📝 上海交通大学 2022年强基真题
第1题
等比数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}, a_{1}=-3, \frac{S_{6}-7}{S_{3} 8}, \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=$ 。
第2题
集合 $\displaystyle A=\{1,2, t\}, B=\left\{a^{2} \mid a \in A\right\}, C=A \cup B$ ，且 $\displaystyle C$ 中元素和为 6，则元素积为 。
第3题
已知 $\displaystyle |\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1, \vec{a} \cdot \vec{b}=\frac{1}{2}$ ，则 $\displaystyle (\vec{a}+2 \vec{b})(\vec{b}-\vec{c})$ 最小值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第4题
$\displaystyle x, y, z$ 为正数，求 $\displaystyle \frac{10 x^{2}+10 y^{2}+z^{2}}{x y+y z+x z}$ 的最小值 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第5题
$\displaystyle (1-x)^{5}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+a_{4} x^{4}+a_{5} x^{5}$ ，则 $\displaystyle \left(a_{1}+a_{3}+a_{5}\right)\left(a_{2}+a_{4}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
第6题
$\displaystyle 3^{x-3}+(x-3) \sin (x-3)+K \cos (x-3)=0$ ，仅有唯一解，则 $\displaystyle K$ 有 $\displaystyle \_\_\_\_$个。
第7题
直线 $\displaystyle k x+4 y=1$ 垂直于 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=2-3 t \\ y=1+4 t\end{array}\right.$（ $\displaystyle t$ 为参数），$\displaystyle k=$ 。
第8题
一正四面体容器平放于水平桌面上，向里装入水至到达高的 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 处，再将其倒置，此时水的高度为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第9题
$\displaystyle f(x)=\cos \left(\omega x-\frac{\pi}{6}\right)(\omega\gt 0), f(x) \leq f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 对 $\displaystyle \forall x \in R$ 恒成立，则 $\displaystyle \omega$ 最小值为（ ）。
第10题
两个圆柱，$\displaystyle \frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{3}{2}$ ，其侧面积相同，则 $\displaystyle \frac{s_{1}}{s_{2}}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
第11题
$\displaystyle C: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4 b^{2}}=1, C$ 上有一 P 点，过 P 作两斜率互为相反数的直线，使其分别与 $\displaystyle C$ 交于 $\displaystyle \mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 两点，则 $\displaystyle K_{A B}$ 与下列何参量有关（ ）。
第12题
$\displaystyle \rho^{2} \cos \theta+\rho-3 \rho \cos \theta-3=0$ 所代表的图形为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第13题
双曲线 $\displaystyle C: \frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$ ，焦点为 $\displaystyle \mathrm{A} 、 \mathrm{~B}, ~ C$ 上一点 P ，满足 $\displaystyle \cos A P B=\frac{3}{5}$ ，则 $\displaystyle \triangle A B P$ 的周长为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第14题
已知 $\displaystyle P(\mu-\sigma\lt x\lt \mu+\sigma)=0.6826, P(\mu-2 \sigma\lt x\lt \mu+2 \sigma)=0.9544$ ，则对于 $\displaystyle N(120,9), 1- P(117\lt x\lt 126)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
第15题
$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2} a x^{2}-(1+2 a) x+2 \ln x+2 a$ ，在 $\displaystyle x \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 间有极大值，则 $\displaystyle a$ 的取值范围为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第16题
$\displaystyle C_{1}, C_{2}$ 两圆与 $\displaystyle y=k x, x$ 轴正半轴相切，且两圆交点过 $\displaystyle \mathrm{P}(2,2)$ ，则 $\displaystyle k=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
第17题
$\displaystyle f(x)$ 为偶函数，且 $\displaystyle f(x+4)=f(x)+2 f(2)$ ，则 $\displaystyle f(2022)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
第18题
$\displaystyle x^{2}-\sin (2022 \pi x)=0$ ，在 $\displaystyle x \in[-1,1]$ 上的解的个数 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第19题
双曲线 $\displaystyle C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ，焦点为 $\displaystyle \mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}$ ，过 $\displaystyle \mathrm{F}_{1}$ 作 $\displaystyle l$ ，依次交 $\displaystyle C$ 为 A 、 B ，且 $\displaystyle \angle \mathrm{F}_{1} A \mathrm{~F}_{2}=120^{\circ}, \mathrm{F}_{1} \mathrm{~A}=2 a$ ，则 $\displaystyle \frac{S_{\triangle A B F_{2}}}{S_{\triangle F_{1} A F_{2}}}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
第20题
$\displaystyle \triangle A B C$ 内一点 M ，满足 $\displaystyle \overrightarrow{A M}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{4} \overrightarrow{A C}$ ，则 $\displaystyle \frac{S_{\triangle A B M}}{S_{\triangle B C M}}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 21，一圆锥的轴截面为等腰 $\displaystyle R t \Delta, A$ 为底面圆周上一点， B 为底面圆周内一点，且 $\displaystyle O B \perp B A, \mathrm{~B}$ 为垂足，过 0 作 PB 的高，垂足为 $\displaystyle \mathrm{H}, \mathrm{C}$ 为 PA 中点，$\displaystyle |P A|=4$ ，则当 $\displaystyle V_{\text {C－iro }} \operatorname{Max}$ 时，$\displaystyle |O B|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
第22题
$\displaystyle \tan 15^{\circ}+2 \sqrt{2} \sin 15^{\circ}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
第23题
$\displaystyle A=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 3, x \in z, y \in z\right\}$ ，则 A 中元素个数为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第24题
正方体 $\displaystyle A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, ~ \mathrm{P}$ 为 $\displaystyle B_{1} D$ 上一点，则满足 P 到 $\displaystyle A B, C C_{1}, A_{1} D$ 的距离相等的点有多少个。
第25题
$\displaystyle a\gt b\gt 0$ ，则 $\displaystyle a+\frac{4}{a+b}+\frac{1}{a-b}$ 的最小值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第26题
$\displaystyle f(x)=\ln x-M x^{2}+(1-2 M) x+1$ ，若 $\displaystyle f(x)\lt 0$ 在 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 上恒成立，则最小的整数 $\displaystyle M$ 为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第27题
$\displaystyle f(x)=|x|+2 x+1+3^{x}$ ，若 $\displaystyle g(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的反函数，则 $\displaystyle \left[g\left(x^{2}\right)\right]^{2}=1$ 的根有 $\displaystyle \_\_\_\_$个。
第28题
$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{n+2}+a_{n}=2 a_{n+1}+2$ ，且 $\displaystyle a_{1}=2, a_{2}=6$ ，则 $\displaystyle \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\ldots+\frac{1}{a_{2022}}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
第29题
$\displaystyle \mathrm{C}: \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1, l: x+2 \sqrt{3} y-4 \sqrt{3}=0, \mathrm{P}$ 为 $\displaystyle l$ 上一点， $\displaystyle \mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}$ 为 C 焦点，当 $\displaystyle \angle \mathrm{F}_{1} \mathrm{PF}_{2} \max$ 时，$\displaystyle |\mathrm{OP}|=$
第30题
$\displaystyle \triangle A B C$ 中，$\displaystyle A=3 B=9 C$ ，则 $\displaystyle \cos A \cos B+\cos A \cos C+\cos B \cos C=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
第32题
正方体 $\displaystyle A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}, C_{1} D_{1}$ 中点为 $\displaystyle \mathrm{M}, 0$ 为正方体体心，过 B 点的面 $\displaystyle \beta / / O M$ 且与平面 $\displaystyle B C C_{1} B_{1}$不重合， P 位于 $\displaystyle \beta$ 上且位于正方形 $\displaystyle B C C_{1} B_{1}$ 内及边界上，连接 $\displaystyle \mathrm{A}_{1} \mathrm{P}$ ，则 $\displaystyle \mathrm{A}_{1} \mathrm{P}$ 与平面 $\displaystyle B C C_{1} B_{1}$ 所成角的正切值最大为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第33题
$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有 $\displaystyle a_{0}=\frac{1}{4}, a_{n+1}=a_{n}^{2}+a_{n}(n \in N)$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=0}^{2022} a_{n}$ 的整数部分为 $\displaystyle \_\_\_\_$。
第34题
一圆雉高为 $\displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，底面直径为 3 ，向其中装入一正四面体（边长为 $\displaystyle a$ ），可在锥内自由转动，则 $\displaystyle a_{\text {max }}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
第35题
方程 $\displaystyle \left[\frac{x}{2}\right]+\left[\frac{x}{3}\right]+\left[\frac{x}{5}\right]=x$ 有多少组解？
第37题
$\displaystyle \triangle \mathrm{ABC}$ 中， $\displaystyle \mathrm{AB}=\sqrt{2} \mathrm{BC}$ ， D 点在 AC 上，满足 $\displaystyle \mathrm{AD}=2 \mathrm{DC}$ ，且 $\displaystyle \angle A B D=2 \angle C B D$ ，求 $\displaystyle \angle A B C$ 。
第38题
$\displaystyle \mathrm{M}, \mathrm{N}$ 是 $\displaystyle y^{2}=4 x$ 上的点， F 为抛物线焦点，满足 $\displaystyle \mathrm{MF}+\mathrm{NF}=2 \mathrm{MN}$ ，求 $\displaystyle \angle N F M$ 最大值。
第39题
$\displaystyle f(x)=\cos \left(w x-\frac{\pi}{6}\right)(w\gt 0)$ 满足 $\displaystyle \forall x \in R$ 均有 $\displaystyle f(x) \leq f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 成立，则 $\displaystyle W_{\text {min }}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。
第40题
$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为递增数列，则 $\displaystyle a_{50}$ 与 $\displaystyle \frac{a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{99}}{99}$ 的关系为（ ）。
第41题
$\displaystyle A=\{1,2 \ldots 99,100\}, B=\{3 x \mid x \in A\}, C=\{2 x \mid x \in A\}$ ，则 $\displaystyle B \cap C$ 中元素个数为 $\displaystyle \_\_\_\_$。