线性代数

### 第289题 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 4 \\ 3 & 1 & 1 & 1\end{array}\right]$ ，下列命题中错误的是 （A） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 只有零解． （B）存在 $\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O}$ 而 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ ． （C）$\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right|=0$ ． （D）$\left|\boldsymbol{A A}^{\mathrm{T}}\right|=0$ ． 建设荅题时门 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$ 管题 区域

### 第290题 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，对于齐次线性方程组（I） $\boldsymbol{A}^{n} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 和（II） $\boldsymbol{A}^{n+1} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ ，现有四个命题 （1）（I）的解必是（II）的解； （2）（II）的解必是（I）的解； （3）（I）的解不是（II）的解； （4）（II）的解不是（I）的解． 以上命题中正确的是 （A）（1）（2）． （B）（1）（4）． （C）（3）（4）． （D）（2）（3）．

### 第291题 设 $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}, \boldsymbol{\eta}_{3}, \boldsymbol{\eta}_{4}$ 是齐次线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系还可以是 （A） $\boldsymbol{\eta}_{1}-\dot{\boldsymbol{\eta}}_{2}, \boldsymbol{\eta}_{2}+\boldsymbol{\eta}_{3}, \boldsymbol{\eta}_{3}-\boldsymbol{\eta}_{4}, \boldsymbol{\eta}_{4}+\boldsymbol{\eta}_{1}$. （B） $\boldsymbol{\eta}_{1}+\boldsymbol{\eta}_{2}, \boldsymbol{\eta}_{2}+\boldsymbol{\eta}_{3}+\boldsymbol{\eta}_{4}, \boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}+\boldsymbol{\eta}_{3}$ ． （C） $\boldsymbol{\eta}_{1}+\boldsymbol{\eta}_{2}, \boldsymbol{\eta}_{2}+\boldsymbol{\eta}_{3}, \boldsymbol{\eta}_{3}+\boldsymbol{\eta}_{4}, \boldsymbol{\eta}_{4}+\boldsymbol{\eta}_{1}$ ． （D） $\boldsymbol{\eta}_{1}+\boldsymbol{\eta}_{2}, \boldsymbol{\eta}_{2}-\boldsymbol{\eta}_{3}, \boldsymbol{\eta}_{3}+\boldsymbol{\eta}_{4}, \boldsymbol{\eta}_{4}+\boldsymbol{\eta}_{1}$.

### 第292题 设 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}, \boldsymbol{\alpha}_{5}$ 都是四维列向量， $\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}\right]$ ，非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\alpha}_{5}$ 有通解 $k \boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\eta}=k(1,-1,2,0)^{\mathrm{T}}+(2,1,0,1)^{\mathrm{T}}$ ，则下列关系式中不正确的是 （A） $2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+\boldsymbol{\alpha}_{2}+\boldsymbol{\alpha}_{4}-\boldsymbol{\alpha}_{5}=\mathbf{0}$ ． （B） $\boldsymbol{\alpha}_{5}-\boldsymbol{\alpha}_{4}-2 \boldsymbol{\alpha}_{3}-3 \boldsymbol{\alpha}_{1}=\mathbf{0}$ ． （C） $\boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}-\boldsymbol{\alpha}_{5}=\mathbf{0}$ ． （D） $\boldsymbol{\alpha}_{5}-\boldsymbol{\alpha}_{4}+4 \boldsymbol{\alpha}_{3}-3 \boldsymbol{\alpha}_{2}=\mathbf{0}$ ． ## 建衩荅题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

### 第293题 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right]$ 是三阶可逆矩阵， $\boldsymbol{B}$ 是三阶矩阵，且 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}a_{11} & 4 a_{13} & a_{12} \\ a_{21} & 4 a_{23} & a_{22} \\ a_{31} & 4 a_{33} & a_{32}\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{B}$ 的特征值是 （A） $1,-1,4$ ． （B） $1,1,-4$ ． （C） $1,2,-2$ ． （D） $1,-1,2$ ．

### 第294题 设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶实对称矩阵，且 $\boldsymbol{A}^{3}=\boldsymbol{O}$ ，则矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为公众号：旗胜考研 （A） 0 ． （B） 1 ． （C） 2 ． （D） 3 ． 建衹答题时问

### 第295题 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n \times m$ 矩阵且 $r(\boldsymbol{A})=n$ ，则下列命题中正确的是 （A） $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 必为可逆矩阵． （B） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 必为可逆矩阵． （C） $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 必与单位矩阵相似． （D） $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 必与单位矩阵相似．

### 第296题 设三阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值是 $0,1,-1$ ，则下列命题中不正确的是 （A）矩阵 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ 是不可逆矩阵。 （B）矩阵 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ 和对角矩阵相似． （C）矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于 1 与 -1 的特征向量相互正交． （D）方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系由一个向量构成。

### 第297题 下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是 （A）$\left[\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ -2 & -1 & 0 \\ 1 & 4 & 1\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{lll}3 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 3 \\ 0 & 3 & 2\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -1 \\ -3 & 0 & 3 \\ 5 & 0 & -5\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{ccc}2 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$ ． 建议答题时问 $\leqslant 5 \mathrm{~min}$

### 第298题 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}, \boldsymbol{D}$ 都是 $n$ 阶矩阵，且 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{C}, \boldsymbol{B} \sim \boldsymbol{D}$ ，则必有 （A）$(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) \sim(\boldsymbol{C}+\boldsymbol{D})$ ． （B）$\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{C} & \boldsymbol{O} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{D}\end{array}\right]$ ． （C）$A B \sim C D$ ． （D）$\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right] \sim\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{D} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$ ．

### 第299题 设 $\boldsymbol{\alpha}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)^{\mathrm{T}}$ 是单位向量，矩阵 $\boldsymbol{A}=2 \boldsymbol{E}+3 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ ，则 $\boldsymbol{A} \sim$ （A）$\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 3 & \\ & & 3\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 2 & \\ & & 3\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 5 & \\ & & 5\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{lll}2 & & \\ & 2 & \\ & & 5\end{array}\right]$ ．

### 第300题 n$ 元二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 正定的充分必要条件是 （A）负惯性指数 $q=0$ ． （B）存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{E}$ ． （C）正惯性指数 $p=n$ ． （D）存在 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{C}$ 使 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{C}$ ． 建议荅题时问$

### 第301题 已知二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{2} x_{3}$ 和 $\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{y}=y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}$ ，则二次型矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ （A）相似且合同． （B）相似但不合同． （C）合同但不相似． （D）不合同也不相似． ## 揵议答题时间 $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

### 第302题 已知 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵，下列命题中错误的是 （A）若 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 相似，则 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 合同． （B）若 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 合同，则 $\boldsymbol{A}$ 和 $9 \boldsymbol{B}$ 合同． （C）若 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 合同，则 $\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}$ 和 $\boldsymbol{B}+k \boldsymbol{E}$ 合同． （D）若 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 合同，则 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 等价． $\leqslant 3 \mathrm{~min}$

### 第303题 设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，将 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 列和第 $j$ 列对换得到 $\boldsymbol{B}$ ，再将 $\boldsymbol{B}$ 的第 $i$ 行和第 $j$行对换得到 $\boldsymbol{C}$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$ （A）等价但不相似。 （B）合同但不相似． （C）相似但不合同． （D）等价，合同且相似． 建衩荅题时间

### 第304题 设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵，若 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 合同，则 （A） $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 有相同的特征值． （B） $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 有相同的秩． （C） $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 有相同的特征向量． （D） $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 有相同的行列式．

### 第305题 与二次型 $f=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+6 x_{1} x_{2}$ 的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 既合同又相似的矩阵是 （A）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 2 & \\ & & -8\end{array}\right]$ ． （B）$\left[\begin{array}{lll}4 & & \\ & 2 & \\ & & -2\end{array}\right]$ ． （C）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 3 & \\ & & 0\end{array}\right]$ ． （D）$\left[\begin{array}{lll}1 & & \\ & 1 & \\ & & -1\end{array}\right]$ ． 建被答题时问 $\leqslant 4 \mathrm{~min}$ 科估 有点难区1或 ## 解 答 题

### 第306题 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ ，若矩阵 $\boldsymbol{B}$ 满足： $\boldsymbol{A}^{*} \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}=2 \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}-9 \boldsymbol{E}$ ，求矩阵 $\boldsymbol{B}$ ．

### 第307题 设 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 满足条件 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ ． （1）证明 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}$ 可逆． （2）求秩 $r(\boldsymbol{A B}-\boldsymbol{B A}+2 \boldsymbol{E})$ ． （3）如果 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 。

### 第308题 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$ 和 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & a & 3 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ 等价，求 $a$ 的值并求一个满足要求 的可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和 $Q$ 使 $\boldsymbol{P A Q}=\boldsymbol{B}$ ．

### 第309题 已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,4,0,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,7,1,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(0,1,-1, a)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{4}=(3,10$ ， $b, 4)^{\mathrm{T}}$ 线性相关． （1）求 $a, b$ 的值． （2）判断 $\boldsymbol{\alpha}_{4}$ 能否由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示？如能，写出表达式． （3）求向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\alpha}_{4}$ 的一个极大线性无关组． （1）求 $a$ 的值． （2）求满足 $\boldsymbol{P A}=\boldsymbol{B}$ 的所有可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ． 建议答题时问 $\leqslant 12 \mathrm{~min}$

### 第311题 设向量组（I）： $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,-3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(3,0,-8)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(9,6,-25)^{\mathrm{T}}$ ， （II）： $\boldsymbol{\beta}_{1}=(0,1,-1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{2}=(a, 2,-3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_{3}=(b, 1,0)^{\mathrm{T}}$ ， 若 $r$（I）$=r$（II）且 $\beta_{2}$ 可由（I ）线性表出，求 $a, b$ 的值，并判断向量组（I）（II）是否等价． 建议荅题时问

### 第312题 已知方程组 $$ $\left\{\begin{aligned}$ x_{1}-2 x_{2}-3 x_{3} & =1, \\ x_{1}+2 x_{2}+(2 a-1) x_{3} & =1, \\ a x_{1}+2 x_{2}+a x_{3} & =1, $\end{aligned}\right.$ $$ 有无穷多解，求 $a$ 的值并求方程组的通解．

### 第313题 设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^{2}\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 7\end{array}\right]$ ，当 $a$ 为何值时，方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 有无穷多解？此时求方程组的通解． 建设荅题时问 $\leqslant 13 \mathrm{~min}$ sㅓㄴㅏㅜㄹ 㹂记

### 第314题 （2017，数农）设向量 $\boldsymbol{\beta}=(1,1,2)^{\mathrm{T}}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & a & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & b\end{array}\right]$ 的特征向量． （1）求 $a, b$ 的值． （2）求方程组 $\boldsymbol{A}^{2} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 的通解． 建设答题时同

### 第315题 （2018，数农）已知 $A(1,1), B(2,2), C(a, 1)$ 为坐标平面上的点，其中 $a$ 为参数，问是否存在经过点 $A, B, C$ 的曲线 $y=k_{1} x+k_{2} x^{2}+k_{3} x^{3}$ ？如果存在，求出曲线方程．

### 第316题 设方程组 $$ $\left\{\begin{aligned}$ x_{1}-2 x_{2}+3 x_{3}+4 x_{4} & =5, \\ 2 x_{1}-4 x_{2}+5 x_{3}+6 x_{4} & =7, \\ 4 x_{1}+a x_{2}+9 x_{3}+10 x_{4} & =11, $\end{aligned}\right.$ $$ （1）当 $a$ 为何值时方程组有解？并求其通解． （2）求方程组满足 $x_{1}=x_{2}$ 的所有解。 建议荅题时问 $\leqslant 12 \mathrm{~min}$

### 第317题 已知 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵，证明 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}$ 的充分必要条件是 $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})=n$ ． 建议荅题时问 $\leqslant 10 \mathrm{~min}$

### 第318题 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是线性无关的三维列向量，且满足 $$ $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=3 \boldsymbol{\alpha}_{1}+4 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}=2 \boldsymbol{\alpha}_{1}-\boldsymbol{\alpha}_{2}+2 \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=-2 \boldsymbol{\alpha}_{1}-3 \boldsymbol{\alpha}_{3} .$ $$ （1）求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值． （2）判断矩阵 $\boldsymbol{A}$ 能否相似对角化，说明理由．公众号：旗胜考研 （3）求秩 $r\left(\boldsymbol{A}^{2}+\boldsymbol{A}\right)$ 。

### 第319题 已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}2 & a & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 3 & 2 & 0\end{array}\right]$ 有 3 个线性无关的特征向量，求 $a$ ，并求 $\boldsymbol{A}^{n}$ ． 建衤荅䎠时间 $\leqslant 12 \mathrm{~min}$ 神佔

### 第320题 已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{t}$ 是齐次方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系， $\boldsymbol{\beta}$ 不是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的解，证明 $\boldsymbol{\beta}+ \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}_{t}$ 线性无关。 建仪答题时间 $\leqslant 12 \mathrm{~min}$

### 第321题 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ t-1 & -1 & t\end{array}\right]$ 有二重特征值． （1）求 $t$ 的值． （2） $\boldsymbol{A}$ 能否相似于对角矩阵？若能，求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ 为对角矩阵． ## 建议荅题时问 $\leqslant 12 \mathrm{~min}$

### 第322题 设 $\boldsymbol{A}$ 为3阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 为3维列向量，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}=2 \boldsymbol{\alpha}_{1}+t \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{3}=\boldsymbol{\alpha}_{1} +2 \boldsymbol{\alpha}_{3}$ ，若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，问矩阵 $\boldsymbol{A}$ 能否相似于对角矩阵，为什么？ 建议答题时问

### 第323题 已知 $\boldsymbol{\alpha}=(1,-2,3)^{\mathrm{T}}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 2 & a & -2 \\ -3 & b & 5\end{array}\right]$ 的一个特征向量． （1）求 $a, b$ 的值． （2）判断 $\boldsymbol{A}$ 能否相似对角化？若能，则求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{\Lambda}$ ，若不能，则讲清理由．

### 第324题 设三阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值是 $1,-2,0$ ，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 属于特征值 $1,-2$ 的特征向量分别是 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(-1,-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1, a,-1)^{\mathrm{T}}$ 。 （1）求 $\boldsymbol{A}$ 的属于特征值 0 的特征向量． （2）求二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ ． （3）如二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}(\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}$ 的规范形是 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ，求 $k$ ．

### 第325题 二次型 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=2 x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}+2 a x_{2} x_{3}$ 的秩为 2 ． （1）求 $a$ 的值． （2）求正交变换 $\boldsymbol{x}=Q \boldsymbol{y}$ 化二次型为标准形，并写出所用坐标变换． （3）若 $\boldsymbol{A}+k \boldsymbol{E}$ 是正定矩阵，求 $k$ ．

### 第326题 已知 $\boldsymbol{A}$ 是三阶矩阵，满足 $\boldsymbol{A}^{2}-2 \boldsymbol{A}-3 \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$ ． （1）证明 $\boldsymbol{A}$ 可逆，并求 $\boldsymbol{A}^{-1}$ ． （2）如 $|\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{E}|=25$ ，求 $|\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}|$ 的值． （3）证明 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 是正定矩阵．

### 第327题 已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+(a+3) x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}-2 x_{1} x_{3}$ 的规范形为 $z_{1}^{2}-z_{2}^{2}$ ．求 $a$ 的值与将其化为规范形的可逆线性变换．

### 第328题 已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}$ 经正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ ，化为二次型 $g\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+t y_{3}^{2}-2 y_{1} y_{2}$ ，求 $t$ 的值，并求正交变换矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 。 建议器题时问

### 第329题 已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}$ 经可逆线性变换 $\boldsymbol{x}= \boldsymbol{P} \boldsymbol{y}$ 化为二次型 $g\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)=y_{1}^{2}+5 y_{2}^{2}+4 y_{3}^{2}+2 y_{1} y_{2}-8 y_{2} y_{3}$ ，求变换矩阵 $\boldsymbol{P}$ 。

### 第330题 330题 在《考研数学复习全书•基础篇》《数学基础过关 660 题》之后使用，效果更佳 预留 右侧微信扫码，观看精选视频（领课步骤详见扫码页面） x
中国农业出版社
CHINAAGRICULTURE PRESS ## 结滂财圢差研數苹召顺四队 ## 学永乐（线代王） ＠清华李永乐考研数学 －微信公众号：永乐讲线代 畀B站：李永乐考研团队 - 清华大学应用数学系原教授 - 广受学生信赖的＂线代王＂ - 百万册级畅销书《线性代数辅导讲义》《数学复习全书》主编 - 北京高教学会数学研究会副理事长 - 曾任全国硕士研究生入学考试北京地区数学阅卷组组长 ## 王式安（全国硕士研究生入学考试咸题组前组长） - 北京理工大学研究生院原院长、应用数学系主任、教授－享受国务院特殊津贴的数学专家 - 美国哥伦比亚大学、南佛罗里达大学、纽约大学等大学的客座教授 - 1987－2001年担任全国硕士研究生入学考试数学命题组组长 ＠清华李永乐考研数学 －百万册级畅销书《概率论与数理统计辅导讲义》《数学复习全书》主编 B站：李永乐考研团队 ## 武出祥（6）＠清华李永乐考研数学 - 西安交通大学（＂985工程＂、＂211工程＂、双一流高校）数学系原教授 - 美国艾奥瓦大学（2019年美国综合性大学TOP100榜单高校）访问学者 - 百万册级畅销书《高等数学辅导讲义》《数学复习全书》主编 - 高等教育出版社《工科数学分析基础》《高等数学基础》等教材主编 ## 申亚男（全国硕士研究生八学考试吊题组原昂题人） （6）＠清华李永乐考研数学 酋 B 站：李永乐考研团队 - 北京科技大学数学系原教授 - 北京市高等学校教学名师 - 曾六次获北京市教育教学成果奖一、二等奖 - 北京科技大学教务处原副处长 - 北京高校优秀本科育人团队负责人等奖 ## 刘喜波（高数波叔） - 中国科学院数学博士 - 北京市中青年骨干教师 ＠刘喜波讲高数 - 北方工业大学理学院统计学系主任、教授 - 北京市公共数学优秀教学团队主要成员 ## 章纪民（6）＠清华李永乐考研数学 - 清华大学数学科学系原副教授，1991年起在清华大学应用数学系任教 - 曾教授过微积分、高等代数、常微分方程、偏微分方程、复变函数等课程 - 参与编写了＂十五＂期间的国家级规划教材、清华大学公共基础平台课教材等重点项目的数学教材 ## 宋浩（教学衶频总擂放糧超己IZ次） ＠宋浩老师＿ice＿mouse B站：宋浩老师官方 - 山东大学数学院硕士、中国科学院博士 - 英国伦敦玛丽女王大学访问学者 - 副教授－考研数学阅卷人 - B站＂ 500 万 + ＂粉丝up主，教学视频总播放量超 2 亿次 ## （2）義晓干（全能名师） ## ＠晓千老师 ※ 微信公众号：晓千老师 - 中国人民大学金融数学博士 - 全国各大省市考研辅导机构全程主讲 - 新浪、搜狐、腾讯、网易、中国教育在线讲师等各大门户网站特邀访谈嘉宾 ## 薛威（硕哥）（考研数学全科讲师） ## ت
（3）考研数学薛威－硕哥 - 985高校应用数学系硕士 - 考研数学培训经验＂ 1 つ年＋＂．異计授娌＂ 1 ก八กก＋＂小时 - 出版过考研数学全系列图や •上梠无左评，｜又子＂土妖茁的 宝藏老师＂ ## 金榜时代考研数学系列｜V研客及全国各大考研培训学校指定用书 ## 数学强化通关 ## 330题•习题册 ## （数学二） 编著（1）李永乐 王式安 刘喜波 武忠祥 宋浩 姜晓千铁军 李正元 蔡燧林 胡金德 陈默 申亚男 ## 图书在版编目（CIP）数据 数学强化通关 330 题．数学二／李永乐等编著．— 北京：中国农业出版社，2021．3（2023．5 重印） （金榜时代考研数学系列） ISBN 978－7－109－27949－0 I．（1）数⋯ II．（1）李⋯ III．（1）高等数学一研究生一人 学考试一习题集 IV．（1）O13－44 中国版本图书馆 CIP 数据核字（2021）第025912号 [^0]版权所有•侵权必究 凡购买本社图书，如有印装质量问题，我社负责调换。 服务电话：010－59194952010－59195115 # 全榜時代
考研数学系列图书 ## 内容简介及使用说明 考研数学满分 150 分，数学在考研成绩中的比重很大；同时又因数学学科本身的特点，考生的数学成绩历年来千差万别，数学成绩好在考研中很占优势，因此有＂得数学者考研成＂之说。既然数学对考研成绩如此重要，那么就有必要探讨一下影响数学成绩的主要因素。 本系列图书作者根据多年的命题经验和阅卷经验，发现考研数学命题的灵活性非常大，不仅表现在一个知识点与多个知识点的考查难度不同，更表现在对多个知识点的综合考查上，这些题目在表达上多一个字或多一句话，难度都会变得截然不同。正是这些综合型题目拉开了考试成绩的差距，而构成这些难点的主要因素，实际上是最基础的基本概念、定理和公式的综合。同时，从阅卷反映的情况来看，考生答错题目的主要原因也是对基本概念、定理和公式记忆和掌握得不够熟练。总结为一句话，那就是：要想数学拿高分，就必须熟练掌握、录活运用基本概念、定理和公式。 基于此，李永乐考研数学辅导团队结合多年来考研辅导和研究的经验，精心编写了本系列图书，目的在于帮助考生有计划、有步骤地完成数学复习，从基本概念、定理和公式的记忆，到对其的熟练运用，循序渐进。以下介绍本系列图书的主要特点和使用说明，供考生复习时参考。 | 书名 | 本书特点 | 本书使用说明 | | :--- | :--- | :--- | | 《考研数学复习全书•基础篇》 | 内容基础•提炼精准•易学易懂（推荐使用时间：2022年7月－2022年12月） | | | | 本书根据大纲的考试范围将考研所需复习内容提炼出来，形成考研数学的基础内容和复习逻辑，实现大学数学同考研数学之间的顺利过渡，开启考研复习第一篇章。 | 考生复习过本校大学数学教材后，即可使用本书。如果大学没学过数学或者本校课本是自编教材，与考研大纲差别较大，也可使用本书替代大学数学教材。 | | 《数学基础过关 660 题》 | 题白经典•体系完备•逻辑清晰（推荐使用时间：2022年7月－2023年4月） | | | | 本书是床编团队出版 20 多年的经典之作，一直被模仿，从未被超越。年销量达百万余册，是当之无溾的考研数学头号畅销书，拥有无数甘当＂自来水＂的粉丝读者，（日）碑爆棚，考研数学不可不大！＂ 660 ＂也早已成为考研数学的年度关键词。
本书重基础，重概念，重理论，一旦你拥有了《考研数学复习全书•基础篇》《数学基础过关 660 题》教你的思维方式、知识逻辑、做题方法，你就能基础稳固、思维灵活，对知识、定理、公式的理解提升到新的高度，避免陷入复习中后期＂基础不军，地动山摇＂的窘境。 | 与《考研数栄复习全书•基础篇》搭配使用，在完成对基础知识的学习后，有针对性地做一些岽习。帮助考生熟练掌握定理、公式和解题技访，加强知识点的前后联系，将之体系化、系统化，分清重难点，让复习周期尽量缩短
虽说书中都是选择题和填空题，同学们不要轻视，也不要一开始就盲目做题。看到一道题，要能分辨出是考哪个知识点，考什么，然后在做题过程中看看自己是否掌握了这个知识点，应用的定理、公式的条件是否熟悉，这样才算真正做好了一道题。 | | 《数学历年真题全精解析 －基础篇》 | 分类详解•注重基础•突出重点（推荐使用时间：2022年7月－2022年12月） | | | | 本书精选精析1987－2008年考研数学真题，帮助考生提前了解大学水平考试与考研选拔考试的差别，不会盲目自信，也不会妄自菲薄，真正跨入考研的门槛。 | 与《考研数学复习全书•基础篇》《数学基础过关660题》搭配使用，复习完一章，即可做相应的章节真题。不会做的题目做好笔记，第二轮复习时继续练习。 | # 无水印版由【公众号：小盆学长】免费提供 更多考研无水印笔记书籍资料，【公众号：小盆学长】，回复【PDF】免费获取 更多考研资料视频，【公众号：小盆学长】免费提供 更多考研无水印笔记书籍资料，【公众号：小盆学长】，回复【PDF】免费获取 无水印版由【公众号：小盆学长】免费提供 | 书名 | 本书特点 | 本书使用说明 | | :--- | :--- | :--- | | 《数学复习全书•提高篇》 | 系统全面•深入细致•结构科学（推荐使用时间：2023年2月－2023年7月） | | | | 本书为作者团队扛鼎之作，常年稳居各大平台考研图书畅销榜前列，主编之一的李永乐老师更是入选2019年＂当当 20 周年白金作家＂，考研界仅两位作者获此称号。
本书从基本理论、基础知识、基本方法出发，全面、深入、细致地讲解考研数学大纲要求的所有考点，不提供花拳绣腿的不实用技巧，也不提倡误人子弟的费时背书法，而是扎扎实实地带同学们深入每一个考点背后，找到它们之间的关联、逻辑，之
零碎、概念不清楚、期末考试过后即忘的＂低级＂水平，提升到考研必需的高度。 | 利用《考研数学复习全书•基础篇》把基本知识＂捡＂起来之后，再使用本书。本书有知识点的详细讲解和相应的练习题，有利于同学们建立考研知识体系和框架，打好基础。在《数学基础过关 660 题》中若遇到不会做的题，可以放到这里来做。以章或节为单位，学习新内容前要复习前面的内容，按照一定的规律来复习。基础薄弱或中等偏下的考生，务必要利用考研当年上半年的时间，整体「 ${ }_{\text {响 }}$ 指和必要性，特别是对大纲中要求的基本概念、理论、方法要系统理解和掌握。 | | 《数学历年真题 全 精 解 析 －提高篇》 | 真题真练•总结规律•提升技巧（ | 荐使用时间：2023年7月—2023年11月） | | | 本书完整收录2009－2023年考研数学的全部试题，将真题按考点分类，还精选了其他卷的试题作为练习题。力争做到考点全覆盖，题型多样，重点突出，不简单重复。书中的每道题给出的参考答案有常用、典型的解法，也有技巧性强的特殊解法。分析过程逻辑严谨、思路清晰，具有很强的可操作性，通过学习，考生可以独立完成对同类题的解答。 | 边做题、边总结，遇到＂卡壳＂的知识点、题目，回到《数学复习全书•提高篇》和之前听过的基础课 强化课中去补，争取把每个真题知说点吃透、搞懂，不留死角。
通过做真题，进一步提高解题能力和技巧，满足实际考试的要求。第一阶段，浏览每年真题熟意题型和常考点。第二阶段， | | 《高等数学辅导讲义》《线性代数辅导讲义》《概率论与数理统计辅导讲义》 | 经典讲义 专项突破•强化提高（推荐便用时间：2023年7月－2023年10月） | | | | 三本讲义分别，由作者的教学讲稿改编而成，系统阐述了考研数学的基础知识。书中例题都经过严格筛选、归纳，是多年经验的总结，对同学俶的重点、难点的把握准确，有针对性。适合认真研读，做到举 | 哪科较薄弱，精研哪本。搭配《数学强化通关 330 题》一起使用，先复习讲义上的知识点，做章节例题、练习，再去听相关章节的强化课，做《数学强化通关 330 题》的相关习题，更有利于知识的巩固和提高。 | | 《数学强化通关 330 题》 | 综命训练•突破重点•强化提高（推荐使用时间：2023年5）月－2023年10月） | | | | 强化阶段的练习题，综合训练必备。具有典型性、针对性、技巧性、繁合性等特点，可以帮助同学们突破重点、难点，熟悉解题思路和方法，增强应试能力。 | 与《数学基础过关 560 题》互为补充，包含选择题、填空题和解答题。搭配《高等数学辅导讲义》《线性代数辅导讲义》《概率论与数理统针辅导讲义》使用，效果更佳。 | | 《数学临阵磨枪》 | 查漏补缺•问题清零•从容应战（推荐使用时间：2023年10月－2023年12月） | | | | 本书是常用定理公式、基础知识的清单。最后阶段，大部分考生缺乏信心，感觉没复习完，本来会做的题目，因为紧张、压力，也容易出错。本书能帮助考生在考前查漏补缺，确保基础知识不丢分。 | 搭配《数学决胜冲刺 6 套卷》使用。上考场前，可以再次回忆、翻看本书。 | | 《数学决胜冲刺 6 套卷》《考研数学最后 3 套卷》 | 冲剌模拟•有的放矢•高效提分（推荐使用时间：2023年11月－2023年12月） | | | | 通过整套题的训练，对所学知识进行系统总结和梳理。不同于重点题型的练习，需要全面的知识，要综合应用。必要时应复习基本概念、公式、定理，准确记忆。 | 在精研真题之后，用模拟卷练习，找漏洞，保持手感。不要掐时间、估分，遇到不会的题目，回归基础，翻看以前的学习笔记，把每道题吃透。 | 为了更好地帮助考生准确理解和熟练运用考试大纲知识点的内容，使考生在完成基础阶段的复习后能进一步提高自身的解题能力和应试水平，编写团队依据多年的命题与阅卷经验，汇集 20 多年的考研经典题目，精心编写了本书，以期使之成为考生冲刺考研数学高分的必备题集。 对于数学这门特殊的科目，一定量的习题练习是很有必要的，特别是对于历年考试所重点考查的内容和知识点，在复习中必须要重点关注、重点练习。我们特别根据历年来重点考查的知识点题型编写了本书，希望考生能在复习后期，通过对这些重点、难点题型的练习，能有新的突破。 本书内容包括考纲所要求的全部知识点，题型设计为选择题、填空题和解答题。在题目的设置上，我们考虑将其作为《数学基础过关 660 题》的补充，旨在帮助考生在基本熟悉大纲知识点，有一定解题能力后，通过对一些经典题目的深入练习与理解，进一步提高考生的解题能力和应试水平。 从历年的考试结果所反映出的问题来看，部分考生对于数学的基本解题思想和方法并没有掌握，只熟悉了一些题型和解题的套路。只要是常规题型，大部分考生都能解答，而对于一些创新的、不常规的题型，很多考生就无从下手。因此，建议考生在使用本书时不仅仅要关注题目本身，更要多思考、多归纳总结，关注数学本质，把握题目背后的基础知识和基本原理，学会灵活变通地解决问题。通过本书给出的详细的解答过程，考生应归纳总结解题思路，学会举一反三。 另外，为了更好地帮助同学们进行复习，＂李永乐考研数学辅导团队＂特在新浪微博上开设了答疑专区，同学们在考研数学复习中，如若遇到任何问题，都可在线留言，团队老师将尽心为你解答。请访问 weibo．com＠清华李永乐考研数学。 希望本书能对同学们的复习备考提供有意义的帮助。对书中不足和疏漏之处，恳请读者批评指正。 祝同学们复习顺利、心想事成、考研成功！ ## 图书中有疏漏之处即时更新微信扫码查看 ## 高等数学 填空题 ..... 3 选择题 ..... 42 解答题 ..... 87 线性代数 填空题 ..... 119 选择题 ..... 136 解答题 ..... 156 ## 䙲維 T ## 填 空 题