9.3 第二型曲面积分及高斯公式

1．计算下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 在第一卦限曲面的上侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 在第一卦限曲面的上侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 在 $\displaystyle x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 部分的外侧，$\displaystyle a>0, b>0, c>0$ ．

（4） $\displaystyle \iint_{S} \frac{1}{x} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\frac{1}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+\frac{1}{z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的外侧．
（5） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\mathrm{e}^{z}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为由锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 和 $\displaystyle z=1, z=2$ 所围立体整个表面的外侧．
（6） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\mathrm{e}^{\sqrt{y}}}{\sqrt{x^{2}+z^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle S$ 为由曲面 $\displaystyle y=x^{2}+z^{2}$ 和 $\displaystyle y=1, y=2$ 所围立体整个表面的外侧．
（7） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{x^{2}+2 y^{2}+z^{2}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的内侧．

2．计算下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 在第一卦限曲面的上侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S}(y-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(z-x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 R x$ 被圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 r x,(z>0,0<r<R)$ 所截得的部分，定向取外侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}+z^{2}=a^{2}$ 在 $\displaystyle x \geqslant 0$ 的一半被 $\displaystyle y=0$ 和 $\displaystyle y=h(h>0)$所截下部分的外侧．

3．设 $\displaystyle S$ 为上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 上侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。华侨大学 2014，首都师大 2008 ，湘潭大学 $\displaystyle 2006 ; \mathrm{a}=3$ 浙江理工 $\displaystyle 2010 ; \mathrm{a}=1$ ：山东科技 2013，山西师大 $\displaystyle 2010 / 2009$ ，上海理工 2007，北京理工 2008，武汉理工 2009）或 $\displaystyle \iint_{S} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z$
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x+y^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+\left(z+x^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．（a＝1）
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（4） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z$ ．$\displaystyle (a=1)$
（5） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+\left(z^{2}+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．（湖南师大2004（ $\displaystyle a=1$ ））
（6） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．（燕山大学 2010／2013，青岛大学 2002，浙江师大 2009，东华大学 2001（a＝1））
（7） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}-a^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。（湖北大学 2006 ，浙江师大 2009，重庆大学 2008（ $\displaystyle a=1$ ），沈阳 工大2010，宁波大学2007）
（8） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{3}+a z^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+a x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}+a y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（9） $\displaystyle \iint_{S} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2} y-z^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(2 x y+y^{2} z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（10） $\displaystyle \iint_{S}\left(x y^{2}-z^{3}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y z^{2}-z^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z x^{2}+a^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（11） $\displaystyle \iint_{S} x\left(x^{2}+1\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y\left(y^{2}+2\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z\left(z^{2}+3\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle (a=1)$
（12） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(x^{2}+y^{2}+z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（13） $\displaystyle \iint_{S}\left(x y^{2}+\frac{1}{3} x^{3}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+a^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．

4．设 $\displaystyle S$ 为上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 的下侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x-y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y-z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．（吉林大学2001（ $\displaystyle R=1$ ））
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。（浙江大学 2014，南京大学 2004（ $\displaystyle R=1$ ））

5．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}(a>0)$ 的上侧。．
（2） $\displaystyle \iint_{S}(x-\sin y z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-\sin z x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z-x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 下半部分的下侧．

6．设 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ 外侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ 。$\displaystyle (a=1)$
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{3}-y^{3}-z^{3}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}-z^{3}-x^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}-x^{3}-y^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。（上海师大2006（a＝1））
（5） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．
（6）$\displaystyle \oiint_{S} x\left(x^{2}+a^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y\left(y^{2}+a^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z\left(z^{2}+a^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（7） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle u=x^{4}+y^{4}+z^{4}, n=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 为球面的单位向量，
$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}=\frac{\partial u}{\partial x} \cos \alpha+\frac{\partial u}{\partial y} \cos \beta+\frac{\partial u}{\partial z} \cos \gamma$ ．
（8） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+f(y) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+g(z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle f(y), g(z)$ 分别为 $\displaystyle y, z$ 的偶函数．（安徽大学 2005$\displaystyle )(a=1)$
（9） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。

7．设 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 的内侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。（上海交大 2000，浙江师大 2011（半径为 1），安徽工大 2008）
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y\right)$ ．

8．求下列第二型曲面积分．
（1）设 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}$ 外侧，求
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。苏州科技2008／2009，东北师大 2006，上海大学 2005，青岛大学 2010，河北大学 2011，北京科技 2011，武汉大学 2000 ，中南大学 2000 ，地质大学 2003 ，南京大学 2000 ，大连理工 2002，首都师大 2010，西北大学 2009）
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(\frac{1}{2} x^{2}+x y+x z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a(x+y+z)$ 的外侧。
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a z(a>0)$ 的外侧．
（4） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x(a>0)$ 的外侧．

9．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}(x+b+c)^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(y+c+a)^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(z+a+b)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为半球面 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+ (z-c)^{2}=R^{2}, z \geqslant c$ 的上侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(x+y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}=a^{2}(0 \leqslant z \leqslant a)$ 的下侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为半球面 $\displaystyle z=1+\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧．

10．设 $\displaystyle S$ 为上半椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(z \geqslant 0)$ 外侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x z^{2}}{c^{2}} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\frac{x^{2} y-z^{2}}{a^{2}} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\frac{2 \sin \left(x^{2} y\right)+y^{2} z}{b^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ 。
（5） $\displaystyle \iint_{S}\left(\lambda \frac{x^{2}}{a^{2}}+\mu \frac{y^{2}}{b^{2}}+v \frac{z^{2}}{c^{2}}\right) \mathrm{d} s,(\lambda, \mu, v)$ 为 $\displaystyle S$ 外法向的方向余弦．

11．设 $\displaystyle S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的上半部分，其定向为下侧，求第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S}(x+2 y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(z+2) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

12．设 $\displaystyle S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的下半部分（其中 $\displaystyle a, b, c>0$ ），积分正向取椭球外侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．

13．设 $\displaystyle S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 外侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(x+x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。重庆大学 2009）
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{S} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．

14．设 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被平面 $\displaystyle z=h(h>0)$ 所截部分的外侧，求下列曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，或 $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2} \cos \alpha+y^{2} \cos \beta+z^{2} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 为此曲面外法线的方向余弦．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．（北京工大 2009（h＝1））
（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z\right) \cdot($ 北京工大 2010）$\displaystyle (h=1)$
（4） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{2}-2 z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．（ $\displaystyle h=1$ ）
（5） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（6） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3(z-1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle (h=1)$
（7） $\displaystyle \iint_{S}(x-y+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z+x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} y+(z-x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle (h=1)$

15．求下列曲面积分 $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}-y z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{2}-z x\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+2 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=1-\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 介于 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=1$ 之间曲面的上侧．

16．设 $\displaystyle S$ 为锥 面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 介于 $\displaystyle z=1$ 和 $\displaystyle z=2$ 之 间 外 侧 表 面，求 曲 面 积 分 $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．

17．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}(y-z) x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 及平面 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=3$ 所围空间的整个边界曲面的外侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆柱 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 介于 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=3$ 之间的部分外侧．华侨大学2011，兰州大学2011，河北大学2008，青岛大学2011，北航）
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 介于 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=1$ 之间的部分外侧。
（4） $\displaystyle \iint_{S} x y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 在 $\displaystyle -1 \leqslant z \leqslant 1$ 的部分，取外侧．
（5） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{2}+z x\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{2}+x y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle (x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 2$ 的表面外侧．
（6） $\displaystyle \iint_{S} z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}, z=h(h, R>0)$ 及三个坐标面所围的第一卦限部分的外侧．
（7） $\displaystyle \iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 在 $\displaystyle -1 \leqslant z \leqslant 1, x \geqslant 0$ 的部分，侧的

方向与 $\displaystyle x$ 轴正向成锐角．
（8）$\displaystyle \oiint_{\Sigma}\left(\frac{x^{2} y}{2} \cos \alpha+\frac{y^{2} z}{2} \cos \beta+\frac{z^{2} x}{2} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1, z=0, z=1, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 所围成区域的边界曲面， $\displaystyle \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 是此边界曲面的外法线矢量的方向余弦。
（9） $\displaystyle \iint_{S_{1}+S_{2}} x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S_{1}$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4, x \geqslant 0$ 介于平面 $\displaystyle z=0$ 与 $\displaystyle z=1$ 的部分，法线与 $\displaystyle x$ 轴的正向成锐角．$\displaystyle S_{2}$ 为 $\displaystyle x O y$ 平面上 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 4, x \geqslant 0$ 的部分，方向向下。

18．设 $\displaystyle S$ 是抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2} z$ 介于平面 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=b$ 之间部分的下侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}-z\right) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-x^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle b=1$
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(x+z^{4}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(z+x^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle a^{2}=2, b=2$
（3） $\displaystyle \iint_{S} 2 x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y\left(z^{2}+1\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(9-z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle a^{2}=1, b=2$
（4） $\displaystyle \iint_{S}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。$\displaystyle a^{2}=2, b=2$
（5） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{3}+3\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+z\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(3 z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．$\displaystyle a^{2}=1, b=h^{2}$

19．设 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z$ 介于 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=1$ 之间的曲面的外侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(z^{2}+x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}+y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(y^{2}+z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} 2 x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\displaystyle \iint_{S} y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(y+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。

20．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}(2 x+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2},(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 取上侧。华东师大 2004 ，四川大学 2010，太原科技 2008，东南大学 2007，西安电子科技 2003／2006）
（2） $\displaystyle \iint_{S} 4 z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}(0 \leqslant z \leqslant 2)$ 上侧。中山大学 2014）
（3） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, S$ 为曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 在第一卦限部分 $\displaystyle (0 \leqslant z \leqslant 1)$ 的上侧。徐州师大 2010，安徽大学 2007）

21．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2} y-1\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(2 x-x^{2} z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}+1$ 被平面 $\displaystyle z=2$ 所截得的一块曲面的下侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}-1$ 在 $\displaystyle z \leqslant 0$ 部分的下侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S}(2 x-y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(2 y-2 z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(2 z-3 x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}, 0 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4$ ，方向取外侧。
（4） $\displaystyle \iint_{\Sigma} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}+z^{2}\right) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为曲面 $\displaystyle 4-y=x^{2}+z^{2}$ 在 $\displaystyle x O z$ 平面的的右侧部分的外侧．
（5） $\displaystyle \iint_{S} x y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 由曲面 $\displaystyle y=z^{2}+x^{2}$ 与平面图形 $\displaystyle y=1, y=2$ 围成的有界闭区域的边界外侧．
（6） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle y=x^{2}+z^{2}\left(0 \leqslant y \leqslant h^{2}\right)$ 左侧．

22．求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle z=1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{4}$ 在 $\displaystyle 0 \leqslant z \leqslant 1$ 部分的上侧。

23．设 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=5-x^{2}-y^{2}$ 在 $\displaystyle z \geqslant 1$ 的部分取外侧，求第二型曲面积分
（1） $\displaystyle \iint_{S} y(x-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(y^{2}+z x\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S}(x-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(z-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

24．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} y+(z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=2-x^{2}-y^{2}(z \geqslant 0)$ 部分的上侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} 2 x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3\left(z^{2}-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle z=1-x^{2}-y^{2}(z \geqslant 0)$ 的上侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(y^{2}-x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(z^{2}-y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(x^{2}-z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=2-x^{2}-y^{2}$ 上 $\displaystyle 1 \leqslant z \leqslant 2$ 部分的上侧．
（4） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=2-x^{2}-y^{2}$ 与平面 $\displaystyle z=0$ 所围成的闭曲面的外侧．
（5） $\displaystyle \iint_{S} y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle S$ 为由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，三个坐标面及 $\displaystyle z=2-x^{2}-y^{2}(z \geqslant 0)$ 所围立体在第一卦限部分的外侧．

25．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 和 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 a^{2}$ ，锥

面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所围成的立体表面的外侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{y}{z^{2}}+y^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(\frac{1}{z}+z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 由 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ，球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 及 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 围成立体的表面外侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S} y^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x^{2} y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}, x^{2}+y^{2}=1$ 和坐标面在第一挂限所围成曲面的外侧．

26．设 $\displaystyle S$ 是曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}z=\mathrm{e}^{y} \\ x=0\end{array}(0<y<a)\right.$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转而成的曲面的下侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} 4 z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S} 4 z x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(y^{2}-3 z x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{2}-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
（4） $\displaystyle \iint_{S} 4 z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 z y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

27．设 $\displaystyle S$ 是由曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{x-1} \\ y=0\end{array} \quad(1 \leqslant x \leqslant 3)\right.$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转面成的旋转曲面，$\displaystyle S$ 的法向量 $\displaystyle \boldsymbol{n}$ 与 $\displaystyle x$ 轴的夹角 $\displaystyle \theta>\frac{\pi}{2}$ ．求下列积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} y+y(4 x+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z-2 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} y+y(8 x+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z-2 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．

28．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x(8 y+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+2\left(1-y^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x-4 y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是由曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{y-1} \\ x=0\end{array}(1 \leqslant y \leqslant 3)\right.$ 绕 $\displaystyle y$ 轴旋转而成的曲面，它的法向量与 $\displaystyle y$ 轴正向的夹角恒大于 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-4 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。其中 $\displaystyle S$ 是曲线 $\displaystyle x=\mathrm{e}^{y}(0 \leqslant y \leqslant a)$ 绕 $\displaystyle x$ 轴旋转而成的曲面的外侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是 $\displaystyle y O z$ 平面中的曲线 $\displaystyle y=z^{2}$ 线绕 $\displaystyle y$ 轴所生成的旋转曲面在 $\displaystyle 0 \leqslant y \leqslant 1$ 的部分的外侧．
（4） $\displaystyle \iint_{S} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\sin x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是由曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{z^{2}+1} \\ x=0\end{array}(1 \leqslant z \leqslant 2)\right.$ 绕 $\displaystyle z$ 轴旋转而成的曲面，它的法向量与 $\displaystyle z$ 轴正向的夹角为锐角．

29．设 $\displaystyle S$ 为平行六面体 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant a, 0 \leqslant y \leqslant a, 0 \leqslant z \leqslant a$ 的边界的外表面，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（2） $\displaystyle \iint_{S} y(x-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(y^{2}+z x\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。聊城大学 2014，浙江大学 2011，华侨大学 2012，首都师大 2003，中南大学 2010，上海理 I 2008）
（3） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（4） $\displaystyle \iint_{S} x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y x \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（5） $\displaystyle \iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．

30．计算： $\displaystyle \iint_{S} f(x) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+g(y) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+h(z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle f(x), g(y), h(z)$为连续函数，其中 $\displaystyle S:[0, a] \times[0, b] \times[0, c]$ 的边界，外侧．

31．设 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x+y+z=1, x, y, z>0$ 方向与坐标轴正向成锐角，求下列第二型曲面积分
（1） $\displaystyle \iint_{S} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{S} x y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+z x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。．

32．求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{3}-y z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-2 x^{2} y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 与三坐标面围成的四面体表面的外侧．

33．设 $\displaystyle S$ 是曲面 $\displaystyle |x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$ 的外侧，求下列第三型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}(x-y+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z+x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z-x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。电子科技 2011，苏州科技 2011，南航 2010）
（2） $\displaystyle \iint_{S}\left(3 x+y+z^{12}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(2 y+\cos z+x^{12}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(3 z+\mathrm{e}^{x+y^{12}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。
（3） $\displaystyle \iint_{S}(x+y-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(2 y+\sin (x+z)) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(3 z+\mathrm{e}^{x+y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 。

34．设 $\displaystyle S$ 是曲面 $\displaystyle |x-y-z|+|y-z-x|+|z-x-y|=1$ 的外侧，求下列第二型曲面积分．

$$
\iint_{S}(x-y-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z-x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z-x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$

35．计算曲面积分 $\displaystyle \iint_{S}(f(x, y, z)+x) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(2 f(x, y, z)+y) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(f(x, y, z)+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle f(x, y, z)$ 为连续函数，$\displaystyle S$ 是平面 $\displaystyle x-y+z=1$ 在第四卦限部分的上侧．

36．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S}(x+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+2 \cos y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 由曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $\displaystyle z=3$ 围成的封闭曲面的外侧．
（2）$\displaystyle \oiint_{S}(x+y z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\cos ^{2} y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\cos z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 外侧。
（3）$\displaystyle \oiint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\cos y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 外侧．
（4） $\displaystyle \iint_{S} \sin ^{4} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\mathrm{e}^{-|y|} \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1(z>0)$ ，方向向上．

37．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为两个球 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 R x$ 的公共

部分表面的外侧。
（2） $\displaystyle \iint_{S} y^{2} z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z^{2} x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x^{2} y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为一个光滑凸曲面的上侧，它的边界为平面 $\displaystyle z=0$ 上的椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{S}-y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 是圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ 被平面 $\displaystyle x+z=2$ 和 $\displaystyle z=0$ 所截出的部分的外侧．

38．求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 分别为：
（1）$\displaystyle S$ 为不含原点在其内的光滑闭曲面的外侧；（2）$\displaystyle S$ 为含原点在其内的光滑闭曲线的外侧。

\begin{figure}
\includegraphics[alt={},max width=\textwidth]{https://cdn.mathpix.com/cropped/468aa2e6-2fe6-41d5-b96d-487ad792954d-363.jpg?height=1486&width=4553&top_left_y=787&top_left_x=614}
\captionsetup{labelformat=empty}
\caption{图 9.175}
\end{figure}

39．求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 分别为：
（1）$\displaystyle S$ 为上半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(z \geqslant 0)$ 的外侧
（2）$\displaystyle S$ 为上半球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(z \geqslant 0)$ 的外侧．
（3）$\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle 1-z=x^{2}+y^{2}(z \geqslant 0)$ 的上侧．
（4）$\displaystyle S$ 为曲面 $\displaystyle z=5-x^{2}-y^{2}(z \geqslant 0)$ 的上侧．
（5）$\displaystyle S$ 为 $\displaystyle 1-\frac{z}{5}=\frac{(x-1)^{2}}{16}+\frac{(y-1)^{2}}{9}(z \geqslant 0)$ 的上侧。
（6）$\displaystyle S$ 为 $\displaystyle 1-\frac{z}{5}=\frac{(x-3)^{2}}{16}+\frac{(y-2)^{2}}{9}(z \geqslant 0)$ 的上侧．
（7）$\displaystyle S$ 为抛物面 $\displaystyle 1-\frac{z}{7}=\frac{(x-2)^{2}}{25}+\frac{(y-1)^{2}}{16}(z \geqslant 0)$ 的上侧．

40．设 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}(a>0)$ 的上侧，求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} \frac{a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(z+a)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}$ ．
（2） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\left(x^{3}+z^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ．
（3） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}$ ．$\displaystyle (a=1)$
（4） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}$ ．

41．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} \frac{a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(x-2 y z) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z+a)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}(a>0)$ 的下侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\left(x^{3}+R\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+2 R\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}+3 R\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 表示上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 的
（3） $\displaystyle \iint_{S} \frac{\left(x^{3}+1\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+1\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, z \geqslant 0$ 的上侧．
（4） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 是球面 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧．
（5） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ 外侧的 $\displaystyle z \geqslant 0$ 部分．（哈 $\displaystyle I$ 大 2009：$\displaystyle R=1$ ）
（6） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y z^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, z \geqslant 0$ 的上侧．
（7） $\displaystyle \iint_{S} \frac{1}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}\left(x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right)$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧．

42．求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\left(x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y\right)$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 的外侧．

43．求下列第二型曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} s$ ，其中 $\displaystyle \boldsymbol{n}=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 为 $\displaystyle S$ 的单位外法向量， $\displaystyle a>0, b>0, c>0$ 。（1）$\displaystyle S$ 为不含原点在其内的光滑闭曲面的外侧；（2）$\displaystyle S$ 为含原点在其内的光滑闭曲线的外侧．
（2） $\displaystyle \iint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=1} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $\displaystyle a>0, b>0, c>0$ ．
（3）求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}=y^{2}+z^{2}$ 的外侧．

44．求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{x-1}{r^{3}} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\frac{y-2}{r^{3}} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\frac{z-3}{r^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y,\left(r=\sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}}\right)$ ，其中（1）$\displaystyle S:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}=1$ ，积分沿曲面的外侧．
（2）$\displaystyle S: \frac{(x-1)^{2}}{1}+\frac{(y-2)^{2}}{2}+\frac{(z-3)^{2}}{3}=1$ ，积分沿曲面的外侧．
（3）$\displaystyle S:|x| \leqslant 2,|y| \leqslant 3,|z| \leqslant 4$ 外表面．

45．求第二型曲面积分 $\displaystyle \oiint_{S} \frac{1}{y} f\left(\frac{x}{y}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\frac{1}{x} f\left(\frac{x}{y}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle f(u)$ 连续可导，其中
（1）$\displaystyle S$ 是 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}, z=8-x^{2}-y^{2}$ 所围立体的外侧．
（2）$\displaystyle S$ 是 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}+1, z=9-x^{2}-y^{2}$ 所围立体的外侧．
（3）$\displaystyle S$ 是由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}, z=2 y^{2}, z=0$ 所围立体的表面，取内侧．

46．求下列第二型曲面积分，其中 $\displaystyle f(u)$ 连续可导．
（1）$\displaystyle \oiint_{S} \frac{2}{y} f\left(\frac{x}{y^{2}}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\frac{1}{x} f\left(\frac{x}{y^{2}}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle f(u)$ 连续可导，$\displaystyle S$ 是 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ ， $\displaystyle z=8-x^{2}-y^{2}$ 所围立体的外侧．
（2） $\displaystyle \iint_{S} \frac{2}{y} f\left(x y^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-\frac{1}{x} f\left(x y^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(x^{2} z+y^{2} z+\frac{1}{3} z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为下半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1(z<0)$ 的内侧．
（3） $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+x^{3}+x f\left(\frac{y}{x}\right)\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{3}+y f\left(\frac{y}{x}\right)\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}-2 z f\left(\frac{y}{x}\right)\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ；其中 $\displaystyle S$ 为锥面 $\displaystyle x \geqslant \sqrt{y^{2}+z^{2}}$ 和球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 所围立体的外侧．
（4） $\displaystyle \iint_{S} \frac{1}{y+2} f\left(\frac{x+1}{y+2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{1}{x+1} f\left(\frac{x+1}{y+2}\right)+3 x^{2} y-y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S$ 为 $\displaystyle z=1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}(1 \leqslant z \leqslant 2)$ 的外侧．

47．证明公式 $\displaystyle \iiint_{V} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{r}=\frac{1}{2} \oiint_{S}(\cos r, n) \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle S$ 是包围 $\displaystyle V$ 的分片光滑闭曲面， $\displaystyle (0,0,0) \notin S, n$ 是 $\displaystyle S$ 的外法线方向．$\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, r=(x, y, z)$ 。

48．求第二型曲面积分 $\displaystyle \oiint_{S} \frac{\cos (r, n)}{r^{2}} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为含原点的封闭光滑曲面，$\displaystyle (0,0,0)$ 到 $\displaystyle S$ 上任一点 $\displaystyle (x, y, z)$ 的向量记为 $\displaystyle \boldsymbol{r}$ ，其长度为 $\displaystyle r,(\boldsymbol{n}, \boldsymbol{r})$ 为的外法向量 $\displaystyle \boldsymbol{n}$ 与 $\displaystyle \boldsymbol{r}$ 的夹角．

49．求曲面积分．
（1） $\displaystyle \iint_{S} r \cos (r, n) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle S$ 为椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1, n=n(x, y, z)$ 为 $\displaystyle S$ 上点 $\displaystyle P(x, y, z)$ 处的外法向量，$\displaystyle r=(x, y, z), r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \cos (r, n)=\frac{1}{r}[x \cos (x, n)+y \cos (y, n)+z \cos (z, n)]($ 湖南师大 2007）
（2）求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S}(x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma) \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle S$ 为光滑闭曲面，其体积为 $\displaystyle V$ ．

50．设 $\displaystyle V$ 是不含原点的有界闭区域，其体积为 $\displaystyle V$ ，其边界 $\displaystyle S$ 为光滑的简单闭曲面，$\displaystyle n$ 为 $\displaystyle S$ 的外向单位法向量，$\displaystyle r=(x, y, z), f(t)$ 是 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的连续可微函数，满足 $\displaystyle t f^{\prime}(t)+2 f(t)-t=0$ ，求 $\displaystyle \iint_{S} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) \cos (r, n) \mathrm{d} S$ ．

51．计算积分 $\displaystyle \iint_{S} \cos (n, l) \mathrm{d} S$ ，其中
（1）$\displaystyle S$ 为 $\displaystyle R^{3}$ 中封闭光滑曲面，$\displaystyle I$ 为任何固定方向， $\displaystyle \boldsymbol{n}$ 为曲面 $\displaystyle S$ 的外法线方向。华东师大 2009 ，广州大学2009，华南师大 2010，北京科技 2005，西北师大 2007，华中师大，山东师大，北京科技 2005，武汉科技

2012）
（2）$\displaystyle S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ 的上半球面．

52．证明下列命题．
（1）设函数 $\displaystyle P(x, y, z), Q(x, y, z)$ 及 $\displaystyle R(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ ．中有一阶连续偏导数．对任意实数 $\displaystyle r>0$ ，以及任意点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \in \mathbf{R}^{3}$ ，半球 面 $\displaystyle S: z=z_{0}+\sqrt{r^{2}-\left(x-x_{0}\right)^{2}-\left(y-y_{0}\right)^{2}}$ 上的积分 $\displaystyle \iint_{S} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0$ 成立。试证：$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}=0, R=0$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 内处处成立．．
（2）设函数 $\displaystyle P(x, y), Q(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 中有一阶连续偏导数。对任意 $\displaystyle r>0$ ，任意点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbf{R}^{2}$ ，总有 $\displaystyle \int_{L} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=0$ 成立，其中 $\displaystyle L$ 为以 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为圆心，$\displaystyle r>0$ 为半径的上半圆周，方向为逆时针。试证：在 $\displaystyle \mathbf{R}^{2}$ 内，$\displaystyle P \equiv 0, \frac{\partial Q}{\partial x} \equiv 0, R=0$ 处处成立．．

53．函数 $\displaystyle P(x, y, z), Q(x, y, z)$ 和 $\displaystyle R(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 上具有连续偏导数，并且对任意光滑曲面 $\displaystyle S$ ，

有 $\displaystyle \iint_{S} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0$ ，证明：在 $\displaystyle R^{3}$ 上恒有 $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=0$ ．

54．设对于半空间 $\displaystyle x>0$ 内的任意的分片光滑的有向封闭曲面 $\displaystyle S$ ，有

$$
\iint_{S} f(x) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-\frac{x y}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z-\mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0
$$


其中函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上具有一阶连续导数，且 $\displaystyle f(0)=1$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 。北京科技 2014）

55．设 $\displaystyle u(x, y, z)$ 具有二阶连续偏导数，$\displaystyle S$ 为有界闭区域 $\displaystyle \Omega$ 的光滑边界曲面，记

$$
\Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} x}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} z}
$$

56．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle u(x, y, z)$ 在 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ 具有二阶连续偏导数。记 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} x}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} z}$ ，证明： $\displaystyle \oiint_{S} u \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S=\iiint_{V}\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial z}\right)^{2}\right] \mathrm{d} V+\iiint_{V} u \Delta u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$ 为沿曲面 $\displaystyle S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$外法线方向的方向导数．
（2）若在 $\displaystyle \Omega$ 上，$\displaystyle \Delta u=0$ ，且函数 $\displaystyle u$ 在 $\displaystyle S$ 恒等于 0 ，则在 $\displaystyle \Omega$ 内 $\displaystyle u \equiv 0$ ．
（3）设 $\displaystyle D$ 是 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 中的闭区域，$\displaystyle f$ 在 $\displaystyle D$ 上连续且有偏导数，$\displaystyle f$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}=f,\left.f\right|_{\partial D}=0$ ，则 $\displaystyle f$ 在 $\displaystyle D$ 上等于 0 ．
（4）设 $\displaystyle D$ 是有界闭区域，$\displaystyle u(x, y)$ 在 $\displaystyle D$ 上连续，有偏导数，且 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=u,\left.u\right|_{\partial D}=0$ ，则 $\displaystyle u(x, y)$ 在 $\displaystyle D$上等于 0．

57．记 $\displaystyle \Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}, \nabla=\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}+\frac{\partial}{\partial z}$ ．
（1）已知 $\displaystyle f(x, y, z)$ 和 $\displaystyle g(x, y, z)$ 在 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1$ 上具有二阶连续的偏导数．证明： $\displaystyle \iiint_{V}(\nabla g \cdot \nabla f) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oiint_{S} g \frac{\partial f}{\partial n} \mathrm{~d} S-\iiint_{V}(g \cdot \Delta f) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle n$ 表示 $\displaystyle S$ 的外法线方向，$\displaystyle S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$.
（2）若 $\displaystyle \Delta f=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ，试计算 $\displaystyle I=\iiint_{V} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ．（华 中 师 大 2010）

58．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 中光滑有界区域，$\displaystyle \partial \Omega$ 为其边界，$\displaystyle u(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \Omega+\partial \Omega$ 上有连续二阶导数，不恒为 0 ，满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=\lambda u,(x, y, z) \in \Omega, u(x, y, z)=0,(x, y, z) \in \partial \Omega$ ，其中 $\displaystyle \lambda$ 为常数．证明：

$$
\iiint_{\Omega}|\operatorname{grad} u|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\lambda \iiint_{\Omega} u^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0 \text {. }
$$

（2）设 $\displaystyle u=u(t, x, y, z)$ 有二阶连续偏导数，为空间有界闭集，它有光滑边界 $\displaystyle \partial \Omega, \partial \Omega$ 外的单位外法向量为 $\displaystyle \boldsymbol{n}$ ，证明： $\displaystyle \iiint_{\Omega} \frac{\partial u}{\partial t} \Delta u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\oiint_{\partial \Omega} \frac{\partial u}{\partial t} \cdot \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S-\frac{1}{2} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t} \iiint_{\Omega}|\nabla \vec{u}|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} x}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial^{2} z}$ ， $\displaystyle \nabla u=\left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}\right)$ ．

59．设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 中光滑区域，$\displaystyle \partial \Omega$ 为其边界．$\displaystyle u, v$ 在 $\displaystyle \Omega+\partial \Omega$ 上有连续二阶导数．证明：
（1） $\displaystyle \iiint_{\Omega} u \Delta v \mathrm{~d} \Omega=\oiint_{S} u \frac{\partial v}{\partial n} \mathrm{~d} S-\iiint_{\Omega}(\operatorname{grad} u \cdot \operatorname{grad} v) \mathrm{d} \Omega$ ．
（2） $\displaystyle \iiint_{\Omega}(u \Delta v-v \Delta u) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\partial \Omega}\left(u \frac{\partial v}{\partial n}-v \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial}{\partial n}$ 为沿边界 $\displaystyle \partial \Omega$ 外法线方向的导数， $\displaystyle \mathrm{d} S$为边界上的面积元，$\displaystyle \Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$ 。

60．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle \mathbf{R}^{3}$ 中光滑区域，$\displaystyle \partial \Omega$ 为其边界，$\displaystyle u, v$ 在 $\displaystyle \Omega+\partial \Omega$ 上有连续二阶导数。证明：
$\displaystyle \iiint_{\Omega}(u \Delta v-v \Delta u) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\partial \Omega}\left(u \frac{\partial v}{\partial n}-v \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial}{\partial n}$ 为沿边界 $\displaystyle \partial \Omega$ 外法线方向的导数， $\displaystyle \mathrm{d} S$ 为边界上的面积元．
（2）$\displaystyle P \in \mathbf{R}^{3}$ 的坐标为 $\displaystyle (\xi, \eta, \zeta)$ ，函数 $\displaystyle r(x, y, z)=(x-\xi)^{2}+(y-\eta)^{2}+(z-\zeta)^{2}$ ，证 明：$\displaystyle \Delta \frac{1}{r}=0$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}^{3} \backslash\{P\}$ 上成立，其中 $\displaystyle \Delta=\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$ ．
（3）设 $\displaystyle B(P, \delta)$ 是以 $\displaystyle P$ 为中心、 $\displaystyle \delta$ 为半径的球，$\displaystyle \partial B(P, \delta)$ 为其边界．若在 $\displaystyle B(P, \delta)$ 上 $\displaystyle u$ 满足 $\displaystyle \Delta u=0$ ，则 $\displaystyle u(P)=\frac{1}{4 \pi \delta^{2}} \iint_{\partial B(P, \delta)} u \mathrm{~d} S$.

61．设 $\displaystyle V$ 是空间三维单连通的有界区域，其边界 $\displaystyle \sum$ 是简单光滑曲面，点 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \in V$ ， $\displaystyle u=u(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \bar{V}=V+\sum$ 上具有连续偏导数，在 $\displaystyle V$ 内具有二阶连续偏导数，且满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0$.
（1）证明 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{4 \pi t^{2}} \iint_{\Sigma_{t}} u \mathrm{~d} S=u_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ ，其中 $\displaystyle \Sigma_{t}$ 是含在 $\displaystyle V$ 内的球面 $\displaystyle \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2} +\left(z-z_{0}\right)^{2}=t^{2}, t>0$ ．
（2）设 $\displaystyle n=n(x, y, z)$ 为 $\displaystyle \Sigma_{1}$ 上点 $\displaystyle P(x, y, z)$ 处的外法向量，$\displaystyle r=\overrightarrow{P_{0} P}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right), r=|r|$ ，证明 $\displaystyle \iint_{\sum_{1}} \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S=0$ ．
（3）设 $\displaystyle n=n(x, y, z)$ 为 $\displaystyle \Sigma$ 上点 $\displaystyle P(x, y, z)$ 处的外法向量，$\displaystyle r=\overrightarrow{P_{0} P}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right), r=|r|$ ，计算积分 $\displaystyle \frac{1}{4 \pi} \iint_{\Sigma}\left(u \frac{\cos (r, n)}{r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} S$ ．