第一章 分析基础
1
📝 有解析
第1题
例 1 设 $a \leq c \leq b$ ,求证: $\displaystyle{\left| c\right| \leq \max \{ \left| a\right| ,\left| b\right| \}}$ .
2
📝 有解析
第2题
例 2 设 $a,b > 0$ ,求证:
(1)当 $p > 1$ 时, ${a}^{p} + {b}^{p} \leq {\left( a + b\right) }^{p}$ ；
(2)当 $0 < p < 1$ 时, ${a}^{p} + {b}^{p} \geq {\left( a + b\right) }^{p}$ .
3
📝 有解析
第3题
例 3 设 $f\left( x\right) ,g\left( x\right)$ 在集合 $X$ 上有界,求证:
$$ \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) + g\left( x\right) \} \leq \left\{ \begin{array}{l} \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) \} + \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ g\left( x\right) \} , \\ \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) \} + \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ g\left( x\right) \} . \end{array}\right. $$
1
📝 有解析
第1题
例 1 设函数 $f\left( x\right) ,g\left( x\right)$ 在(a, b)上严格单调增加,求证: 函数
$$ \varphi \left( x\right) \overset{\text{ 定义 }}{ = }\max \{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \} ,\;\psi \left( x\right) \overset{\text{ 定义 }}{ = }\min \{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \} $$
也在(a, b)上严格单调增加.
2
📝 有解析
第2题
例 2 (1) 问 $f\left( x\right) = x - \left\lbrack x\right\rbrack$ 是否是周期函数? 并画出它的图形 (其中 $\left\lbrack x\right\rbrack$ 表示 $x$ 的整数部分).
(2)两个周期函数之和是否一定是周期函数?
3
📝 有解析
第3题
例 3 设 $f\left( x\right) = \sqrt{x}\left( {0 \leq x < 1}\right)$ .
(1)将 $f\left( x\right)$ 延拓到(-1,1),使其成为偶函数,即找一个偶函数
$$ F\left( x\right) \;\left( {\left| x\right| < 1}\right) , $$
使得
$$ F\left( x\right) = f\left( x\right) \;\left( {0 \leq x < 1}\right) . $$
(2)将 $f\left( x\right)$ 延拓到 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ ,使其成为以 1 为周期的周期函数.
4
📝 有解析
第4题
例 4 设 $f\left( x\right)$ 既关于直线 $x = a$ 对称,又关于直线 $x = b$ 对称, 已知 $b > a$ ,求证: $f\left( x\right)$ 是周期函数并求其周期.
5
📝 有解析
第5题
例 5 求函数 $y = {2x} + \left| {2 - x}\right| \left( {-\infty < x < + \infty }\right)$ 的反函数,并画出它的图形.
6
📝 有解析
第6题
例 6 设 $f : X \rightarrow Y,g : Y \rightarrow X$ . 求证:
(1)若 $g\left\lbrack {f\left( x\right) }\right\rbrack = x\left( {\forall x \in X}\right)$ ,则 $f$ 为单射, $g$ 为满射；
(2)若 $g\left\lbrack {f\left( x\right) }\right\rbrack = x\left( {\forall x \in X}\right) ,f\left\lbrack {g\left( y\right) }\right\rbrack = y\left( {\forall y \in Y}\right)$ ,则 $f$ 与 $g$ 互为反函数.
1
📝 有解析
第1题
例 1 求证: $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{n} = 1}$ .
2
📝 有解析
第2题
例 2 求证: $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{\sqrt[n]{n!}} = 0}$ .
3
📝 有解析
第3题
例 3 求证:
(1) $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \cdots \cdot \frac{{2n} - 1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{{2n} + 1}}$ ;
(2) $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \cdots \cdot \frac{{2n} - 1}{2n} = 0}$ .
4
📝 有解析
第4题
例 4 求证: $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}^{n}}{n!} = 0\left( {a > 0}\right)$ .
5
📝 有解析
第5题
例 5 求 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}}}$ .
6
📝 有解析
第6题
例 6 设 $\alpha < 1$ ,求证: $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left\lbrack {{\left( n + 1\right) }^{\alpha } - {n}^{\alpha }}\right\rbrack = 0$ .
7
📝 有解析
第7题
例 7 求 $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot \left( {{2n} - 1}\right) }{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot \left( {2n}\right) }}$ .
8
📝 有解析
第8题
例 8 设 ${x}_{n} = \frac{1! + 2! + \cdots + n!}{n!}$ ,求 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}}$ .
9
📝 有解析
第9题
例 9 设 ${x}_{n} \leq a \leq {y}_{n}\left( {n = 1,2,\cdots }\right)$ ,且 $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left( {{x}_{n} - {y}_{n}}\right) = 0$ . 求证:
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{y}_{n} = a. $$
10
📝 有解析
第10题
例 10 求 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{2}^{n}n!}{{n}^{n}}}$ .
11
📝 有解析
第11题
例 11 求极限 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{n}}$ .
12
📝 有解析
第12题
例 12 设 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 单调下降,且 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} = 0,{b}_{n}\frac{\text{ 定义 }{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}{n}}$ . 求证:
(1) ${b}_{n}$ 单调下降; (2) ${b}_{2n} \leq \frac{1}{2}\left( {{a}_{n} + {b}_{n}}\right)$ ; (3) $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{b}_{n} = 0}$ .
13
📝 有解析
第13题
例 13 求证:
(1) $\frac{1}{n + 1} < \ln \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) < \frac{1}{n}$ ;
(2) $\displaystyle{\exists \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left\lbrack {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln n}\right\rbrack}$ .
14
📝 有解析
第14题
例 14 设 ${a}_{n}$ 单调增加, ${b}_{n}$ 单调下降,且 $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left( {{b}_{n} - {a}_{n}}\right) = 0$ ,求证: $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n}}$ 和 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{b}_{n}}$ 都存在,且 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{b}_{n}}$ .
15
📝 有解析
第15题
例 15 设 $c > 0$ ,任取 $0 < {x}_{0} < \frac{1}{c}$ ,作迭代序列
$$ {x}_{n + 1} = {x}_{n}\left( {2 - c{x}_{n}}\right) \;\left( {n = 0,1,2,\cdots }\right) . $$
求 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}}$ .
16
📝 有解析
第16题
例 16 设数列 ${x}_{n}$ 由如下递推公式定义:
$$ {x}_{0} = 1,\;{x}_{n + 1} = \frac{1}{1 + {x}_{n}}\;\left( {n = 0,1,2,\cdots }\right) . $$
求证: $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}}$ .
17
📝 有解析
第17题
例 17 设 $I$ 是某个区间,数列 ${x}_{n}$ 由迭代公式 ${x}_{n + 1} = f\left( {x}_{n}\right) (n \in$ $N)$ 产生,如果对 $\forall n \in N$ 推出 ${x}_{n} \in I$ . 求证:
(1)当 $f$ 在区间 $I$ 上严格单调增加时, $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 为严格单调数列；
(2)当 $f$ 在区间 $I$ 上严格单调减少时, $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 的两个子列 $\left\{ {x}_{2n}\right\}$ 和 $\left\{ {x}_{{2n} + 1}\right\}$ 都为严格单调数列,且具有相反的单调性.
19
📝 有解析
第19题
例 19 求证: 序列 ${x}_{n} = \frac{\cos 1}{1 \cdot 2} + \frac{\cos 2}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{\cos n}{n\left( {n + 1}\right) }$ 收敛.
20
📝 有解析
第20题
例 20 求证: 序列 ${x}_{n} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}}$ 发散.
21
📝 有解析
第21题
例 21 设序列 ${x}_{n}$ 无上界. 求证: 存在子序列 $\left\{ {x}_{{n}_{k}}\right\}$ ,使得
$$ \mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{x}_{{n}_{k}} = + \infty $$
22
📝 有解析
第22题
例 22 求证: 序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 有界的充分且必要条件是: $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 的任意子序列 $\left\{ {x}_{{n}_{k}}\right\}$ 都有收敛的子序列.
1
📝 有解析
第1题
例 1 求下列极限:
(1) $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 + 0}}x\left\lbrack \frac{1}{x}\right\rbrack}$ ; (2) $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0 - 0}}x\left\lbrack \frac{1}{x}\right\rbrack}$ .
2
📝 有解析
第2题
例 2 设 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = A$ ,求证: $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{\left\lbrack xf\left( x\right) \right\rbrack }{x} = A$ .
3
📝 有解析
第3题
例 3 设 $a > 1,k > 0$ ,求证: $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{{x}^{k}}{{a}^{x}} = 0}$ .
4
📝 有解析
第4题
例 4 求下列极限:
(1) $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{\ln x}{{x}^{a}}\left( {a > 0}\right)$ ; (2) $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}{x}^{\frac{1}{x}}}$ .
5
📝 有解析
第5题
例 5 设 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = a}$ ,求证: $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\left( 1 + \frac{{x}_{n}}{n}\right) }^{n} = {\mathrm{e}}^{a}$ .
6
📝 有解析
第6题
例 6 求证:
(1) $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{{a}^{x} - 1}{x} = \ln a\left( {a > 0}\right)$ ； (2) $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}n\left( {\sqrt[n]{a} - 1}\right) = \ln a$ .
5
📝 有解析
第5题
例 5 的结论,考虑引进一个变换 ${x}_{n}$ ,使得
$$ 1 + \frac{{x}_{n}}{n} = \frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}}{2}. $$
8
📝 有解析
第8题
例 8 设 $\displaystyle{0 < {x}_{n} < + \infty}$ ,且满足 ${x}_{n + 1} + \frac{1}{{x}_{n}} < 2$ . 求证: $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 的极限存在, 并求出极限值.
9
📝 有解析
第9题
例 9 设当 $x \rightarrow a$ 时, ${f}_{1}\left( x\right) ,{f}_{2}\left( x\right)$ 为不为零的等价无穷小量. 若广义极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\frac{g\left( x\right) }{{f}_{1}\left( x\right) }$ 存在,求证: $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\frac{g\left( x\right) }{{f}_{2}\left( x\right) } = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}\frac{g\left( x\right) }{{f}_{1}\left( x\right) }$ ,并利用此结论求极限 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{1 - \cos x}{{\sin }^{2}x}}$ .
10
📝 有解析
第10题
例 10 设 ${x}_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$ ,求证: $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = + \infty}$ .
11
📝 有解析
第11题
例 11 求证: 广义极限 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\tan n}$ 不存在.
12
📝 有解析
第12题
例 12 设 $f\left( x\right)$ 在(a, b)内无上界. 求证:
$$ \exists \left\{ {x}_{n}\right\} ,\;{x}_{n} \in \left( {a,b}\right) \;\left( {n = 1,2,\cdots }\right) , $$
使得
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( {x}_{n}\right) = + \infty $$
13
📝 有解析
第13题
例 13 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {a, + \infty }\right)$ 上单调上升, $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = + \infty}$ . 又设
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( {x}_{n}\right) = A $$
求证: $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = A$ .
14
📝 有解析
第14题
例 14 设 $f\left( x\right) ,g\left( x\right)$ 在 $\left( {a, + \infty }\right)$ 上定义,且
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = + \infty ,\;\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}g\left( x\right) = + \infty , $$
求证: $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}g\left( {f\left( x\right) }\right) = + \infty$ .
15
📝 有解析
第15题
例 15 设 ${x}_{n} > 0$ ,求证: $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = 0 \Leftrightarrow \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{1}{{x}_{n}} = + \infty}$ .
16
📝 有解析
第16题
例 16 求证:
(1) 若 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} = 0}$ ,则 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}{n} = 0}$ ;
(2) 若 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{b}_{n} = b}$ ,则 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{b}_{1} + {b}_{2} + \cdots + {b}_{n}}{n} = b}$ .
17
📝 有解析
第17题
例 17 求证: 若 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} = + \infty}$ ,则有 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}{n} = + \infty}$ .
18
📝 有解析
第18题
例 18 设 ${a}_{n} > 0$ ,且广义极限 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{n} = a}$ 存在. 求证:
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{{a}_{1} \cdot {a}_{2} \cdot \cdots \cdot {a}_{n}} = a. $$
19
📝 有解析
第19题
例 19 设 ${a}_{n} > 0$ ,且 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}_{n + 1}}{{a}_{n}} = a}$ ,求证: $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\sqrt[n]{{a}_{n}} = a}$ .
20
📝 有解析
第20题
例 20 设 $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left( {{a}_{n + 1} - {a}_{n}}\right) = a$ ,求证: $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}_{n}}{n} = a}$ .
21
📝 有解析
第21题
例 21 (1) 设 $0 < {x}_{1} < 1,{x}_{n + 1} = {x}_{n}\left( {1 - {x}_{n}}\right)$ ,求证: $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}n{x}_{n} = 1}$ .
(2)设 $0 < q < 1,0 < {x}_{1} < \frac{1}{q},{x}_{n + 1} = {x}_{n}\left( {1 - q{x}_{n}}\right)$ ,求证: $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}n{x}_{n} = \frac{1}{q}}$ .
22
📝 有解析
第22题
例 22 设 ${a}_{1} > 0,{a}_{n + 1} = {a}_{n} + \frac{1}{{a}_{n}}$ ,求证: $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}_{n}}{\sqrt{2n}} = 1}$ .
23
📝 有解析
第23题
例 23 设 $f\left( x\right)$ 在(0,1)内有定义,且
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}f\left( x\right) = 0,\;\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{f\left( x\right) - f\left( \frac{x}{2}\right) }{x} = 0. $$
求证: $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow 0}}\frac{f\left( x\right) }{x} = 0$ .
24
📝 有解析
第24题
例 24 指出函数 $f\left( x\right) = \left\lbrack \frac{1}{x}\right\rbrack \left( {x > 0}\right)$ 的间断点,并说明属于哪一类间断点.
25
📝 有解析
第25题
例 25 对任意的实数 $x$ ,定义
$$ f\left( x\right) = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{x}^{{2n} - 1} - 1}{{x}^{2n} + 1}. $$
试问函数 $f\left( x\right)$ 有没有间断点,如果有,请指出在何处,什么类型?
26
📝 有解析
第26题
例 26 设 $f\left( x\right)$ 在点 $x = {x}_{0}$ 处连续,并且 $f\left( {x}_{0}\right) > 0$ . 求证: $\exists \delta >$ 0,当 $\left| {x - {x}_{0}}\right| < \delta$ 时, $f\left( x\right) > 0$ .
27
📝 有解析
第27题
例 27 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上连续,且满足条件
$$ f\left( {x}^{2}\right) = f\left( x\right) \;\left( {\forall x > 0}\right) . $$
求证: $f\left( x\right)$ 为一常数.
28
📝 有解析
第28题
例 28 设函数 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上单调上升, $f\left( a\right) > a,f\left( b\right) < b$ . 求证: $\exists c \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,使得 $f\left( c\right) = c$ .
1
📝 有解析
第1题
例 1 求证: 方程 ${x}^{3} + {px} + q = 0\left( {p > 0}\right)$ 有且仅有一个根.
2
📝 有解析
第2题
例 2 . 设 $f\left( x\right) \in C\left( {a,b}\right) ,{x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{n} \in \left( {a,b}\right)$ . 求证: $\exists \xi \in$ (a, b),使得
$$ f\left( \xi \right) = \frac{1}{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}f\left( {x}_{k}\right) . \tag{5.1} $$
3
📝 有解析
第3题
例 3 设 $f\left( x\right)$ 是 $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ 上的非负连续函数,且 $f\left( 0\right) = f\left( 1\right) = 0$ . 求证: 对任意的实数 $r\left( {0 < r < 1}\right)$ ,必存在 ${x}_{0} \in \left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ ,使得 ${x}_{0} + r \in$ $\left\lbrack {0,1}\right\rbrack$ ,且
$$ f\left( {x}_{0}\right) = f\left( {{x}_{0} + r}\right) . \tag{5.2} $$
分析 作辅助函数 $F\left( x\right) = f\left( x\right) - f\left( {x + r}\right)$ . 要找满足 (5.2) 的 ${x}_{0}$ ,就是找函数 $F\left( x\right)$ 的零点.
4
📝 有解析
第4题
例 4 若 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 内连续,且 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( x\right)$ 存在. 求证: $f\left( x\right)$ 在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 内有界.
5
📝 有解析
第5题
例 5 设 $f\left( x\right) \in C\left( {-\infty , + \infty }\right)$ ,且 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = + \infty$ . 求证: $f\left( x\right)$ 在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 内取到它的最小值.
思路 对任意的有限区间 $\left\lbrack {A,B}\right\rbrack ,f\left( x\right)$ 在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 上的最小值一定是 $\left\lbrack {A,B}\right\rbrack$ 上的最小值,反过来显然是不一定对的. 但是能否适当选取 $A,B$ ,使得 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {A,B}\right\rbrack$ 上的最小值也是在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 上的最小值呢? 为此,只需在 $\left\lbrack {A,B}\right\rbrack$ 上含有这样一个点 ${x}_{0}$ ,使得
$$ f\left( x\right) > f\left( {x}_{0}\right) \;\left( {\forall x \in \left( {-\infty , + \infty }\right) \smallsetminus \left\lbrack {A,B}\right\rbrack }\right) . $$
6
📝 有解析
第6题
例 6 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上连续,对于区间 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 中的每一个点 $x$ , 总存在 $y \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,使得 $\left| {f\left( y\right) }\right| \leq \frac{1}{2}\left| {f\left( x\right) }\right|$ . 求证: 至少存在一点 $\xi \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,使得 $f\left( \xi \right) = 0$ .
7
📝 有解析
第7题
例 7 设 $f\left( x\right) \in C\left( {-\infty , + \infty }\right)$ ,且 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( {f\left( x\right) }\right) = \infty$ . 求证:
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( x\right) = \infty \text{ . } $$
9
📝 有解析
第9题
例 9 设 $f\left( x\right)$ 在(a, b)上一致连续. 求证:
(1) $\exists \delta > 0$ ,使得对于 $\forall {x}_{0}$ ,当 $x \in \left( {a,b}\right) \cap \left( {{x}_{0} - \delta ,{x}_{0} + \delta }\right)$ 时,有
$$ \left| {f\left( x\right) }\right| \leq f\left( {x}_{0}\right) + 1. $$
(2) $f\left( x\right)$ 在(a, b)上有界.
10
📝 有解析
第10题
例 10 设 $f\left( x\right) \in C\left( {-\infty , + \infty }\right)$ ,且
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow - \infty }}f\left( x\right) = A,\;\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = B. $$
求证: $f\left( x\right)$ 在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 上一致连续.
11
📝 有解析
第11题
例 11 设 $f\left( x\right) \in C\left( {a,b}\right)$ ,求证: $f\left( x\right)$ 在(a, b)上一致连续的充分必要条件为: 极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a + 0}}f\left( x\right)$ 和 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow b - 0}}f\left( x\right)$ 都存在.
12
📝 有解析
第12题
例 12 设 $f\left( x\right)$ 在 $\lbrack 0, + \infty )$ 上一致连续,且对 $\forall h > 0$ ,序列 $\{ f\left( {nh}\right) \}$ 极限存在. 求证: $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right)$ 存在.
13
📝 有解析
第13题
例 13 设 $f\left( x\right)$ 是在 $\lbrack 0, + \infty )$ 上的非负连续函数,且满足对 $\forall {x}_{1},{x}_{2} \geq 0$ 有 $f\left( {{x}_{1} + {x}_{2}}\right) \leq f\left( {x}_{1}\right) + f\left( {x}_{2}\right)$ . 求证:
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}\frac{f\left( x\right) }{x} = \mathop{\inf }\limits_{{x > 0}}\frac{f\left( x\right) }{x}. $$
1.1
📝 有解析
第1.1题
1. 1.1 设 $\displaystyle{\max \{ \left| {a + b}\right| ,\left| {a - b}\right| \} < \frac{1}{2}}$ ,求证: $\left| a\right| < \frac{1}{2},\left| b\right| < \frac{1}{2}$ .
1.1
📝 有解析
第1.1题
1.1.2 求证: 对 $\forall a,b \in \mathbf{R}$ ,有 $\displaystyle{\max \{ \left| {a + b}\right| ,\left| {a - b}\right| ,\left| {1 - b}\right| \} \geq \frac{1}{2}}$ .
1.1
📝 有解析
第1.1题
1.1.3 求证: 对 $\forall a,b \in \mathbf{R}$ ,有
$$ \max \{ a,b\} = \frac{a + b}{2} + \frac{\left| a - b\right| }{2},\;\min \{ a,b\} = \frac{a + b}{2} - \frac{\left| a - b\right| }{2}; $$
并解释其几何意义.
1.1
📝 有解析
第1.1题
1.1.4 设 $f\left( x\right)$ 在集合 $X$ 上有界,求证:
$$ \left| {f\left( x\right) - f\left( y\right) }\right| \leq \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}f\left( x\right) - \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}f\left( x\right) \;\left( {\forall x,y \in X}\right) . $$
1.1
📝 有解析
第1.1题
1.1.5 设 $f\left( x\right) ,g\left( x\right)$ 在集合 $X$ 上有界,求证:
$$ \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) \} + \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ g\left( x\right) \} \leq \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) + g\left( x\right) \} $$
$$ \leq \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) \} + \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ g\left( x\right) \} ; $$
$$ \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) \} + \mathop{\inf }\limits_{{x \in X}}\{ g\left( x\right) \} \leq \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) + g\left( x\right) \} $$
$$ \leq \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ f\left( x\right) \} + \mathop{\sup }\limits_{{x \in X}}\{ g\left( x\right) \} . $$
1.2
📝 有解析
第1.2题
1. 2.1 设 $f\left( x\right) = \left| {1 + x}\right| - \left| {1 - x}\right|$ . (1) 求证: $f\left( x\right)$ 是奇函数; (2) 求证: $\left| {f\left( x\right) }\right| \leq 2$ ; (3) 求 $\left( \underset{n\text{ 次 }}{\underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}}\right) \left( x\right)$ .
1.2
第1.2题
1.2.2 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上定义, $a > 0,b > 0$ . 求证:
(1)若 $\frac{f\left( x\right) }{x}$ 单调下降,则 $f\left( {a + b}\right) \leq f\left( a\right) + f\left( b\right)$ ；
(2)若 $\frac{f\left( x\right) }{x}$ 单调上升,则 $f\left( {a + b}\right) \geq f\left( a\right) + f\left( b\right)$ .
1.2
第1.2题
1.2.3 利用上题证明: 当 $a > 0,b > 0$ 时,有
(1)当 $p > 0$ 时, ${\left( a + b\right) }^{p} \geq {a}^{p} + {b}^{p}$ ；
(2)当 $0 < p < 1$ 时, ${\left( a + b\right) }^{p} \leq {a}^{p} + {b}^{p}$ .
1.2
📝 有解析
第1.2题
1.2.4 设 $f\left( x\right)$ 在 $\mathbf{R}$ 上定义,且 $f\left( {f\left( x\right) }\right) \equiv x$ .
(1)问这种函数有几个?
(2)若 $f\left( x\right)$ 为单调增加函数,问这种函数有几个?
1.2
📝 有解析
第1.2题
1.2.5 求证: 若 $y = f\left( x\right) \left( {x \in \left( {-\infty , + \infty }\right) }\right)$ 是奇函数,并且它的图像关于直线 $x = b\left( {b > 0}\right)$ 对称,则函数 $f\left( x\right)$ 是周期函数并求其周期.
1.2
第1.2题
1.2.6 设 $f : X \rightarrow Y$ 是满射, $g : Y \rightarrow Z$ . 求证: $g \circ f : X \rightarrow Z$ . 有反函数的充分必要条件为 $f$ 和 $g$ 都有反函数存在,且 ${\left( g \circ f\right) }^{-1} = {f}^{-1} \circ {g}^{-1}$ .
1.3
📝 有解析
第1.3题
1. 3.1 (2) ${x}_{n} = \frac{1}{{2}^{n}};\;\left( 3\right) {x}_{n} = \frac{n}{n + 1}$ .
1.3
📝 有解析
第1.3题
1.3.2 $\displaystyle{x}_{n + 1} = 1 - \sqrt{1 - {x}_{n}}\overset{\text{ 写成 }}{ = }\frac{{x}_{n}}{1 + \sqrt{1 - {x}_{n}}} \Rightarrow 0 < {x}_{n} \downarrow \Rightarrow \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = 0}$ ,
$\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{x}_{n + 1}}{{x}_{n}} = \frac{1}{2}.}$
1.3
📝 有解析
第1.3题
1.3.3 设 $c > 1$ ,求序列 $\sqrt{c},\sqrt{c\sqrt{c}},\sqrt{c\sqrt{c\sqrt{c}}},\cdots$ 的极限.
1.3
📝 有解析
第1.3题
1.3.4 设 $A > 0,{x}_{1} > 0,{x}_{n + 1} = \frac{1}{2}\left( {{x}_{n} + \frac{A}{{x}_{n}}}\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right)$ .
(1)求证: ${x}_{n}$ 单调下降且有下界；
(2) 求 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}}$ .
1.3
📝 有解析
第1.3题
1.3.5 设 ${F}_{0} = {F}_{1} = 1,{F}_{n + 1} = {F}_{n} + {F}_{n - 1}$ ,求证: $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{F}_{n - 1}}{{F}_{n}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}}$ .
1.3
📝 有解析
第1.3题
1.3.6 求证:
(1) $\frac{1}{2\sqrt{n + 1}} < \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} < \frac{1}{2\sqrt{n}}$ ;
(2)序列 ${x}_{n} = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} - 2\sqrt{n}$ 的极限存在.
1.3
📝 有解析
第1.3题
1.3.7 设 $0 < {a}_{1} < {b}_{1}$ ,令
$$ {a}_{n + 1} = \sqrt{{a}_{n} \cdot {b}_{n}},\;{b}_{n + 1} = \frac{{a}_{n} + {b}_{n}}{2}\;\left( {n = 1,2,\cdots }\right) . $$
求证: 序列 $\left\{ {a}_{n}\right\} ,\left\{ {b}_{n}\right\}$ 的极限存在.
1.3
📝 有解析
第1.3题
1.3.8 求证: 如下序列的极限存在:
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left( {1 + \frac{1}{{2}^{2}}}\right) \left( {1 + \frac{1}{{3}^{2}}}\right) \cdots \left( {1 + \frac{1}{{n}^{2}}}\right) . $$
1.3
📝 有解析
第1.3题
1.3.9 求证: 如下序列的极限存在:
$$ \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\left\lbrack \frac{\left( {2n}\right) !!}{\left( {{2n} - 1}\right) !!}\right\rbrack }^{2}\frac{1}{{2n} + 1} $$
1.3
📝 有解析
第1.3题
1. 3.10 设 $c > 0$ ,求序列
$$ \sqrt{c},\sqrt{c + \sqrt{c}},\sqrt{c + \sqrt{c + \sqrt{c}}},\cdots $$
的极限.
1.3
📝 有解析
第1.3题
1.3.11 设 ${x}_{n} = {a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}$ ,求证: 若 ${\widetilde{x}}_{n} = \left| {a}_{1}\right| + \left| {a}_{2}\right| + \cdots + \left| {a}_{n}\right|$ 极限存在,则 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 极限存在.
1.3
📝 有解析
第1.3题
1.3.12 设 ${x}_{n} = {a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n},{y}_{n} = {b}_{1} + {b}_{2} + \cdots + {b}_{n},{z}_{n} = {c}_{1} + {c}_{2} + \cdots + {c}_{n}$ , 且 ${c}_{n} \leq {a}_{n} \leq {b}_{n}\left( {n = 1,2,\cdots }\right)$ ; 又设 $\left\{ {y}_{n}\right\} ,\left\{ {z}_{n}\right\}$ 极限存在. 求证: $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 极限也存在.
1.3
📝 有解析
第1.3题
1. 3.13 设序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 满足 $\left| {{x}_{n + 1} - {x}_{n}}\right| \leq q\left| {{x}_{n} - {x}_{n - 1}}\right| \left( {n = 1,2,\cdots }\right)$ ,其中 $0 < q < 1$ . 求证: 序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 的极限存在.
1.3
📝 有解析
第1.3题
1.3.14 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 上满足条件:
$$ \left| {f\left( x\right) - f\left( y\right) }\right| \leq q\left| {x - y}\right| \;\left( {\forall x,y \in \left( {-\infty , + \infty }\right) }\right) , $$
其中 $0 < q < 1$ . 对 $\forall {x}_{1} \in \left( {-\infty , + \infty }\right)$ ,令 ${x}_{n + 1} = f\left( {x}_{n}\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right)$ . 求证: 序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 的极限存在,且极限值是 $f\left( x\right)$ 的不动点.
1.3
📝 有解析
第1.3题
1.3.15 设 ${x}_{0} = a,{x}_{1} = b\left( {b > a}\right)$ ,用如下公式定义序列的项:
$$ {x}_{2n} = \frac{{x}_{{2n} - 1} + 2{x}_{{2n} - 2}}{3} $$
${x}_{{2n} + 1} = \frac{2{x}_{2n} + {x}_{{2n} - 1}}{3}$
求证: 序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 极限存在.
1.4
📝 有解析
第1.4题
1. 4.1 设在正实轴上, $h\left( x\right) \leq f\left( x\right) \leq g\left( x\right)$ ,且广义极限
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}h\left( x\right) = A = \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}g\left( x\right) $$
存在. 求证: $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \infty }}f\left( x\right) = A$ (分别讨论 $\displaystyle{A = + \infty , - \infty}$ ,有限数三种情形).
1.4
📝 有解析
第1.4题
1.4.2 设 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) = + \infty ,\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) = A\left( { > 0}\right)$ ,求证:
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow a}}f\left( x\right) g\left( x\right) = + \infty . $$
1.4
📝 有解析
第1.4题
1.4.3 设 $\displaystyle{0 < {x}_{n} < + \infty}$ ,且满足 ${x}_{n} + \frac{4}{{x}_{n + 1}^{2}} < 3$ . 求证: 极限 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}}$ 存在,并求出此极限值.
1.4
📝 有解析
第1.4题
1.4.4 设 $f\left( x\right)$ 是 $\left( {-\infty , + \infty }\right)$ 上的周期函数,又
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = 0, $$
求证: $f\left( x\right) \equiv 0$ .
1.4
📝 有解析
第1.4题
1.4.5 设 $f\left( x\right) ,g\left( x\right)$ 在 $\left( {a, + \infty }\right)$ 上定义, $g\left( x\right)$ 单调上升,且
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}g\left( {f\left( x\right) }\right) = + \infty . $$
求证: $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = + \infty ,\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}g\left( x\right) = + \infty$ .
1.4
📝 有解析
第1.4题
1.4.6 设 ${x}_{n} = \frac{1}{1 \cdot n} + \frac{1}{2 \cdot \left( {n - 1}\right) } + \cdots + \frac{1}{\left( {n - 1}\right) \cdot 2} + \frac{1}{n \cdot 1}$ ,求 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}}$ .
1.4
📝 有解析
第1.4题
1.4.7 设 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}_{1} + {a}_{2} + \cdots + {a}_{n}}{n} = a}$ ,求证: $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{a}_{n}}{n} = 0}$ .
1.4
📝 有解析
第1.4题
1.4.8 设 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 满足 $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\left( {{x}_{n} - {x}_{n - 2}}\right) = 0$ ,求证: $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}\frac{{x}_{n}}{n} = 0}$ .
1.4
📝 有解析
第1.4题
1.4.9 适当定义 $f\left( 0\right)$ ,使函数 $f\left( x\right) = {\left( 1 - 2x\right) }^{\frac{1}{x}}$ 在点 $x = 0$ 处连续.
1.4
📝 有解析
第1.4题
1.4.10 设 $f\left( x\right) ,g\left( x\right) \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,求证:
(1) $\left| {f\left( x\right) }\right| \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ; (2) $\max \{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \} \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ；
(3) $\min \{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \} \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ .
1.4
📝 有解析
第1.4题
1.4.11 设 $f\left( x\right) \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 单调上升,且 $a < f\left( x\right) < b\left( {\forall x \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack }\right)$ . 对 $\forall {x}_{1} \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,由递推公式 ${x}_{n + 1} = f\left( {x}_{n}\right) \left( {n = 1,2,\cdots }\right)$ 产生序列 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ . 求证: 极限 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n}}$ 存在,且其极限值 $c$ 满足 $c = f\left( c\right)$ .
1.4
📝 有解析
第1.4题
1.4.1
1.5
📝 有解析
第1.5题
1. 5.1 设 $f\left( x\right) \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,且 $\left| {f\left( x\right) }\right|$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上单调. 求证: $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上不变号.
1.5
📝 有解析
第1.5题
1.5.2 设 $f\left( x\right) \in C\left( {-\infty , + \infty }\right)$ ,且严格单调,又
$$ \mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow - \infty }}f\left( x\right) = 0,\;\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = + \infty . $$
求证: 方程 ${f}^{3}\left( x\right) - 6{f}^{2}\left( x\right) + {9f}\left( x\right) - 3$ 有且仅有三个根.
1.5
📝 有解析
第1.5题
1.5.3 设 ${f}_{n}\left( x\right) = {x}^{n} + x$ . 求证:
(1)对任意自然数 $n > 1$ ,方程 ${f}_{n}\left( x\right) = 1$ 在 $\left( {\frac{1}{2},1}\right)$ 内有且仅有一个根；
(2)若 ${c}_{n} \in \left( {\frac{1}{2},1}\right)$ 是 ${f}_{n}\left( x\right) = 1$ 的根,则 $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{c}_{n}}$ 存在,并求此极限值.
1.5
📝 有解析
第1.5题
1.5.4 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上无界. 求证: $\exists c \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,使得对 $\forall \delta > 0$ ,函数 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {c - \delta ,c + \delta }\right\rbrack \cap \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上无界.
1.5
📝 有解析
第1.5题
1. 5.5 设 $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 为有界序列. 求证: $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 以 $a$ 为极限的充分必要条件是: $\left\{ {x}_{n}\right\}$ 的任一收敛子序列都有相同的极限值 $a$ .
1.5
📝 有解析
第1.5题
1.5.6 设 $f\left( x\right) ,g\left( x\right) \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ . 求证:
$$ \mathop{\max }\limits_{{a \leq x \leq b}}\left| {f\left( x\right) + g\left( x\right) }\right| \leq \mathop{\max }\limits_{{a \leq x \leq b}}\left| {f\left( x\right) }\right| + \mathop{\max }\limits_{{a \leq x \leq b}}\left| {g\left( x\right) }\right| . $$
1.5
📝 有解析
第1.5题
1.5.7 设 $f\left( x\right) \in C\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ ,且有惟一的取到 $f\left( x\right)$ 最大值的点 ${x}^{ * }$ ,又设
$$ {x}_{n} \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack \;\left( {n = 1,2,\cdots }\right) , $$
使得 $\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( {x}_{n}\right) = f\left( {x}^{ * }\right)$ . 求证: $\displaystyle{\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{x}_{n} = {x}^{ * }}$ .
1.5
📝 有解析
第1.5题
1. 5.8 设 $f\left( x\right) \in C\lbrack 0, + \infty )$ ,又设对 $\forall l \in \mathbf{R}$ ,方程 $f\left( x\right) = l$ 在 $\lbrack 0, + \infty )$ 上只有有限个解或无解. 求证:
(1) 如果 $f\left( x\right)$ 在 $\lbrack 0, + \infty )$ 上有界,则极限 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right)$ 存在;
(2)如果 $f\left( x\right)$ 在 $\lbrack 0, + \infty )$ 上无上界,则 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = + \infty$ .
1.5
📝 有解析
第1.5题
1. 5.9 设 $f\left( x\right) \in C\left( {-\infty , + \infty }\right)$ ,存在 $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow \pm \infty }}f\left( x\right) = + \infty$ ,且 $f\left( x\right)$ 的最小值 $f\left( a\right) < a$ . 求证: $f\left( {f\left( x\right) }\right)$ 至少在两个点处取到它的最小值.
1.5
📝 有解析
第1.5题
1. 5.10 设 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上定义, ${x}_{0} \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ . 如果对 $\forall \varepsilon > 0,\exists \delta > 0$ ,当 $\left| {x - {x}_{0}}\right| < \delta$ 时,有 $f\left( x\right) < f\left( {x}_{0}\right) + \varepsilon$ ,那么称 $f\left( x\right)$ 在点 ${x}_{0}$ 处上半连续. 如果 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上的每一点都上半连续,则称 $f\left( x\right)$ 为 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上的一个上半连续函数. 求证: $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上的上半连续函数一定有上界.
1.5
第1.5题
1.5.11 证明下列函数在实轴上一致连续:
(1) $f\left( x\right) = \sqrt{1 + {x}^{2}}$ ; (2) $f\left( x\right) = \sin x$ .
1.5
第1.5题
1.5.12 证明下列函数在实轴上不一致连续:
(1) $f\left( x\right) = x\sin x$ ; (2) $f\left( x\right) = \sin {x}^{2}$ .
1.5
📝 有解析
第1.5题
1.5.13 设 $f\left( x\right)$ 在 $\lbrack 0, + \infty )$ 上连续,对 $\forall h \geq 0,\mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}f\left( {h + n}\right) = A$ (有限数). 求证: $\mathop{\lim }\limits_{{x \rightarrow + \infty }}f\left( x\right) = A$ .
1.5
第1.5题
1.5.14 设存在常数 $L > 0$ ,使得 $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上满足
$$ \left| {f\left( x\right) - f\left( y\right) }\right| \leq L\left| {x - y}\right| ,\;\forall x,y \in \left\lbrack {a,b}\right\rbrack . $$
求证: $f\left( x\right)$ 在 $\left\lbrack {a,b}\right\rbrack$ 上一致连续.
1.5
📝 有解析
第1.5题
1. 5.15 设函数 $f\left( x\right) ,g\left( x\right)$ 在(a, b)内一致连续. 求证: $f\left( x\right) + g\left( x\right)$ 与 $f\left( x\right) \cdot g\left( x\right)$ 都在(a, b)内一致连续.
1.5
📝 有解析
第1.5题
1.5.16 设 $f\left( x\right)$ 在(a, b)内一致连续,值域含于区间(c, d),又 $g\left( x\right)$ 在 (c, d)内一致连续. 求证: $g\left( {f\left( x\right) }\right)$ 在(a, b)内一致连续.
1.5
📝 有解析
第1.5题
1.5.17 设 $f\left( x\right) \in C\left( {-\infty , + \infty }\right)$ ,且是周期为 $T$ 的周期函数. 求证: $f\left( x\right)$ 在实轴上一致连续.