线性代数

### 第181题 f(x)=$\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & x & x \\ 1 & 1 & x & 1 \\ 1 & x & 1 & 1 \\ x-2 & 1 & 1 & 1\end{array}\right|$ 中 $x^{3}$ 的系数为 $\_\_\_\_$ ．

### 第182题 设 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ 是三阶矩阵，且 $|\boldsymbol{A}|=4$ ．若 $\boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}-3 \boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{2}-2 \boldsymbol{\alpha}_{3}, 2 \boldsymbol{\alpha}_{2}\right. \left.+\boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ，则 $|\boldsymbol{B}|=$ $\_\_\_\_$。

### 第183题 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]$ ，矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足 $\boldsymbol{B A}=\boldsymbol{B}+2 \boldsymbol{E}$ ，则 $\displaystyle \left|\left(\frac{1}{3} \boldsymbol{B}\right)^{-1}-2 \boldsymbol{B}^{*}\right|=$ $\_\_\_\_$ .

### 第184题 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，特征值是 $1,2,-1$ ，矩阵 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{3}+2 \boldsymbol{A}^{2}$ ，则 $\left|\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第185题 计算 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]^{9}\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]^{10}=$ $\_\_\_\_$ ． 熟䋘

### 第186题 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & -2 \\ 1 & a & a \\ a & 4 & a\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 8 \\ 2 & 3 & a \\ 1 & 2 & 2 a\end{array}\right]$ 等价，则 $a$ $\_\_\_\_$ ．

### 第187题 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}3 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right]$ ，若矩阵 $\boldsymbol{X}$ 满足 $\boldsymbol{X} \boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+2 \boldsymbol{X}$ ，则 $\boldsymbol{X}^{4}=$ $\_\_\_\_$ ． 辣估

### 第188题 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & a \\ 2 & a & 0\end{array}\right], \boldsymbol{B}$ 是三阶非零矩阵，且 $\boldsymbol{B A}=\boldsymbol{O}$ ，则 $\boldsymbol{B}=$ $\_\_\_\_$ ． 建衹答题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

### 第189题 (2002,4)$ 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(a, 0, b)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0, a, c)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(c, b, 0)^{\mathrm{T}}$ 线性相关，则 $a$ ， $b, c$ 必满足 $\_\_\_\_$ ．$

### 第190题 设 $n(n>2)$ 维向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 满足 $2 \boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}+3 \boldsymbol{\alpha}_{3}=\mathbf{0}, \boldsymbol{\beta}$ 是任意 $n$ 维向量，若 $\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{1}$ ， $\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, a \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关，则 $a=$ $\_\_\_\_$。

### 第191题 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 是向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,4, t-6)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(2,6,6)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=(t$ ， $14, t-4)^{\mathrm{T}}$ 的极大线性无关组，则 $t=$ $\_\_\_\_$ ． 纠错 뚤t己

### 第192题 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}^{n} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解为 $\_\_\_\_$ . 建议荅题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

### 第193题 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a\end{array}\right], \boldsymbol{\alpha}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则 $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解是 $\_\_\_\_$ . 管题 区或

### 第194题 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶实对称矩阵，$\lambda_{1}=1$ 和 $\lambda_{2}=2$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的 2 个特征值，对应的特征向量分别是 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1, a,-1)^{\mathrm{T}}$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,4,5)^{\mathrm{T}}$ 。若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 不可逆，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的通解是 $\_\_\_\_$。

### 第195题 已知非齐次线性方程组（I）与（II）同解，其中 （I）$\left\{\begin{aligned} x_{1}+x_{2}-2 x_{3} & =5, \\ x_{2}+x_{3} & =2,\end{aligned}\right.$ （II）$\left\{\begin{array}{l}a x_{1}+4 x_{2}+x_{3}=11, \\ 2 x_{1}+5 x_{2}-a x_{3}=16,\end{array}\right.$ 则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第196题 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}a & 0 & -1 \\ 0 & a & 1 \\ -1 & 1 & a+1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为

### 第197题 已知三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值是 $\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$ ，又三阶矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足关系式 $\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B A}=6 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B A}$ ，则矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的特征值是 $\_\_\_\_$ ．

### 第198题 (1999,4)$ 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & -2 \\ -k & -1 & k \\ 4 & 2 & -3\end{array}\right]$ 和对角矩阵相似，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．$

### 第199题 \boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵， $\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 是三个线性无关的三维列向量，其中 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有解 $\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 有解 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\alpha}$ 有解 $\boldsymbol{\beta}$ ，则 $\boldsymbol{A} \sim$ $\_\_\_\_$ ．$

### 第200题 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶实对称矩阵，满足 $\boldsymbol{A}^{2}-2 \boldsymbol{A}=3 \boldsymbol{E}$ ，如果秩 $r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=2$ ，则和 $\boldsymbol{A}$ 相似的对角矩阵是 $\_\_\_\_$ ． 建议荅题时问 $\leqslant 2 \mathrm{~min}$

### 第201题 已知三元二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=x_{1}^{2}-5 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 b x_{2} x_{3}$ ，若 $\boldsymbol{\alpha}=(2,1,2)^{\mathrm{T}}$是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征向量，则二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的正惯性指数 $p=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第202题 已知二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}=a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ 的规范形是 $y_{1}^{2}+ y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

### 第203题 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1\end{array}\right]$ 与二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=3 x_{1}^{2}+a x_{3}^{2}$ 的矩阵 $\boldsymbol{B}$ 合同，则 $a$ 的取值为 $\_\_\_\_$ ．

### 第204题 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 & -1 \\ 3 & a+5 & -1 & -3 \\ 5 & 10 & a & -5\end{array}\right]$ ，若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解空间是二维空间，那么 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

### 第205题 已知三维空间的两组基 $$ $\begin{aligned}$ & \boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \\ & \boldsymbol{\beta}_{1}=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{2}=(0,1,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{3}=(1,2,0)^{\mathrm{T}}, \end{aligned} $$ 在这两组基下坐标相同的向量 $\boldsymbol{\gamma}=$ $\_\_\_\_$ ． ## 选择题

### 第206题 D=$\left|\begin{array}{cccc}a^{2} & (a+1)^{2} & (a+2)^{2} & (a+3)^{2} \\ b^{2} & (b+1)^{2} & (b+2)^{2} & (b+3)^{2} \\ c^{2} & (c+1)^{2} & (c+2)^{2} & (c+3)^{2} \\ d^{2} & (d+1)^{2} & (d+2)^{2} & (d+3)^{2}\end{array}\right|=$$ （A） 0 ． （B） 1 ． （C）$a b c d$ ． （D）$a^{2} b^{2} c^{2} d^{2}$ ．$

### 第207题 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是三阶方阵，且 $|\boldsymbol{A}|=1,|\boldsymbol{B}|=-2$ ，则 $\left|\begin{array}{cc}\boldsymbol{A} & -2 \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right|=$ （A） 4 ． （B）-4 ． （C） 16 ． （D）-16 ．

### 第208题 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，满足 $\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ ，若 $|\boldsymbol{A}+3 \boldsymbol{E}|=3$ ，则 $|2 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}|=$ （A）-4 ． （B） 9 ． （C） 16 ． （D）-9 ．

### 第210题 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵，且 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{2}=\boldsymbol{E}$ ，则 $\left(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}=$ （A）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \boldsymbol{B}$ ． （B） $\boldsymbol{E}+\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{-1}$ ． （C） $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$ ． （D）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \boldsymbol{A}$ ． 建议荅题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$

### 第211题 三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆，把矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 行与第 3 行互换得到矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，把矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的第 1 列的 -3 倍加到第 2 列得到单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ ，则 $\boldsymbol{A}^{*}=$ （A）$\left[\begin{array}{ccc}-1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{ccc}1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]$ ．

### 第212题 设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶矩阵且 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 2 & \\ & & 3\end{array}\right]$ ，其中 $\boldsymbol{P}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ，若 $\boldsymbol{Q}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2},-\boldsymbol{\alpha}_{2}\right.$ ， $\left.2 \boldsymbol{\alpha}_{3}\right]$ ，则 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=$ （A）$\left[\begin{array}{ccc}-3 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -6\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{ccc}-3 & -2 & 0 \\ -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 12\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{ccc}3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 12\end{array}\right]$ ． 建欲答题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$

### 第213题 （2016，数农）设 $\boldsymbol{A}$ 为 $4 \times 5$ 矩阵，若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则 $r(\boldsymbol{A})=$ （A） 4 ． （B） 3 ． （C） 2 ． （D） 1 ． 建被答题时问 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

### 第214题 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & 4 & 2 \\ 1 & a & -2 \\ 2 & 3 & a+2\end{array}\right], \boldsymbol{B}$ 是三阶非零矩阵且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$ ，则 （A）$a=1$ 是 $r(\boldsymbol{B})=1$ 的必要条件． （B）$a=1$ 是 $r(\boldsymbol{B})=1$ 的充分必要条件． （C）$a=3$ 是 $r(\boldsymbol{B})=1$ 的充分条件． （D）$a=3$ 是 $r(\boldsymbol{B})=1$ 的充分必要条件．

### 第215题 (2003,3)$ 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right]$ ，若 $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=1$ ，则必有 （A）$a=b$ 或 $a+2 b=0$ ． （B）$a=b$ 或 $a+2 b \neq 0$ ． （C）$a \neq b$ 且 $a+2 b=0$ ． （D）$a \neq b$ 且 $a+2 b \neq 0$ ． 旗胜考研$

### 第216题 设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1-a & a & 0 & -a \\ -3 & 6 & 3 & -3 \\ 2-a & a-2 & -1 & 1-a\end{array}\right]$ ，其中 $a$ 为任意常数，则 $(\mathrm{A}) r(\boldsymbol{A})=1$ ． （B）$r(\boldsymbol{A})=2$ ． $(\mathrm{C}) r(\boldsymbol{A})=3$ ． （D）$r(\boldsymbol{A})$ 与 $a$ 有关． 建设荅题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

### 第217题 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵， $\boldsymbol{B}$ 是 $n \times m$ 矩阵，且满足 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{E}$ ，则 （A） $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性无关， $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性无关． （B） $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性无关， $\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性无关． （C） $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性无关， $\boldsymbol{B}$ 的列向量组线性无关． （D） $\boldsymbol{A}$ 的行向量组线性无关， $\boldsymbol{B}$ 的行向量组线性无关．

### 第218题 （2010，数农）设向量组 I： $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{r}$ 可由向量组 II： $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{s}$ 线性表示，下列命题中正确的是 （A）若向量组 I 线性无关，则 $r \leqslant s$ ． （B）若向量组 I 线性相关，则 $r>s$ ． （C）若向量组 II 线性无关，则 $r \leqslant s$ ． （D）若向量组 II 线性相关，则 $r>s$ ． 建衩谷题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

### 第219题 设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 是三维非零向量，则下列命题中正确的是 （A）若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 线性相关， $\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性相关，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 必线性相关． （B）若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 必线性无关． （C）若 $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 必线性相关． （D）若 $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 必线性无关． ## 建议荅题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

### 第220题 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,0,4)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,2,0,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,2,3,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=(0,0,3, a)^{\mathrm{T}}$的秩等于 3 ，则 $a=$ （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．

### 第221题 已知四维列向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 线性无关，且向量 $\boldsymbol{\beta}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{2}-\boldsymbol{\alpha}_{4}$ ， $\boldsymbol{\beta}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{3}+\boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{4}=\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{5}=2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{3}$ ，则 $r\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{4}, \boldsymbol{\beta}_{5}\right)=$ （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．

### 第222题 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right]$ 是四阶矩阵， $\boldsymbol{\eta}_{1}=(3,1,-2,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\eta}_{2}=(0,-1,2,1)^{\mathrm{T}}$ 是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则下列命题中正确的一共有 （1） $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 一定可由 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示。 （2） $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 列向量的极大线性无关组． （3）秩 $r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{4}\right)=2$ 。 （4） $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 列向量的极大线性无关组． （A） 4 个． （B） 3 个． （C） 2 个． （D） 1 个．

### 第223题 (1991,4)$ 设方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有 $m$ 个方程，$n$ 个未知数且 $m \neq n$ ，则正确命题是 （A）若 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 只有零解，则 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有唯一解。 （B）若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解． （C）若 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解，则 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 仅有零解。 （D）若 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解，则 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有非零解。 建致谷题时间 $\leqslant 4 \mathrm{~min}