概率论与数理统计

共 147 道题目

7 📝 有解析

### 第7题 7．连续掷 1 枚均匀骰子，在前 4 次没有出现偶数点的条件下，前 10 次均未出现偶数点的概率为 $\_\_\_\_$。

8 📝 有解析

### 第8题 8．设随机变量 $X$ 的概率分布为 $P\{X=k\}=\theta(1-\theta)^{k-1}, k=1,2, \cdots$ ，其中 $0<\theta<1$ ．若 $\displaystyle P\{X \leqslant 2\}=\frac{5}{9}$ ，则 $P\{X=3\}=$ $\_\_\_\_$ ．

9 📝 有解析

### 第9题 9．设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \mu ; \sigma^{2}, \sigma^{2} ; 0\right)$ ，则 $E\left(X Y^{2}\right)=$ $\_\_\_\_$。

10 📝 有解析

### 第10题 10．设总体 $X$ 服从参数 $\lambda=1$ 的泊松分布，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自 $X$ 的简单随机样本，且 $\displaystyle E\left[\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}\right]=\frac{9 n}{10}$ ，则 $n=$ $\_\_\_\_$ ．答案见答案冊第172页

1 📝 有解析

### 第1题 1．一袋中有四只球，编号为 $1,2,3,4$ ，从袋中一次取出两只球，用 $X$ 表示取出的两只球的最大号码数，则 $P\{X=4\}=$ （A） 0.4 ．（B） 0.5 ．（C） 0.6 ．（D） 0.7 ．

2 📝 有解析

### 第2题 2．设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x, & 0

3 📝 有解析

### 第3题 3．已知 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 是相互独立的随机变量，分布函数分别为 $F_{1}(x)$ 和 $F_{2}(x)$ ，则下列选项一定是某一随机变量分布函数的为（A）$F_{1}(x)+F_{2}(x)$ ．（B）$F_{1}(x)-F_{2}(x)$ ．（C）$F_{1}(x) \cdot F_{2}(x)$ ．（D）$\displaystyle \frac{F_{1}(x)}{F_{2}(x) .}$ 随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ ，则概率 $P\{|X-\mu| \leqslant \sigma\}$

5 📝 有解析

### 第5题 5．设随机变量 $X \sim N(1,4), Y \sim N(0,4)$ ，且 $X, Y$ 相互独立，则 $D(2 X-3 Y)=$ （A） 8 ．（B） 18 ．（C） 24 ．（D） 52 ．

6 📝 有解析

### 第6题 6．设 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$ 为来自总体 $N\left(0, \sigma^{2}\right),(\sigma>0)$ 的简单随机样本，则统计量 $\displaystyle \frac{X_{1}-X_{2}}{\sqrt{X_{3}^{2}+X_{4}^{2}}}$ 的分布为（A）$N(0,2)$ ．（B）$t(2)$ ．（C）$\chi^{2}(2)$ ．（D）$F(2,2)$ ．

7 📝 有解析

### 第7题 7．已知 $P(A)=0.5, P(B)=0.8$ ，且 $P(B \mid A)=0.8$ ，则 $P(A+B)=$ $\_\_\_\_$ ．

8 📝 有解析

### 第8题 8．已知随机变量 $X \sim N(0,1)$ ，则随机变量 $Y=2 X+10$ 的方差为 $\_\_\_\_$ ．

9 📝 有解析

### 第9题 9．设离散型随机变量 $(X, Y)$ 的联合分布律为 | $(X, Y)$ | $(1,1)$ | $(1,2)$ | $(1,3)$ | $(2,1)$ | $(2,2)$ | $(2,3)$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $P$ | $\displaystyle \frac{1}{6}$ | $\displaystyle \frac{1}{9}$ | $\displaystyle \frac{1}{18}$ | $\displaystyle \frac{1}{3}$ | $\alpha$ | $\beta$ | 若 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $\alpha=$ $\_\_\_\_$ ，$\beta=$ $\_\_\_\_$ ．

10 📝 有解析

### 第10题 10．已知总体 $X$ 的概率密度为 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{\theta} \mathrm{e}^{-\frac{x}{\theta}}, & x>0 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$ ，其中未知参数 $\theta>0, X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$为取自总体的一个样本，则 $\theta$ 的矩估计量为 $\_\_\_\_$。

1 📝 有解析

### 第1题 1．袋中有 5 个球（ 3 个新球， 2 个旧球），每次取 1 个，无放回地取 2 次，则第二次取到新球的概率是（A）$\displaystyle \frac{3}{5}$ ．（B）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ．（C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．（D）$\displaystyle \frac{3}{10}$ ．

2 📝 有解析

### 第2题 2．设随机事件 $A, B$ 满足 $B \subset A$ ，则下列选项正确的是（A）$P(A-B)=P(A)-P(B)$ ．（B）$P(A+B)=P(B)$ ．（C）$P(B \mid A)=P(B)$ ．（D）$P(A B)=P(A)$ ．

3 📝 有解析

### 第3题 3．设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}c+x, & 0

4 📝 有解析

### 第4题 4．设随机变量 $X$ 服从泊松分布，且 $E\left(2-X^{2}\right)=-4$ ，则 $P\{X<1\}=$ （A） 0 ．（B） $\mathrm{e}^{-2}$ ．（C） $\mathrm{e}^{-4}$ ．（D） $\mathrm{e}^{-1}$ ．

5 📝 有解析

### 第5题 5．设随机变量 $X, Y$ 都服从 $[0,1]$ 上的均匀分布，则 $E(X+Y)=$ （A） 1 ．（B） 2 ．（C） 1.5 ．（D） 0 ．

6 📝 有解析

### 第6题 6．设随机变量 $X$ 服从参数为 0.5 的指数分布，用切比雪夫不等式估计 $P\{|X-2| \geqslant 3\} \leqslant$ （A）$\displaystyle \frac{1}{9}$ ．（B）$\displaystyle \frac{2}{9}$ ．（C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ．（D）$\displaystyle \frac{4}{9}$ ．

426 📝 有解析

### 第426题 426 已知事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，$P(A)=a, P(B)=b$ ．如果事件 $C$ 发生必然导致事件 $A$与 $B$ 同时发生，则 $A, B, C$ 都不发生的概率为 $\_\_\_\_$ ．

427 📝 有解析

### 第427题 427 已知事件 $A 、 B$ 仅发生一个的概率为 0.3 ，且 $P(A)+P(B)=0.5$ ，则 $A, B$ 至少有一个不发生的概率为 $\_\_\_\_$ ． C □ 428 设随机事件 $A, B$ 满足 $\displaystyle P(B \mid A)=\frac{1}{2}, P(A$ $\displaystyle B)=\frac{1}{3}, P(A B)=\frac{1}{8}$ ，则 $P(A \cup B)$ ＝ $\_\_\_\_$。

429 📝 有解析

### 第429题 429 已知甲，乙，丙三人打靶命中率分别是 $\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$ ，现三人各打一枪，则靶被打中的概率为 $\_\_\_\_$。

430 📝 有解析

### 第430题 430 已知甲袋有 3 个白球、 6 个黑球，乙袋有 5 个白球、 4 个黑球。先从甲袋中任取一球放入乙袋，然后再从乙袋中任取一球放回甲袋，则甲袋中白球数不变的概率为 $\_\_\_\_$。

431 📝 有解析

### 第431题 431 一射手对同一目标独立地进行 4 次射击．若至少命中一次的概率为 $\displaystyle \frac{15}{16}$ ，则该射手对同一目标独立地进行 4 次射击中至少没命中一次的概率为 $\_\_\_\_$ ．

432 📝 有解析

### 第432题 432 将一枚硬币重复掷 5 次，则正、反面都至少出现 2 次的概率为 $\_\_\_\_$。

433 📝 有解析

### 第433题 433 某种产品由自动生产线进行生产，一旦出现不合格品就立即对其进行调整，经过调整后生产出的产品为不合格品的概率为 0.1 ．那么两次调整之间至少生产 3 件产品的概率为 $\_\_\_\_$。

434 📝 有解析

### 第434题 434 袋中有 8 个球，其中 3 个白球 5 个黑球，现随意从中取出 4 个球，如果 4 个球中有 2 个白球 2 个黑球，试验停止．否则将 4 个球放回袋中，重新抽取 4 个球，直到出现 2 个白球 2 个黑球为止．用 $X$ 表示抽取次数，则 $P\{X=k\}=$ $\_\_\_\_$ $(k=1,2, \cdots)$.

435 📝 有解析

### 第435题 435 假设 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，对 $X$ 作 3 次独立重复观察，至少有一次观测值大于 2 的概率为 $\displaystyle \frac{7}{8}$ ，则 $\lambda=$ $\_\_\_\_$。

436 📝 有解析

### 第436题 436 一实习生用同一台机器接连独立地制造 3 个同种零件，第 $i$ 个零件是不合格品的概率 $\displaystyle p_{i}=\frac{1}{i+1}(i=1,2,3)$ ，以 $X$ 表示 3 个零件中合格品的个数，则 $P\{X=2\}=$ $\_\_\_\_$。

437 📝 有解析

### 第437题 437 设随机变量 $X$ 服从参数为 1 的指数分布，则 $P\{3>X>2 \mid X>1\}=$ $\_\_\_\_$ ． □

438 📝 有解析

### 第438题 438 设袋中有黑，白球各 1 个，从中有放回地取球，每次取 1 个，直到二种颜色球都取到时停止，则取球次数恰好为 3 的概率为 $\_\_\_\_$。

439 📝 有解析

### 第439题 439 设随机变量 $X_{1}$ 服从分布 $B(2, p)$ ，随机变量 $X_{2}$ 服从分布 $B(3, p)$ 。已知 $\displaystyle P\left\{X_{1} \geqslant 1\right\}= \frac{5}{9}$ ，则 $P\left\{X_{2} \geqslant 1\right\}=$ $\_\_\_\_$。 □

440 📝 有解析

### 第440题 440 设随机变量 $X$ 服从 $(0,2)$ 上的均匀分布，则随机变量 $Y=X^{2}$ 在 $(0,4)$ 内的概率分布密度 $f_{Y}(y)=$ $\_\_\_\_$。 □

441 📝 有解析

### 第441题 441 设随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)(\sigma>0)$ ，其分布函数为 $F(x)$ ，则有 $F(\mu+x \sigma)+F(\mu-x \sigma)=$ $\_\_\_\_$ ．

442 📝 有解析

### 第442题 442 设随机变量 $X$ 服从参数为 1 的指数分布，随机变量函数 $Y=1-\mathrm{e}^{-X}$ 的分布函数为 $F_{Y}(y)$ ，则 $\displaystyle F_{Y}\left(\frac{1}{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

443 📝 有解析

### 第443题 443 设相互独立的两个随机变量 $X$ 与 $Y$ 均服从参数为 1 的指数分布，则 $P\{2 \geqslant \min (X$ ， $Y) \geqslant 1\}=$ $\_\_\_\_$。

444 📝 有解析

### 第444题 444 设 $X \sim N\left(\mu, \sigma_{1}^{2}\right), Y \sim N\left(2 \mu, \sigma_{2}^{2}\right), X$ 与 $Y$ 相互独立，已知 $\displaystyle P\{X-Y \geqslant 1\}=\frac{1}{2}$ ，则 $\mu=$ $\_\_\_\_$ ．

445 📝 有解析

### 第445题 445 已知随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{e}^{-y}, & 0

446 📝 有解析

### 第446题 446 已知随机变量 $X$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=k\}=\frac{1}{3}(k=1,2,3)$ ，当 $X=k$ 时随机变量 $Y$ 在 $(0, k)$ 上服从均匀分布，即 $$ P\{Y \leqslant y \mid X=k\}=\left\{\begin{array}{cc} 0, & y \leqslant 0 \\ $\displaystyle \frac{y}{k}, & 0

447 📝 有解析

### 第447题 447 设随机变量 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 相互独立，已知 $\displaystyle X_{1} \sim B\left(1, \frac{3}{4}\right), X_{2}$ 的分布函数为 $F(x)$ ，则随机变量 $Y=X_{1}+X_{2}$ 的分布函数 $F_{Y}(y)=$ $\_\_\_\_$ ．袋子中有 1 个红球， 2 个黄球， 2 个白球．从中任取 4 个，以 $X$ 表示取出的红球数，$Y$ 表示取出的黄球数，记 $(X, Y)$ 的分布函数为 $F(x, y)$ ，则 $\displaystyle F\left(\frac{1}{2}, 2\right)=$ $\_\_\_\_$ ．已知 $(X, Y)$ 的概率分布为 1 则 $P\left\{X^{2} Y^{2}=1\right\}=$ $\_\_\_\_$。

450 📝 有解析

### 第450题 450 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且均服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ ，则 $P\{\max (X, Y)>\mu\}-P\{\min (X, Y)<\mu\}=$ $\_\_\_\_$。

451 📝 有解析

### 第451题 451 设相互独立的两个随机变量 $X$ 和 $Y$ 均服从标准正态分布，则随机变量 $X-Y$ 的概率密度函数的最大值等于 $\_\_\_\_$。设 $(X, Y) \sim N\left(\mu_{1}, \mu_{2} ; \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2} ; 0\right)$ ，其分布函数为 $F(x, y)$ ，已知 $\displaystyle F\left(\mu_{1}, y\right)=\frac{1}{4}$ ，则 $y=$ $\_\_\_\_$。 □

453 📝 有解析

### 第453题 453 设二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数为 $\Phi(2 x+1) \Phi(2 y-1)$ ，其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数，则 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N($ $\_\_\_\_$ ）． □ 纠销笔记

454 📝 有解析

### 第454题 454 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且 $X$ 服从标准正态分布，其分布函数为 $\Phi(x), Y$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{Y=-1\}=P\{Y=1\}=\frac{1}{2}$ ，则随机变量 $Z=X Y$ 的分布函数 $F(x)=$ $\_\_\_\_$ ． □

455 📝 有解析

### 第455题 455 设随机变量 $X$ 的概率密度函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x, & a0)\right.$ ，其中 $a, b$ 为待定常数，且 $E X^{2}=2$ ，则 $P\{|X|<\sqrt{2}\}=$ $\_\_\_\_$ ．

456 📝 有解析

### 第456题 456 已知随机变量 $X_{1}$ 与 $X_{2}$ 相互独立且分别服从参数为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 的泊松分布，已知 $P\left\{X_{1}+X_{2}>0\right\}=1-\mathrm{e}^{-1}$ ，则 $E\left(X_{1}+X_{2}\right)^{2}=$ $\_\_\_\_$。

457 📝 有解析

### 第457题 457 已知随机变量 $X_{1}, X_{2}$ 相互独立，且都服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right),(\sigma>0)$ ，则 $D\left(X_{1} X_{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

458 📝 有解析

### 第458题 458 设随机变量 $X$ 的分布律为 $\displaystyle P\{X=k\}=\frac{1}{2^{k} k!(\sqrt{\mathrm{e}}-1)}, k=1,2, \cdots$ ，则 $X$ 的数学期望 $E(X)=$ $\_\_\_\_$ ．

459 📝 有解析

### 第459题 459 相互独立的随机变量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 具有相同的方差 $\sigma^{2}>0$ ，记 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ ，则 $D\left(X_{i}-\bar{X}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．设随机变量 $X$ 和 $Y$ 均服从 $\displaystyle B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ ，且 $D(X+Y)=1$ ，则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho=$ $\_\_\_\_$。 □ 461设随机变量 $X$ 服从分布 $E(1)$ ，记 $Y=\min \{|X|, 1\}$ ，则 $Y$ 的数学期望 $E(Y)=$ $\_\_\_\_$。 □

462 📝 有解析

### 第462题 462 设连续型随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}a-\mathrm{e}^{-b x}, & x>0 \\ c, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ ．已知 $E(X)=1$ ，则 $D(X)=$ $\_\_\_\_$ ． 463相互独立的随机变量 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 均服从正态分布 $\displaystyle N\left(0, \frac{1}{2}\right)$ ，则 $D\left(\left|X_{1}-X_{2}\right|\right)=$ $\_\_\_\_$ ． □

464 📝 有解析

### 第464题 464 已知二维随机变量 $(X, Y) \sim N\left(\mu_{1}, \mu_{2} ; \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2} ; \rho\right)\left(\sigma_{1}>0, \sigma_{2}>0\right)$ ，则二维随机变量 $\displaystyle \left(\frac{X-\mu_{1}}{\sigma_{1}}, Y\right) \sim$ $\_\_\_\_$ ．设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，且已知 $E[(X-1)(X-2)]=1$ ，则 $\lambda=$$\_\_\_\_$。 □ 466 设随机变量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n>1)$ 独立同分布，且方差为 $\sigma^{2}>0$ ，记 $Y_{1}=\sum_{i=2}^{n} X_{i}$ 和 $Y_{n}=\sum_{j=1}^{n-1} X_{j}$ ，则 $Y_{1}$ 和 $Y_{n}$ 的协方差 $\operatorname{Cov}\left(Y_{1}, Y_{n}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

467 📝 有解析

### 第467题 467 设随机变量 $X$ 在 $[-1, b]$ 上服从均匀分布，其中 $b$ 是未知常数，根据切比雪夫不等式有 $\displaystyle P\{|X-1| \geqslant \varepsilon\} \leqslant \frac{1}{3}$ ，则 $\varepsilon=$ $\_\_\_\_$ ． □

468 📝 有解析

### 第468题 468 将一个骰子重复掷 $n$ 次，各次掷出的点数依次为 $X_{1}, \cdots, X_{n}$ ．则当 $n \rightarrow \infty$ 时， $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ 依概率收敛于 $\_\_\_\_$ ． □

469 📝 有解析

### 第469题 469 设随机变量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{2 n}, \cdots$ 独立均服从指数分布 $E(\lambda)$ ，记 $Z_{i}=X_{2 i}-X_{2 i-1}, i= 1,2,3, \cdots$ ，则 $\sum_{i=1}^{n} Z_{i}$ 近似服从正态分布 $N($ $\_\_\_\_$ ，）．

470 📝 有解析

### 第470题 470 设相互独立的随机变量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 均服从标准正态分布，记 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ ，则随机变量 $X_{1}-\bar{X}$ 服从的分布及参数为 $\_\_\_\_$ ． C □

471 📝 有解析

### 第471题 471 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为取自总体 $X$ 的简单随机样本，已知总体 $X$ 的分布为 $F(x)$ ，则 $Y=\max \left(X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right)$ 的分布函数 $F_{Y}(y)=$ $\_\_\_\_$。

472 📝 有解析

### 第472题 472 已知 $(X, Y)$ 的概率密度函数为 $$ f(x, y)=\frac{1}{2 \pi} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}-2 y+1\right)},-\infty

473 📝 有解析

### 第473题 473 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，而 $\displaystyle X \sim B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ ．记 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ ，则 $\displaystyle P\left\{\overline{\boldsymbol{X}}=\frac{k}{n}\right\}=$ $\_\_\_\_$ $(0 \leqslant k \leqslant n)$ ． □

474 📝 有解析

### 第474题 474 设总体 $X$ 的概率密度函数为 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-|x-\mu|}(-\infty

475 📝 有解析

### 第475题 475 设随机变量 $X \sim t(n), Y \sim F(1, n)$ ，常数 $C$ 满足 $P\{X>C\}=0.6$ ，则 $P\left\{Y>C^{2}\right\}=$ $\_\_\_\_$ ．

476 📝 有解析

### 第476题 476 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{6}$ 是来自正态分布 $N\left(0, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本．已知统计量 $\displaystyle F=a \frac{X_{1}^{2}+X_{2}^{2}}{X_{3}^{2}+X_{4}^{2}+X_{5}^{2}+X_{6}^{2}}$ 服从 $F\left(n_{1}, n_{2}\right)$ 分布，其中 $a$ 为常数，则参数 $n_{1}$ 和 $n_{2}$ 分别为 $\_\_\_\_$。

477 📝 有解析

### 第477题 477 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $E(\lambda)(\lambda>0)$ 的简单随机样本，记统计量 $\displaystyle T=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$ ，则 $E T=$ $\_\_\_\_$ ．

478 📝 有解析

### 第478题 478 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自指数分布总体 $E(\lambda)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 和 $S^{2}$ 分别为样本均值和样本方差．记统计量 $T=\bar{X}-S^{2}$ ，则 $E T=$ $\_\_\_\_$。 479 | $X$ | 0 | 1 | 2 | | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | 设总体 $X$ 的概率分布为 | $P$ | $\theta^{2}$ | $2 \theta(1-\theta)$ | $(1-\theta)^{2}$ | ，其中 $\displaystyle \theta\left(0<\theta<\frac{1}{2}\right)$ 是末知参数，利用总体 $X$ 的如下样本值 $1,2,1,0,1,0,1,2,1,2$ ，则有 $\theta$ 的矩估计值为 $\_\_\_\_$。

480 📝 有解析

### 第480题 480 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自 $X \sim P(\lambda)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 和 $S^{2}$ 分别为样本均值和方差，则统计量 $\displaystyle T=\bar{X}^{2}-\frac{S^{2}}{n}$ 的数学期望 $E T=$ $\_\_\_\_$ ．

481 📝 有解析

### 第481题 481 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 来自正态分布 $N\left(0, \sigma^{2}\right)$ 总体 $X$ 的简单随机样本，其样本均值和方差分别为 $\bar{X}$ 和 $S^{2}$ ，已知 $\displaystyle \frac{\bar{X}^{2}}{a}+\frac{S^{2}}{b}$ 服从 $\chi^{2}(m)$ 分布，则 $m=$ $\_\_\_\_$。 □

482 📝 有解析

### 第482题 482 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，$X$ 服从 $\displaystyle E\left(\frac{1}{\lambda}\right)$ 分布，则未知参数 $\lambda$的最大似然估计量 $\hat{\lambda}=$ $\_\_\_\_$ ．

483 📝 有解析

### 第483题 483 设随机变量 $X$ 在区间 $[0, \theta]$ 上服从均匀分布，$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}=$ $\_\_\_\_$ ． □

484 📝 有解析

### 第484题 484 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，$X$ 的概率密度函数为 $$ f(x)=\frac{1}{2 \lambda} \mathrm{e}^{-\frac{|x|}{\lambda}}, \quad-\infty0 $$ 则 $\lambda$ 的最大似然估计量 $\hat{\lambda}=$ $\_\_\_\_$ ． □

485 📝 有解析

### 第485题 485 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma_{0}^{2}\right)$ 的简单随机样本，其中 $\sigma_{0}^{2}$ 已知，$\mu$ 未知，则参数 $\mu$ 的最大似然估计 $\hat{\mu}=$ $\_\_\_\_$ ．

486 📝 有解析

### 第486题 486 设随机事件 $A$ 和 $B$ 满足关系式 $A \cup B=\bar{A} \cup \bar{B}$ ，则必有（A）$A-B=\varnothing$ ．（B）$A B=\varnothing$ ．（C）$A B \cup \bar{A} \bar{B}=\Omega$ ．（D）$A \cup \bar{B}=\Omega$ ．－

487 📝 有解析

### 第487题 487 设随机事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，且 $P(A-B)=0.3, P(B)=0.4$ ，则 $P(B-A)=$ （A）0．1．（B） 0.2 ．（C） 0.3 ．（D） 0.4 ．

488 📝 有解析

### 第488题 488 将一枚硬币独立投掷二次，记事件 $A=$＂第一次掷出正面＂，$B=$＂第二次掷出反面＂， $C=$＂正面最多掷出一次＂，则事件（A）$A, B, C$ 两两独立．（B）$A$ 与 $B C$ 独立．（C）$B$ 与 $A C$ 独立．（D）$C$ 与 $A B$ 独立．

489 📝 有解析

### 第489题 489 已知 $A, B$ 为随机事件， $0

490 📝 有解析

### 第490题 490 设事件 $A, B, C$ 两两独立，则 $A, B, C$ 相互独立的充分必要条件是（A）$A \cup B$ 和 $B \cup C$ 独立．（B）$A-B$ 和 $B-C$ 独立．（C）$A B$ 和 $\bar{B} \cup \bar{C}$ 独立．（D）$A$ 和 $\bar{B} \cup \bar{C}$ 独立．

491 📝 有解析

### 第491题 491 设随机事件 $A$ 与 $B$ 互不相容，则（A）$P(\bar{A} \bar{B})=0$ ．（B）$P(\bar{A} \bar{B}) \neq 0$ ．（C）$P(A \cup \bar{B})=P(A)$ ．（D）$P(A \cup \bar{B})=P(\bar{B})$ ．

492 📝 有解析

### 第492题 492 对任意两个互不相容的事件 $A$ 与 $B$ ，必有（A）若 $P(A)=1$ ，则 $P(\bar{B})=1$ ．（B）若 $P(A)=0$ ，则 $P(\bar{B})=1$ ．（C）若 $P(A)=1$ ，则 $P(\bar{B})=0$ ．（D）若 $P(A)=0$ ，则 $P(\bar{B})=0$ ．

493 📝 有解析

### 第493题 493 设 $A, B$ 为随机事件，$P(B)>0$ ，则（A）$P(A \cup B) \geqslant P(A)+P(B)$ ．（B）$P(A-B) \geqslant P(A)-P(B)$ ．（C）$P(A B) \geqslant P(A) P(B)$ ．（D）$\displaystyle P(A \mid B) \geqslant \frac{P(A)}{P(B)}$ ． 494 设随机事件 $A, B, C$ 两两独立，$A B C=\varnothing$ ，且 $\displaystyle P(A)=\frac{1}{3}, P(B)=\frac{1}{4}, P(A \cup B \cup C)=\frac{7}{12}$ ，则 $P(C)$ 的值为

495 📝 有解析

### 第495题 495 已知 $0

497 📝 有解析

### 第497题 497 设离散型随机变量 $X$ 服从分布律 $\displaystyle P\{X=k\}=\frac{C}{k!} \mathrm{e}^{-2}, k=0,1,2, \cdots$ ，则常数 $C$ 必为（A） 1 ．（B）e．（C） $\mathrm{e}^{-1}$ ．（D） $\mathrm{e}^{-2}$ ．

498 📝 有解析

### 第498题 498 设随机变量 $X$ 在 $[0,1]$ 上服从均匀分布，记事件 $\displaystyle A=\left\{0 \leqslant X \leqslant \frac{1}{2}\right\}, B= \left\{\frac{1}{4} \leqslant X \leqslant \frac{3}{4}\right\}$ ，则（A）$A$ 与 $B$ 互斥，但不对立．（B）$B$ 包含 $A$ ．（C）$A$ 与 $B$ 对立．（D）$A$ 与 $B$ 相互独立．

499 📝 有解析

### 第499题 499 假设随机变量 $X$ 的概率密度函数 $f(x)$ 是偶函数，其分布函数为 $F(x)$ ，则（A）$F(x)$ 是偶函数．（B）$F(x)$ 是奇函数．（C）$F(x)+F(-x)=1$ ．（D） $2 F(x)-F(-x)=1$ ．

500 📝 有解析

### 第500题 500 假设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，概率密度函数 $f(x)=a f_{1}(x)+b f_{2}(x)$ ，其中 $f_{1}(x)$ 是正态分布 $N\left(0, \sigma^{2}\right)$ 的概率密度函数，$f_{2}(x)$ 是参数为 $\lambda$ 的指数分布的概率密度函数，已知 $\displaystyle F(0)=\frac{1}{8}$ ，则（A）$a=1, b=0$ ．（B）$\displaystyle a=\frac{3}{4}, b=\frac{1}{4}$ ．（C）$\displaystyle a=\frac{1}{2}, b=\frac{1}{2}$ ．（D）$\displaystyle a=\frac{1}{4}, b=\frac{3}{4}$ ．

501 📝 有解析

### 第501题 501 设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ （A）当 $xa$ 时 $F(x)=1$ ，则 $F(a)=1$ ．（C）当 $\displaystyle P\{X

503 📝 有解析

### 第503题 503 设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，则可以作出分布函数（A）$F(a x)$ ．（B）$F\left(x^{2}+1\right)$ ．（C）$F\left(x^{3}-1\right)$ ．（D）$F(|x|)$ ．

504 📝 有解析

### 第504题 504 设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)$ ，则可以作出概率密度函数（A）$f(2 x)$ ．（B）$f(2-x)$ ．（C）$f^{2}(x)$ ．（D）$f\left(x^{2}\right)$ ．

505 📝 有解析

### 第505题 505 设随机变量 $X \sim U(a, b)$ ，已知 $\displaystyle P\{-2

507 📝 有解析

### 第507题 507 连续型随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)=\left\{\begin{array}{cc}a+b \mathrm{e}^{-x}, & x \geqslant 0 \\ 0, & x<0\end{array}\right.$ ，则其中的常数 $a$ 和 $b$ 为（A）$\left\{\begin{array}{l}a=1, \\ b=1 .\end{array}\right.$ （B）$\left\{\begin{array}{l}a=1, \\ b=-1 .\end{array}\right.$ （C）$\left\{\begin{array}{l}a=-1, \\ b=1 .\end{array}\right.$ （D）$\left\{\begin{array}{l}a=0, \\ b=1 .\end{array}\right.$

508 📝 有解析

### 第508题 508 设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{e}^{-x}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $P\{X \leqslant 2 \mid X \geqslant 1\}$ 的值为（A） $\mathrm{e}^{-2}$ ．（B）$-\mathrm{e}^{-2}$ ．（C） $\mathrm{e}^{-1}$ ．（D） $1-\mathrm{e}^{-1}$ ．

509 📝 有解析

### 第509题 509 已知 $X \sim N(15,4)$ ，若 $X$ 的值落人区间 $\left(-\infty, x_{1}\right),\left(x_{1}, x_{2}\right),\left(x_{2}, x_{3}\right),\left(x_{3}, x_{4}\right)$ ， $\left(x_{4},+\infty\right)$ 内的概率之比为 $7: 24: 38: 24: 7$ ，则 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 分别为（A） $12,13.5,16.5,18$ ．（B） $11.5,13.5,16.5,18.5$ ．（C） $12,14,16,18$ ．（D） $11,14,16,19$ ．附：标准正态分布函数值 $\Phi(1.5)=0.93, \Phi(0.5)=0.69$ ．

510 📝 有解析

### 第510题 510 设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)$ ，则随机变量 $2 X+3$ 的概率密度函数为（A）$\displaystyle \frac{1}{2} f\left(\frac{x-3}{2}\right)$ ．（B）$\displaystyle f\left(\frac{x-3}{2}\right)$ ．（C） $2 f(2 x+3)$ ．（D）$f(2 x+3)$ ．

511 📝 有解析

### 第511题 511 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，$Y$ 的分布律为 | $Y$ | -1 | 1 | | :---: | :---: | :---: | | $P$ | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | $\displaystyle \frac{1}{2}$ |, 则 $Z=X+Y$ 的分布函数 $F_{Z}(z)$ （A）是连续函数．（B）恰有一个间断点的阶梯函数．（C）恰有一个间断点的非阶梯函数．（D）至少有两个间断点．

512 📝 有解析

### 第512题 512 设随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数为 $F(x, y)$ ，边缘分布为 $F_{X}(x)$ 和 $F_{Y}(y)$ ，则概率 $P\{X>x, Y>y\}$ 等于（A） $1-F(x, y)$ ．（B） $1-F_{X}(x)-F_{Y}(y)$ ．（C）$F(x, y)-F_{X}(x)-F_{Y}(y)+1$ ．（D）$F_{X}(x)+F_{Y}(y)+F(x, y)-1$ ．

513 📝 有解析

### 第513题 513 设相互独立的随机变量 $X_{i}$ 的分布函数为 $F_{i}(x)$ ，概率密度函数为 $f_{i}(x), i=1,2$ ，则随机变量 $Y=\max \left(X_{1}, X_{2}\right)$ 的概率密度函数为（A）$f_{1}(x) f_{2}(x)$ ．（B）$f_{1}(x)+f_{2}(x)$ ．（C）$f_{1}(x) F_{1}(x)+f_{2}(x) F_{2}(x)$ ．（D）$f_{1}(x) F_{2}(x)+f_{2}(x) F_{1}(x)$ ．

514 📝 有解析

### 第514题 514 假设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立且都服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，则可以作出服从参数为 $2 \lambda$ 的指数分布的随机变量如（A）$X+Y$ ．（B）$X-Y$ ．（C） $\max (X, Y)$ ．（D） $\min (X, Y)$ ．

515 📝 有解析

### 第515题 515 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立同分布。已知 $P\{X=k\}=p q^{k-1}(k=1,2,3, \cdots)$ ，其中 $0

516 📝 有解析

### 第516题 516 已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立且都服从正态分布 $\displaystyle N\left(\mu, \frac{1}{2}\right)$ ，如果 $\displaystyle P\{X+Y \leqslant 1\}=\frac{1}{2}$ ，则 $\mu$ 等于（A）-1 ．（B） 0 ．（C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．（D） 1 ．

517 📝 有解析

### 第517题 517 设随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度函数 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1}{2 \pi} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}},-\infty

518 📝 有解析

### 第518题 518 设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，均服从分布 $\displaystyle B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ ，则 $P\{X \geqslant Y\}$ 的值为（A）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ．（B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．（C）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ．（D） 1 ．

519 📝 有解析

### 第519题 519 设随机变量 $\displaystyle X_{i} \sim\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4}\end{array}\right)(i=1,2)$ 且满足条件 $P\left\{X_{1}+X_{2}=0\right\}=1$ ，则 $P\left\{X_{1}=X_{2}\right\}$ 等于（A） 0 ．（B）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ．（C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．（D） 1 ．

520 📝 有解析

### 第520题 520 设 $(X, Y)$ 具有概率密度函数 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1+\sin x \sin y}{2 \pi} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}+y^{2}}{2}}$ ，则（A）$(X, Y)$ 服从二维正态，且 $X$ 与 $Y$ 均服从一维正态分布．（B）$(X, Y)$ 服从二维正态，但 $X$ 与 $Y$ 均不服从一维正态分布．（C）$(X, Y)$ 不服从二维正态，且 $X$ 与 $Y$ 均不服从一维正态分布．（D）$(X, Y)$ 不服从二维正态，但 $X$ 与 $Y$ 均服从一维正态分布．

521 📝 有解析

### 第521题 521 设二维随机变量 $(X, Y)$ 与 $(U, V)$ 有相同的边缘分布，则（A）$(X, Y)$ 与 $(U, V)$ 有相同的联合分布．（B）$(X, Y)$ 与 $(U, V)$ 不一定有相同的联合分布．（C）$(X+Y)$ 与 $(U+V)$ 有相同的分布．（D）$(X-Y)$ 与 $(U-V)$ 有相同的分布．

522 📝 有解析

### 第522题 522 设随机变量 $(X, Y)$ 的分布函数为 $F(x, y)$ ，则概率 $P\{X>a, Y>b\}$ 等于（A） $1-F(a, b)$ ．（B） $1-F(a,+\infty)-F(+\infty, b)$ ．（C）$F(a, b)-F(a,+\infty)-F(+\infty, b)+1$ ．（D）$F(a, b)+F(a,+\infty)+F(+\infty, b)-1$ ．设相互独立的两随机变量 $X$ 和 $Y$ ，其中 $\displaystyle X \sim B\left(1, \frac{1}{2}\right)$ ，而 $Y$ 具有概率密度函数 $f(y)=\left\{\begin{array}{cc}1, & 0 \leqslant y<1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$ ，则 $\displaystyle P\left\{X+Y \leqslant \frac{1}{3}\right\}$ 的值为

524 📝 有解析

### 第524题 524 设相互独立的两随机变量 $X$ 和 $Y$ 均服从分布 $\displaystyle B\left(1, \frac{1}{3}\right)$ ，则 $P\{X \leqslant 2 Y\}=$ （A）$\displaystyle \frac{1}{9}$ ．（B）$\displaystyle \frac{4}{9}$ ．（C）$\displaystyle \frac{5}{9}$ ．（D）$\displaystyle \frac{7}{9}$ ．

525 📝 有解析

### 第525题 525 设随机变量 $X, Y$ 独立同分布，且 $X$ 的分布函数为 $F(x)$ ，则 $Z=\min (X, Y)$ 的分布函数为（A）$F^{2}(x)$ ．（B）$F(x) F(y)$ ．（C） $1-[1-F(x)]^{2}$ ．（D）$[1-F(x)][1-F(y)]$ ．设二维随机变量

527 📝 有解析

### 第527题 527 设相互独立的两随机变量 $X, Y$ 均服从 $[0,3]$ 上的均匀分布，则 $P\{1<\max (X, Y) \leqslant 2\}$ 的值为（A）$\displaystyle \frac{1}{6}$ ．（B）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ．（C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ．（D）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．

528 📝 有解析

### 第528题 528 设相互独立的两随机变量 $X$ 和 $Y$ 分别服从 $E(\lambda)$ 和 $E(\lambda+2)$ 分布 $(\lambda>0)$ ，则 $P\{\min (X, Y)>1\}$ 的值为（A） $\mathrm{e}^{-(\lambda+1)}$ （B） $1-\mathrm{e}^{-(\lambda+1)}$ ．（C） $\mathrm{e}^{-2(\lambda+1)}$ （D） $1-\mathrm{e}^{-2(\lambda+1)}$ ．

529 📝 有解析

### 第529题 529 设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，则 $\displaystyle E(X) E\left(\frac{1}{1+X}\right)=$ （A） 1 ．（B） $\mathrm{e}^{-\lambda}$ ．（C） $1-\mathrm{e}^{-\lambda}$ ．（D） $1+\mathrm{e}^{-\lambda}$ ．

530 📝 有解析

### 第530题 530 设随机变量 $X, Y$ 不相关，且 $E X=2, E Y=1, D X=3$ ，则 $E[X(X+Y-2)]=$ （A）-3 ．（B） 3 ．（C）-5 ．（D） 5 ．纠䦃笔记

531 📝 有解析

### 第531题 531 设随机变量 $X$ 的二阶矩存在，则（A）$E X^{2}

532 📝 有解析

### 第532题 532 设随机变量 $X$ 的期望、方差都存在，则对任意常数 $c$ ，有（A）$E(X-c)^{2}D X+[E(X-c)]^{2}$ ．（C）$E(X-c)^{2}=D X+[E(X-c)]^{2}$ ．（D）$E(X-c)^{2}=D X-[E(X-c)]^{2}$ ．

533 📝 有解析

### 第533题 533 设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)$ ，则其数学期望 $E(X)=a$ ，如果成立（A） $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x-a) \mathrm{d} x=0$ ．（B） $\int_{-\infty}^{+\infty} x f(x+a) \mathrm{d} x=0$ ．（C） $\displaystyle \int_{-\infty}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}$ ．（D） $\displaystyle \int_{-\infty}^{a} x f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}$ ．

534 📝 有解析

### 第534题 534 设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)$ ，数学期望 $E(X)=2$ ，则（A） $\displaystyle \int_{-\infty}^{2} x f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}$ ．（B） $\int_{-\infty}^{2} x f(x) \mathrm{d} x=\int_{2}^{+\infty} x f(x) \mathrm{d} x$ ．（C） $\displaystyle \int_{-\infty}^{2} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}$ ．（D） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x f(2 x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2}$ ．

535 📝 有解析

### 第535题 535 设随机变量 $X$ 的分布函数为 $\displaystyle F(x)=0.4 \Phi\left(\frac{x-5}{2}\right)+0.6 \Phi\left(\frac{x+1}{3}\right)$ ，其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布的分布函数，则 $E(X)=$ （A） 3 ．（B） 2.6 ．（C）1．4．（D） 1 ．

536 📝 有解析

### 第536题 536 已知随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-|x|},-\infty

537 📝 有解析

### 第537题 537 设随机变量 $X$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$ ，则 $E\left[(X-2)^{2} \mathrm{e}^{2 X}\right]=$ （A） 1 ．（B） 2 ．（C） $\mathrm{e}^{2}$ ．（D） $2 \mathrm{e}^{2}$ ．

538 📝 有解析

### 第538题 538 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，均服从正态 $N(1,2)$ ，则 $D(X Y)=$ （A） 4 ．（B） 6 ．（C） 8 ．（D） 10 ．

539 📝 有解析

### 第539题 539 已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为 $\rho_{X Y}$ 且 $\rho_{X Y} \neq 0$ ，设 $Z=a X+b$ ，其中 $a, b$ 为常数，则 $Y$ 与 $Z$ 的相关系数 $\rho_{Y Z}=\rho_{X Y}$ 的充要条件是（A）$a=1$ ．（B）$a>0$ ．（C）$a<0$ ．（D）$a \neq 0$ ．

540 📝 有解析

### 第540题 540 设二维随机变量 $\left(X_{1}, X_{2}\right)$ 中 $X_{1}$ 与 $X_{2}$ 的相关系数为 $\rho$ ，记 $\sigma_{i j}=\operatorname{Cov}\left(X_{i}, X_{j}\right)(i, j= 1,2)$ ，则行列式 $$ $\left|\begin{array}{ll}$ \sigma_{11} & \sigma_{12} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} $\end{array}\right|=0$ $$ 的充分必要条件是（A）$\rho=0$. （B）$\displaystyle |\rho|=\frac{1}{3}$ ．（C）$\displaystyle |\rho|=\frac{1}{2}$ ．（D）$|\rho|=1$ ．

541 📝 有解析

### 第541题 541 已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 有相同的不为零的方差，则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数等于 1 的充分必要条件是（A） $\operatorname{Cov}(X+Y, X)=0$ ．（B） $\operatorname{Cov}(X+Y, Y)=0$ ．（C） $\operatorname{Cov}(X+Y, X-Y)=0$ ．（D） $\operatorname{Cov}(X-Y, X)=0$ ．

542 📝 有解析

### 第542题 542 已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 的相关系数大于零，则（A）$D(X+Y)=D X+D Y$ ．（B）$D(X+Y)

543 📝 有解析

### 第543题 543 设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且方差 $D X>0, D Y>0$ ，则（A）$X$ 与 $X+Y$ 一定相关．（B）$X$ 与 $X+Y$ 一定不相关．（C）$X$ 与 $X Y$ 一定相关．（D）$X$ 与 $X Y$ 一定不相关．

544 📝 有解析

### 第544题 544 设随机变量 $X$ 的 $E X=\mu, D X=\sigma^{2}$（ $\sigma>0$ 为常数），则对任意常数 $c$ 必有（A）$E(X-c)^{2}=E X^{2}-c^{2}$ ．（B）$E(X-c)^{2}=E(X-\mu)^{2}$ ．（C）$E(X-c)^{2}0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ ，其中 $a, b$ 均为常数．已知 $D(X)=4$ ，则

546 📝 有解析

### 第546题 546 已知随机变量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 相互独立且 $E X_{i}=\mu, D X_{i}=\sigma^{2}>0$ ，记 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ ，则 $X_{1}-\bar{X}$ 与 $X_{2}-\bar{X}$ （A）不相关且相互独立．（B）不相关且相互不独立．（C）相关且相互独立．（D）相关且相互不独立．

547 📝 有解析

### 第547题 547 假设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立具有非零的方差，$D X \neq D Y$ ，则（A） $3 X+1$ 与 $4 Y-2$ 相关．（B）$X+Y$ 与 $X-Y$ 不相关．（C）$X+Y$ 与 $2 Y+1$ 相互独立．（D） $\mathrm{e}^{X}$ 与 $2 Y+1$ 相互独立．

548 📝 有解析

### 第548题 548 已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 均服从 $\displaystyle B\left(1, \frac{3}{4}\right)$ 分布，$\displaystyle E X Y=\frac{5}{8}$ ，则 $P\{X+Y \leqslant 1\}$ 等于（A）$\displaystyle \frac{1}{8}$ ．（B）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ．（C）$\displaystyle \frac{3}{8}$ ．（D）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．相互独立同分布的两个随机变量 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ ，已知 | $X_{1}$ | $n$ | $n+1$ | $n+2$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $P$ | 0.3 | 0.4 | 0.3 | 则 $D\left(X_{1}+X_{2}\right)=$

551 📝 有解析

### 第551题 551 设随机变量 $X$ 服从指数分布 $E(1)$ ，用切比雪夫不等式得到估计 $P\{X \geqslant 3\} \leqslant a$ ，则 $a=$ （A）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．（B）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ．（C）$\displaystyle \frac{1}{8}$ ．（D） $\mathrm{e}^{-3}$ ．

552 📝 有解析

### 第552题 552 设随机变量序列 $X_{1}, \cdots, X_{n}, \cdots$ 相互独立，则根据辛钦大数定律，当 $n \rightarrow \infty$ 时， $\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ 依概率收敛其数学期望，只要随机变量序列 $X_{1} \cdots, X_{n}, \cdots$ （A）有相同的数学期望．（B）服从同一离散型分布．（C）服从同一泊松分布．（D）服从同一连续型分布．

553 📝 有解析

### 第553题 553 设两两相互独立的随机变量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, \cdots$ 必服从切比雪夫大数定律，如果 $X_{i}$ ， $i=1,2, \cdots$ （A）有相同数学期望．（B）服从同一离散型分布．（C）服从同一连续型分布．（D）$X_{2 i}$ 服从泊松分布 $P\left(\lambda_{2}\right), X_{2 i-1}$ 服从泊松分布 $P\left(\lambda_{1}\right)(i=1,2, \cdots) \quad \lambda_{1}, \lambda_{2}>0$ ．

554 📝 有解析

### 第554题 554 设 $X_{n}$ 表示将一硬币随意投掷 $n$ 次＂正面＂出现的次数，则（A） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{X_{n}-n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$ ．（B） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{X_{n}-2 n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$ ．（C） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{2 X_{n}-n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$ ．（D） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{2 X_{n}-2 n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$ ．

555 📝 有解析

### 第555题 555 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n \geqslant 2)$ 为来自总体 $N(\mu, 1)$ 的简单随机样本，记 $\displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ ，则不能得出结论（A）$\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布．（B） $2\left(X_{n}-X_{1}\right)^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布．（C）$\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布．（D）$n(\bar{X}-\mu)^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布．

556 📝 有解析

### 第556题 556 设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(0, \sigma^{2}\right), \bar{X}, S^{2}$ 分别为容量是 $n$ 的样本的均值和方差，则可以作出服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布的随机变量（A）$\displaystyle \frac{\sqrt{n} \bar{X}}{S}$ ．（B）$\displaystyle \frac{\sqrt{n} \bar{X}}{S^{2}}$ ．（C）$\displaystyle \frac{n \bar{X}}{S}$ ．（D）$\displaystyle \frac{n \bar{X}}{S^{2}}$ ． 557 设 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, \cdots, X_{11}$ 是来自正态总体 $N\left(0, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，$\displaystyle Y^{2}=\frac{1}{10} \sum_{i=2}^{11} X_{i}^{2}$ ，则

558 📝 有解析

### 第558题 558 设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(0, \sigma^{2}\right), X_{1}, \cdots, X_{n}$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本，其均值、方差分别为 $\bar{X}, S^{2}$ 。则（A）$\displaystyle \frac{\bar{X}^{2}}{S^{2}} \sim F(1, n-1)$ ．（B）$\displaystyle \frac{(n-1) \bar{X}^{2}}{S^{2}} \sim F(1, n-1)$ ．（C）$\displaystyle \frac{n \bar{X}^{2}}{S^{2}} \sim F(1, n-1)$ ．（D）$\displaystyle \frac{(n+1) \bar{X}^{2}}{S^{2}} \sim F(1, n-1)$ ．

559 📝 有解析

### 第559题 559 设 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$ 是来自总体 $X \sim N\left(0, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，则统计量 $\displaystyle Y= \frac{\left(X_{1}-X_{2}\right)^{2}+\left(X_{3}-X_{4}\right)^{2}}{\left(X_{1}+X_{2}\right)^{2}+\left(X_{3}+X_{4}\right)^{2}}$ 服从（A）$F(4,4)$ ．（B）$F(2,2)$ ．（C）$F(2,4)$ ．（D）不是 $F$ 分布．

560 📝 有解析

### 第560题 560 设总体 $X$ 与 $Y$ 都服从正态分布 $N\left(0, \sigma^{2}\right)$ ，已知 $X_{1}, \cdots, X_{m}$ 与 $Y_{1}, \cdots, Y_{n}$ 是分别来自总体 $X$与 $Y$ 两个相互独立的简单随机样本，统计量 $\displaystyle Y=\frac{2\left(X_{1}+\cdots+X_{m}\right)}{\sqrt{Y_{1}^{2}+\cdots+Y_{n}^{2}}}$ 服从 $t(n)$ 分布，则 $\displaystyle \frac{m}{n}$ 等于（A） 1 ．（B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．（C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ．（D）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ．

561 📝 有解析

### 第561题 561 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}(n \geqslant 2)$ 为来自总体 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本，令 $\displaystyle \bar{X}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}, S=\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}, S^{*}=\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}}$ ，则（A）$\displaystyle \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S} \sim t(n)$ ．（B）$\displaystyle \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S} \sim t(n-1)$ ．（C）$\displaystyle \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S^{*}} \sim t(n)$ ．（D）$\displaystyle \frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)}{S^{*}} \sim t(n-1)$ ．设随机变量 $X \sim F(n, n), p_{1}=P\{X \geqslant 1\}, p_{2}=P\{X \leqslant 1\}$ ，则

563 📝 有解析

### 第563题 563 假设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right), X_{1}, \cdots, X_{n}$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本 $(n>1)$ ，其均值为 $\bar{X}$ ，如果 $P\{|X-\mu|

564 📝 有解析

### 第564题 564 已知总体 $X$ 的期望 $E X=0$ ，方差 $D X=\sigma^{2}$ ，从总体中抽取容量为 $n$ 的简单随机样本，其样本均值为 $\bar{X}$ ，样本方差为 $S^{2}$ 。记统计量 $\displaystyle T_{k}=\frac{n}{k} \bar{X}^{2}+\frac{1}{k} S^{2}(k=1,2,3,4)$ ，已知 $E T_{k}=\sigma^{2}$ ，则 $k=$ （A） 1 ．（B） 2 ．（C） 3 ．（D） 4 ．

565 📝 有解析

### 第565题 565 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，则数学期望 $E\left\{\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right)\left[\sum_{j=1}^{n}\left(n X_{j}-\sum_{k=1}^{n} X_{k}\right)^{2}\right]\right\}$ 等于（A）$n^{3}(n-1) \mu \cdot \sigma^{2}$ ．（B）$n(n-1) \mu \cdot \sigma^{2}$ ．（C）$n^{2}(n-1) \mu \cdot \sigma^{2}$ ．（D）$n^{3}(n-1) \mu \cdot \sigma$ ．纠钽笔记

566 📝 有解析

### 第566题 566 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 和 $Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n}$ 分别来自总体均为正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的两个相互独立的简单随机样本，记它们的样本方差分别为 $S_{X}^{2}$ 和 $S_{Y}^{2}$ ，则统计量 $T=(n-1)\left(S_{X}^{2}+S_{Y}^{2}\right)$ 的方差 $D T$ 是（A） $2 n \sigma^{4}$ ．（B） $2(n-1) \sigma^{4}$ ．（C） $4 n \sigma^{4}$ ．（D） $4(n-1) \sigma^{4}$ ．

567 📝 有解析

### 第567题 567 假设总体 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，$X_{1}, \cdots, X_{n}$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本，其均值为 $\bar{X}$ ，方差为 $S^{2}$ 。已知 $E\left[a \bar{X}+(2-3 a) S^{2}\right]=\lambda$ ，则 $a$ 等于（A）-1 ．（B） 0 ．（C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．（D） 1 ．

568 📝 有解析

### 第568题 568 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，$X$ 的分布律为 | $X$ | -1 | 0 | 1 | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $P$ | $\theta$ | $1-2 \theta$ | $\theta$ | ， $\displaystyle 0<\theta<\frac{1}{2}$ ，则未知参数 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}$ 为（A）$\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ ．（B）$\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$ ．（C）$\displaystyle \frac{1}{2 n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$ ．（D）$\displaystyle \frac{1}{2 n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}$ ．

569 📝 有解析

### 第569题 569 设总体的概率密度函数为 $\displaystyle f(x ; \sigma)=\frac{1}{2 \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{|x|}{\sigma}},-\infty

570 📝 有解析

### 第570题 570 假设总体 $X$ 的方差 $D X$ 存在，$X_{1}, \cdots, X_{n}$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本，其均值和方差分别为 $\bar{X}, S^{2}$ ，则 $E X^{2}$ 的矩估计量是（A）$S^{2}+\bar{X}^{2}$ ．（B）$(n-1) S^{2}+\bar{X}^{2}$ ．（C）$n S^{2}+\bar{X}^{2}$ ．（D）$\displaystyle \frac{n-1}{n} S^{2}+\bar{X}^{2}$ ．

571 📝 有解析

### 第571题 571 设随机变量 $X, Y$ 均服从标准正态分布，则（A）$X+Y$ 服从正态分布．（B）$X^{2}+Y^{2}$ 服从 $\chi^{2}$ 分布．（C）$\displaystyle \frac{X^{2}}{Y^{2}}$ 服从 $F$ 分布．（D）$X^{2}$ 和 $Y^{2}$ 均服从 $\chi^{2}$ 分布．

572 📝 有解析

### 第572题 572 设 $\hat{\theta}$ 为末知参数 $\theta$ 的一个估计，且 $E \hat{\theta}=\theta, D \hat{\theta}>0$ ，则（A）$E\left(\hat{\theta}^{2}\right)>\theta^{2}$ ．（B）$E\left(\hat{\theta}^{2}\right)=\theta^{2}$ ．（C）$E\left(\hat{\theta}^{2}\right)<\theta^{2}$ ．（D）$E\left(\hat{\theta}^{2}\right)$ 与 $\theta^{2}$ 的大小与 $\hat{\theta}$ 有关．

573 📝 有解析

### 第573题 573 设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自 $X \sim P(\lambda)$ 的简单随机样本，则统计量 $$ T=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}\left(X_{i}-1\right) $$ 的数学期望 $E(T)=$ （A）$\lambda^{2}$ ．（B）$\lambda(\lambda-1)$ ．（C）$\lambda^{2}-1$ ．（D）$\lambda$ ．参数 $\theta$ 的矩估计量是

575 📝 有解析

### 第575题 575 设总体 $X$ 的概率分布为 $\displaystyle P\{X=1\}=\frac{1-\theta}{2}, P\{X=2\}=P\{X=3\}=\frac{1+\theta}{4}$ ， $(-1 \leqslant \theta \leqslant 1)$ ．利用来自总体的样本值 $1,3,2,2,1,3,1,2$ 可得 $\theta$ 的矩估计值为（A）$\displaystyle \frac{1}{6}$ ．（B）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ．（C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．（D）$\displaystyle \frac{2}{3}$ ．基础过关 284