3.2 微分中值问题

1．（推广的罗尔定理）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内可微，$\displaystyle a, b$ 为有限数或无穷，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=A$（有限值 $\displaystyle +\infty$ 或 $\displaystyle -\infty$ ）。试证：$\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ 。

特殊情形：
（1）若 $\displaystyle f(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ ，则至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，则存在 $\displaystyle \xi \in(a,+\infty)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty, c)$ 上可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow c^{c}} f(x)=\lim _{x \rightarrow-x} f(x)=A$ ，求证存在 $\displaystyle \xi \in(-\infty, c)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．

2．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续并且在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内可导．若 $\displaystyle f(x) \geqslant 0$（但不恒为零）， $\displaystyle f(0)=0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。则（1）存在 $\displaystyle \xi \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ；（2）存在直线 $\displaystyle y=b>0$ 与曲线 $\displaystyle y=f(x)$ 至少交于两点。

3．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle 0 \leqslant f(x) \leqslant \frac{x}{1+x^{2}}$ ．证明：$\displaystyle \exists \xi>0$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{1-\xi^{2}}{\left(1+\xi^{2}\right)^{2}}$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 内可微并且满足不等式

$$
0 \leqslant f(x) \leqslant \ln \left[(2 x+1)\left(\sqrt{1+x^{2}}-x\right)\right]=\ln \frac{2 x+1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}
$$

4．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle a<0$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0, f(0) \cdot f^{\prime}(0) \geqslant 0$ ．证明：存 在 $\displaystyle \xi \in[a,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，若 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(a)>0, f(a)>f(b)$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．

5．证明下列命题（导数的介值性）．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，且有 $\displaystyle f_{+}^{\prime}(a) \cdot f_{-}^{\prime}(b)<0$ ，则在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可微，且 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in(a, b), f^{\prime}\left(x_{1}\right) \cdot f^{\prime}\left(x_{2}\right)<0$ ，证明在 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 之间至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（3）若 函 数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 处 处 可 导（端 点 指 单 侧 导 数），$\displaystyle f^{\prime}(a)<f^{\prime}(b)$ ，则 $\displaystyle \forall c: f^{\prime}(a)<c<f^{\prime}(b), \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=c$ 。
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 可导，$\displaystyle x_{k}, y_{k} \in[a, b], x_{k}<y_{k}(k=1,2, \cdots, n)$ ，求证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(f\left(y_{k}\right)-f\left(x_{k}\right)\right)=f^{\prime}(\xi) \sum_{k=1}^{n}\left(y_{k}-x_{k}\right)$. ．

6．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一阶可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0, f^{\prime}(a) \cdot f^{\prime}(b)>0$ 。证明：
（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少有一个零点．
（2）$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少有两个零点．

7．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一阶可导，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 二阶可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0, f^{\prime}(a) \cdot f^{\prime}(b)>0$ ，则
（1）存在 $\displaystyle \theta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\theta)=0$ ；
（2）对任意 $\displaystyle \alpha \in \mathbf{R}$ ，存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)-\alpha f^{\prime}(\xi)=0$ ；
（3）存在 $\displaystyle \eta \in(a, b), f^{\prime \prime}(\eta)=f(\eta)$ ；
（4）存在 $\displaystyle \zeta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\zeta)=4 f(\zeta)$ 。

8．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=k, f^{\prime}(a) \cdot f^{\prime}(b)>0$ 。求证存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=k$ ．
（2）设函数设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(a)=f(b)=0, f^{\prime}(a)=\sqrt{a^{2}+1}, f^{\prime}(b)=\sqrt{4+b^{2}}$ ．证明 $\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少有一个零点．

9．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,3]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,3)$ 内可导且 $\displaystyle f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(0,3)$使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,4]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,4)$ 上可导，假定 $\displaystyle f(0)=1$ ，且 $\displaystyle f(1)+f(2)+f(3)=f(4)=2$ ．证明存在一点 $\displaystyle \exists \xi \in(0,4)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．

10．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可微．若 $\displaystyle f(a) f(b)>0$ ，且 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ．证明必 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(a) f(b)>0, f(a) f\left(\frac{a+b}{2}\right)<0$ 。证明在 $\displaystyle (a, b)$内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=f(\xi)$ ．

11．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导。证明：（1）$\displaystyle \forall x_{0} \in(a, b), f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处不可能发生第一类间断点； （2）$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内单调时，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 必在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续。湖南师大2012，南航2013，西安交大2005，2003，西安电子科技 2004 湖北大学 2005 ，山东大学 2003 ，北航 2004 ，江苏大学 2009 ，扬州大学 2010 ，北京师 大 2009 ，聊城大学 2012，太原理工 2006，武汉大学）
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内处处有导数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 。证明：$\displaystyle (a, b)$ 中的点或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的连续点，或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的第二类间断点．

12．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上二次可微，且有界，证明 $\displaystyle \exists x_{0} \in(-\infty,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上二次连续可微，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-x} f(x), \lim _{x \rightarrow+x} f(x)$ 存在．证明存在 $\displaystyle x_{0} \in(-\infty,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 二阶可微，且 $\displaystyle f(0)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 。证明：
（1）存在 $\displaystyle \xi_{1} \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=0$ ；（2）存在 $\displaystyle \xi_{2} \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)=0$ 。
（3）存在一个数列 $\displaystyle \left\{\xi_{n}\right\} \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \xi_{n}=+\infty$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow x} f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)=0$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 内具有连续的二阶导数，$\displaystyle f_{+}^{\prime}(0)<0$ 且 $\displaystyle x \geqslant 0$ 时 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geqslant a>0, a$ 为常数．求证：存在唯一 $\displaystyle x^{*} \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f\left(x^{*}\right)=\inf _{x>0} f(x)$ ．

13．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在在区间 $\displaystyle [0, a]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(a)=0$ ，设 $\displaystyle F(x)=x^{2} f(x)$ ．证明至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0, a)$ 使 $\displaystyle F^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．（河海大学2006，重庆大学2011，福建师大2007（ $\displaystyle a=1$ ））
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上有三阶导数，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, F(x)=x^{3} f(x)$ ．证 明： （1）$\displaystyle \exists \xi_{1} \in(0,1)$ 使 $\displaystyle F^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=0$ ；（2）$\displaystyle \exists \xi_{2} \in(0,1)$ 使 $\displaystyle F^{m}\left(\xi_{2}\right)=0$ 。
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 有 $\displaystyle n$ 阶连续导数，$\displaystyle f(0)=f(2)=0$ ．记 $\displaystyle F(x)=(x-1)^{n-1} f(x)$ ，试证 $\displaystyle \exists \xi \in(0,2)$ 使得 $\displaystyle F^{(n)}(\xi)=0$ ．

14．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶连续导数，在区间 $\displaystyle (a, b)$ 内有三阶导函数且 $\displaystyle f(a)=f^{\prime}(a)=0$ 及 $\displaystyle f(b)=f^{\prime}(b)=0$ ．证明：在 $\displaystyle (a, b)$ 内存在一点 $\displaystyle c$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(c)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上非负且三阶可导，方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内有两个不同实根。证明存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{(3)}(\xi)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上三阶可导，$\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ，且在 $\displaystyle (a, b)$ 取最大值．试证存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{(3)}(\xi)=0$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 两次连续可微，满足 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ 且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在整个实轴上具有二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, f(1)=0$ ．证明在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \beta$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\beta)=0$ ．
（6）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上存在二阶导数，且 $\displaystyle f(a)=f(b)=0, f^{\prime \prime}(x) \neq 0$ ，则对 $\displaystyle \forall x \in(a, b), f(x) \neq 0$ ．

15．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内二阶可导，且过 $\displaystyle (a, f(a)),(b,(f(b))$ 两点的直线 $\displaystyle l$ 与 $\displaystyle y=f(x), x \in(a, b)$ 有一个交点。试证：存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有 2001 阶导数，且过 $\displaystyle (a, f(a)),(b,(f(b))$ 两点的直线 $\displaystyle l$ 与 $\displaystyle y=f(x), x \in(a, b)$ 有 2000 个交点。试证存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{(2001)}(\xi)=0$ ．

16．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导．证明：
（1）存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle 2 \xi(f(b)-f(a))=\left(b^{2}-a^{2}\right) f^{\prime}(\xi)$ ．
（2）至少存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle 3 \xi^{2}(f(b)-f(a))=\left(b^{3}-a^{3}\right) f^{\prime}(\xi)$ ．

17．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle f(x)>0$ ．证明至少 $\displaystyle \exists x_{0} \in(a, b)$ 使得

$$
f^{\prime}\left(x_{0}\right) \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f\left(x_{0}\right)(f(b)-f(a)) .
$$

18．函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导。证明：
（1）至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)(g(b)-g(a))=g^{\prime}(\xi)(f(b)-f(a))$ ．
（2）若 $\displaystyle \forall x \in(a, b), g^{\prime}(x) \neq 0$ ，则 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}=\frac{f(\xi)-f(a)}{g(b)-g(\xi)}$ ．
（3）若 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在在 $\displaystyle (a, b)$ 内严格递减，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \neq 0, f(a)=f(b)=1$ ．则至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \frac{1-g(\xi)}{f(\xi)-1}=\frac{g^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\xi)}$ ．
（4）若 $\displaystyle g(x) \neq 0,|f(x)|+|g(x)| \neq 0, \forall x \in[a, b]$ ，则至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle \frac{\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x}{\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x}=\frac{f(\xi)}{g(\xi)}$ ．

19．设函数 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 可导．证明在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使得

$$
\left|\begin{array}{ll}
f(a) & f(b) \\
g(a) & g(b)
\end{array}\right|=(b-a)\left|\begin{array}{ll}
f(a) & f^{\prime}(\xi) \\
g(a) & g^{\prime}(\xi)
\end{array}\right| .
$$

20．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可导，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，而当 $\displaystyle x \in(0,1)$ 时 $\displaystyle f(x) \neq 0$ ．证明：对任意自然数 $\displaystyle n$ ，至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \frac{n f^{\prime}(\xi)}{f(\xi)}=\frac{f^{\prime}(1-\xi)}{f(1-\xi)}$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0, f(0)=0$ ．证明：$\displaystyle \exists \lambda, \mu \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \lambda+\mu=1, \frac{f^{\prime}(\lambda)}{f(\lambda)}=\frac{f^{\prime}(\mu)}{f(\mu)}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 个可导，且 $\displaystyle f(1)=2 f(0)$ 。求证：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle (\xi+1) f^{\prime}(\xi)=f(\xi)$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 二次可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ 。试证：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{f^{\prime}(\xi)}{(\xi-1)^{2}}$ 。
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ ：二阶可导，$\displaystyle f(0)=f(1)$ ．求证至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle 2 f^{\prime}(\xi)+(\xi-1) f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0, f(0)=0$ 。证明：$\displaystyle \exists \lambda, \mu \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \lambda+\mu=1, \frac{f^{\prime}(\lambda)}{\lambda}=\frac{f^{\prime}(\mu)}{\mu}$ ．

21．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$ ，且 $\displaystyle x \in(a, b)$ 时， $\displaystyle g^{\prime \prime}(x) \neq 0$ 。证明：（1）$\displaystyle \forall x \in(a, b), g(x) \neq 0$ ；（2）至少 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(\xi) g^{\prime \prime}(\xi)-g(\xi) f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 二阶可导，且存在相等的最大值，$\displaystyle f(a)=g(a), f(b)=g(b)$ 。试证存在 $\displaystyle \eta \in(a, b), f^{\prime \prime}(\eta)=g^{\prime \prime}(\eta)$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二次可微，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi) \cos \xi+ f^{\prime \prime}(\xi) \sin \xi=0$ 。

22．证明下列命题．
（1）假设 $\displaystyle f(x)$ 为二次连续可微实值函数，对于所有的实数 $\displaystyle x$ ，满足 $\displaystyle |f(x)| \leqslant 1$ 且满足 $\displaystyle (f(0))^{2}+\left(f^{\prime}(0)\right)^{2}=4$ 。证明：存在实数 $\displaystyle x_{0}$ ，满足 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)+f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ 。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-2,2]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle |f(x)| \leqslant 1$ ，又 $\displaystyle \frac{1}{2}\left[f^{\prime}(0)\right]^{2}+f^{3}(0)>\frac{2}{3}$ ．证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in(-2,2)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)+3 f^{2}\left(x_{0}\right)=0$ ．

23．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且 $\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0, f(1)=1$ 。证明：（1）$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi) \sin \pi \xi+ \pi f(\xi) \cos \pi \xi=0$ ；（2）对 任 意 正 数 $\displaystyle \lambda, \exists \xi \in(0,1)$ 使 $\displaystyle (1-\xi) f^{\prime}(\xi)+\lambda f(\xi)=0$ ；（3）$\displaystyle \exists \eta \in(0,1)$ 使
$\displaystyle f^{\prime}(\eta)=\frac{1}{2001}$ ．

24．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可微，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ．试证：$\displaystyle \forall \alpha \in(-\infty,+\infty)$ ， $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \alpha f(\xi)=f^{\prime}(\xi)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 可微，$\displaystyle x_{1}<x_{2}, f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ ，求证存在 $\displaystyle \xi \in\left(x_{1}, x_{2}\right)$ 使 $\displaystyle f(\xi)+f^{\prime}(\xi)=f\left(x_{1}\right)$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 可导，$\displaystyle \lambda$ 为常数，证明：$\displaystyle f(x)$ 的任意两个零点之间必有 $\displaystyle f^{\prime}(x)+\lambda f(x)=0$ 的根．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可导，且对任意 $\displaystyle x \in \mathbf{R}, f^{\prime}(x)+f(x)>0$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 至多存在一个零点．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上可导，$\displaystyle f(x) \neq 0,2 f^{\prime}(x)+f(x) \neq 0$ ．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 至多存在一个零点．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-2,2)$ 内可导，证明在 $\displaystyle (-2,2)$ 内至少有 $\displaystyle x(1-x) f^{\prime}(x)+(1-2 x)$ 的一个零点．

25．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ ：有一直到 $\displaystyle n$ 阶导数，在 $\displaystyle (a, b)$ 内 $\displaystyle n+1$ 阶可导，且 $\displaystyle f^{(k)}(a)=f^{(k)}(b)=0,0 \leqslant k \leqslant n$ 。证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=f^{(n+1)}(\xi)$ 。

26．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶连续可导，$\displaystyle f(1)=f(0)=f^{\prime}(1)=f^{\prime}(0)=0$ ．试证：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f(\xi)=f^{\prime \prime}(\xi)$ ．

27．证明下列命题。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b)=0$ 。试证：$\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)+f^{2}(\xi)=0$ 。
（2）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ 。则 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)+g^{\prime}(\xi) f(\xi)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在（2，3）内可导，且 $\displaystyle \exists x_{1}<x_{2} \in(2,3)$ 使 $\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)=0$ 。求证：$\displaystyle \left(x_{1}, x_{2}\right)$ 内至少有 $\displaystyle x f^{\prime}(x) \ln x+f(x)\left(g^{\prime}(x) x \ln x+\ln x+1\right)$ 的一个零点。

28．证明下列命题。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(a)<0, f(b)<0$ ，存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(c)>0$ ．证明：$\displaystyle \forall \lambda \in \mathbf{R}, \lambda f^{\prime}(x)+f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少有一个零点．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (0, b)$ 内可导，$\displaystyle f(0) f(b)<0$ ．则至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0, b)$ 使得 $\displaystyle \xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ．证明：至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(-\infty,+\infty)$ 使得 $\displaystyle \xi f^{\prime}(\xi)=-f(\xi)$ ．

29．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，$\displaystyle f(1)=0$ ．证明：（1）存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle \xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0$ ；（2）对任何自然数 $\displaystyle n$ ，存在 $\displaystyle \xi_{n} \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle n \xi_{n} f^{\prime}\left(\xi_{n}\right)+f\left(\xi_{n}\right)=0$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上可导，且 $\displaystyle f(a)=0$ ．证明：$\displaystyle \forall n \in \mathbf{N}^{+}$，至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0, a)$ 使 $\displaystyle f(\xi)+\frac{1}{n} \xi f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上连续，在 $\displaystyle (0, a)$ 内二阶可导且 $\displaystyle f(a)=0$ 。证明：
（1）至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0, a)$ 使得 $\displaystyle \xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0$ ．
（2）至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0, a)$ 使得 $\displaystyle \xi f^{\prime}(\xi)+2 f(\xi)=0$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导 $\displaystyle (a<0)$ ，且 $\displaystyle f(a)=0$ 。证明：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f(\xi)=\frac{b-\xi}{a} f^{\prime}(\xi)$ ．

30．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上有连续的导数，若 $\displaystyle f(0)=f(a)$ ．求证：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0, a)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=3 \xi^{2}(f(\xi)-f(0))$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，且 $\displaystyle f(b)=f(a)$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(a)-f(\xi)=\frac{\xi f^{\prime}(\xi)}{2}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可导，在 $\displaystyle (a, b)$ 内存在 $\displaystyle c$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(c)=0$ 。则至少 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{f(\xi)-f(a)}{b-a}$ 。

31．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上 $\displaystyle n$ 次连续可导，且有 $\displaystyle f(1)=f(0)=f^{\prime}(0)=\cdots=f^{(n)}(0)=0$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle n f(\xi)=\xi f^{\prime}(\xi)$ ．

32．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且在 $\displaystyle (0,1)$ 内可微．若 $\displaystyle f(0)=n \int_{\frac{n-1}{n}}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=f(1)$ ．证明：$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且满足 $\displaystyle f(1)-2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} x f(x) \mathrm{d} x=0$ ．求证：至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上可微，且满足 $\displaystyle f(2)=\int_{0}^{\frac{1}{2}} x f(x) \mathrm{d} x$ ．求证：至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,2)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,3]$ 上可微，满足 $\displaystyle f(1)=9 f(3)=\int_{1}^{2} x^{2} f(x) \mathrm{d} x$ 。求证：存在不同的两点 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2} \in(1,3)$ 满足 $\displaystyle 2 f(x)+x f^{\prime}(x)=0$ ．
（6）设 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x} t^{2} f(t) \mathrm{d} t$ ，其中函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 可微，且 $\displaystyle F(1)=f(1)$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{2 f(\xi)}{\xi}$ ．

33．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(1)=2 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \mathrm{e}^{1-x^{2}} f(x) \mathrm{d} x$ ，则在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=2 \xi f(\xi)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可微．若 $\displaystyle f(1)=4 \int_{0}^{\frac{1}{4}} \mathrm{e}^{1-x^{\prime}} f(x) \mathrm{d} x$ ，则（1）存在 $\displaystyle \eta \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(1)=\mathrm{e}^{1-\eta^{3}} f(\eta)$ ；（2）存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=3 \xi^{2} f(\xi)$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上连续，在 $\displaystyle (0, a>0)$ 内可导且 $\displaystyle f(\pi)=\pi \int_{0}^{\frac{1}{\pi}} \mathrm{e}^{\pi-x} f(x) \mathrm{d} x$ ，证明：至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(0, \pi)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=f(\xi)$ 。
（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上可导，且 $\displaystyle f(a)=n \int_{0}^{\frac{1}{n}} \mathrm{e}^{x-a} f(x) \mathrm{d} x,\left(\frac{1}{n}<a\right)$ ，证明：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0, a)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0$ ．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且满足 $\displaystyle f(1)=\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x-1} f(x) \mathrm{d} x$ ，求证：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)+f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且满足 $\displaystyle f(0)=3 \int_{\frac{2}{3}}^{1} \mathrm{e}^{x} f(x) \mathrm{d} x$ ，求证：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)+f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可微，且满足 $\displaystyle f(1)=9 \int_{0}^{\frac{1}{9}} x \mathrm{e}^{1-x} f(x) \mathrm{d} x$ ，求证：至少 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\left(1-\xi^{-1}\right) f(\xi)$ ．

34．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可导， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：（1）$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$ ； （2）$\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle 2 f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi)=0$ 或 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=-\frac{2}{\xi} f(\xi)$ 。
（2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上二次可微，并且 $\displaystyle f(0)=f\left(\frac{1}{4}\right)=0$ ，以及 $\displaystyle \int_{\frac{1}{4}}^{1} f(y) \mathrm{d} y=\frac{3}{4} f(1)$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．

35．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0$ ．若极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(2 x-a)}{x-a}$ 存在，证明：（1）在 $\displaystyle (a, b)$ 内 $\displaystyle f(x)>0$ ；（2）在 $\displaystyle (a, b)$ 内存在点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle \frac{b^{2}-a^{2}}{\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x}=\frac{2 \xi}{f(\xi)}$ ； （3）在 $\displaystyle (a, b)$ 内存在与（2）中 $\displaystyle \xi$ 不同的点 $\displaystyle \eta$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\eta)\left(b^{2}-a^{2}\right)=\frac{2 \xi}{\xi-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ 。
（2）设 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，证明存在 $\displaystyle \xi \in[1,+\infty)$ 使 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} x=\int_{1}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x$ 。北京师大 1998）
（3）已知 $\displaystyle b>a>0$ ，证明存在 $\displaystyle \xi \in(-1,1)$ 使 $\displaystyle \int_{a}^{b} \frac{\mathrm{e}^{-2 x} \cos 2 x}{x} \mathrm{~d} x=\frac{\xi}{a}$ ．

36．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．证明在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle \int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=(1-\xi) f(\xi)$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \cdot($ 苏州大学 2009，2010，东华大学 $\displaystyle 2000([0,1]))$
（3）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可导，且 $\displaystyle \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi) \int_{a}^{\xi} g(x) \mathrm{d} x+2 f(\xi) g(\xi)+g^{\prime}(\xi) \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．
（4）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可导．证明至少 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ ，使
$$
f(\xi) \int_{a}^{\xi} g(x) \mathrm{d} x=g(\xi) \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x \text {. }
$$
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续， $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{4}+\int_{a}^{b} f\left(x^{2}\right) \mathrm{d} x$ 。则 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得
$$
f(\xi)-f\left(\xi^{2}\right)=\frac{1}{4(b-a)} .
$$
（6）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．证明在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle \int_{1}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=\xi f(\xi)$ ．

37．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，且 $\displaystyle a, b$ 同号，证明存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得
$\displaystyle \frac{a f(b)-b f(a)}{b-a}=f(\xi)-\xi f^{\prime}(\xi)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，且 $\displaystyle a, b$ 同号，证明：至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使
$\displaystyle \frac{1}{a^{m}-b^{m}}\left|\begin{array}{cc}a^{m} & b^{m} \\ f(a) & f(b)\end{array}\right|=f(\xi)-\frac{\xi}{m} f^{\prime}(\xi)$ ，其中 $\displaystyle m$ 为正整数．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](a>0)$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，则存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得

$$
\frac{b f(b)-a f(a)}{b-a}=f(\xi)+\xi f^{\prime}(\xi) .
$$

（4）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](a>0)$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，则存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(b)-f(a)=\xi f^{\prime}(\xi) \ln \frac{b}{a}$.
（5）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle g(x)>0$ ，设 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，且 $\displaystyle g^{\prime}(x) \neq 0, \forall x \in[a, b]$ ，证明至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle g^{\prime}(\xi) \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f(\xi) g(\xi) \ln \frac{g(b)}{g(a)}$ ．

38．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可导且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ．证明：
（1）存在 $\displaystyle \xi \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=\xi$ ；
（2）存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f(\xi)=\xi$ ；
（3）存在一点 $\displaystyle \zeta \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\zeta)=1$ ；
（4）$\displaystyle \forall \lambda, \exists \eta \in(0, \xi)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\eta)-\lambda(f(\eta)-\eta)=1$ ．

39．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内有二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ．证明：（1）存在一点 $\displaystyle \xi_{1} \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 使 $\displaystyle f\left(\xi_{1}\right)=\xi_{1}$ ；（2）存在一点 $\displaystyle \xi_{2} \in\left(0, \xi_{1}\right)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=1$ ；（3）存在一点 $\displaystyle \xi_{3} \in\left(0, \xi_{2}\right)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{3}\right)+\xi_{3} f^{\prime \prime}\left(\xi_{3}\right)=1$ ．（西安电子科技 2009 ，上海师大 2004 ，上海师大 2001 ，上海师大 2003 （改 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 为 $\displaystyle \frac{1}{3}$ ））
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在开区间 $\displaystyle (0,1)$ 内可微，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．证明： （1）存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=1-\xi$ ；（2）存在 $\displaystyle \eta, \zeta \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\eta) f^{\prime}(\zeta)=1$ ．

40．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b)$ ．证明：
（1）存在两个不同的点 $\displaystyle \eta, \zeta \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\zeta)=-f^{\prime}(\eta)$ 。
（2）存在两个不同的点 $\displaystyle \eta, \xi \in(a, b)$ 使 $\displaystyle \sin \eta\left(\xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)\right)=f(b) \sin \xi$ ．

41．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导 $\displaystyle (0<a<b), f(a) \neq f(b)$ 。证明 $\displaystyle \exists \xi_{1}, \xi_{2} \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=\frac{a+b}{2 \xi_{2}} f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle 0<a<b$ ．证明存在 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3} \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=\frac{a+b}{2 \xi_{2}} f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=\frac{a^{2}+a b+b^{2}}{3 \xi_{3}{ }^{2}} f^{\prime}\left(\xi_{3}\right)$ 。电子科技 2013，深圳大学 2012，湖南大学 2007，南京航空，陕西师大2007）
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导， $\displaystyle 0<a<b$ 。证明 $\displaystyle \exists \xi_{1}, \xi_{2} \in(a, b)$ 使 $\displaystyle f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=\frac{\xi_{2}^{2} f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)}{a b}$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导， $\displaystyle 0<a<b, f(a) \neq f(b)$ ．证明存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \xi f^{\prime}(\xi)=\frac{f^{\prime}(\eta)(b-a)}{\ln b-\ln a}$ ．

42．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](a>0)$ 连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \neq 0$ ．证明：
（1）存在 $\displaystyle \xi, \eta, \zeta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(\zeta)}{f^{\prime}(\xi)}=\frac{\xi}{\eta}$ ．
（2）存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(\xi)}{f^{\prime}(\eta)}=\frac{\mathrm{e}^{b}-\mathrm{e}^{a}}{b-a} \mathrm{e}^{-\eta}$ ．

43．证明下列命题．
（1）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=1$ ．证明存在 $\displaystyle \varepsilon, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \mathrm{e}^{\varepsilon-\eta}\left(f^{2}(\varepsilon)+2 f(\varepsilon) f^{\prime}(\varepsilon)\right)=1$ ．
（2）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](a>0)$ 连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 可微，且 $\displaystyle f(a)=f(b)=1$ 。证明存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \left(\frac{\eta}{\xi}\right)^{n-1}=f(\xi)+\frac{\xi}{n} f^{\prime}(\xi), n \geqslant 1$ ．

44．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．证明在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在不相同的两点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 满足 $\displaystyle \frac{1}{f^{\prime}\left(x_{1}\right)}+\frac{1}{f^{\prime}\left(x_{2}\right)}=2$ ．

（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．证明：对任意正数 $\displaystyle a, b$ ，在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在不相同的两点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 满足 $\displaystyle \frac{a}{f^{\prime}\left(x_{1}\right)}+\frac{b}{f^{\prime}\left(x_{2}\right)}=a+b$ 。华中师大 2014，西安电子科技 2012，三峡大学 2009，首都师大

2002，北京科技 2007）
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=\frac{1}{2}$ ．证明在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在不相同的两点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 满足 $\displaystyle \frac{1}{f^{\prime}\left(x_{1}\right)}+\frac{1}{f^{\prime}\left(x_{2}\right)}=4$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 可导，$\displaystyle f(a)=0, f(b)=1$ ．求证：（1）存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f(c)=\frac{1}{2}$ ；（2）存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b), \xi \neq \eta$ 使得 $\displaystyle \frac{1}{f^{\prime}(\xi)}+\frac{1}{f^{\prime}(\eta)}=2(b-a)$ 。
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ 。证明对任意一组正数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}$ ，在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在不相同的 $\displaystyle n$ 点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 满足 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \frac{k_{i}}{f^{\prime}\left(x_{i}\right)}=\sum_{i=1}^{n} k_{i}$ 。

45．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上二阶连续可导且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(0,2)$ 使 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=f(2)$ ．

46．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内二阶可导．试证 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得
$\displaystyle f(b)-2 f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(a)=\frac{(b-a)^{2}}{4} f^{\prime \prime}(\xi)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，则 $\displaystyle \exists \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} f(0)+\frac{1}{2} f(1)-\frac{1}{8} f^{\prime \prime}(\xi)$ ．

47．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 三次可导．试证 $\displaystyle \exists c \in(a, b)$ 使

$$
f(b)=f(a)+f^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)+\frac{1}{24} f^{\prime \prime \prime}(c)(b-a)^{3}
$$

（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上三阶可导．求证存在 $\displaystyle \xi \in(-1,1)$ 使 $\displaystyle \frac{f^{(3)}(\xi)}{3}=\frac{f(1)-f(-1)}{2}-f^{\prime}(0)$ ．

48．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶导函数连续．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) f\left(\frac{a+b}{2}\right)+\frac{1}{24}(b-a)^{3} f^{\prime \prime}(\xi)$ 。华中师大2005，东北师大2002，延安大学2001，东华大学 2006，西电 2003，扬州大学 2006，西安理工）
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二次可微，$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0, M=\max _{a<x<b}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$ ．证明 $\displaystyle \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M(b-a)^{3}}{24}$ ．
（3）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-a, a](a>0)$ 上具有二阶连续的导函数，$\displaystyle f(0)=0$ ．证明至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(-a, a)$ 使得 $\displaystyle a^{3} f^{\prime \prime}(\eta)=3 \int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x$ 。武汉大学2014，曲阜师大2011，东华大学2005）

49．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上三阶可微，求证存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使
$\displaystyle f(b)-f(a)=\frac{1}{2}(b-a)\left(f^{\prime}(a)+f^{\prime}(b)\right)-\frac{1}{12}(b-a)^{3} f^{(3)}(\xi)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ．证明存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得

$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{12}(a-b)^{3} . \text { }
$$

50．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶导函数连续，$\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ．证明 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) \frac{f(a)+f(b)}{2}+\frac{1}{6}(b-a)^{3} f^{\prime \prime}(\xi)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上三阶可导连续，$\displaystyle f^{\prime \prime}(a)=f^{\prime \prime}(b)$ ．求证存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使

$$
f(b)=f(a)+\frac{1}{2}(b-a)\left(f^{\prime}(a)+f^{\prime}(b)\right)+\frac{1}{24}(b-a)^{3} f^{(3)}(\xi)
$$

51．证明下列命题。
（1）设 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在，且 $\displaystyle a<c<b$ ．则存在 $\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle \frac{f(a)}{(a-b)(a-c)}+\frac{f(b)}{(b-a)(b-c)}+\frac{f(c)}{(c-a)(c-b)}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\xi)$ ．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 二阶可导，则对 $\displaystyle x \in(a, b)$ ，存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得

$$
\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\xi)(x-b) . \text { }
$$

52．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可微分两次，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi) \neq 0, \xi \in(a, b)$ ．证明在 $\displaystyle (a, b)$ 上可以找到两点 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$ ，使得 $\displaystyle \frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}=f^{\prime}(\xi)$ ．

53．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内连续可导，且对 $\displaystyle \forall x \in(a, b)$ 有 $\displaystyle F(x)=f^{\prime}(x) g(x)- f(x) g^{\prime}(x)>0$ 。证明：（1）$\displaystyle f(x), g(x)$ 不可能有相同的零点；（2）$\displaystyle f(x)$ 的相邻零点之间必有 $\displaystyle g(x)$ 的零点．
（2）设二元函数 $\displaystyle f(x, y), g(x, y)$ 定义在紧集 $\displaystyle K$ 上且有连续一阶偏导数，对 $\displaystyle \forall(x, y) \in K$ ，有 $\displaystyle f_{x} g_{y}-f_{y} g_{x} \neq 0$ ．证明：在 $\displaystyle K$ 内同时满足 $\displaystyle f(x, y)=0, g(x, y)=0$ 的点至多只有有限个．

54．设在 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 连续且可导，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上有界， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f(x)$ 不存在。求证存在数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset(0,1), \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{n}\right)=0$ ．

55．设 $\displaystyle f(x)=\mathrm{e}^{-x}\left(a x^{2}+b x+c\right), x \in \mathbf{R}$ ，满足 $\displaystyle c(b-c) \geqslant 0$ ．证明存在非负单调数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ ，使得 $\displaystyle f^{(n)}\left(x_{n}\right)=0, n \geqslant 1$ 。

56．设 $\displaystyle a, b, c$ 为三个实数，证明方程 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}=a x^{2}+b x+c$ 的根不超过三个．

提示：反证法，假设有四个（或四个以上）根，用 Rolle 定理便可推出三阶导数在某点等于零，不盾．

57．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ 至多只有一个实根，则方程 $\displaystyle f(x)=0$ 最多只有两个实根．
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可导，且 $\displaystyle f(x)$ 的每个零点都是简单零点（即若 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=0$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ）．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上只有有限个零点．

58．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n}$ 为满足 $\displaystyle a_{0}+\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{3}+\cdots+\frac{a_{n}}{n+1}=0$ 的实数。证明方程 $\displaystyle a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n}=0$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内至少有一个实根．
（2）设 $\displaystyle a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 满足 $\displaystyle a_{1}-\frac{1}{3} a_{2}+\cdots+(-1)^{n+1} \frac{1}{2 n-1} a_{n}=0$ 。证明方程 $\displaystyle a_{1} \cos x+a_{2} \cos 3 x+\cdots+ a_{n} \cos (2 n-1) x=0$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内至少有一个实根．