6.3 函数项级数

1．证明下列函数项级数在指定区间上的一致收敛性．
（1）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(1-x) x^{n}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上处处收敛，在 $\displaystyle [0, a](a<1)$ 上一致收敛，但在 $\displaystyle [0,1]$ 上不一致收玫．
（2）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} x^{n}(1-x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上绝对收敛和一致收敛，但由其各项绝对值所组成的级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n}(1-x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上不一致收敛。湖南师大 2012 ，河南师大 2012，南京航空 2008，华南理工 2008，浙江师大2006，北京科技 2008，青岛科技 2005，西安电子科技 2002，东华大学 2010，浙江理工 2007，重庆大学 2010）
（3）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} x(1-x)^{n}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．
（4）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n}(1-x)^{2}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．
（5）证明：定义在 $\displaystyle [0,1]$ 上的函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n}(1-x)^{\alpha}$ ，当 $\displaystyle \alpha>1$ 时一致收敛，当 $\displaystyle \alpha=0,1$ 时均不一致收玫．
（6）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(1-\cos x) \cos ^{n} x$ 在 $\displaystyle x=0$ 的邻域 $\displaystyle U(0)$ 内不一致收敛。华南师大2008）
（7）设一元函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，$\displaystyle g(1)=0$ 且 $\displaystyle g^{\prime}(1)=0$ ，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n} g(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．

2．证明下列函数项级数在指定区间上一致收敛．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x}{1+n^{5} x^{2}}, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \arctan \frac{2 x}{x^{2}+n^{3}}, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{\sqrt[3]{n^{4}+x^{4}}}, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{1+n^{4} x^{2}}, x \in[0,+\infty)$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\sin n x}{n^{3}}, x \in(-\infty,+\infty)$ ．

3．证明下列函数项级数在指定区间上一致收敛．
（1）求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{2|x|}{x^{2}+n^{3}}\right)$ 的收敛域，并证明该级数在收敛域上是一致收敛的．
（2）证明级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{x}{n \ln ^{2} n}\right)$ 在 $\displaystyle [-a, a]$ 上一致收敛 $\displaystyle \left(0<a<2 \ln ^{2} 2\right)$ ．
（3）设 $\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$ 为一个常数，$\displaystyle a_{n} \geqslant 0$ ，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_{n}} \sin n x}{n^{\alpha}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。

4．证明或讨论下列函数项级数在指定区间上的一致收敛性．
（1）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[n x \mathrm{e}^{-n x}-(n+1) x \mathrm{e}^{-(n+1) x}\right]$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 内收敛，但在 $\displaystyle [0,1]$ 上不一致收敛．
（2）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[n x \mathrm{e}^{-n x}-(n+1) x \mathrm{e}^{-(n+1) x}\right]$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 和 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上的一致收玫性。
（3）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}(1-x)}{\ln (n+1)}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．

5．证明或讨论下列函数项级数在指定区间上的收敛性．
（1）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 对 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty)$ 都绝对收敛，在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛，但在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上非绝对一致收敛。
（2）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上一致收敛，但 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上非一致收敛．
（3）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的收敛性和一致收敛性．

6．证明或讨论下列函数项级数在指定区间上的敛散性．
（1）求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{\alpha} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的和函数 $\displaystyle S(x)$ ，并讨论级数在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的一致收敛性，其中 $\displaystyle \alpha>0$ ．
（2）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x \mathrm{e}^{-n x}$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致收敛，但 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n x \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可逐项求导．
（3）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-n x}}{n^{\alpha}}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛 $\displaystyle (\alpha>0)$ ．
（4）证明当 $\displaystyle \alpha>2$ 时函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{\alpha} \mathrm{e}^{-n x^{2}}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致收敛．

7．函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n \mathrm{e}^{-n x}$ ，证明 ：（1）在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上收敛，但不一致收敛；（2）求和函数 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n \mathrm{e}^{-n x}$ ；（3）和函数 $\displaystyle S(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续；（4）和函数在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上任意阶可导。南开大学 2008，南昌大学 2010，首都师大 2007，西北工大 2007，福州大学 2005，杭州师大 2007／2014，南京师大 2001，三峡大学 2006 ，太原科技 2005 ，天津大学 2001 ，大连理工 2000 ，山东师大 2008 ，华南理工 2002 ，北京化工 2007，华东理工 $\displaystyle 2003 / 2006$ ，北京交大 1998，华中师大 2008，南京农大 2005，复旦大学 1998）

8．证明下列结论．
（1）设函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} \mathrm{e}^{-n x}$ 的和函数为 $\displaystyle S(x)$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致收敛，但和函数 $\displaystyle S(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续．
（2）证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{e}^{-n^{2} x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致收敛，但和函数在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上任意阶可导．

9．证明下列结论．
（1）证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n+x^{2}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛。但对 $\displaystyle \forall x \in(-\infty,+\infty)$ 非绝对收敛．
（2）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n+x^{4}}$ 关于 $\displaystyle x$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛．

10．证明下列结论．
（1）证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2}+n}{n^{2}}$ 在任何有限区间上一致收敛，但在任何一点上都不绝对收玫．
（2）证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\mathrm{e}^{x^{2}}+\sqrt{n}}{n^{\frac{3}{2}}}$ 在任何有穷区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，但在任何一点 $\displaystyle x_{0}$ 处不绝对收敛．

11．讨论下列函数项级数的一致收敛性及和函数的连续性．
（1）试求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(-1)^{n}}{x^{2}+n^{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x}{x^{2}+n^{2}}$ 的收敛域（绝对收敛或条件收敛），并讨论它们在收玫域内的一致收玫性．
（2）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x+n(-1)^{n}}{x^{2}+n^{2}}$ 的和函数在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的连续性．
（3）证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x+n(-1)^{n}}{x^{2}+n^{2}}$ 在 $\displaystyle |x|<1$ 连续．

12．证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a^{n} \sin \frac{1}{b^{n} x},(a<b)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上处处收敛，但不一致收敛，在 $\displaystyle [c,+\infty)$ 中一致收敛 $\displaystyle (c>0) .(a=2, b=3:$ 华东师大 1998，南昌大学 2009，地质大学 2003，南京财大 2008，西安交大 2000；$\displaystyle a=$ 3，$\displaystyle b=$ 4：温州大学 2007；$\displaystyle a=3, b=8$ ：电子科技 2014；$\displaystyle a=3, b=5$ ：南京师大 2013）

13．证明下列结论．
（1）若 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递减，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，证明：（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x$ 在 $\displaystyle [\alpha, 2 \pi-\alpha]$ 上一致收玫，其中 $\displaystyle 0<\alpha<\pi$ ；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上一致收敛的充要条件是 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。华中师大 2007）
（2）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为单调递减的非负数列，证明若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sin n x$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛，证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ．

14．证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n}$ 在开区间 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 内收敛，在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 内不一致收敛，但在 $\displaystyle [\varepsilon, 2 \pi-\varepsilon]$ 上一致收玫．

15．证明下列函数项级数在指定区间上一致收敛．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin x \sin n x}{\sqrt{x+n}},[0,+\infty)$.
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(1-x) \frac{x^{n}}{1-x^{2 n}} \sin n x,\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n+x)^{n}}{n^{n+1}},[0,1]$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \arctan n x}{x^{2}+n},(-\infty,+\infty)$ ．

16．讨论下列函数项级数在指定区间的一致收敛性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{\sqrt{n}}$ ，（1）$\displaystyle x \in[\alpha, \pi](\alpha>0)$ ，（2）$\displaystyle x \in[0, \pi]$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{\sqrt{n+x}}, x \in[0, \pi]$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin x \cos n x}{\sqrt{n}}, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin x \sin n x}{\sqrt{n}}, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1-\cos x) \sin n x}{\sqrt{n+x}}, x \in[0,2 \pi]$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \cos \frac{(2 n+1) x}{2 n(n+1)} \sin \frac{x}{2 n(n+1)}$ ，（1）$\displaystyle [-l, l]$ ，（2）$\displaystyle (-\infty,+\infty)$ ．

17．研究下列函数级数项的一致收玫性．
（1）研究级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{\mathrm{e}^{n}}\left(x^{n}+\frac{1}{x^{n}}\right)$ 在区间 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 上的一致收敛性．
（2）研究级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{\sqrt{n!}}\left(x^{n}+\frac{1}{x^{n}}\right)$ 在区间 $\displaystyle \left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 上的一致收敛性。南京大学 1999）
（3）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{1+x^{n}}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上不一致收敛，但在 $\displaystyle [-\delta, \delta](0<\delta<1)$ 上一致收敛．

18．设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+x}$ ，证明：（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+x}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收玫；（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续；（3）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导；（4）反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散．

19．设函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+x}$ ．
（1）研究函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的连续性、一致连续性、可微性、单调性．
（2）证明函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-1,+\infty)$ 内连续，且有连续导函数．

20．证明级数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n^{2} x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上点点收敛但不一致收敛，而在 $\displaystyle [\delta,+\infty)$ 上一致收敛 $\displaystyle (\forall \delta>0)$ ，并讨论函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的有界性．

21．设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n^{2} x^{2}}$ ．（1）求 $\displaystyle f(x)$ 的定义域 $\displaystyle D$ ；（2）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n^{2} x^{2}}$ 在 $\displaystyle D$ 上不一致收敛； （3）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle D$ 上连续；（4）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle D$ 上无界．

22．证明下列命题．
（1）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{2} \sqrt[3]{n}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续且有连续的导函数．
（2）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{3} \sqrt{n}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续并有二阶连续的导函数．
（3）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{3}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续。问 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内是否连续可导？
（4）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{3}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，且有连续的导函数．（沈阳 工 大 2007）
（5）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{3}+1}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续并有连续的导函数．
（6）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{2} \sqrt{n}} \ln (1+n x), n=1,2, \cdots$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续且有连续的导函数．

23．证明下列命题．
（1）求证：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{2}}$ 在 $\displaystyle \left[\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right]$ 上连续可微．
（2）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{2}+1}$ 在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 连续且有连续的导数．
（3）试证：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{2}+1}$ 在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 上有连续导数．
（4）证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内非一致收敛，但在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内连续．
（5）证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} \tan \frac{x}{2^{n}}$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 连续，求 $\displaystyle f(x)$ 的表达式，并计算 $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$ 及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \arctan \frac{1}{2 k^{2}}$ ．

24．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{2^{n}}$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收敛，并计算 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）证明：（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin \left(2^{n} \pi x\right)}{2^{n}}$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 连续；（2）函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin \left(2^{n} \pi x\right)}{2^{n}}$ 在任何区间上不能逐项可导（对任意的 $\displaystyle x$ ，此函数项级数逐项求导后点点不收玫）．

25．讨论下列函数项级数在指定区间的连续性．
（1）设 $\displaystyle x_{n} \in(0,1), n=1,2, \cdots$ ，且满足 $\displaystyle x_{i} \neq x_{j}(i \neq j)$ ，讨论 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}\left(x-x_{n}\right)}{2^{n}}$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 的连续性．
（2）将所有有理数排成一个数列 $\displaystyle \left\{r_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ ，试讨论函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}\left(x-r_{n}\right)}{2^{n}}$ 的连续性．
（3）讨论函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}(x-n)}{2^{n}}$ 的连续性．．
（4）设函数项级数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} 2^{-n}\left|\sin \left(x-\frac{1}{n}\right)\right|$ ．证明：（1）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 连续；（2）函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{k}=\frac{1}{k}, k=2,3, \cdots$ ，处不可微，在区间 $\displaystyle (0,1)$ 内其他点处皆可微。重庆大学2006）
（5）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为 $\displaystyle (a, b)$ 中互不相同的点列，$\displaystyle a_{n}$ 为函数 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上的唯一间断点。设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致有界，即存在正数 $\displaystyle M$ 使得 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leqslant M$ 对所有的 $\displaystyle n$ 与所有 $\displaystyle x \in(a, b)$ 均成立．证明：函数 $\displaystyle h(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f_{n}(x)}{2^{n}}$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内的间断点集为 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ ．

26．证明或求解下列各题．
（1）设 $\displaystyle c_{n}(x)$ 在区间 $\displaystyle [-1,1]$ 上非负连续，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x), f(1)=1$ ．证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}(x) \cos (2 n \pi x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上一致收玫，并求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}(x) \cos (2 n \pi x)$ 。
（2）设 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{2^{n}} \sin \frac{n}{2} \pi x, x \in\left(0, \frac{3}{2}\right)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} S(x)=S(1)$ ，并求 $\displaystyle S(1)$ ．

27．设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n \mathrm{e}^{-n} \cos n x, x \in[0,2 \pi]$ ，证明：
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上连续；
（2）$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上存在且连续；
（3） $\displaystyle \max _{[0,2 \pi]} f(x)=\frac{\mathrm{e}}{(\mathrm{e}-1)^{2}} \geqslant \frac{2}{\mathrm{e}}$ ．

28．证明或求解下列各题．
（1）证明：若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛。
（2）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$（有限）$\displaystyle (a \neq 0)$ ，证明：（1）$\displaystyle \forall \delta>0, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (\delta,+\infty)$ 上一致收敛； （2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 不一致收敛；（3）函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续。西北师大 2005）
（3）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界，但不收敛，求证：（1）$\displaystyle \forall x>0, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 收敛；（2）$\displaystyle \forall \delta>0, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle [\delta,+\infty)$上一致收敛；（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致收敛．
（4）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{e}^{-n x}}{1+n^{2}}$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 连续，并且 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 连续．
（5）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{\mathrm{e}^{-n x}}{n}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 的连续范围及可导范用．

29．设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{-n} \cos \left(n^{2} x\right)$ ．
（1）证明级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{-n} \cos \left(n^{2} x\right)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 一致收敛；（2）证明 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \mathrm{e}^{-n} \frac{\mathrm{~d}^{k}}{\mathrm{~d} x^{k}}\left(\cos n^{2} x\right), k \geqslant 1$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 一致收敛；（3）求 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的泰勒级数；（4）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的泰勒级数的收玫半径为 0．

30．证明下列各题．
（1）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x}{1+n^{3} x^{3}}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛 $\displaystyle (0<a<b<+\infty)$ ，在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致收敛，并证明函

数 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x}{1+n^{3} x^{3}}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续．
（2）证明 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+x^{2}}{n^{4}}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上不一致收敛，但在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续．

31．设 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{1}{n^{3}} \ln \left(1+n^{2} x^{2}\right), n=1,2, \cdots$ ，记 $\displaystyle s(x)=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ ，证明：（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 一致收玫，但在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 不一致收玫．（2）讨论其和函数 $\displaystyle s(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续性、可积性和可微性．

32．证明或求解下列各题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(x+\frac{1}{n}\right)^{n}$ ，确定函数的定义域 $\displaystyle D$ ，并证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(x+\frac{1}{n}\right)^{n}$ 在 $\displaystyle D$ 上：不一致收玫，但函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle D$ 上连续．
（2）求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(x+\frac{1}{n}\right)^{n}$ 的收敛域，并判定其一致收敛性。西安电子科技 2005）
（3）求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{\left(x+\frac{1}{n}\right)^{n}}$ 的收敛域，并讨论其一致收敛性（包括内闭一致收敛性）$\displaystyle (x \geqslant 0)$ 。中科院 2013，武汉大学2014，河南师大2009，苏州大学2003（B），华东师大）
（4）设 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+\frac{x}{n^{2}}\right)$ ，求 $\displaystyle S(x)$ 的定义域 $\displaystyle D$ ，并证明函数 $\displaystyle S(x)$ 在 $\displaystyle D$ 连续可导。西安交大 2006）
（5）求证：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (1+n x)}{n x^{n}}$ 在任何区间 $\displaystyle [1+a,+\infty)$ 上一致收敛，在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 内不一致收敛，但和函数在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 内连续 $\displaystyle (a>0)$ ．（武汉大学 2010，中北大学2005（B），四川大学1999，西北大学）

33．证明下列各题．
（1）证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \ln x$ 在 $\displaystyle [a, b](0<a<b<1)$ 上一致收敛，在 $\displaystyle (0,1]$ 上不一致收敛，但 $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \ln x \mathrm{~d} x\right)=1-\frac{\pi^{2}}{6}$ ．
（2）证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n}(\ln x)^{2}$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上一致收玫．
（3）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n \ln n}$ 在 $\displaystyle [0,1)$ 上的一致收敛性．

34．设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2} \ln (1+n)} x^{n}$ ．证明：（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 连续；（2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=-1$ 处可导；（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f^{\prime}(x)=+\infty$ ；（4）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 不可导．

35．证明下列结论．
（1）证明：（1）函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上收敛，在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上不一致收敛，但在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 内内闭一致收敛；（2）函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 连续，并在该区间内有任意阶连续导函数。
（2）设函数 $\displaystyle \xi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x+1}}$ ，试证函数 $\displaystyle \xi(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内连续，但在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内不一致连续．
（3）求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{n^{x}}$ 的收玫域，并讨论其和函数的连续性与可微性．
（4）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{x+\frac{1}{n}}}$ 的绝对收敛性、条件收敛性和一致收敛性，并指出函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{x+\frac{1}{n}}}$ 的连续性．
（5）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n^{x}}$ 的收敛性和一致收敛性。

36．设 $\displaystyle a_{n}$ 满足 $\displaystyle \ln \ln n \leqslant a_{n} \leqslant \ln n, n=2,3, \cdots$ ．研究函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 的收玫性、一致收敛性以及和函数的连续性、可导性．

37．若级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 收敛，证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续．

38．证明：（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n}$ 收敛；
（2）$\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n} \frac{1}{(\ln n)^{x}}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致收敛；
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n} \frac{1}{(\ln n)^{x}}=\sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{1}{n}$ ．

39．证明或讨论下列各题．
（1）证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \frac{x^{n}}{1+x^{n}}$ 在区间 $\displaystyle (0,1)$ 上的一致收玫性，并证明其和函数 $\displaystyle S(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上有连续可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{1}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \frac{x^{n}}{1+x^{n}}=\frac{1}{2} \ln 2$ 。
（2）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \frac{(\sin x)^{2 n}}{1+(\sin x)^{2 n}}$ 在 $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上的一致收敛性、绝对收敛性和绝对一致收玫性．

40．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续可导且 $\displaystyle f(0)=0$ ．（1）求证 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} f\left(\frac{x}{n}\right)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上一致收敛； （2）设 $\displaystyle S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} f\left(\frac{x}{n}\right)$ ，求证：$\displaystyle S(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续可导．

41．设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 中的每一项函数 $\displaystyle f_{n}(x)$ 都是 $\displaystyle [a, b]$ 上的单调函数，证明：
（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(a)$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(b)$ 都绝对收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛。
（2）若每一项函数 $\displaystyle f_{n}(x)$ 的单调性相同，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(a)$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(b)$ 都收敛，则在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫．

42．设 $\displaystyle \left\{u_{n}(x)\right\}$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 上正的递减且收玫于 0 的函数列，每个 $\displaystyle u_{n}(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 上的单调函数．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛。（广西大学 2008 ，江苏大学 2010 ，南京师大 2009（［a，b］））

43．证明下列结论．
（1）设函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle D$ 上一致收玫于 $\displaystyle S(x)$ ．函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle D$ 上有界．证明： $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} g(x) u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle D$ 上一致收玫于 $\displaystyle g(x) S(x)$ 。
（2）设 $\displaystyle a_{n}(x) \geqslant 0$ ，函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．函数列 $\displaystyle \left\{b_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致有界。证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}(x) b_{n}(x)\right|$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．
（3）设 $\displaystyle a_{n}(x) \geqslant 0$ ，函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致收玫．$\displaystyle \forall n \in \mathrm{~N}^{+},\left|b_{n}(x)\right| \leqslant a_{n}(x), x \in I$ ．证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}(x)$ 在 $\displaystyle I$ 上一致收敛．$\displaystyle \cdots$

44．设 $\displaystyle D \subset(-\infty,+\infty), x_{0}$ 为 $\displaystyle D$ 的极限点，则当级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle D$ 一致收玫，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} u_{n}(x)=a_{n}$ ， $\displaystyle n=1,2, \cdots$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛．

45．设 $\displaystyle f_{1}(x)=f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}, f_{n+1}(x)=f\left(f_{n}(x)\right), n=1,2, \cdots$
（1）求 $\displaystyle f_{n}(x)$ 的表达式，并证 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致收敛于 0 ．
（2）求证：级数 $\displaystyle f_{1}(x)+\sum_{n=1}^{\infty}\left(f_{n+1}(x)-f_{n}(x)\right)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收玫于 0 ．

46．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上有二阶连续导数，$\displaystyle f(x)$ 的值域为 $\displaystyle [-1,1], f(0)=0,0<f^{\prime}(0)<\frac{1}{2}$ ，
$\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant M<1$ 。令 $\displaystyle f_{1}(x)=f(f(x)), f_{n}(x)=f\left(f_{n-1}(x)\right), n=1,2, \cdots$ ，求证：级数：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上一致收敛．

47．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(f(x))^{n}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上处处收玫，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(f(x))^{n}$ 在 $\displaystyle [a, b]$上一致收敛．

48．设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 的某个去心邻域 $\displaystyle U^{\circ}\left(x_{0}\right)=\left\{x\left|0<x-x_{0}\right|<\delta\right\}$ 一致收敛，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} u_{n}(x)=c_{n}, n=1,2, \cdots$ ．证明：（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 收玫；（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \lim _{x \rightarrow x_{0}} u_{n}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 。

49．设 $\displaystyle f_{n}(x)$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 上的非负连续函数．$\displaystyle \forall 0<\delta<1, \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [0, \delta]$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} f(x)=a$ 有限，证明：（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(1)$ 收敛；（2）若令 $\displaystyle \bar{f}(x)=\left\{\begin{array}{l}f(x), x \in[0,1), \\ a, x=1,\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收玫于 $\displaystyle \bar{f}(x)$ ．

50．证明下列结论．
（1）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{x} t^{n}(1-t) \mathrm{d} t$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有连续导数，$\displaystyle f(1)=0$ ，证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{x} t^{n} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $\displaystyle x \in[0,1]$ 上一致收敛．
（3）若 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}\left(a_{n}>0, n=1,2, \cdots\right)$ 的收敛半径为 $\displaystyle +\infty$ ，且 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} n!$ 收敛。证明 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} f(x) \mathrm{d} x$收敛，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} f(x) \mathrm{d} x=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} n!$.
（4）设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, \cdots$ 均为常数，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \frac{1}{n!} \int_{0}^{x} t^{n} \mathrm{e}^{-1} \mathrm{~d} t$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．