ ，以下正确的是 。
第9题
$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \arctan \frac{2}{k^{2}}=(\quad)$ 。
第11题
$\displaystyle |\vec{a}| \leqslant 1,|\vec{b}| \leqslant 1,|\vec{a}+2 \vec{b}+\vec{c}|=|\vec{a}-2 \vec{b}|$ ，则 $\displaystyle |\vec{c}|$ 的最值为（）。
第12题
$\displaystyle \sin \left(\arctan 1+\arcsin \frac{\sqrt{5}}{5}+\arccos \frac{3 \sqrt{10}}{10}\right)$ 等于（ ）。
第14题
已知函数 $\displaystyle f(x)=\frac{2 \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}+\sin x$ ，在区间 $\displaystyle [-2,2]$ 上的最大值为 $\displaystyle M$ ，最小值为 $\displaystyle m$ ，则（ ）。
第15题
已知函数 $\displaystyle f(x)$ 的图像如图所示，设 $\displaystyle S(t)(a \leq t \leq b)$ 是由曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 与直线 $\displaystyle x=a, x=t$ 及 $\displaystyle x$ 轴围成的平面图形的面积，则在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上（ ）。
A. $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的最大值是 $\displaystyle f^{\prime}(a)$ ，最小值是 $\displaystyle f^{\prime}(c)$B. $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的最大值是 $\displaystyle f^{\prime}(c)$ ，最小值是 $\displaystyle f^{\prime}(b)$C. $\displaystyle S^{\prime}(t)$ 的最大值是 $\displaystyle S^{\prime}(a)$ ，最小值是 $\displaystyle S^{\prime}(c)$D. $\displaystyle S^{\prime}(t)$ 的最大值是 $\displaystyle S^{\prime}(c)$ ，最小值是 $\displaystyle S^{\prime}(b)$ 
第16题
设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 的前 $\displaystyle n$ 项和为 $\displaystyle S_{n}$ ，若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足：对任意 $\displaystyle n \in N^{+}$，存在 $\displaystyle m \in N^{+}$，使得 $\displaystyle S_{n}=a_{m}$ ， 则称 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为 $\displaystyle T$ 数列．下列命题中正确的有 。
第18题
已知平面向量 $\displaystyle a, b, c$ 满足 $\displaystyle |a| \leq 2,|b| \leq 1,|a-2 b-c| \leq|a+2 b|$ ，则对所有可能的 $\displaystyle c,|c|$ 的 。
第19题
在 $\displaystyle \triangle A B C$ 中，$\displaystyle A C=1, B C=\sqrt{3}, A B=2$ ，设 $\displaystyle M$ 为 $\displaystyle A B$ 中点，现将 $\displaystyle \triangle A B C$ 沿 $\displaystyle C M$ 折起，使得四面体 $\displaystyle B-A C M$ 的体积为 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{12}$ ，则折起后 $\displaystyle A B$ 的长度可能为 。
第20题
设复数 $\displaystyle z_{1}, z_{2}$ 在复平面内对应的点分别为 $\displaystyle Z_{1}, Z_{2}, O$ 为坐标原点，若 $\displaystyle \left|z_{1}\right|=1,5 z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-2 z_{1} z_{2}=0$ ，则 $\displaystyle \triangle O Z_{1} Z_{2}$ 的面积为 。
第22题
已知实数 $\displaystyle x, y, z$ 满足 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{9} x^{3}-\frac{1}{3} y^{2}-y=1 \\ \frac{1}{9} y^{3}-\frac{1}{3} z^{2}-z=1 \\ \frac{1}{9} z^{3}-\frac{1}{3} x^{2}-x=1\end{array}\right.$ ，则 。
第23题
设实数 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{21}$ 满足 $\displaystyle 0 \leq x_{i} \leq 1(1,2, \cdots, 21)$ ，则 $\displaystyle \sum_{i=1}^{21} \sum_{k=1}^{21}\left|x_{i}-x_{k}\right|$ 的最大值为（ ）。
第24题
在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为格点，且所有顶点都是格点的多边形称为格点多边形，若一个格点多边形的内部有 8 个格点，边界上有 10 个格点，则这个格点多边形的面积为（ ）。
第25题
设复数 $\displaystyle z$ 满足 $\displaystyle |3 z-7 \mathrm{i}|=3$ ，则 $\displaystyle \left|\frac{z^{2}-2 z+2}{z-1+\mathrm{i}}\right|$ 的（ ）。
第26题
设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 为锐角，且 $\displaystyle \cos (\alpha+\beta)=\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}$ ，则 $\displaystyle \tan \alpha$ 的最大值为（ ）。
第27题
已知函数 $\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{x}+a(x-1)+b$ 在区间 $\displaystyle [1,3]$ 上存在零点，则 $\displaystyle a^{2}+b^{2}$ 的最小值为（ ）。
第28题
设 $\displaystyle A, B$ 分别是 $\displaystyle x$ 轴，$\displaystyle y$ 轴上的动点，若以 $\displaystyle A B$ 为直径的圆 $\displaystyle C$ 与直线 $\displaystyle 2 x+y-4=0$ 相切，则圆 $\displaystyle C$面积的最小值为（ ）。
第29题
已知实数 $\displaystyle a, b$ 满足 $\displaystyle a^{3}+b^{3}+3 a b=1$ ，设 $\displaystyle a+b$ 的所有可能值构成的集合为 $\displaystyle M$ ，则（ ）。
第30题
设 $\displaystyle x, y$ 为不同的正整数，给出以下三个结论，其中正确结论的个数是（ ）。 （1）$\displaystyle y^{2}+2 x$ 与 $\displaystyle x^{2}+2 y$ 不可能同时为完全平方数 （2）$\displaystyle y^{2}+4 x$ 与 $\displaystyle x^{2}+4 y$ 不可能同时为完全平方数 （3）$\displaystyle y^{2}+6 x$ 与 $\displaystyle x^{2}+6 y$ 不可能同时为完全平方数
第31题
设随机变量 $\displaystyle X$ 的概率分布列为 $\displaystyle P(x=k)=\frac{1}{2^{k}}(k=1,2,3, \cdots)$ ，$\displaystyle Y$ 表示 $\displaystyle X$ 被 3 除的余数，则随机 变量 $\displaystyle Y$ 的数学期望 $\displaystyle E Y$ 等于 ）。
第32题
已知数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 的前 $\displaystyle n$ 项和 $\displaystyle S_{n}=(-1)^{n} \cdot a_{n}+\frac{1}{2^{n}}+n-3$ ，且实数 $\displaystyle t$ 满足 $\displaystyle \left(t-a_{n}\right)\left(t-a_{n+1}\right)\lt 0$ ，则 $\displaystyle t$ 的取值范围是 。
第33题
《红楼梦》，《三国演义》，《水游传》和《西游记》四部书分列在四层架子的书柜的不同层上．小赵，小钱，小孙，小李分别借阅了四部书中的一部，现已知：小钱借阅了第一层的书籍，小赵借阅了第二层的书籍，小孙借阅的是《红楼梦》，《三国演义》在第四层，则 。
第34题
已知数列 $\displaystyle A: a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{20}$ 满足 $\displaystyle a_{0}=0,\left|a_{i}\right|=\left|a_{i-1}+1\right|(i=1,2, \cdots, 20)$ ，则 。 A ．存在这样的数列 $\displaystyle A$ ，使得 $\displaystyle \left|a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{20}\right|=0$ B．存在这样的数列 $\displaystyle A$ ，使得 $\displaystyle \left|a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{20}\right|=2$ C．存在这样的数列 $\displaystyle A$ ，使得 $\displaystyle \left|a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{20}\right|=10$ D．存在这样的数列 $\displaystyle A$ ，使得 $\displaystyle \left|a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{20}\right|=12$
第35题
设多项式 $\displaystyle f(x)$ 的各项系数都是非负实数，且 $\displaystyle f(1)=f^{\prime}(1)=f^{\prime \prime}(1)=f^{\prime \prime \prime}(1)=1$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 的常数项的最小值为 ）。