7.5 多元函数微分的应用

1．求下列函数的极值．
（1）$\displaystyle f(x, y)=(x-y+1)^{2}$ ．
（2）$\displaystyle f(x, y)=x^{2} y(4-x-y), x>0, y>0$ ．
（3）$\displaystyle f(x, y)=\mathrm{e}^{2 x}\left(x+y^{2}+2 y\right) \cdot($ 山东师大 2008）
（4）$\displaystyle f(x, y)=x^{3}+2 x^{2}-2 x y+y^{2}$ ．
（5）$\displaystyle w=x+y+z+\frac{1}{x y z}$ ．
（6）$\displaystyle w=\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{e}^{-\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right)}$ ．

2．证明函数 $\displaystyle f(x, y)=\left(1+\mathrm{e}^{y}\right) \cos x-y \mathrm{e}^{y}$ 有无穷多个极大值，但无极小值．

3．设 $\displaystyle f(x, y)=x^{3}+3 x y-y^{2}-6 x+2 y+1$ ，求 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (-2,2)$ 处的二阶带佩亚型诺余项的泰勒公式．问 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 上有哪些关于极值的判别点，这些点是否为极值点，说明理由．

4．求下列隐函数的极值．
（1）求由方程 $\displaystyle x^{2}+2 x y+2 y^{2}=1$ 所确定的隐函数 $\displaystyle y=f(x)$ 的极值．
（2）求由方程 $\displaystyle 2 x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y-2 x-2 y-4 z+4=0$ 所确定的隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 的极值．
（3）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $\displaystyle x^{2}-6 x y+10 y^{2}-2 y z-z^{2}+18=0$ 所确定的隐函数，求 $\displaystyle z=z(x, y)$ 的极值点和极值．

5．证明下列结论．
（1）函数 $\displaystyle F(x, y)$ 在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某个邻域内有连续的二阶偏导数， $\displaystyle F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0, F_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)<0$ 。证明由方程 $\displaystyle F(x, y)=0$ 确定的隐函数 $\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 点取得极小值．
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle x, y \geqslant 0$ 上连续，在 $\displaystyle x, y>0$ 内可微，且存在唯一点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ ，使得 $\displaystyle f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0$ 。设 $\displaystyle f\left(x_{0}, y_{0}\right)>0, f(x, 0)=f(0, y)=0(x, y \geqslant 0), ~ \lim _{x^{2}+y^{2} \rightarrow \infty} f(x, y)=0$ 。证明 $\displaystyle f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle x, y \geqslant 0$ 上的最大值．
（3）设 $\displaystyle f(x, y) \in C^{2}\left(\mathbf{R}^{2}\right)$ ，对 $\displaystyle \forall(x, y) \in \mathbf{R}^{2}, f_{x x}(x, y)+f_{y y}(x, y)>0$ ，求证：$\displaystyle f(x, y)$ 没有极大值点．

6．设 $\displaystyle f(x), x \in \mathbf{R}^{n}$ 存在二阶连续偏导数，$\displaystyle \nabla f(x)$ 表示 $\displaystyle f(x)$ 的梯度，$\displaystyle \nabla^{2} f(x)=\left(h_{i j}\right)_{n \times n}$ 表示 $\displaystyle f(x)$的 Hesse 矩阵，其中 $\displaystyle h_{i j}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}}(i, j=1,2, \cdots, n)$ ．
（1）设 $\displaystyle a \in \mathbf{R}^{n}$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的稳定点，即：$\displaystyle \nabla f(a)=0$ ．如果 $\displaystyle \nabla^{2} f(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 处正定，证明 $\displaystyle a$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的一个局部极小值点。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 的 Hesse 矩阵在所有 $\displaystyle x \in \mathbf{R}^{n}$ 点处正定，证明 $\displaystyle f(x)$ 至多有一个稳定点．

7．求下列函数的最大值与最小值．
（1）$\displaystyle f(x, y)=x^{2}-x y+y^{2}+x-2 y$.
（2）$\displaystyle f(x, y)=(x+y) \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}}$ ．

8．确定下列函数在圆形区域 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上的最大值和最小值．
（1）$\displaystyle f(x, y)=4 x+x y^{2}+y^{2}$ ．
（2）$\displaystyle f(x, y)=a x^{2}+2 b x y+c y^{2}\left(b^{2}-a c>0, a, b, c>0\right)$ 。厦门大学 2010 ，大连理工 2006 ，上海财大 2002）
（3）$\displaystyle f(x, y)=3 x^{2}-14 x y+y^{2}-2$ ．
（4）$\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}-a x(a>0)$ ．

9．确定下列函数在指定区域的最大值和最小值．
（1）$\displaystyle f(x, y)=2 x^{2}+12 x y+y^{2}$ 在闭区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+4 y^{2} \leqslant 25\right\}$ 的最小值．
（2）$\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}$ 在曲线 $\displaystyle (x-\sqrt{2})^{2}+(y-\sqrt{2})^{2}=9$ 所围成的平面闭区域 $\displaystyle \bar{D}$ 上的最大值和最小值．
（3）$\displaystyle f(x, y)=2 x^{2}+y^{2}-8 x-2 y+9$ ，求 $\displaystyle f(x, y)$ 在区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 2 x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上的最大值与最小值．
（4）已知函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 的全微分是 $\displaystyle \mathrm{d} z=2 x \mathrm{~d} x-2 y \mathrm{~d} y$ ，且 $\displaystyle f(1,1)=2$ ，求 $\displaystyle z=f(x, y)$ 在椭圆域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{4}+y^{2} \leqslant 1\right.\right\}$ 上的最大值和最小值．
（5）$\displaystyle f(x, y)=x^{2}-x y+y^{2}$ ，求 $\displaystyle f(x, y)$ 在区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+2 y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上的最大值与最小值．
（6）$\displaystyle f(x, y)=2 x^{2}-7 y^{2}$ 在闭区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+2 x y+4 y^{2} \leqslant 13\right\}$ 的最大值和最小值．

10．设 $\displaystyle f(x, y)=x^{3}-4 x^{2}+2 x y-y^{2}, D=\{(x, y) \mid-5 \leqslant x \leqslant 5,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，求。 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 中的极大值和极小值点，并判断所求的极值点是否为该函数在 $\displaystyle D$ 中的最大值和最小值点．

11．确定下列函数在指定区域的最大值和最小值．
（1）$\displaystyle f(x, y)=\sin x+\sin y-\sin (x+y)$ 在区域 $\displaystyle D: x+y \leqslant 2 \pi, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 上的最大值和最小值．
（2）$\displaystyle f(x, y)=\sin x+\cos y+\cos (x-y)$ 在区域 $\displaystyle D: 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}, 0 \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2}$ 上的最大值和最小值．
（3）证明： $\displaystyle \sin x \cdot \sin y \cdot \sin (x+y) \leqslant \frac{3 \sqrt{3}}{8}, 0<x, y<\pi$ ．
（4）设 $\displaystyle x, y, z \geqslant 0, x+y+z=\pi$ ，求 $\displaystyle 2 \cos x+3 \cos y+4 \cos z$ 的最大值和最小值．

12．求下列函数的条件极值．
（1）求 $\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}$ 在 $\displaystyle x+y-1=0$ 下的极值．
（2）求 $\displaystyle f(x, y, z)=x^{3}+y^{3}+z^{3}$ 在约束条件 $\displaystyle x+y+z=2, x^{2}+y^{2}+z^{2}=12$ 下的极值，并判断极值的类型．

13．求下列函数在条件 $\displaystyle x y z=1$ 下的极值．
（1）$\displaystyle f(x, y, z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}$ ．
（2）$\displaystyle f(x, y, z)=2 x^{2}+2 y^{2}+z^{4}$ ．

14．若变量 $\displaystyle x, y, z, t$ 满足 $\displaystyle x y z t=c^{4}$ ，其中 $\displaystyle c$ 为常数，求函数 $\displaystyle f(x, y, z, t)=x+y+z+t$ 在上述条件下的极值．

15．求下列函数在约束条件下的最大值和最小值．
（1）设动点 $\displaystyle (x, y)$ 在圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 上，求函数 $\displaystyle z=x y$ 的最大值和最小值．
（2）设 $\displaystyle a, b, c$ 是已知的三个正常数，求三元函数 $\displaystyle f(x, y, z)=a x+b y+c z$ 在约束条件 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 下的最大值和最小值．
（3）求函数 $\displaystyle f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 在 $\displaystyle a x+b y+c z=1$ 下的最小值．
（4）求 $\displaystyle u=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}$ 在条件 $\displaystyle a x+b y+c z=1$ 下的最小值．
（5）设 $\displaystyle x^{2}+x^{2} y^{2}+y^{2}=3$ ，求 $\displaystyle x+y$ 的最大值．
（6）$\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}+\frac{2}{3} x+1$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 4 x^{2}+y^{2}-1=0\right\}$ 上的最大值和最小值．

16．求函数 $\displaystyle u=x-2 y+2 z$ 在 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 上的最大值和最小值．

17．求下列函数在约束条件下的最大值和最小值．
（1）$\displaystyle u=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 在条件 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 下的最大值和最小值，其中 $\displaystyle a>b>c>0$ 。
（2）$\displaystyle f(x, y, z)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}(x>0, y>0, z>0)$ 在条件 $\displaystyle x y z=a^{3}$ 下的最小值．

18．求 $\displaystyle f(x, y)=x y z$ 在条件 $\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{r}$ 下的极值 $\displaystyle (x>0, y>0, z>0, r>0)$ 。

19．当 $\displaystyle x>0, y>0, z>0$ 时，求函数 $\displaystyle u=\ln x+2 \ln y+3 \ln z$ 在球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 r^{2}$ 上的最大值，并证明对任意的正实数 $\displaystyle a, b, c$ 成立不等式 $\displaystyle a b^{2} c^{3} \leqslant 108\left(\frac{a+b+c}{6}\right)^{6}$ ．

20．求下列函数在条件 $\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=a\left(x_{i}>0\right)$ 限制下的大（小）值，并证不等式．
（1）$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=x_{1} x_{2} \cdots x_{n}$ 。并证明 $\displaystyle \sqrt[n]{x_{1} x_{2} \cdots x_{n}} \leqslant \frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}$ 。
（2）$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=a_{1} x_{1}^{2}+a_{2} x_{2}^{2}+\cdots+a_{n} x_{n}^{2},\left(a_{i}>0\right)$ ，并证明
$\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2} \geqslant \frac{\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)^{2}}{n}$ ．

21．求解下列各题．
（1）设 $\displaystyle f(x, y, z)=x^{100} y^{200} z^{300}(x>0, y>0, z>0)$ ，求 $\displaystyle f(x, y, z)$ 在条件 $\displaystyle x+y+z=1$ 下的极值点和最值．
（2）求函数 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1}{2}\left(x^{n}+y^{n}\right)(n$ 为正整数 $\displaystyle )$ 在条件 $\displaystyle x+y=a,(x>0, y>0, a>0)$ 下的极值，并证明不等式 $\displaystyle \frac{1}{2}\left(x^{n}+y^{n}\right) \geqslant\left(\frac{x+y}{2}\right)^{n}$ ．
（3）求函数 $\displaystyle f=a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+\cdots+a_{n} x_{n}\left(a_{i}>0\right)$ 在条件 $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2} \leqslant 1$ 限制下的最小值．

22．证明下列结论．
（1）中心在原点的 $\displaystyle A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}+2 D x y+2 E y z+2 F x z=1$ 的椭球面的长半轴 $\displaystyle l$ 是下列行列

式的最大实根 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}A-l^{-2} & D & F \\ D & B-l^{-2} & E \\ F & E & C-l^{-2}\end{array}\right|$
（2）设 $\displaystyle \left(a_{i j}\right)$ 是 $\displaystyle n$ 阶实对称方阵，定义 $\displaystyle \mathbf{R}^{n}$ 上的齐二次函数 $\displaystyle h(x)=\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}$ ．证明：函数 $\displaystyle h(x)$ 在条件 $\displaystyle \sum_{1}^{n} x_{i}^{2}=1$ 下的最小值是 $\displaystyle A$ 的最小特征值．

23．求解下列各题．
（1）求点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 至平面 $\displaystyle A x+B y+C z+D=0$ 的最短距离．
（2）已知平面上 $\displaystyle n$ 个点的坐标分别是 $\displaystyle A_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), A_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots, A_{n}\left(x_{n}, y_{n}\right)$ ，试求一点，使它与这
$\displaystyle n$ 个点距离的平方和最小．
（3）求曲面 $\displaystyle z=x y-1$ 上与原点最近的点的坐标．
（4）求点 $\displaystyle (0,0, c)$ 到曲面 $\displaystyle \frac{z}{c}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ 的最短距离， $\displaystyle 0<a<b, c>0$ ．

24．求解下列各题．
（1）抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z$ 被平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 截成一个椭圆，求这个椭圆到坐标原点的最长和最短距离．
（2）利用拉格朗日乘数法，求平面 $\displaystyle x+y+z=0$ 与椭球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+4 z^{2}=1$ 所截的椭圆的面积．
（3）求 $\displaystyle a, b$ 的值，使得椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 包含圆周 $\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=1$ ，且面积最小．

25．求解下列各题．
（1）设 $\displaystyle a>0$ ，求曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=2 a z \\ x^{2}+y^{2}+x y=a^{2}\end{array}\right.$ 上的点到 $\displaystyle x O y$ 平面的最大和最小距离．
（2）已知曲线 $\displaystyle C:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-2 z^{2}=0, \\ x+y+3 z=5,\end{array}\right.$ 求曲线 $\displaystyle C$ 距离 $\displaystyle x O y$ 面最远的点和最近的点．
（3）求球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=16$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=4$ 的交线的最高点和最低点的坐标．

26．求解下列各题．
（1）求抛物线 $\displaystyle y=x^{2}$ 和直线 $\displaystyle x-y-2=0$ 之间的最短距离．
（2）求直线 $\displaystyle 4 x+3 y=16$ 与椭圆 $\displaystyle 18 x^{2}+5 y^{2}=45$ 之间的最短距离．
（3）求平面 $\displaystyle x+y+z=2$ 与曲面 $\displaystyle x^{2}-2 y^{2}+2 z^{2}=1(x, y, z>0)$ 之间的最短距离．
（4）求抛物面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 交线上的点到原点的最大距离与最小距离．

27．求解下列各题．
（1）求两曲面 $\displaystyle x+2 y=1$ 和 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ 的交线上距离原点最近的点．
（2）求椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{96}+y^{2}+z^{2}=1$ 上距离平面 $\displaystyle 3 x+4 y+12 z=228$ 最近和最远的点．

28．求解下列各题．
（1）求椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 在第一卦限的切平面与三个坐标平面所围成的四面体的最小体积．
（2）设 $\displaystyle a>0, b>0, c>0, M(a, b, c)$ 为曲面 $\displaystyle S: \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$ 上任一点，求曲面 $\displaystyle S$ 上点 $\displaystyle M$ 的切平面 $\displaystyle \pi$ 的三个截距之积 $\displaystyle u$ 的最大值．
（3）证明过曲面 $\displaystyle x y z=a^{3},(a>0)$ 上任意一点的切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为常数．
（4）试证曲面 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{a}(a>0)$ 上任意点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 $\displaystyle a$ ．
（5）证明曲面 $\displaystyle x^{\frac{n}{n+1}}+y^{\frac{n}{n+1}}+z^{\frac{n}{n+1}}=a^{\frac{n}{n+1}},\left(n \in \mathbf{Z}^{+}, a>0\right)$ 上任意点处的切平面在坐标轴上的截距的 $\displaystyle n$ 次方之和为 $\displaystyle a^{n}$ 。
（6）在曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+\frac{z^{2}}{4}=1,(x>0, y>0, z>0)$ 上求一点，使过该点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和最小．

29．在变力 $\displaystyle F=y z i+z x j+x y k$ 作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 第一象限的点 $\displaystyle M(\xi, \eta, \zeta)$ ，问 $\displaystyle (\xi, \eta, \zeta)$ 取何值时， $\displaystyle \boldsymbol{F}$ 所做的功 $\displaystyle W$ 最大，并求 $\displaystyle W$ 的最大值．

30．求解下列各题．
（1）曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle (1,-2,1)$ 处的切线方程和法平面方程。
（2）求曲线 $\displaystyle \Gamma: x=x(t)=t^{2}, y=y(t)=\mathrm{e}^{t}+2, z=z(t)=t+\cos t, t \in \mathbf{R}$ 在点 $\displaystyle (x(0), y(0), z(0))$ 处的切线方程与法平面线方程．

31．求下列空间曲线在指定点处的切线方程和法平面方程．
（1）求空间曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=6, z=x^{2}+y^{2}$ 在点 $\displaystyle P(1,1,2)$ 处的法平面方程．
（2）求球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=50$ 与锥面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 所截出的曲线在点 $\displaystyle (3,4,5)$ 处的切线方程与法平面方程．
（3）求曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle P\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right)$ 处的切线方程与法平面方程．
（4）设曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=x(t) \\ y=y(t)\end{array}\right.$ 由 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}t \mathrm{e}^{y}+2 x-y=2 \\ x+y+2 t(1-t)=0\end{array}\right.$ 所确定，求曲线在点 $\displaystyle t=0$ 处的切线方程与法线方程．

32．求下列曲面的切平面方程和法线方程．
（1）求曲面 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=21$ 的切平面方程，使其平行于 $\displaystyle x+4 y+6 z=0$ 。
（2）在曲面 $\displaystyle z=x y$ 上求一点，使过该点的法线垂直于平面 $\displaystyle x+3 y+z=9$ ，并求过该点的法线方程．
（3）求曲面 $\displaystyle x=\frac{y^{2}}{2}+2 z^{2}$ 上平行于平面 $\displaystyle 2 x+2 y-4 z+1=0$ 的切平面方程，并求过切点的法线方程．
（4）已知曲面 $\displaystyle z=4-x^{2}-y^{2}$ 在点 $\displaystyle P$ 处的切平面平行于 $\displaystyle 2 x+2 y+z-1=0$ ，求点 $\displaystyle P$ 的坐标及过该点的法线方程．
（5）求椭球 $\displaystyle 2 x^{2}+3 y^{2}+z^{2}=6$ 在点 $\displaystyle P(1,1,1)$ 的切平面方程．
（6）求曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=x$ 的切平面使该切平面垂直于平面 $\displaystyle x-y-\frac{1}{2} z=2$ 和 $\displaystyle x-y-z=2$ ．

33．求解下列各题．
（1）确定正数 $\displaystyle \lambda$ ，使曲面 $\displaystyle x y z=\lambda$ 与椭圆面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 在某点相切．
（2）已知曲面 $\displaystyle x y-z=0$ 及平面 $\displaystyle \pi: x+3 y+z=0$ ，问曲面上是否存在一点，使得曲面过此点的法线与平面 $\displaystyle \pi$ 垂直，若存在，求出此法线及此点的坐标，若不存在，说明理由．

34．假设 $\displaystyle f$ 是一可微函数，求曲面 $\displaystyle z=x f\left(\frac{y}{x}\right)$ 上任一点 $\displaystyle M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), x_{0} \neq 0$ 处的切平面方程，并指出该切平面是否过坐标原点．

35．证明下列结论．
（1）已知平面 $\displaystyle l x+m y+n z=p$ 与椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 相切，证明 $\displaystyle a^{2} l^{2}+b^{2} m^{2}+c^{2} n^{2}=p^{2}$ ．
（2）证明曲面 $\displaystyle F(n x-l z, n y-m z)=0$ 上任一点处的切平面都平行于直线 $\displaystyle \frac{x-1}{l}=\frac{y-2}{m}=\frac{z-3}{n}$ ，其中 $\displaystyle F$ 有连续的偏导数．
（3）试证曲面上．$\displaystyle F\left(\frac{x-a}{z-c}, \frac{y-b}{z-c}\right)=0$ 任一点处的切平面都过一定点，其中 $\displaystyle F(u, v)$ 可微．
（4）证明曲面 $\displaystyle z^{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(\frac{y}{x}\right)$ 的所有切平面都经过某个定点，其中 $\displaystyle f$ 为可微函数．
（5）设函数 $\displaystyle F(u, v, w)$ 有连续的偏导数，证明曲面 $\displaystyle F\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{y}, \frac{x}{z}\right)=0$ 上各点的切平面都相交于一点，并求出交点的坐标．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续可微函数，证明曲面 $\displaystyle a x+b y+c z=f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ 上任意一点 $\displaystyle M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的法向量与向量 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 及 $\displaystyle (a, b, c)$ 共面．
（7）设 $\displaystyle \frac{x z}{y}=u, \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{z^{2}+y^{2}}=v, \sqrt{x^{2}+y^{2}}-\sqrt{z^{2}+y^{2}}=w$ 是以 $\displaystyle u, v, w$ 为参数的单参数曲面族，证明过同一点的三个曲面是两两正交的．

36．证明或求解下列问题．
（1）设 $\displaystyle F(x, y)=0$ 为平面光滑曲线 $\displaystyle \Gamma$ 的方程，即 $\displaystyle F(x, y)$ 具有连续的一阶偏导数，且 $\displaystyle \left(F_{x}(x, y)\right)^{2}+\left(F_{y}(x, y)\right)^{2} \neq 0$ ，又设 $\displaystyle P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为该曲线上到 $\displaystyle O(0,0)$ 最近的点，求证：$\displaystyle O P$ 与曲线在点 $\displaystyle P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处的切线正交．
（2）设 $\displaystyle F(x, y)=0$ 为平面光滑曲线 $\displaystyle \Gamma$ 的方程，即 $\displaystyle F(x, y)$ 具有连续的一阶偏导数，且 $\displaystyle \left(F_{x}(x, y)\right)^{2}+\left(F_{y}(x, y)\right)^{2} \neq 0$ ，又设 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为该曲线外一点，$\displaystyle \left(x_{1}, y_{1}\right)$ 为该曲线上到 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 最近的点，求曲线 $\displaystyle \Gamma$ 在 $\displaystyle \left(x_{1}, y_{1}\right)$ 的法线方程．
（3）证明：在光滑曲面 $\displaystyle F(x, y, z)=0$ 上离原点最近的点处的法线过原点．
（4）设 $\displaystyle \Sigma$ 为由 $\displaystyle F(x, y, z)=0$ 表示的曲面，其中 $\displaystyle F(x, y, z)$ 是连续可微函数，$\displaystyle B\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)$ 为曲面 $\displaystyle \Sigma$ 外一点，$\displaystyle A\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)$ 为 $\displaystyle \Sigma$ 上距离最近的点，求曲面 $\displaystyle \Sigma$ 在点 $\displaystyle A$ 处的切平面方程．
（5）设曲面 $\displaystyle \Sigma: F(x, y, z)=1$ 满足条件：$\displaystyle x F_{x}+y F_{y}+z F_{z}=n, n \in \mathbf{N}^{+}$。点 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \in \Sigma$ 满足 $\displaystyle \left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right) \neq(0,0,0)$ ，且 $\displaystyle F(x, y, z)$ 在 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 可微，证明：曲面 $\displaystyle \Sigma$ 在点 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的切平面方程为 $\displaystyle x F_{x}\left(P_{0}\right)+y F_{y}\left(P_{0}\right)+z F_{z}\left(P_{0}\right)=n$ ．

37．求下列函数的方向导数．
（1）求函数 $\displaystyle f(x, y)=1-\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)$ 在点 $\displaystyle \left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ 处沿曲线 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 在该点的内法线方向的方向导数，其中 $\displaystyle a, b$ 为正常数．
（2）设函数 $\displaystyle f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x y$ ，请在平面上每一点指出函数增加最快的方向，并计算出函数在该方向的方向导数．
（3）求 $\displaystyle z=\arctan \frac{y}{x}$ 在位于圆 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-2 x=0$ 上一点 $\displaystyle P_{0}\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 处沿着该圆周切线方向的方向导数（切线倾斜角度 $\displaystyle \alpha:(0, \pi)$ ）．
（4）设 $\displaystyle z=x^{2}-x y+y^{2}$ ，求它在点 $\displaystyle (1,1)$ 处沿方向 $\displaystyle v=(\cos \alpha, \sin \alpha)$ 的方向导数，并分别求出最大与最小的方向导数．
（5）数量场 $\displaystyle u=x^{2}-2 y z+y^{2}$ 在点 $\displaystyle M(-1,2,1)$ 沿什么方向的方向导数达到最大值？并求此最大值．
（6）设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle F\left(x y z, x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)=0$ 所确定，求 $\displaystyle \operatorname{grad} z$ ．

38．已知 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 可微，且在 $\displaystyle P_{0}$ 给定了 $\displaystyle n$ 个向量 $\displaystyle l_{i}, i=1,2, \cdots, n$ ，相邻两个向量之间的夹角为 $\displaystyle \frac{2 \pi}{n}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} f_{i}\left(P_{0}\right)=0$ ．