高等数学
2
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第2题
### 第2题 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}4-x^{2}, & |x| \leqslant 2 \\ 0, & |x|>2\end{array}\right.$ ，则 $f(f(x))=$ $\_\_\_\_$ . ## □ 纠错笔记
3
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第3题
### 第3题 设 $\displaystyle f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 3} f(x)=$ $\_\_\_\_$ ． ## 数学基础过关 660 题•数学一（习题 $\displaystyle 4 \quad I=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sin \frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^{x \cos \sqrt{\frac{x+1}{x^{2}}}}=$ 答题区 纠错笔记
5
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第5题
### 第5题 I=$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[6]{x^{6}+x^{5}}-\sqrt[6]{x^{6}-x^{5}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
6
📝 有解析
第6题
### 第6题 \quad I=$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \sin x^{2}-2(1-\cos x) \sin x}{x^{4}}=$ $\_\_\_\_$ ．
7
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第7题
### 第7题 I=$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x}) \cdots(1-\sqrt[n]{\cos x})}{(1-\cos x)^{n-1}}=$ $\_\_\_\_$ ．
8
📝 有解析
第8题
### 第8题 I=$\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\mathrm{e}^{x^{2}}+x^{3}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}=$ $\_\_\_\_$ ．
9
📝 有解析
第9题
### 第9题
I=$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{x^{2}}^{x} \frac{\sin (x t)}{t} \mathrm{~d} t}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$
10
📝 有解析
第10题
### 第10题 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}\left(2^{\frac{1}{x}}-2^{\frac{1}{x+1}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
11
📝 有解析
第11题
### 第11题 设 $\alpha>0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x^{2}+x\right)^{x^{\alpha}}=$ $\_\_\_\_$ ．
12
📝 有解析
第12题
### 第12题 数列极限 $\displaystyle I=\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\arctan \frac{2}{n}-\arctan \frac{2}{n+1}\right)=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区
13
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第13题
### 第13题 设 $\displaystyle x_{0}=0, x_{n}=\frac{1+2 x_{n-1}}{1+x_{n-1}}(n=1,2,3, \cdots)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=$ $\_\_\_\_$ ．
14
📝 有解析
第14题
### 第14题 设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right)}{x}=3$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ． ## ✓ 纠错笔记
15
📝 有解析
第15题
### 第15题 设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1-x)+x f(x)}{x^{2}}=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-1}{x}=$ $\_\_\_\_$ ． ## －纠错笔记
16
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第16题
### 第16题 设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 连续，且 $f(1)=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \ln \left[2+f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)\right]=$ $\_\_\_\_$。
17
📝 有解析
第17题
### 第17题 设 $a, b$ 为常数，且 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt[3]{1-x^{6}}-a x^{2}-b\right)=0$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．
18
📝 有解析
第18题
### 第18题 设 $a, b, p$ 为非零常数，则 $\displaystyle I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a+b \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{a-b \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}} \cdot \frac{\sin p x}{|x|}=$ $\_\_\_\_$ ． 19当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\displaystyle \frac{1}{3^{n}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}$ 的等价无穷小形式为 $\mathrm{e}^{\alpha}(\beta \mathrm{e})^{n}$ ，则 $\alpha=$ $\_\_\_\_$ ，$\beta=$ $\_\_\_\_$。
20
📝 有解析
第20题
### 第20题 设 $f(x)$ 连续，当 $x \rightarrow a$ 时，$f(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小，则当 $x \rightarrow a$ 时 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的 $\_\_\_\_$阶无穷小。（填阶数） ◯纠错笔记
21
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第21题
### 第21题 已知当 $x \rightarrow 0$ 时 $F(x)=\int_{0}^{x-\sin x} \ln (1+t) \mathrm{d} t$ 是 $x^{n}$ 的同阶无穷小，则 $n=$ $\_\_\_\_$ ．
22
📝 有解析
第22题
### 第22题 设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x(b \cos x-1)}{\mathrm{e}^{x}+a}, & x>0 \\ \frac{\sin x}{\ln (1+3 x)}, & x<0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 点极限存在，则 $a, b$ 分别为 $\_\_\_\_$。
23
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第23题
### 第23题 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}6, & x \leqslant 0 \\ \frac{\mathrm{e}^{a x^{3}}-1}{x-\arcsin x}, & x>0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{3 \sin (x-1)}{x-1}, & x<1 \\ \mathrm{e}^{b x}+1, & x \geqslant 1\end{array}\right.\right.$ ， 若 $f(x)+g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 连续，则 $a=$ $\_\_\_\_$且 $b=$ $\_\_\_\_$。
24
📝 有解析
第24题
### 第24题 设 $\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-b}{(x-a)(x-b)}$ 有无穷间断点 $x=\mathrm{e}$ ，可去间断点 $x=1$ ，则 $(a, b)=$ $\_\_\_\_$ ．
25
📝 有解析
第25题
### 第25题 设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x+x^{2} \mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}}$ ，则 $f(x)$ 的连续区间是 $\_\_\_\_$ ． ## ✓ 纠错笔记
26
📝 有解析
第26题
### 第26题 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\arctan x, & x \leqslant 1 \\ \frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x^{2}-1}-x\right)+\frac{\pi}{4}, & x>1\end{array}\right.$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ． ## （－）纠错笔记
27
📝 有解析
第27题
### 第27题 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\ln (1+b x)}{x}, & x \neq 0 \\ -1, & x=0\end{array}\right.$ ，其中 $b$ 为某常数，$f(x)$ 在定义域上处处可导，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ． ## 数学基础过关660题•数学一（习题册）
28
📝 有解析
第28题
### 第28题 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \leqslant 0 \\ x^{\alpha} \sin \frac{1}{x}, & x>0\end{array}\right.$ ，若 $f(x)$ 可导，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$ ；若 $f^{\prime}(x)$ 连续，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$ ． 答题 区
29
📝 有解析
第29题
### 第29题 设 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且是偶函数，$f^{\prime}(-2)=-1$ ，则 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{f(5-2 \sin h)-f(5)}=$ $\_\_\_\_$ ．
30
📝 有解析
第30题
### 第30题 设 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导且 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=3$ ，则数列极限 $\displaystyle I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(\frac{1}{n}\right)\right)^{\frac{\frac{1}{n}}{1-\cos \frac{1}{n}}}=$ $\_\_\_\_$ ． ◯纠错笔记
31
📝 有解析
第31题
### 第31题 设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处二阶导数存在，则 $$ I=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f^{\prime}(a)}{h}= $$ $\_\_\_\_$ ．
32
📝 有解析
第32题
### 第32题 设 $f(x)=x^{\sin x}(x>0)$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
33
📝 有解析
第33题
### 第33题 $f(x)=x^{2}(x+1)^{2}(x+2)^{2} \cdots(x+n)^{2}$ ，则 $f^{\prime \prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ． ## 数学基础过关660题•数学一（习题册）
34
📝 有解析
第34题
### 第34题 设 $y=y(x)$ 由参数方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2} \ln \left(1+t^{2}\right) \\ y=\arctan t\end{array}\right.$ 确定，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=$ $\_\_\_\_$ ， $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．$y=y(x)$ 在任意点处的曲率 $K=$ $\_\_\_\_$ ．
35
📝 有解析
第35题
### 第35题 设 $y=y(x)$ 由方程 $y=\sin (x+y)$ 确定，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
36
📝 有解析
第36题
### 第36题 曲线 $y=\ln x$ 上与直线 $x+y=2$ 垂直的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．
37
📝 有解析
第37题
### 第37题 设 $f(x)=\int_{0}^{x} \ln (1+\sin t) \mathrm{d} t$ ，则 $f^{\prime \prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区
38
📝 有解析
第38题
### 第38题 设函数 $y=y(x)$ 为由方程 $x^{2}+\int_{0}^{y}\left(2+\sin t^{2}\right) \mathrm{d} t=1$ 确定的隐函数，则 $\mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$。
39
📝 有解析
第39题
### 第39题 设 $y=y(x)$ 在 $(-1,1)$ 二阶可导，满足方程：$\displaystyle \left(1-x^{2}\right) \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}-x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+a^{2} y=0$ ，作变量替换 $x=\sin t$ 后，$y$ 作为 $t$ 的函数满足的方程是 $\_\_\_\_$ ．
40
📝 有解析
第40题
### 第40题 设 $\displaystyle f(x)=\ln \frac{1-2 x}{1+3 x}, n \geqslant 2$ ，则 $f^{(n)}(0)=$ $\_\_\_\_$ ． （－）纠错笔记
41
📝 有解析
第41题
### 第41题 曲线 $x=\cos ^{3} t, y=\sin ^{3} t$ 在 $t=t_{0}$ 相应的点曲率最小，则在该点处的曲率半径为 $\_\_\_\_$。 （ ）纠错笔记
42
📝 有解析
第42题
### 第42题 设 $y=y(x)$ 是由方程 $2 y^{3}-2 y^{2}+2 x y-x^{2}=1$ 确定的，则 $y=y(x)$ 的极值点是 $\_\_\_\_$。 （－）纠错笔记
43
📝 有解析
第43题
### 第43题 函数 $\displaystyle y=\frac{(x-3)^{2}}{4(x-1)}$ 的单调增区间是 $\_\_\_\_$ ，单调减区间是 $\_\_\_\_$ ，极值是 $\_\_\_\_$ ，凹区间是 $\_\_\_\_$ ，凸区间是 $\_\_\_\_$ ． 答题 区
44
📝 有解析
第44题
### 第44题 设 $(1,3)$ 是曲线 $y=x^{3}+a x^{2}+b x+14$ 的拐点，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．
45
📝 有解析
第45题
### 第45题 设 $f(x)=3 x^{2}+A x^{-3}(x>0), A$ 为正常数，则 $A$ 至少为 $\_\_\_\_$时，有 $f(x) \geqslant 20(x>0)$ ． □
46
📝 有解析
第46题
### 第46题 函数 $f(x)=\left|4 x^{3}-18 x^{2}+27\right|$ 在 $[0,2]$ 上的最小值等于 $\_\_\_\_$ ，最大值等于 $\_\_\_\_$。
47
📝 有解析
第47题
### 第47题 设有界函数 $f(x)$ 在 $(c,+\infty)$ 内可导，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=b$ ，则 $b=$ $\_\_\_\_$ ． ◯纠错笔记48 曲线 $\displaystyle y=\sqrt{4 x^{2}+x} \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)$ 的全部渐近线是 $\_\_\_\_$ ． 答题 区
49
📝 有解析
第49题
### 第49题 设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}-1}=2$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的法线方程为 $\_\_\_\_$ ．
50
📝 有解析
第50题
### 第50题 设 $y=y(x)$ 二阶可导，且 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(4-y) y^{\beta}(\beta>0)$ ，若 $y=y(x)$ 的一个拐点是 $\left(x_{0}\right.$ ， $3)$ ，则 $\beta=$ $\_\_\_\_$ ． ## □ 纠错笔记
51
📝 有解析
第51题
### 第51题 $\int f^{\prime}\left(\mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x=-(1+x) \mathrm{e}^{-x}+C, f(1)=0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
53
📝 有解析
第53题
### 第53题 I=$\displaystyle \int \frac{\sqrt{x+1}+2}{(x+1)^{2}-\sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
54
📝 有解析
第54题
### 第54题 I=$\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{x}}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
55
📝 有解析
第55题
### 第55题 I=$\displaystyle \int \frac{x^{4}+1}{1+x^{6}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
56
📝 有解析
第56题
### 第56题 $\displaystyle I=\int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
57
📝 有解析
第57题
### 第57题 I=$\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^{4}+1}}=$ $\_\_\_\_$ ．
58
📝 有解析
第58题
### 第58题 设 $f(x)=x^{2}-x \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x+2 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$。 ✓ 纠错笔记
59
📝 有解析
第59题
### 第59题 设 $f(x)$ 有一阶导数且满足 $\int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t=f(x)+x \sin x$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$。 ## （J）纠错笔记
60
📝 有解析
第60题
### 第60题 I=$\displaystyle \int_{0}^{2}\left(x \sqrt{2 x-x^{2}}-\sqrt{\left(1-\frac{1}{4} x^{2}\right)^{3}}\right) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
61
📝 有解析
第61题
### 第61题 设 $f(x)$ 为连续函数，$\varphi$ 为常数， $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(\sin (x+\varphi)) \mathrm{d} x=A \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$ ，则 $A=$ $\_\_\_\_$。 －纠错笔记
62
📝 有解析
第62题
### 第62题 $f(x)=$\left\{\begin{array}{cc}x \mathrm{e}^{-x^{2}}, & x \geqslant 0 \\ \frac{1}{1+\cos x}, & -1
63
📝 有解析
第63题
### 第63题 设 $f(x)$ 是定义于 $x \geqslant 1$ 的正值连续函数，则 $$ F(x)=\int_{1}^{x}\left[\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)-\left(\frac{2}{t}+\ln t\right)\right] f(t) \mathrm{d} t(x \geqslant 1) $$ 的极小值点是 $x=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区 □
64
📝 有解析
第64题
### 第64题 定积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x|\sin x \cos x|}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
65
📝 有解析
第65题
### 第65题 设 $f(x)=\max \left\{1, x^{2}\right\}$ ，则 $\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t=$ $\_\_\_\_$ ． □
66
📝 有解析
第66题
### 第66题 在曲线 $y=x^{2}(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 上取一点 $\left(t, t^{2}\right)(0
67
📝 有解析
第67题
### 第67题 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{2 x^{2}-1}}=$ $\_\_\_\_$ ．
68
📝 有解析
第68题
### 第68题 I=$\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\frac{2 x^{2}+b x+a}{x(2 x+a)}-1\right] \mathrm{d} x=1$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．
69
📝 有解析
第69题
### 第69题 $$ $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x=$ $$ $\_\_\_\_$ ． □
70
📝 有解析
第70题
### 第70题 摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ 与 $x$ 轴围成图形绕 $y=2 a$ 旋转一周而得旋转体的体积 $V=$ $\_\_\_\_$ ． □
71
📝 有解析
第71题
### 第71题 设星形线方程为 $$ $\left\{\begin{array}{l}$ x=a \cos ^{3} t \\ y=a \sin ^{3} t $\end{array}\right.$ $$ 则它所围成的面积 $A$ 为 $\_\_\_\_$ ，它的弧长 $L$ 为 $\_\_\_\_$ ，它绕 $x$ 轴旋转而生成的旋转体体积 $V$ 为 $\_\_\_\_$ ，该旋转体的侧面积 $S=$ $\_\_\_\_$。
72
📝 有解析
第72题
### 第72题 设有曲线 $y=\sqrt{x-1}$ ，过原点作其切线，则以曲线、切线及 $x$ 轴所围成平面图形绕 $x$轴旋转一圈所得到的表面积为 $\_\_\_\_$。 答题 区 □
73
📝 有解析
第73题
### 第73题 已知抛物叶形线的一部分： $$ y^{2}=\frac{x}{9}(3-x)^{2}(0 \leqslant x \leqslant 3) $$ 如图所示，它围成的图形为 $M$ ，则 $M$ 的面积 $A=$ $\_\_\_\_$ ，$M$ 的质心 （形心）$(\bar{x}, \bar{y})=$ $\_\_\_\_$ ．
74
📝 有解析
第74题
### 第74题 在水平放置的椭圆底柱形容器内储存某种液体，容器的尺寸如图所示，其中椭圆方程为 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$（单位： m ），则当液面过点 $(0, y)(-1 \leqslant y \leqslant 1)$ 处水平线时，容器内液体的体积是 $\_\_\_\_$ ，当容器内储满了液体后，以 $0.16 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}$ 的速度将液体从容器顶端抽出，则当液面降至 $y=0$ 时，液面下降的速度为 $\_\_\_\_$ ，如果 液体的密度为 $1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$ ，抽出全部液体所做的功为 $\_\_\_\_$。
75
📝 有解析
第75题
### 第75题 设无穷长直线 $L$ 的线密度为 1 ，引力常数为 $k$ ，则 $L$ 对距直线为 $a$ 的单位质点 $A$ 的引力为 $\_\_\_\_$。 □
76
📝 有解析
第76题
### 第76题 设 $y=y(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 可导，在 $\forall x \in(0,+\infty)$ 处的增量 $\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)$ 满足 $\displaystyle \Delta y(1+\Delta y)=\frac{y \Delta x}{1+x}+\alpha$ ，其中 $\alpha$ 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时是与 $\Delta x$ 等价的无穷小，又 $y(0)=1$ ．则 $y(x)=$ $\_\_\_\_$。 □
77
📝 有解析
第77题
### 第77题 设 $a>0$ 是常数，连续函数 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=b, y=y(x)$ 是微分方程 $$ y^{\prime \prime}+a y^{\prime}=f(x) \quad(x \in[0,+\infty)) $$ 的解，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ， $\lim _{x \rightarrow+\infty} y^{\prime \prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
78
📝 有解析
第78题
### 第78题 若通过点 $(1,0)$ 的曲线 $y=y(x)$ 上每一点 $(x, y)$ 处切线的斜率等于 $\displaystyle 1+\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}$ ，则此曲线的方程是 $\_\_\_\_$。 答题区 □
79
📝 有解析
第79题
### 第79题 当 $y>0$ 时，微分方程 $\left(x-2 x y-y^{2}\right) \mathrm{d} y+y^{2} \mathrm{~d} x=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．
80
📝 有解析
第80题
### 第80题 设 $y=y(x)$ 是微分方程 $\left(3 x^{2}+2\right) y^{\prime \prime}=6 x y^{\prime}$ 的一个特解，且当 $x \rightarrow 0$ 时 $y(x)$ 是与 $\mathrm{e}^{x}-1$ 等价的无穷小量，则该特解是 $\_\_\_\_$ ． □
81
📝 有解析
第81题
### 第81题 方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=(6 x+2) \mathrm{e}^{x}$ 满足 $y(0)=3, y^{\prime}(0)=0$ 的特解 $y^{*}=$ $\_\_\_\_$ ． □
82
📝 有解析
第82题
### 第82题 已知连续函数 $f(x)$ 满足 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x+\sin x+\int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{d} t$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区
83
📝 有解析
第83题
### 第83题 设 $y=y(x)$ 是二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+2 m y^{\prime}+n^{2} y=0$ 满足 $y(0)=a$ 与 $y^{\prime}(0) =b$ 的特解，其中 $m>n>0$ ，则 $\int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区
84
📝 有解析
第84题
### 第84题 已知 $y_{1}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}, y_{2}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}, y_{3}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{-x}$ 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为 $\_\_\_\_$ ． □
85
📝 有解析
第85题
### 第85题 设 $u=u\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\left(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0\right)$ 有二阶连续的偏导数，且满足 $$ $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\frac{1}{x} \frac{\partial u}{\partial x}+u=x^{2}+y^{2}$ $$ 则 $u\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
86
📝 有解析
第86题
### 第86题 设 $\displaystyle f(x, y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{\mathrm{e}^{x y}+x y \sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ，则 $f_{x}^{\prime}(1,0)=$ $\_\_\_\_$ ．
87
📝 有解析
第87题
### 第87题 设 $z=\mathrm{e}^{x}+y^{2}+f(x+y)$ ，且当 $y=0$ 时，$z=x^{3}$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$。 ## Q
纠错笔记 ## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）
纠错笔记 ## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）
88
📝 有解析
第88题
### 第88题 设 $z=(x-2 y)^{y-2 x}$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\substack{x=1 \\ y=0}}=$ $\_\_\_\_$ ． 纠错笔记 89 设 $f(x, y)=\ln |x+y|-\sin (x y)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}$ 在点 $(1, \pi)$ 处的值为 $\_\_\_\_$ ． －纠错笔记
90
📝 有解析
第90题
### 第90题 设 $f(u, v)$ 是二元可微函数，$z=f\left(x^{y}, y^{2 x}\right)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$ ． 答题区 □
91
📝 有解析
第91题
### 第91题 设 $z=\mathrm{e}^{x y}+f(x+y, x y), f(u, v)$ 有二阶连续偏导数，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区 －纠错笔记
92
📝 有解析
第92题
### 第92题 已知函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,2)$ 处可微，且 $f(1,2)=1, f_{x}^{\prime}(1,2)=2$ ， $f_{y}^{\prime}(1,2)=3$ ，设函数 $\varphi(x)=f(x, 2 f(x, 2 x))$ ，则 $\varphi^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ．
93
📝 有解析
第93题
### 第93题 设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，且满足 $\displaystyle 4 \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}}-\frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}}=1$ ，又 $g(x, y)=f\left(x^{2}+\right. \left.y^{2}, x y\right)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
94
📝 有解析
第94题
### 第94题 设 $z=\int_{0}^{1}|x y-t| f(t) \mathrm{d} t, 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ ，其中 $f(x)$ 为连续函数，则 $z_{x x}^{\prime \prime}+z_{y y}^{\prime \prime}=$ $\_\_\_\_$ ．
95
📝 有解析
第95题
### 第95题 设 $f(x), g(x)$ 可微，$u(x, y)=f(2 x+5 y)+g(2 x-5 y)$ ，且满足 $u(x, 0)=\sin 2 x$ ， $u_{y}^{\prime}(x, 0)=0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ． C）答题区
96
📝 有解析
第96题
### 第96题 设 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=x+y$ ，且 $f(x, 0)=x, f(0, y)=y^{2}$ ，则 $f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．
97
📝 有解析
第97题
### 第97题 设连续函数 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 1}} \frac{f(x, y)-2 x+y-2}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}=0$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}=$ $\_\_\_\_$ ． ## O
纠错笔记
纠错笔记
98
📝 有解析
第98题
### 第98题 设 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-a-b x-c y}{\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)}=1$ ，其中 $a, b, c$ 为常数，则 $\left.\mathrm{d} f(x, y)\right|_{(0,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．
99
📝 有解析
第99题
### 第99题 设 $\left(a x^{2} y^{2}-2 x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x^{3} y+b x^{2} y+1\right) \mathrm{d} y$ 是一个函数 $f(x, y)$ 的全微分，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ，$f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．
100
📝 有解析
第100题
### 第100题 设 $f(x, y, z)=\mathrm{e}^{x}+y^{2} z$ ，其中 $z=z(x, y)$ 是由方程 $x+y+z+x y z=0$ 所确定的隐函数，则 $f_{x}^{\prime}(0,1,-1)=$ $\_\_\_\_$ ． □
101
📝 有解析
第101题
### 第101题 若函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\mathrm{e}^{x+2 y+3 z}+x y z=1$ 确定，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=$ $\_\_\_\_$ ． ✓ 纠错笔记
102
📝 有解析
第102题
### 第102题 设函数 $f(u, v)$ 可微，$z=z(x, y)$ 由方程 $(x+1) z-y^{2}=x^{2} f(x-z, y)$ 确定，则 $\left.\mathrm{d} \boldsymbol{z}\right|_{(0,1)}=$ $\_\_\_\_$ ．
103
📝 有解析
第103题
### 第103题 设 $f(x)$ 为连续函数，且 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\int_{x}^{y} f(x+y-t) \mathrm{d} t$ 确定二元函数 $z=z(x, y)$ ，则 $\displaystyle z\left(\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}\right)=$ $\_\_\_\_$ ． □
104
📝 有解析
第104题
### 第104题 二元函数 $f(x, y)=x^{2}\left(2+y^{2}\right)+y \ln y$ 的极小值为 $\_\_\_\_$ ． Q
105
📝 有解析
第105题
### 第105题 设方程式 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-2 y-4 z-10=0$ 确定某隐函数 $z=z(x, y)>0$ ，则 $z=z(x, y)$ 的极 $\_\_\_\_$值点是 $\_\_\_\_$ ，相应的极值是 $\_\_\_\_$。 答题 区
106
📝 有解析
第106题
### 第106题 设 $a>0$ ，交换积分次序 $\int_{0}^{a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{a y}} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{a}^{2 a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2 a-y} f(x, y) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
107
📝 有解析
第107题
### 第107题 交换积分次序 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x^{2}} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{3} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{1}{2}(3-x)} f(x, y) \mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
108
📝 有解析
第108题
### 第108题 将直角坐标系下的累次积分转换成极坐标系下的累次积分并计算 $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2} R} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{\sqrt{2}}{2} R}^{R} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{R^{2}-y^{2}}} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$。
109
📝 有解析
第109题
### 第109题 交换积分次序 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r=$ $\_\_\_\_$ ． □
110
📝 有解析
第110题
### 第110题 计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
111
📝 有解析
第111题
### 第111题 计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
112
📝 有解析
第112题
### 第112题 计算 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\arcsin y}^{\pi \arcsin y} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区 □
113
📝 有解析
第113题
### 第113题 计算 $\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1}\left(x^{2}+2 y\right) \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ． （－）纠错笔记
114
📝 有解析
第114题
### 第114题 设 $D$ 为圆域 $x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x+2 y$ ，则 $\iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区 ## －纠错笔记
115
📝 有解析
第115题
### 第115题 设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=$ $\_\_\_\_$ ． □
116
📝 有解析
第116题
### 第116题 设 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ ，则 $I=\iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
117
📝 有解析
第117题
### 第117题 已知函数 $f(t)=\int_{0}^{t} \mathrm{~d} x \int_{x}^{t} \mathrm{e}^{t y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，则 $f^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区 －纠错笔记
118
📝 有解析
第118题
### 第118题 设 $f(x, y)$ 为连续函数，且 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1}{\pi} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+y^{2}$ ，则 $f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ． －纠错笔记
119
📝 有解析
第119题
### 第119题 设积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant \mathrm{e}^{2}\right\}$ ，则 $\iint_{D} x^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．
120
📝 有解析
第120题
### 第120题 设积分区域 $D$ 由曲线 $y=\ln x$ 以及直线 $x=2, y=0$ 围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{e}^{x y}}{x^{x}-1} \mathrm{~d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．
576
📝 有解析
第576题
### 第576题 在级数 （1）$\displaystyle \left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)+\cdots$ ， （2） $\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\cdots$ ， （3） $\displaystyle 2-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}-\frac{5}{4}+\cdots+\frac{n+1}{n}-\frac{n+2}{n+1}+\cdots$ ， （4）$\displaystyle \left(2-\frac{3}{2}\right)+\left(\frac{3}{2}-\frac{4}{3}\right)+\left(\frac{4}{3}-\frac{5}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{n+1}{n}-\frac{n+2}{n+1}\right)+\cdots$ 中，发散级数的序号是 $\_\_\_\_$ ．
577
📝 有解析
第577题
### 第577题 若级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \sqrt{n}\left(\ln \frac{n+1}{n-1}\right)^{p}$ 收敛，则其中常数 $p$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．
578
📝 有解析
第578题
### 第578题 设有正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 满足 $$ $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \frac{1}{a_{n}}}{\ln n}=q \neq 1$ $$ 则该级数收敛的充要条件是 $q$ 满足 $\_\_\_\_$ ． 579已知幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $x=1$ 处条件收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 的收敛半径为 $\_\_\_\_$ ．
580
📝 有解析
第580题
### 第580题 设 $a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 2^{n} x^{2 n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ． $Q^{\circ}$
581
📝 有解析
第581题
### 第581题 已知幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{n}$ 在 $x=2$ 处发散，在 $x=-1$ 处收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 的收敛域是 $\_\_\_\_$ ．
582
📝 有解析
第582题
### 第582题 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n\left[4^{n}+(-3)^{n}\right]}$ 的收敛半径 $R=$ 583幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2^{n}}\right) x^{n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ，和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ． $\_\_\_\_$ ，收敛域为 $\_\_\_\_$ ． ◯纠错笔记
584
📝 有解析
第584题
### 第584题 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2 n+1}{(2 n)!} x^{2 n}$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ $(x \in$ $\_\_\_\_$ ）． 答题 区
585
📝 有解析
第585题
### 第585题 幂级数 $$ 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{2 \cdot 4}-\frac{x^{6}}{2 \cdot 4 \cdot 6}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!!}+\cdots $$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区
586
📝 有解析
第586题
### 第586题 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
587
📝 有解析
第587题
### 第587题 把函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-2 x-3}$ 展开为 $x$ 的幂级数，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ． ## ✓ 纠错笔记
588
📝 有解析
第588题
### 第588题 $f(x)=$\ln \left(2+x-3 x^{2}\right)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为 $\_\_\_\_$ ．$ 答题区 ◯纠错笔记
589
📝 有解析
第589题
### 第589题 设 $f(x)=x \arctan x-\ln \sqrt{1+x^{2}}$ ，则 $f(x)$ 的幂级数展开式是 $\_\_\_\_$ ． ## $(v)$
纠错笔记
纠错笔记
590
📝 有解析
第590题
### 第590题 设 $f(x)$ 是周期为 2 的周期函数且 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ 0, & 1
592
📝 有解析
第592题
### 第592题 过点 $P(-1,0,4)$ 且与平面 $3 x-4 y+z+10=0$ 平行，又与直线 $\displaystyle L: \frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{1}= \frac{z}{2}$ 相交的直线方程是 $\_\_\_\_$ ．
593
📝 有解析
第593题
### 第593题 直线 $L:\left\{\begin{array}{l}2 y+3 z-5=0 \\ x-2 y-z+7=0\end{array}\right.$ 在平面 $\Pi: x-y+3 z+8=0$ 上的投影方程为 $\_\_\_\_$。
594
📝 有解析
第594题
### 第594题 直线 $\displaystyle L: \frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{3}=z+1$ 绕直线 $L_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=3\end{array}\right.$ 旋转一圈所产生的曲面方程是 $\_\_\_\_$。 －纠错笔记
595
📝 有解析
第595题
### 第595题 平面 $\Pi: x-2 y+2 z+9=0$ 与以点 $M_{0}(2,0,-1)$ 为球心的球面相切，则该球面的方程是 $\_\_\_\_$ ． 答题 区
596
📝 有解析
第596题
### 第596题 设 $\Omega$ 由 $\displaystyle x^{2}+\frac{y^{2}}{2^{2}}+\frac{z^{2}}{3^{2}} \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 1$ 所确定，则 $\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} v=$ $\_\_\_\_$ $\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} v=$ ．
597
📝 有解析
第597题
### 第597题 设 $\Omega$ 是由曲线 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 z \\ x=0\end{array}\right.$ 绕 $z$ 轴旋转一周而成的曲面与平面 $z=2$ 和 $z=8$ 所围立体，则 $\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} v=$ $\_\_\_\_$ ． 设 $\Omega$ 是由曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 所围成的区域，则 $I=\iiint_{\Omega}(x+z) \mathrm{d} v=$ $\_\_\_\_$ ．
599
📝 有解析
第599题
### 第599题 设球体 $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant z$ 上任一点处的密度等于该点到原点的距离的平方，则此球的质心的 $z$ 坐标为 $\_\_\_\_$。
600
📝 有解析
第600题
### 第600题 设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x(a>0)$ ，则面积分 $\iint_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区 ✓
601
📝 有解析
第601题
### 第601题 设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ ，则 $\iint_{\Sigma}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} S=$ $\_\_\_\_$ ． ## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）
602
📝 有解析
第602题
### 第602题 设曲线 $C$ 为圆 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ ，则线积分 $\oint_{C}\left(x^{2}+y^{2}+2 x y\right) \mathrm{d} s=$ $\_\_\_\_$ ． 603设 $L$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，则 $\oint_{L}(x+2 y)^{2} \mathrm{~d} s=$ $\_\_\_\_$ ． □ 604已知曲线 $L$ 为曲面 $z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 与 $x^{2}+y^{2}=1$ 的交线，则 $\oint_{L} x^{2} y^{2} z^{2} \mathrm{~d} s=$ $\_\_\_\_$ ． $\theta^{\infty}$ 纠错笔记若曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} x-a y \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}-1}$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 内与路径无关，则 $a=$ $\_\_\_\_$。 答题 区
606
📝 有解析
第606题
### 第606题 设 $C$ 为 $|x|+|y|=1$ ，取正向，则 $\displaystyle \oint_{C} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{|x|+|y|}=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区
607
📝 有解析
第607题
### 第607题 设 $C$ 为上半圆周 $y=\sqrt{2 x-x^{2}}$ 从 $O(0,0)$ 到 $A(2,0)$ 的弧段，则 $\int_{C}\left(x \mathrm{e}^{y^{2}}-2 y\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-1\right) y \mathrm{e}^{y^{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区 608设 $C$ 为曲线 $y=\sqrt{\pi} x^{2}$ 上从 $O(0,0)$ 到 $A(1, \sqrt{\pi})$ 的曲线段，则 $\int_{C} \cos y^{2} \mathrm{~d} x-2 x y \sin y^{2} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ． □ 纠错笔记
609
📝 有解析
第609题
### 第609题 设 $\Gamma$ 为曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=1 \\ x-y+z=2\end{array}\right.$ ，从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看去为顺时针方向，则 $I=\oint_{\Gamma}(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z=$ $\_\_\_\_$ ．
610
📝 有解析
第610题
### 第610题 设 $\Omega$ 是由锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与半球面 $z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 围成的空间区域，$\Sigma$ 是 $\Omega$的整个边界的外侧，则 $\oiint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
611
📝 有解析
第611题
### 第611题 设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 在第一卦限部分的下侧，则 $\iint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$。 ↓ 纠错笔记
612
📝 有解析
第612题
### 第612题 设 $D$ 是由 $x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}, y \geqslant 0$ 所确定的上半圆域，则 $D$ 的形心的 $y$ 坐标 $\bar{y}=$ $\_\_\_\_$ ．
121
📝 有解析
第121题
### 第121题 设有下列命题 （1）数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛（即存在极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ），则 $x_{n}$ 有界。 （2）数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n+l}=a$ ．其中 $l$ 为某个确定的正整数． （3）数列 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=a$ 。 （4）数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在 $\displaystyle \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=1$ ． 则以上命题中正确的个数是 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．
122
📝 有解析
第122题
### 第122题 设 $\displaystyle 1
123
📝 有解析
第123题
### 第123题 有以下命题：设 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow a} g(x)$ 不存在， $\lim _{x \rightarrow a} h(x)$ 不存在， （1） $\lim _{x \rightarrow a}(f(x) \cdot g(x))$ 不存在． （2） $\lim _{x \rightarrow a}(g(x)+h(x))$ 不存在． （3） $\lim _{x \rightarrow a}(h(x) \cdot g(x))$ 不存在． （4） $\lim _{x \rightarrow a}(g(x)+f(x))$ 不存在． 则以上命题中正确的个数是 （A） 0 ． （B） 1 ． （C）2． （D） 3 ． $$ $\begin{gathered}$ x \in(1,2) \cup(2,+\infty) \text {, 则 } f(x) \\ x=2 \end{gathered} $$
125
📝 有解析
第125题
### 第125题 下列命题中正确的是 （A）若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x) \Rightarrow$ 存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时 $f(x) \geqslant g(x)$ ． （B）若存在 $\delta>0$ 使得当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ 且 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A_{0}$ ， $\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=B_{0}$ 均存在，则 $A_{0}>B_{0}$ ． （C）若存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时 $f(x)>g(x) \Rightarrow \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$ ． （D）若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)>\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x) \Rightarrow$ 存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ ． □ $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{n}\right)\right]^{n}=$
127
📝 有解析
第127题
### 第127题 当 $n \rightarrow \infty$ 时，数列 $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-\mathrm{e}$ 是 $\displaystyle \frac{1}{n}$ 的 （A）高阶无穷小。 （B）低阶无穷小。 （C）等价无穷小。 （D）同阶但非等价无穷小。 答题 区
128
📝 有解析
第128题
### 第128题 设 $\displaystyle u_{n}=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)$ ，则下列命题正确的是 （A） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ ． （B） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=A>0$ ． （C） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=+\infty$ ． （D） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}$ 不存在，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n} \neq+\infty$ ．
129
📝 有解析
第129题
### 第129题 $f(x)=$\frac{\sin \pi x}{x-1} \mathrm{e}^{\frac{1}{(x-1)^{3}}}$ ，则当 $x \rightarrow 1$ 时有$ （A） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=-\pi$ ． （B） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$ ． （C） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\infty$ ． （D） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)$ 不存在，且 $\lim _{x \rightarrow 1} f(x) \neq \infty$ \．
130
📝 有解析
第130题
### 第130题 I=$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x \mathrm{e}^{x}\right)-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2} \mathrm{e}^{2 x}}}{x^{4}}=$$ （A） 0 ． （B）$-\frac{1}{6}$ ． （C）$-\frac{1}{8}$ ． （D）$-\frac{1}{12}$ ．$
131
📝 有解析
第131题
### 第131题 若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2 x-\sqrt{\cos 2 x}}{x^{k}}=a \neq 0$ ，则 （A）$k=2, a=1$ ． （B）$k=-2, a=-1$ ． （C）$k=2, a=-2$ ． （D）$k=2, a=-1$ ．
132
📝 有解析
第132题
### 第132题 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{(1-\cos x) \sin ^{2} x}=$$ （A） 1 ． （B）$\frac{1}{2}$ ． （C）$\frac{1}{3}$ ． （D） 0 ． $$ $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}}{\mathrm{e}^{x}}=$ $$
134
📝 有解析
第134题
### 第134题 已知 $\displaystyle I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x^{2}+b x+1-\mathrm{e}^{x^{2}-2 x}}{x^{2}}=2$ ，则 （A）$a=5, b=-2$ ． （B）$a=-2, b=5$ ． （C）$a=2, b=0$ ． （D）$a=3, b=-3$ ．
135
📝 有解析
第135题
### 第135题 设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x-(\sin x) f(x)}{x^{3}}=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{6-f(x)}{x^{2}}=$ （A） 0 ． （B） 35 ． （C） 36 ． （D）$\infty$ ． 答题 区 （J）纠错笔记
136
📝 有解析
第136题
### 第136题 下列各题计算过程中正确无误的是 （A）数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(\ln n)^{\prime}}{n^{\prime}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$ ． （B） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin \pi x}{3 x^{2}-2 x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\pi \cos \pi x}{6 x-2}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{-\pi^{2} \sin \pi x}{6}=0$ ． （C） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x}}{\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}}{\cos x}$ 不存在． （D） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+\sin x}{x-\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\cos x}{1-\cos x}=\infty$ ． 答题 区
137
📝 有解析
第137题
### 第137题 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+n+1}+\frac{2}{n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n+n}\right)=$$ （A） 3 ． （B） 2 ． （C）$\frac{2}{3}$ ． （D）$\frac{1}{2}$ ． 答题 区$
138
📝 有解析
第138题
### 第138题 当 $x \rightarrow 0$ 时下列无穷小中阶数最高的是 （A）$(1+x)^{x^{2}}-1$ ． （B） $\mathrm{e}^{x^{4}-2 x}-1$ ． （C） $\int_{0}^{x^{2}} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ． （D）$\sqrt{1+2 x}-\sqrt[3]{1+3 x}$ ．
139
📝 有解析
第139题
### 第139题 设 $x \rightarrow a$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 分别是 $x-a$ 的 $n$ 阶与 $m$ 阶无穷小，则下列命题 （1）$f(x) g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n+m$ 阶无穷小。 （2）若 $n>m$ ，则 $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $x-a$ 的 $n-m$ 阶无穷小． （3）若 $n \leqslant m$ ，则 $f(x)+g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小． （4）若 $f(x)$ 连续，则 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的 $n+1$ 阶无穷小． 中，正确的个数是 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．
140
📝 有解析
第140题
### 第140题 设 $f(x)=\int_{0}^{x} t \mathrm{e}^{\sin t} \mathrm{~d} t$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 为无穷小 $x$ 的阶为 （A）一阶。 （B）二阶。 （C）三阶。 （D）四阶．
141
📝 有解析
第141题
### 第141题 以下函数 $f(g(x))$ 以 $x=0$ 为第二类间断点的是 （A）$f(u)=\ln \left(1+u^{2}\right), g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin ^{2} x+(x+1)^{2}, & x \leqslant 0 \\ x^{2}+1, & x>0\end{array}\right.$ ． （B）$f(u)=\left\{\begin{array}{ll}1-u, & u \leqslant 0 \\ u^{2}+1, & u>0\end{array}, g(x)=2 \cos x-1\right.$ ． （C）$\displaystyle f(u)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln \left(1-u^{2}\right)}{u} \sin \frac{1}{u}, & u<0 \\ 1-\cos \sqrt{u}, & u \geqslant 0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x<0 \\ x+\frac{\pi^{2}}{4}, & x \geqslant 0\end{array}\right.\right.$ ． （D）$\displaystyle f(u)=\mathrm{e}^{u^{2}}+1, g(x)= \begin{cases}\frac{1}{x}, & x<0 \\ 0, & x=0 \\ \sin \frac{1}{x}, & x>0\end{cases}$
142
📝 有解析
第142题
### 第142题 设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\arctan \frac{x-1}{x}}$ ，则 （A）$x=0$ 与 $x=1$ 都是 $f(x)$ 的第一类间断点。 （B）$x=0$ 与 $x=1$ 都是 $f(x)$ 的第二类间断点． （C）$x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点，$x=1$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点． （D）$x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点，$x=1$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点． 答题 区
143
📝 有解析
第143题
### 第143题 设 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域内有定义，且 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 间断，则在点 $x_{0}$ 处必定间断的函数是 （A）$f(x) \sin x$ ． （B）$f(x)+\sin x$ ． （C）$f^{2}(x)$ ． （D）$|f(x)|$ ．
144
📝 有解析
第144题
### 第144题 ＂$f(x)$ 在 $x_{0}$ 点连续＂是 $|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 点连续的 （A）充分条件，但不是必要条件． （B）必要条件，但不是充分条件． （C）充分必要条件． （D）既不是充分条件，也不是必要条件．
145
📝 有解析
第145题
### 第145题 设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 连续，则＂存在 $x_{n} \in[a,+\infty)$ ，有 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)= \infty$＂是 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 无界的 （A）充分非必要条件． （B）必要非充分条件． （C）充要条件． （D）既非充分又非必要条件．
146
📝 有解析
第146题
### 第146题 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x^{2}}{x^{3}}, & x>0 \\ g(x) \arcsin ^{2} x, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 是有界函数，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处 （A）极限不存在． （B）极限存在，但不连续． （C）连续，但不可导． （D）可导．
147
📝 有解析
第147题
### 第147题 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{\mathrm{e}^{x^{2}-1}}, & |x|<1 \\ x^{4}-b x^{2}+c, & |x| \geqslant 1\end{array}\right.$ 可导，则 $(b, c)=$ （A）$(2,1)$ ． （B）$(1,0)$ ． （C）$\displaystyle \left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ ． （D）$(3,2)$ ．
148
📝 有解析
第148题
### 第148题 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{g(x)-\mathrm{e}^{-x}}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 二阶连续可导，且 $g(0)=1, g^{\prime}(0)=-1$ ，则 （A）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)-1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续． （B）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)+1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续． （C）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)-1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上不连续． （D）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)+1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上不连续．
149
📝 有解析
第149题
### 第149题 设 $f(0)=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x^{2}\right)}{x^{2}}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导的 （A）充分非必要条件． （B）必要非充分条件． （C）充分必要条件． （D）既非充分又非必要条件．
150
📝 有解析
第150题
### 第150题 设 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且 $f^{\prime}(4)=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1-3 \tan h)}{h}$ 等于 （A） 5 ． （B） 3 ． （C） 4 ． （D） 7 ． 答题 区 ## －纠错笔记
151
📝 有解析
第151题
### 第151题 设函数 $g(x)$ 在 $x=a$ 点处连续，$f(x)=|x-a| g(x)$ 在 $x=a$ 点处可导，则 $g(a)$满足 （A）$g(a)=a$ ． （B）$g(a) \neq a$ ． （C）$g(a)=0$ ． （D）$g(a) \neq 0$ ． 答题 区
152
📝 有解析
第152题
### 第152题 设 $f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{3 x}$ ，则 $f^{(n)}(0)=$ （A）$\displaystyle \frac{3^{n}}{n!}$ ． （B）$n^{2} 3^{n-1}$ ． （C） $3^{n-2} n(n-1)$ ． （D） $3^{n-2}(n-1)(n-2)$ ． □
153
📝 有解析
第153题
### 第153题 设 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，则函数 $|f(x)|$ 在点 $x=a$ 处不可导的充分必要条件是 （A）$f(a)=0$ ，且 $f^{\prime}(a)=0$ ． （B）$f(a)=0$ ，且 $f^{\prime}(a) \neq 0$ ． （C）$f(a)>0$ ，且 $f^{\prime}(a)>0$ ． （D）$f(a)<0$ ，且 $f^{\prime}(a)<0$ ．
154
📝 有解析
第154题
### 第154题 设 $\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f^{\prime}(x)=a$ ，则 （A）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必可导且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=a$ ． （B）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必连续，但未必可导。 （C）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必有极限但未必连续． （D）以上结论都不对。
155
📝 有解析
第155题
### 第155题 设 $f(x)$ 为连续函数，$g(x)=\int_{-x}^{0} t f(x+t) \mathrm{d} t$ ，则 $g^{\prime}(x)=$ （A）$-\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u$ ． （B） $\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u$ ． （C）$-\int_{0}^{-x} f(u) \mathrm{d} u$ ． （D） $\int_{0}^{-x} f(u) \mathrm{d} u$ ． □
156
📝 有解析
第156题
### 第156题 设常数 $a>1, y=x$ 为曲线 $y=a^{x}$ 的切线，则 （A）$a=\mathrm{e}$ ，切点为 $(\mathrm{e}, \mathrm{e})$ 。 （B）$\displaystyle a=\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}$ ，切点为 $(\mathrm{e}, \mathrm{e})$ ． （C）$a=\mathrm{e}$ ，切点为 $\displaystyle \left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}, \mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}\right)$ 。 （D）$\displaystyle a=\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}$ ，切点为 $\displaystyle \left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}, \mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}\right)$ ．
157
📝 有解析
第157题
### 第157题 设 $f(0)=0, f^{\prime}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 为严格单调增函数，则函数 $\displaystyle g(x)=\frac{1-f(x)}{x}$ 在 $(0$ ， $+\infty$ ） （A）有界函数． （B）有极值． （C）单调增函数． （D）单调减函数．
158
📝 有解析
第158题
### 第158题 设 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 可导，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)>0$ ，则 $\exists \delta>0$ ，使得 （A）$f(x)$ 在 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ 单调上升． （B）$f(x)>f\left(x_{0}\right), x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right), x \neq x_{0}$ ． （C）$f(x)>f\left(x_{0}\right), x \in\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ ． （D）$f(x)
159
📝 有解析
第159题
### 第159题 设 $f(x)$ 对一切 $x \in(-\infty,+\infty)$ 满足方程 $(x-1) f^{\prime \prime}(x)+2(x-1)\left[f^{\prime}(x)\right]^{3}= 1-\mathrm{e}^{1-x}$ ，且 $f(x)$ 在 $x=a(a \neq 1)$ 处 $f^{\prime}(a)=0$ ，则 $x=a$ （A）是 $f(x)$ 的极小值点． （B）是 $f(x)$ 的极大值点． （C）不是 $f(x)$ 的极值点． （D）是 $f(x)$ 的拐点．
160
📝 有解析
第160题
### 第160题 设 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(1)=0, \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{(x-1)^{2}}=\frac{1}{2}$ ，则 （A）$f(1)$ 是 $f(x)$ 的极大值． （B）$f(1)$ 是 $f(x)$ 的极小值． （C）$(1, f(1))$ 是曲线 $f(x)$ 的拐点坐标． （D）$f(1)$ 不是 $f(x)$ 的极值，$(1, f(1))$ 也不是曲线 $f(x)$ 的拐点坐标．
161
📝 有解析
第161题
### 第161题 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2-\cos x, & x \leqslant 0 \\ \sqrt{x}+1, & x>0\end{array}\right.$ ，则 （A）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,1)$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点． （B）$x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点． （C）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，且 $(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点． （D）$x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，$(0,1)$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点． 答题 区
162
📝 有解析
第162题
### 第162题 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有定义，则下述命题中正确的是 （A）若 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导且单调增加，则对一切 $x \in(-\infty,+\infty)$ ，都有 $f^{\prime}(x)>0$ ． （B）若 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极值，则 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ ． （C）若 $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ ，则 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点坐标． （D）若 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，则 $x_{0}$ 一定不是 $f(x)$ 的极值点．
163
📝 有解析
第163题
### 第163题 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可导，$f(a)=\max _{[a, b]} f(x)$ ，则 （A）$f_{+}^{\prime}(a)=0$ ． （B）$f_{+}^{\prime}(a) \geqslant 0$ ． （C）$f_{+}^{\prime}(a)<0$ ． （D）$f_{+}^{\prime}(a) \leqslant 0$ ．
164
📝 有解析
第164题
### 第164题 数列 $1, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \cdots, \sqrt[n]{n}, \cdots$ 的最大项为 （A）$\sqrt{2}$ ． （B）$\sqrt[3]{3}$ ． （C）$\sqrt[4]{4}$ ． （D）$\sqrt[5]{5}$ ． 答题 区
165
📝 有解析
第165题
### 第165题 设 $f(x)=a x^{3}-6 a x^{2}+b$ 在区间 $[-1,2]$ 上的最大值是 3 ，最小值是 -29 ，且 $a>0$ ，则 （A）$a=2, b=-29$ ． （B）$a=3, b=2$ ． （C）$a=2, b=3$ ． （D）以上都不对．
166
📝 有解析
第166题
### 第166题 曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t),\end{array}(a>0)\right.$ 在参数 $\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$ 对应的点处的曲率为 （A）$\displaystyle \frac{2 \sqrt{2}}{a}$ ． （B）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{a}$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2} a}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{2} a}$ ．
167
📝 有解析
第167题
### 第167题 以下四个命题中，正确的是 （A）若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界． （B）若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界． （C）若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界． （D）若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界． □
168
📝 有解析
第168题
### 第168题 设 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 可导，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 有界是 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 有界的 （A）必要非充分条件． （B）充分非必要条件． （C）充分且必要条件． （D）既非充分也非必要条件．
169
📝 有解析
第169题
### 第169题 函数 $y=f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 连续，其二阶导函数的图形如图所示，则 $y=f(x)$ 的拐点的个数是 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．
170
📝 有解析
第170题
### 第170题 设 $[0,+\infty)$ 区间上 $y=f(x)$ 的导函数的图形如下图所示， 则 $y=f(x)$ 的拐点的个数是 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ． ## 数学基础过关 660 题。数学一（习题册）
171
📝 有解析
第171题
### 第171题 设曲线 $y=\sqrt[3]{x-4}$ ，则 （A）曲线的凸区间为 $(-\infty, 4)$ ，凹区间为 $(4,+\infty)$ ，拐点为 $(4,0)$ 。 （B）曲线的凹区间为 $(-\infty, 4)$ ，凸区间为 $(4,+\infty)$ ，拐点为 $(4,0)$ ． （C）曲线的凸区间为 $(-\infty, 4)$ ，凹区间为 $(4,+\infty)$ ，无拐点． （D）曲线的凹区间为 $(-\infty, 4)$ ，凸区间为 $(4,+\infty)$ ，无拐点． 172函数 $f(x)=3 \arccos x-\arccos \left(3 x-4 x^{3}\right)$ 在 $\displaystyle \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$
173
📝 有解析
第173题
### 第173题 设 $f(x)$ 在 $(1-\delta, 1+\delta)$ 内存在导数，$f^{\prime}(x)$ 单调减少，且 $f(1)=f^{\prime}(1)=1$ ，则 （A）在 $(1-\delta, 1)$ 和 $(1,1+\delta)$ 内均有 $f(x)x$ ． （C）在 $(1-\delta, 1)$ 内有 $f(x)x$ ． （D）在 $(1-\delta, 1)$ 内有 $f(x)>x$ ，在 $(1,1+\delta)$ 内有 $f(x)
174
📝 有解析
第174题
### 第174题 曲线 $\displaystyle y=\frac{x^{2}+1}{\sqrt{x^{2}-1}}$ （A）既有垂直又有水平与斜渐近线． （B）仅有垂直渐近线． （C）只有垂直与水平渐近线。 （D）只有垂直与斜渐近线。
175
📝 有解析
第175题
### 第175题 函数 $f(x)=3 \ln x-x$ （A）没有零点． （B）有 1 个零点． （C）有 2 个零点． （D）有 3 个零点．
176
📝 有解析
第176题
### 第176题 设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上的一个原函数，则 $f(x)+F(x)$ 在 $(a, b)$ 内 （A）可导． （B）连续． （C）存在原函数． （D）是初等函数．
177
📝 有解析
第177题
### 第177题 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ 1, \quad x=0\end{array}, F(x)=\int_{-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$ ，则 $F(x)$ （A）在 $(-1,1)$ 为无界函数． （B）在 $(-1,1)$ 为连续有界函数． （C）在 $(-1,1)$ 有间断点 $x=0$ ． （D）在 $[-1,1]$ 不可积．
178
📝 有解析
第178题
### 第178题 设 $f(x)$ 一阶可导，$f(x)>0, f^{\prime}(x)>0$ ，则当 $\Delta x>0$ 时 （A） $\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t>f(x) \Delta x>0$ ． （B） $\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t>0$ ． （D）$f(x) \Delta x<\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t<0$ ．
179
📝 有解析
第179题
### 第179题 考察下列叙述： （1）设 $f^{2}(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续，则 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续． （2）设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续，则 $|f(x)|$ 在 $x=x_{0}$ 连续． （3）设 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积． （4）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 有界，只有有限个间断点，则 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 可积，即在 $[a, b]$ 存在定积分． 我们可知 （A）只有（1），（2）正确． （B）只有（2），（3）正确． （C）只有（2），（4）正确． （D）只有（3），（4）正确．
180
📝 有解析
第180题
### 第180题 下列函数在指定区间上不存在定积分的是 （A）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, x \in[-1,1]\right.$ ． （B）$f(x)=\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{cl}1, & x>0 \\ 0, & x=0, x \in[a, b] \text { ．} \\ -1, & x<0\end{array}\right.$ （C）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\tan x, & x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \\ 0, & x= \pm \frac{\pi}{2}\end{array}, x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\right.$ ． （D）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, x \in[-1,1]\right.$.
181
📝 有解析
第181题
### 第181题 下列命题中有一个正确的是 （A）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，$f(x) \geqslant 0, \not \equiv 0$ ，则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0$ ． （B）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，$g(x)$ 在 $[a, b]$ 不可积，则 $f(x)+g(x)$ 在 $[a, b]$ 不可积． （C）设 $f^{2}(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积． （D）设 $x_{0} \in(a, b), f(x)$ 在 $[a, b] /\left\{x_{0}\right\}$ 连续且有界，$x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的间断点，则 $F(x)= \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $x=x_{0}$ 不可导．
182
📝 有解析
第182题
### 第182题 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，则下列结论中正确的个数为 （1）$f(x)$ 在 $[a, b]$ 的任意子区间 $[\alpha, \beta]$ 上 $\int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x)=0(\forall x \in[a, b])$ ． （2）$f(x) \geqslant 0(x \in[a, b])$ ，又 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x)=0(x \in[a, b])$ ． （3）$[\alpha, \beta] \subset[a, b]$ ，则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{a}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x$ ． （A） 0 ． （B） 1 ． （C） 2 ． （D） 3 ． 下述结论不正确的是
184
📝 有解析
第184题
### 第184题 设 $\displaystyle M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x, K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x$ ，则 （A）$M>N>K$ ． （B）$M>K>N$ ． （C）$K>M>N$ ． （D）$K>N>M$ ．
185
📝 有解析
第185题
### 第185题 设 $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x, I_{2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ，则 （A）$I_{1}<1
186
📝 有解析
第186题
### 第186题 下列用牛顿 一 莱布尼茨公式计算定积分的做法中，错误的做法一共有 （1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin ^{3} x-\sin ^{5} x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\pi} \sin ^{\frac{3}{2}} x \cos x \mathrm{~d} x=\left.\frac{2}{5} \sin ^{\frac{5}{2}} x\right|_{0} ^{\pi}=0$ ． （2） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{x}=\left.\ln |x|\right|_{-1} ^{1}=0$ ． （3） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sec ^{2} x}{2+\tan ^{2} x} \mathrm{~d} x=\left.\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right|_{0} ^{\pi}=0$ ． （4） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} x}\left(\arctan \frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x=\left.\arctan \frac{1}{x}\right|_{-1} ^{1}=\frac{\pi}{2}$ ． （A） 1 个． （B） 2 个． （C） 3 个． （D） 4 个．
187
📝 有解析
第187题
### 第187题 I=$\int_{0}^{\pi} x \sqrt{\cos ^{2} x-\cos ^{4} x} \mathrm{~d} x=$$ （A）$\pi$ ． （B）$\frac{\pi}{2}$ ． （C）$\frac{\pi}{3}$ ． （D）$\frac{\pi}{4}$ ．$
188
📝 有解析
第188题
### 第188题 I=$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x=$$ （A）$\pi$ ． （B）$\frac{\pi}{2}$ ． （C）$\frac{\pi}{4}$ ． （D）$\frac{\pi}{8}$ ． （V）纠错笔记$
189
📝 有解析
第189题
### 第189题 积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{\sqrt{1-x}} \mathrm{~d} x=$ （A）$\displaystyle \frac{156}{315}$ ． （B）$\displaystyle \frac{256}{315}$ ． （C）$\displaystyle \frac{198}{315}$ ． （D）$\displaystyle \frac{208}{315}$ ．
190
📝 有解析
第190题
### 第190题 设 $n, m$ 为非负整数，$I_{n, m}=\int_{0}^{1} x^{n} \ln ^{m} x \mathrm{~d} x$ 是 （A）定积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{n} n!}{(n+1)^{m}}$ ． （B）定积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{m} m!}{(n+1)^{m+1}}$ ． （C）反常积分且发散． （D）反常积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{m} m!}{(n+1)^{m+1}}$ ． ## －纠错笔记
191
📝 有解析
第191题
### 第191题 设 $\sin x \ln |x|$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则不定积分 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$ （A）$\displaystyle x \cos x \ln |x|+x \cdot \frac{\sin x}{|x|}-\sin x \ln |x|+C$ ． （B）$x \cos x \ln |x|+\sin x-\sin x \ln |x|+C$ ． （C） $\displaystyle \cos x \ln |x|-\frac{\sin x}{|x|}-\sin x \ln |x|+C$ ． （D）以上均不正确． 答题 区
192
📝 有解析
第192题
### 第192题 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{\cos ^{2} x}^{2 x^{3}} \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}} \mathrm{~d} t=$ （A）$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+4 x^{6}}}-\frac{1}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ． （B）$\displaystyle \frac{6 x^{2}}{\sqrt{1+4 x^{6}}}-\frac{\sin 2 x}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ． （C）$\displaystyle \frac{6 x^{2}}{\sqrt{1+4 x^{6}}}+\frac{\sin 2 x}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ． （D）$\displaystyle \frac{6 x^{2}}{\sqrt{1+4 x^{6}}}-\frac{1}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ．
193
📝 有解析
第193题
### 第193题 设 $F(x)=\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{u^{2}} \ln \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} u$ ，则曲线 $y=F(x)$ （A）在 $(-\infty, 0)$ 是凹的，在 $(0,+\infty)$ 是凸的． （B）在 $(-\infty, 0)$ 是凸的，在 $(0,+\infty)$ 是凹的． （C）在 $(-\infty,+\infty)$ 是凹的． （D）在 $(-\infty,+\infty)$ 是凸的． □ 194设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sqrt{4+x}, & x>0 \\ 0, & x=0, \\ \sqrt{1-x}, & x<0\end{array} \quad F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$ ，则
197
📝 有解析
第197题
### 第197题 函数 $F(x)=\int_{x}^{x+\pi} \ln \left(1+\cos ^{2} t\right) \cos 2 t \mathrm{~d} t$ （A）为正数． （B）为负数． （C）恒为零． （D）不是常数．
198
📝 有解析
第198题
### 第198题 设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(2 x)=2 f(x)$ ，则 $\int_{1}^{2} x f(x) \mathrm{d} x=a \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $a$ 为 （A） 5 ． （B） 6 ． （C） 7 ． （D） 8 ． ## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）
199
📝 有解析
第199题
### 第199题 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \geqslant 0 \\ \cos x, & x<0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{cl}x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.\right.$ ，则在区间 $(-1,1)$ 上 （A）$f(x)$ 与 $g(x)$ 都存在原函数． （B）$f(x)$ 与 $g(x)$ 都不存在原函数． （C）$f(x)$ 存在原函数，$g(x)$ 不存在原函数． （D）$f(x)$ 不存在原函数，$g(x)$ 存在原函数．
200
📝 有解析
第200题
### 第200题 数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right)=$ （A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ．
201
📝 有解析
第201题
### 第201题 数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\int_{0}^{n \pi}|\sin x| \mathrm{d} x}{(n+1) \pi}=$ （A）0． （B）不存在． （C）$\displaystyle \frac{2}{\pi}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{\pi}$ ． 答题 区
202
📝 有解析
第202题
### 第202题 下列反常积分发散的是 （A） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ． （B） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ． （C） $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ． （D） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
203
📝 有解析
第203题
### 第203题 下列四个反常积分 （1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^{2}-1}}$ ． （2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x(x-1)}}$ ． （3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2} \sqrt{x^{2}-1}}$ ． （4） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^{2}-1\right)}$ ． 中，收敛的个数是 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．
204
📝 有解析
第204题
### 第204题 设有下列命题 （1）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续是奇函数，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=0$ ． （2）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，又 $\lim _{R \rightarrow+\infty} \int_{-R}^{R} f(x) \mathrm{d} x$ 存在，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。 （3） $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x, \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 均发散，则 $\int_{a}^{+\infty}[f(x)+g(x)] \mathrm{d} x$ 可能发散，也可能收敛。 （4）若 $\int_{-\infty}^{0} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 均发散，则不能确定 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 是否收敛． 则以上命题中正确的个数是 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ． ## 数学基础过关 660 题。数学一（习题册）
205
📝 有解析
第205题
### 第205题 曲线 $\displaystyle y=\cos x\left(x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\right)$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴所围面积被曲线 $y=a \sin x$ 等分，则 $a=$ （A）$\displaystyle \frac{2}{5}$ ． （B）$\displaystyle \frac{3}{5}$ ． （C）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
206
📝 有解析
第206题
### 第206题 由曲线 $y=1-(x-1)^{2}$ 及直线 $y=0$ 围成图形绕 $y$ 轴旋转而成立体的体积 $V$ 是 （A） $\int_{0}^{1} \pi(1+\sqrt{1+y})^{2} \mathrm{~d} y$ ． （B） $\int_{0}^{1} \pi(1-\sqrt{1-y})^{2} \mathrm{~d} y$ ． （C） $\int_{0}^{1} \pi[(1+\sqrt{1-y})-(1-\sqrt{1-y})]^{2} \mathrm{~d} y$ ． （D） $\int_{0}^{1} \pi\left[(1+\sqrt{1-y})^{2}-(1-\sqrt{1-y})^{2}\right] \mathrm{d} y$ ．
207
📝 有解析
第207题
### 第207题 曲线 $r=a \mathrm{e}^{b \theta}(a>0, b>0)$ 从 $\theta=0$ 到 $\theta=\alpha(\alpha>0)$ 的一段弧长为 （A）$s=\int_{0}^{\alpha} a \mathrm{e}^{b \theta} \sqrt{1+b^{2}} \mathrm{~d} \theta$ ． （B）$s=\int_{0}^{\alpha} \sqrt{1+\left(a b \mathrm{e}^{b \theta}\right)} \mathrm{d} \theta$ ． （C）$s=\int_{0}^{\alpha} \sqrt{1+\left(a \mathrm{e}^{b \theta}\right)^{2}} \mathrm{~d} \theta$ ． （D）$s=\int_{0}^{a} a b \mathrm{e}^{b \theta} \sqrt{1+\left(a b \mathrm{e}^{b \theta}\right)^{2}} \mathrm{~d} \theta$ ．
208
📝 有解析
第208题
### 第208题 旋轮线的一支 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ 的质心是 （A）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{4}{3} a\right)$ ． （B）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{2}{3} a\right)$ ． （C）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{5}{4} a\right)$ ． （D）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{7}{4} a\right)$ ． ## （－）纠错笔记
209
📝 有解析
第209题
### 第209题 峰值为 $V_{m}$ ，周期为 $T$ 的三角形波的电压平均值为 （A）$\displaystyle \frac{V_{m}}{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{V_{m}}{\sqrt{3}}$ ． （C）$\displaystyle \frac{V_{m}}{4}$ ． （D）$\displaystyle \frac{V_{m}}{\sqrt{2}}$ ． 答题 区
210
📝 有解析
第210题
### 第210题 半圆形闸门半径为 $R$（米），将其垂直放人水中，且直径与水面齐．设 $\rho g=1$ 。若坐标原点取在圆心，$x$ 轴正向朝下，则闸门所受压力 $p$ 为 （A） $\int_{0}^{R} \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ． （B） $\int_{0}^{R} 2 \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$. （C） $\int_{0}^{R} 2 x \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ． （D） $\int_{0}^{R} 2(R-x) \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ． ## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）
211
📝 有解析
第211题
### 第211题 已知 $y_{1}(x)$ 和 $y_{2}(x)$ 是方程 $y^{\prime}+p(x) y=0$ 的两个不同的特解，则该方程的通解为 （A）$y=C y_{1}(x)$ ． （B）$y=C y_{2}(x)$ ． （C）$y=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)$ ． （D）$y=C\left(y_{1}(x)-y_{2}(x)\right)$ ．
212
📝 有解析
第212题
### 第212题 设 $P(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且以 $T$ 为周期，则 $\int_{0}^{T} P(x) \mathrm{d} x=0$ 是方程 $$ $\begin{equation*}$ $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=0 \tag{*}$ \end{equation*} $$ 有解 $y=y(x) \not \equiv 0$ 且以 $T$ 为周期的 （A）必要非充分条件． （B）充分非必要条件． （C）充分且必要条件． （D）既不充分也不必要条件．
213
📝 有解析
第213题
### 第213题 设 $y=y(x)$ 是 $y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0$ 的解，其中 $b, c$ 为正的常数，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)$ （A）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 有关，与 $b, c$ 无关． （B）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $b, c$ 均无关． （C）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $c$ 无关，只与 $b$ 有关。 （D）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $b$ 无关，只与 $c$ 有关。
214
📝 有解析
第214题
### 第214题 已知 $y^{*}=\mathrm{e}^{-2 x}+\left(x^{2}+2\right) \mathrm{e}^{x}$ 是二阶常系数线性非齐次微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=(c x+$ d） $\mathrm{e}^{x}$ 的一个解，则方程中的系数 $a$ 与 $b$ 以及非齐次项中的常数 $c$ 和 $d$ 分别是 （A）$a=1, b=-2, c=6, d=2$ ． （B）$a=1, b=2, c=6, d=-2$ ． （C）$a=1, b=-2, c=-6, d=2$ ． （D）$a=1, b=-2, c=6, d=-2$ ．
215
📝 有解析
第215题
### 第215题 设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，在 $(0,+\infty)$ 内有连续导数且 $$ x \int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t+2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x f(x)+x^{3} $$ 则可得 （A）$f(x)=C x^{2}-3 x^{2} \ln (1+x)(x \in[0,+\infty)),(C$ 为任意常数）． （B）$f(x)=x^{2}-3 x^{2} \ln (1+x)(x \in[0,+\infty))$ ． （C）$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}C x^{2}-3 x^{2} \ln x, & x>0 \\ 0, & x=0\end{array},(C\right.$ 为任意常数）． （D）$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}-3 x^{2} \ln x, & x>0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ．
216
📝 有解析
第216题
### 第216题 设 $L$ 是连接两点 $A(0,1)$ 与 $B(1,0)$ 的一条凸弧，$P(x$ ， $y)$ 是 $L$ 上的任意一点．已知凸弧 $L$ 与弦 $A P$ 围成的平面图形的面积等于 $x^{4}$ ，则 $L$ 的方程是 （A） $1-3 x+4 x^{3}$ ． （B） $1-4 x+3 x^{3}$ ． （C） $1+3 x-4 x^{3}$ ． （D） $1+4 x-3 x^{3}$ ．
217
📝 有解析
第217题
### 第217题 设 $a, b, c$ 为待定常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=3 x-2 \mathrm{e}^{x}$ 的特解具有形式 （A）$(a x+b) \mathrm{e}^{x}$ ． （B）$(a x+b) x \mathrm{e}^{x}$ ． （C）$(a x+b)+c \mathrm{e}^{x}$ ． （D）$(a x+b)+c x \mathrm{e}^{x}$ ．
218
📝 有解析
第218题
### 第218题 已知曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点的切线平行于直线 $2 x-y-5=0$ ，而 $y(x)$满足微分方程 $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ ，则此曲线的方程为 （A）$y=\sin 2 x$ ． （B）$\displaystyle y=\frac{1}{2} x^{2} \mathrm{e}^{2 x}+\sin 2 x$ ． （C）$\displaystyle y=\frac{x}{2}(x+4) \mathrm{e}^{3 x}$ ． （D）$y=\left(x^{2} \cos x+\sin 2 x\right) \mathrm{e}^{3 x}$ ．
219
📝 有解析
第219题
### 第219题 设 $f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$ 的两个特解，$C_{1}, C_{2}$是两个任意常数，则 $C_{1} f_{1}(x)+C_{2} f_{2}(x)$ 是该方程通解的充分条件是 （A）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f^{\prime}{ }_{1}(x)=0$ ． （B）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f^{\prime}{ }_{1}(x)=0$ ． （C）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x) \neq 0$ ． （D）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f^{\prime}{ }_{1}(x) \neq 0$ ． 答题 区
220
📝 有解析
第220题
### 第220题 若 $A, B$ 为非零常数，$k$ 为常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}+k^{2} y=\cos x$ 的特解可能具有形式 （A）$A \sin x+B \cos x$ ． （B）$A x \cos x$ ． （C）$A x \sin x$ ． （D）$A x \sin x+B x \cos x$ ．
221
📝 有解析
第221题
### 第221题 设 $A, B$ 都是不等于零的常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=\mathrm{e}^{x} \cos 2 x$ 有特解 （A）$y^{*}=x \mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ． （B）$y^{*}=\mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ． （C）$y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \cos 2 x$ ． （D）$y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \sin 2 x$ ．
222
📝 有解析
第222题
### 第222题 具有特解 $y_{1}=\mathrm{e}^{-x}, y_{2}=2 x \mathrm{e}^{-x}, y_{3}=3 \mathrm{e}^{x}$ 的三阶常系数齐次线性微分方程是 （A）$y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ ． （B）$y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$ ． （C）$y^{\prime \prime \prime}-6 y^{\prime \prime}+11 y^{\prime}-6 y=0$ ． （D）$y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0$ ．
223
📝 有解析
第223题
### 第223题 微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+x y=\frac{x}{2 y} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ 满足 $y(0)=1$ 的特解是 （A）$\displaystyle y=\left(x^{2}+1\right) \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ ． （B）$\displaystyle y=\sqrt{\frac{1}{2} x^{2}+1} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} x^{2}}$ ． （C）$\displaystyle y=\left(\frac{1}{2} x^{2}+1\right) \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ ． （D）$\displaystyle y=\sqrt{\frac{1}{2} x^{2}+1} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ ．
224
📝 有解析
第224题
### 第224题 微分方程 $\left(y^{2}-1\right) \mathrm{d} x+(2 x y-\cos y) \mathrm{d} y=0$ 的通解是 （A）$y^{2} x-\sin y=C$ ． （B）$y^{2} x-\cos y=C$ ． （C）$\left(y^{2}-1\right) x-\cos y=C$ ． （D）$\left(y^{2}-1\right) x-\sin y=C$ ． 其中 $C$ 为任意常数． □
225
📝 有解析
第225题
### 第225题 方程 $x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-2 y=0$ 的通解为 （A）$y=C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} \mathrm{e}^{2 x}$ ． （B）$y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) \mathrm{e}^{x}$ ． （C）$y=C_{1} x+C_{2} x^{2}$ ． （D）$\displaystyle y=\frac{C_{1}}{x^{2}}+C_{2} x$ ．
226
📝 有解析
第226题
### 第226题 设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\frac{\sin \left(x^{2} y+y^{4}\right)}{x^{2}+y^{2}}$ ，则 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=$ （A） 1 ． （B） 0 ． （C）$+\infty$ ． （D）不存在，也不为 $\infty$ ． （－）纠错笔记
227
📝 有解析
第227题
### 第227题 设 $k$ 为常数，则极限 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2} \sin k y}{x^{2}+y^{4}}$ （A）等于 0 ． （B）等于 $\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （C）不存在． （D）存在与否和 $k$ 取值有关．
228
📝 有解析
第228题
### 第228题 极限 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}$ （A）不存在． （B）等于 2 ． （C）等于 $\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （D）等于 0 ．
229
📝 有解析
第229题
### 第229题 极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ （A）不存在． （B）等于 1 ． （C）等于 0 ． （D）等于 2 ． 答题 区
230
📝 有解析
第230题
### 第230题 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）连续、偏导数存在． （B）连续、偏导数不存在． （C）不连续、偏导数存在． （D）不连续、偏导数不存在． 答题 区
231
📝 有解析
第231题
### 第231题 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）不连续． （B）连续但偏导数不存在． （C）连续且偏导数存在但不可微． （D）可微。 答题 区 232设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
233
📝 有解析
第233题
### 第233题 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）不连续． （B）连续，但偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在． （C）连续且偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 都存在，但不可微． （D）全微分存在但一阶偏导函数 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 不连续． 答题 区
234
📝 有解析
第234题
### 第234题 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）连续，但偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在． （B）连续且偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 都存在，但不可微． （C）可微但 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 不连续． （D）可微且 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 连续． 答题 区
235
📝 有解析
第235题
### 第235题 设 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)+2 x-y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=1$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）不连续． （B）连续但两个偏导数不存在． （C）两个偏导数存在但不可微． （D）可微． 236设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-1}{x^{2}+y^{2}}=2$ ，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处
237
📝 有解析
第237题
### 第237题 函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微的充分条件是 （A） $\lim _{x \rightarrow 0} f_{x}^{\prime}(x, 0)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim _{y \rightarrow 0} f_{y}^{\prime}(0, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ ． （B） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$ ． （C） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}$ 和 $\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y}$ 都存在． （D） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{x}^{\prime}(x, y)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{y}^{\prime}(x, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ ．
238
📝 有解析
第238题
### 第238题 如果 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，那么下列命题正确的是 （A）若极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微． （B）若极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微． （C）若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在． （D）若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在．
239
📝 有解析
第239题
### 第239题 二元函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续是函数 $z=f(x, y)$ 在该点处两个偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在的 （A）必要但非充分条件． （B）充分但非必要条件． （C）充要条件． （D）既非充分条件也非必要条件．
240
📝 有解析
第240题
### 第240题 设 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处两个偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在，则 （A）$f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续． （B） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 存在． （C） $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f\left(x, y_{0}\right)=\lim _{y \rightarrow y_{0}} f\left(x_{0}, y\right)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ． （D）$f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微．
241
📝 有解析
第241题
### 第241题 函数 $f(x, y)$ 的两个偏导数在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续是函数 $f(x, y)$ 在该点处可微的 （A）充分但非必要条件． （B）必要但非充分条件． （C）充分必要条件． （D）既不充分也不必要条件．
242
📝 有解析
第242题
### 第242题 设函数 $f(x, y)$ 可微，且对任意 $x, y$ 都有 $\displaystyle \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}>0, \frac{\partial f(x, y)}{\partial y}<0$ ，则使不等式 $f\left(x_{1}, y_{1}\right)x_{2}, y_{1}x_{2}, y_{1}>y_{2}$ ． （C）$x_{1}y_{2}$ ．
243
📝 有解析
第243题
### 第243题 设可微函数 $f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}>1, \frac{\partial f}{\partial y}<-1, f(0,0)=0$ ，则下列结论正确的是 （A）$f(1,1)>1$ ． （B）$f(-1,1)>-2$ ． （C）$f(-1,-1)<0$ ． （D）$f(1,-1)>2$ ． ## （ ）纠错笔记
244
📝 有解析
第244题
### 第244题 已知方程 $\displaystyle f\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{x}\right)=0$ 确定了函数 $z=z(x, y), f(u, v)$ 可微，则 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$ （A）$z$ ． （B）$-z$ ． （C）$y$ ． （D）$-y$ ． 答题 区
245
📝 有解析
第245题
### 第245题 设函数 $f(x, y)$ 可微且 $f(x+1, \ln (1+x))=(1+x)^{3}+x \ln (1+x)(x+1)^{\ln (x+1)}$ ， $f\left(x^{2}, x-1\right)=x^{4} \mathrm{e}^{x-1}+(x-1)\left(x^{2}-1\right) x^{2(x-1)}$ ，则 $\mathrm{d} f(1,0)=$ （A） $\mathrm{d} x+\mathrm{d} y$ ． （B） $\mathrm{d} x-2 \mathrm{~d} y$ ． （C） $\mathrm{d} x-\mathrm{d} y$ ． （D） $2 \mathrm{~d} x+\mathrm{d} y$ ．
246
📝 有解析
第246题
### 第246题 已知 $\mathrm{d} f(x, y)=\left(2 y^{2}+2 x y+3 x^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(4 x y+x^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，则 $f(x, y)=$ （A） $2 x y^{2}+x^{2} y$ ． （B） $2 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}$ ． （C） $2 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}+C$ ． （D） $3 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}+C$ ．
247
📝 有解析
第247题
### 第247题 设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)}{1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}}=-2$ ，则 （A）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在． （B）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 存在但不为零。 （C）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点取极大值． （D）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点取极小值．
248
📝 有解析
第248题
### 第248题 下列命题正确的是 （A）若 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $f(x, y)$ 的极值点，则 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 必为 $f(x, y)$ 的驻点． （B）若 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $f(x, y)$ 的驻点，则 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 必为 $f(x, y)$ 的极值点． （C）若 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为有界闭区域 $D$ 上连续的函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 内部唯一的极值点，且 $f(x, y)$在该点取极大值，则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 取得它在 $D$ 上的最大值． （D）若 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 取得极小值，则 $f\left(x, y_{0}\right)$ 在 $x=x_{0}$ 处取极小值，$f\left(x_{0}, y\right)$ 在 $y=y_{0}$ 处取极小值．
249
📝 有解析
第249题
### 第249题 设 $F(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ．若一元函数 $y=y(x)$ 是由方程 $F(x, y)=0$ 所确定的在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 附近的隐函数，则 $x_{0}$ 是函数 $y=y(x)$ 的极小值点的一个充分条件是 （A）$F_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ． （B）$F_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)<0$ ． （C）$F_{y y}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ． （D）$F_{y y}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)<0$ ．
250
📝 有解析
第250题
### 第250题 函数 $f(x, y)=k x^{2}+y^{3}-3 y$ 在点 $(0,1)$ 处 （A）取极大值． （B）取极小值． （C）不取得极值． （D）是否取得极值与 $k$ 取值有关．
251
📝 有解析
第251题
### 第251题 函数 $f(x, y)=1+x+y$ 在区域 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上的最大值与最小值之积为 （A）-1 ． （B） 1 ． （C） $1+\sqrt{2}$ ． （D） $1-\sqrt{2}$ ．
252
📝 有解析
第252题
### 第252题 函数 $f(x, y)=\mathrm{e}^{-x y}$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid 4 x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上的最大值是 （A） $\mathrm{e}^{2}$ ． （B）e． （C） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{4}}$ ． （D） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}$ ．
253
📝 有解析
第253题
### 第253题 设 $f(x, y)=x^{3}-4 x^{2}+2 x y-y^{2}$ ，区域 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 4,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则下面结论正确的是 （A）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点且是 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 的最大值点． （B）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点但不是 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 的最大值点． （C）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点． （D）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点，但不是极值点．
254
📝 有解析
第254题
### 第254题 已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 某邻域内连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)+4 x^{2}-y^{2}}{x^{4}+x^{2} y^{2}+y^{4}}=1$ ，则 （A）点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点． （B）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点． （C）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点． （D）所给条件不足以判断点 $(0,0)$ 是否为 $f(x, y)$ 的极值点．
255
📝 有解析
第255题
### 第255题 设有三个正数 $x, y, z$ 满足 $x+y+z=a$ ，其中 $a>0$ 为常数，又 $$ x y z \leqslant b $$ 则 $b$ 的最小取值是 （A）$\displaystyle \frac{a^{3}}{21}$ ． （B）$\displaystyle \frac{a^{3}}{18}$ ． （C）$\displaystyle \frac{a^{3}}{9}$ ． （D）$\displaystyle \frac{a^{3}}{27}$ ．
256
📝 有解析
第256题
### 第256题 设 $D$ 是 $x O y$ 平面上以 $(1,1),(-1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 为顶点的三角形区域，$D_{1}$ 是 $D$ 在第一象限的部分，则 $\iint_{D}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} \sigma$ 等于 （A） $2 \iint_{D_{1}} \cos x \sin y \mathrm{~d} \sigma$ ． （B） $2 \iint_{D_{1}} x y \mathrm{~d} \sigma$ ． （C） $4 \iint_{D_{1}}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} \sigma$ ． （D） 0 ．
257
📝 有解析
第257题
### 第257题 累次积分 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ 可写成 （A） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （B） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{y}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （C） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （D） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
258
📝 有解析
第258题
### 第258题 设 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，则在极坐标系 $(r, \theta)$ 中的累次积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$可化为直角坐标系 $(x, y)$ 中的累次积分 （A） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （B） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} y$ ． （C） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （D） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} y$ ．
259
📝 有解析
第259题
### 第259题 累次积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ 可写成 （A） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1+\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （B） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （C） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{2 y-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （D） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{2} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
260
📝 有解析
第260题
### 第260题 累次积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y=$ （A）$\displaystyle \frac{1}{4}(\sqrt{2}-1)$ ． （B）$\displaystyle \frac{1}{3}(\sqrt{2}-1)$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{4}(\sqrt{2}+1)$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{3}(\sqrt{2}+1)$ ．
261
📝 有解析
第261题
### 第261题 设区域 $D$ 由 $y=x, y=x+1, y=1, y=3$ 围成，则 $\iint_{D} y \mathrm{~d} \sigma=$ （A） 2 ． （B） 3 ． （C） 4 ． （D） 6 ．
262
📝 有解析
第262题
### 第262题 设积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x+2 y\right\}$ ，则 $\iint_{D}\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=$ （A） $6 \pi$ ． （B） $8 \pi$ ． （C） $10 \pi$ ． （D） $12 \pi$ ． （4）纠错笔记
263
📝 有解析
第263题
### 第263题 设积分区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则二重积分 $\displaystyle I=\iint_{D} \frac{\mathrm{~d} \sigma}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=$ （A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ．
264
📝 有解析
第264题
### 第264题 设积分区域 $D=\left\{(x, y)| | x\left|\leqslant 1,|y| \leqslant 1, x^{2}+y^{2} \geqslant x\right\}\right.$ ，则 $\iint_{D}|x y| \mathrm{d} \sigma=$ （A）$\displaystyle \frac{5}{6}$ ． （B）$\displaystyle \frac{11}{12}$ ． （C）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ． （D）$\displaystyle \frac{7}{8}$ ． ## －纠错笔记
265
📝 有解析
第265题
### 第265题 设积分区域 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{x}$ ，直线 $y=1$ 及 $y$ 轴围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ （A） $\displaystyle 1+\frac{2}{\mathrm{e}}$ ． （B） $\displaystyle 1-\frac{2}{\mathrm{e}}$ ． （C） $\displaystyle 1-\frac{1}{\mathrm{e}}$ ． （D） $\displaystyle 1+\frac{1}{\mathrm{e}}$ ． 答题 区
266
📝 有解析
第266题
### 第266题 设积分区域 $D$ 由 $y=x$ 与 $y^{2}=x$ 围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin \pi y}{y} \mathrm{~d} \sigma=$ （A）$\pi$ ． （B）$-\pi$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{\pi}$ ． （D）$\displaystyle -\frac{1}{\pi}$ ．
267
📝 有解析
第267题
### 第267题 设积分区域 $D=\{(x, y) \mid \sqrt{|x|}+\sqrt{|y|} \leqslant 1\}$ ，则 $I=\iint_{D}(\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ （A）$\displaystyle \frac{4}{15}$ ． （B）$\displaystyle \frac{2}{5}$ ． （C）$\displaystyle \frac{8}{15}$ ． （D）$\displaystyle \frac{4}{5}$ ．
268
📝 有解析
第268题
### 第268题 设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \geqslant 1, x^{2}+y^{2} \leqslant 9, x \leqslant \sqrt{3} y, y \leqslant \sqrt{3} x\right\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{D} \arctan \frac{y}{x} \mathrm{~d} \sigma=$ （A）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ． （B）$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{6}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{3}$ ．
269
📝 有解析
第269题
### 第269题 累次积分 $I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x$ 等于 （A）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{3} \ln (\sqrt{2}+1)$ ． （B）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{3} \ln (\sqrt{2}-1)$ ． （C）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{1}{6} \ln (\sqrt{2}+1)$ ． （D）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{1}{6} \ln (\sqrt{2}-1)$ ．
270
📝 有解析
第270题
### 第270题 设 $\displaystyle I_{1}=\iint_{D} \frac{x+y}{4} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_{2}=\iint_{D} \sqrt{\frac{x+y}{4}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_{3}=\iint_{D} \sqrt[3]{\frac{x+y}{4}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由不等式 $(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leqslant 2$ 所确定，则 （A）$I_{2}
271
📝 有解析
第271题
### 第271题 设平面域 $D$ 由 $\displaystyle x+y=\frac{1}{2}, x+y=1$ 及两条坐标轴围成，$I_{1}=\iint_{D} \ln (x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ， $I_{2}=\iint_{D}(x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_{3}=\iint_{D} \sin (x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，则 （A）$I_{1}
272
📝 有解析
第272题
### 第272题 设积分区域 $$ $\begin{gathered}$ D_{1}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\} ; D_{2}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2\right\} \\ D_{3}=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{1}{2} x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right.\right\} ; D_{4}=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^{2}+\frac{1}{2} y^{2} \leqslant 1\right.\right\} \end{gathered} $$ 记 $\displaystyle I_{i}=\iint_{D_{i}}\left[1-\left(x^{2}+\frac{1}{2} y^{2}\right)\right] \mathrm{d} \sigma(i=1,2,3,4)$ ，则 $\max \left\{I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}\right\}=$ （A）$I_{1}$ ． （B）$I_{2}$ ． （C）$I_{3}$ ． （D）$I_{4}$ ． 答题 区
273
📝 有解析
第273题
### 第273题 设 $g(x)$ 有连续的导数，$g(0)=0, g^{\prime}(0)=a \neq 0, f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续，则 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{g\left(r^{2}\right)}=$ （A）$\displaystyle \frac{f(0,0)}{a}$ ． （B）$\displaystyle \frac{f(0,0)}{2 a}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{a} f(0,0)$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi}{2 a} f(0,0)$ ． 答题 区
274
📝 有解析
第274题
### 第274题 设 $f(x, y)$ 连续，且 $f(x, y)=x y+\iint_{D} f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ ，其中 $D$ 是由 $y=0, y=x^{2}, x=$ 1 所围区域，则 $f(x, y)$ 等于 （A）$x y$ ． （B） $2 x y$ ． （C）$\displaystyle x y+\frac{1}{8}$ ． （D）$x y+1$ ．
275
📝 有解析
第275题
### 第275题 设 $g(x)$ 是可微函数 $y=f(x)$ 的反函数，且 $\displaystyle f(1)=0, \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=\frac{2023}{2}$ ，则 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t$ 的值为 （A）0． （B） 2022 ． （C） 2023 ． （D） 2100 ．
616
📝 有解析
第616题
### 第616题 设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 条件收敛，则 （A）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 都收敛。 （B）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 都发散。 （C）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 收敛而级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 发散。 （D）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 发散而级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 收敛。 答题 区
617
📝 有解析
第617题
### 第617题 在关于级数的如下四个结论中正确的结论是 （A）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}^{2}$ 都收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+v_{n}\right)^{2}$ 收敛。 （B）若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n} v_{n}\right|$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}^{2}$ 都收敛。 （C）若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\displaystyle u_{n} \geqslant \frac{1}{n}$ ． （D）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，且 $u_{n} \geqslant v_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 也收敛。
618
📝 有解析
第618题
### 第618题 现有关于级数的如下四个结论： （1）若 $a_{n}>0$ 且 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1(n=1,2,3, \cdots)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。 （2）若 $a_{n}>0$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散． （3）若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}+a_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。 （4）设 $a_{n}>0(n=1,2,3, \cdots)$ 且极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}$ 存在，又 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ． 其中正确的是 （A）（1），（2）． （B）（1），（3）． （C）（3），（4）． （D）（2），（4）．
619
📝 有解析
第619题
### 第619题 设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是正项级数，$S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ 是它的部分和，则下列结论中 （1）若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} S_{n} a_{n}$ 发散。 （2）若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 收敛。 （3）若 $\left\{n a_{n}\right\}$ 是有界数列，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛。 （4）若 $a_{n}>a_{n+1}(n=1,2,3, \cdots)$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。 正确的是 （A）（1），（2）． （B）（2），（3）． （C）（3），（4）． （D）（4），（1）． 答题 区
620
📝 有解析
第620题
### 第620题 已知 $u_{n}>0(n=1,2,3, \cdots)$ ，且 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_{n}$ 条件收敛。若设 $v_{n}=3 u_{2 n-1}-u_{2 n} (n=1,2,3, \cdots)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ （A）发散． （B）条件收敛。 （C）绝对收敛。 （D）收敛或发散取决于 $\left\{u_{n}\right\}$ 的具体形式．
621
📝 有解析
第621题
### 第621题 a_{n}$ 和 $b_{n}$ 符合下列哪一个条件，可由 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散推得 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散． （A）$a_{n} \leqslant b_{n}$ ． （B）$\left|a_{n}\right| \leqslant b_{n}$ ． （C）$a_{n} \leqslant\left|b_{n}\right|$ ． （D）$\left|a_{n}\right| \leqslant\left|b_{n}\right|$ ．$
622
📝 有解析
第622题
### 第622题 在命题 （1）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛。 （2）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛且 $n \rightarrow \infty$ 时 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ 是等价无穷小，则 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛。 （3）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle a_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right)(n \rightarrow \infty)$ 。 （4）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，又 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 绝对收敛。 中正确的是 （A）（1）． （B）（2）． （C）（3）． （D）
624
📝 有解析
第624题
### 第624题 设 $a>0$ 为常数，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \cdot \frac{a^{n}}{1+a^{n}}$ 条件收敛，则 $a$ 的取值范围是 （A）$a \in(0,+\infty)$ ． （B）$a \in(0,1]$ ． （C）$a \in[1,+\infty)$ ． （D）$\displaystyle a \in\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$ ．设 $\alpha, \beta, \gamma$ 均为大于 1 的常数，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{\gamma}+\alpha^{n}}{n^{\alpha}+\ln ^{\beta} n+\gamma^{n}}$
626
📝 有解析
第626题
### 第626题 设正数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，且交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 发散，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(\frac{1}{a_{n}+1}\right)^{n}$ （A）发散． （B）条件收敛． （C）绝对收敛。 （D）玫散性不能仅由题设条件确定．
627
📝 有解析
第627题
### 第627题 在如下四个级数 （1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\ln n}{n}$ ． （2）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\left(\sin n^{2}\right) \ln ^{3} n}{\sqrt[3]{n^{4}+1}}$ ． （3）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}-(-1)^{n}}$ ． （4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right)$ ． 中，条件收敛的级数是 （A）（1），（2）． （B）（2），（3）． （C）（3），（4）． （D）（1），（4）．
628
📝 有解析
第628题
### 第628题 下列四个级数中，发散的级数是 （A）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln \ln n}}$ ． （B）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{2^{n}}$ ． （C）$\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \ln ^{\alpha} n(\ln \ln n)^{\beta}}$（其中 $\alpha>1, \beta>0$ ）． （D）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \sin \left[\left(n+\frac{1}{\ln n}\right) \pi\right]$ ．
629
📝 有解析
第629题
### 第629题 设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n!)}{n^{p}}$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是 （A）$p>1$ ． （B）$p>2$ ． （C） $0\frac{1}{2}$ ．
630
📝 有解析
第630题
### 第630题 设 $f(x)$ 有连续的一阶导数且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=a>0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$ （A）发散． （B）绝对收敛． （C）条件收敛。 （D）敛散性与 $a$ 有关．
631
📝 有解析
第631题
### 第631题 若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛域是 $(-8,8]$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n} x^{n}}{n(n-1)}$ 的收敛半径及 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{3 n}$ 的收敛域分别是 （A） $8,(-2,2]$ ． （B） $8,[-2,2]$ ． （C） $4,(-2,2]$ ． （D） $8,[-2,2)$ ．
632
📝 有解析
第632题
### 第632题 级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{3^{n}}$ 的和 $S=$ （A）$\displaystyle \frac{3}{32}$ ． （B）$\displaystyle \frac{3}{16}$ ． （C）$\displaystyle \frac{3}{8}$ ． （D）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ． ## $\sigma^{\circ}$
纠错笔记
纠错笔记
633
📝 有解析
第633题
### 第633题 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n(n+1)}$ 的和函数 $S(x)=$ （A） $\displaystyle \ln (1-x)+\frac{1}{x} \ln (1-x)+1 \quad(-1 \leqslant x<1, x \neq 0)$ ． （B） $\displaystyle \ln (1+x)+\frac{1}{x} \ln (1-x)+1 \quad(-1
634
📝 有解析
第634题
### 第634题 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1-\cos x}{x^{2}}, & x \neq 0 \\ \frac{1}{2}, & x=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处六阶导数 $f^{(6)}(0)$ （A）不存在． （B）等于 $\displaystyle -\frac{1}{6}$ ． （C）等于 $\displaystyle \frac{1}{56}$ ． （D）等于 $\displaystyle -\frac{1}{56}$ ．
635
📝 有解析
第635题
### 第635题 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+1, & 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2} \\ x-1, & \frac{1}{2}
637
📝 有解析
第637题
### 第637题 直线 $\displaystyle L: \frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-3}{1}$ 与平面 $\Pi: x-y+2 z+4=0$ 的夹角为 （A）$\pi$ ． （B）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ． 638直线 $L$ 为 $\left\{\begin{array}{l}x+3 y+2 z+1=0 \\ 2 x-y-10 z+3=0\end{array}\right.$ ，平面 $\Pi$ 为 $4 x-2 y+z-2=0$ ，则
639
📝 有解析
第639题
### 第639题 点 $M_{1}(0,1,-1)$ 到直线 $\displaystyle L: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+1}{1}$ 的距离 $d=$ （A）$\sqrt{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ ． （D）$\sqrt{3}$ ． 答题 区 纠错笔记设 $\left|\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right| \neq 0$ ，则直线 $\displaystyle L_{3}: \frac{x-a_{3}}{a_{1}-a_{2}}=\frac{y-b_{3}}{b_{1}-b_{2}}=\frac{z-c_{3}}{c_{1}-c_{2}}$ 与直线 $\displaystyle L_{1}: \frac{x-a_{1}}{a_{2}-a_{3}}= \frac{y-b_{1}}{b_{2}-b_{3}}=\frac{z-c_{1}}{c_{2}-c_{3}}$ 是
641
📝 有解析
第641题
### 第641题 设有空间区域 $\Omega_{1}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, z \geqslant 0$ ；及 $\Omega_{2}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ， $z \geqslant 0$ ，则 （A） $\iiint_{\Omega_{1}} x \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} x \mathrm{~d} v$. （B） $\iiint_{\Omega_{1}} y \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} y \mathrm{~d} v$. （C） $\iiint_{\Omega_{1}} z \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} z \mathrm{~d} v$ ． （D） $\iiint_{\Omega_{1}} x y z \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} x y z \mathrm{~d} v$ ．
642
📝 有解析
第642题
### 第642题 设 $\Omega$ 是由曲面 $z=x^{2}+y^{2}, y=x, y=0, z=1$ 在第一卦限所围成的区域，$f(x, y$ ， $z)$ 在 $\Omega$ 上连续，则 $\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v$ 等于 （A） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{1-y^{2}}} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}+y^{2}}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$. （B） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} x \int_{y}^{\sqrt{1-y^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{x^{2}+y^{2}}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ ． （C） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{1-y^{2}}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ ． （D） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{1-y^{2}}} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}+y^{2}}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ ．
643
📝 有解析
第643题
### 第643题 设 $f(x)$ 有连续的导数，$f(0)=0$ ，区域 $\Omega$ 由柱面 $x^{2}+y^{2}=t^{2}(t>0)$ 和两平面 $z= 0, z=1$ 所围成，则 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^{4}} \iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} v$ 等于 （A）$\pi f^{\prime}(0)$ ． （B）$\pi f(0)$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{2} f(0)$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi}{2} f^{\prime}(0)$ ．
644
📝 有解析
第644题
### 第644题 下列结论 （1）$\oint_{x^{2}+y^{2}=a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} s=a^{2} \oint_{x^{2}+y^{2}=a^{2}} \mathrm{~d} s=2 \pi a^{3}$ ． （2） $\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=a^{2} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}} \mathrm{~d} \sigma=\pi a^{4}$ ． （3）$\oiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S=a^{2} \oiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}} \mathrm{~d} S=4 \pi a^{4}$ ． （4） $\displaystyle \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} v=a^{2} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}} \mathrm{~d} v=\frac{4}{3} \pi a^{5}$ ． 中正确的条数为 （A） 1 条。 （B） 2 条． （C） 3 条． （D） 4 条．
645
📝 有解析
第645题
### 第645题 设 $C_{k}(k=1,2,3)$ 分别为曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1, \frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1, x^{2}+y^{2}=2$ ，其方向为逆时针方向，$I_{k}=\oint_{C_{k}}\left(3 y x^{2}+y^{3}\right) \mathrm{d} x+(3 x+y) \mathrm{d} y(k=1,2,3)$ ．则 （A）$I_{1}
646
📝 有解析
第646题
### 第646题 设曲线 $L$ 为椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ，其周长为 $l$ ，则 $\oint_{L}(b x+a y)^{2} \mathrm{~d} s$ 等于 （A）$(a+b) l$ ． （B）$\left(a^{2}+b^{2}\right) l$ ． （C）$a^{2} b^{2} l$ ． （D）$a b l$ ． 答题 区
647
📝 有解析
第647题
### 第647题 设 $L$ 是以 $A(1,0), B(0,1), C(-1,0), D(0,-1)$ 为顶点的正方形边界，则 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x+y+1}{|x|+|y|} \mathrm{d} s$ 等于 （A） $4 \sqrt{2}$ ． （B） 0 ． （C） $2 \sqrt{2}$ ． （D） 4 ． ## －纠错笔记
648
📝 有解析
第648题
### 第648题 在力场 $\displaystyle \boldsymbol{F}=\frac{y^{3} \boldsymbol{i}-x^{3} \boldsymbol{j}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ 的作用下，一质点沿圆周 $x^{2}+y^{2}=1$ 逆时针运动一圈所做的功为 （A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{3 \pi}{2}$ ． （C）$\displaystyle -\frac{\pi}{2}$ ． （D）$\displaystyle -\frac{3 \pi}{2}$ ．
651
📝 有解析
第651题
### 第651题 下列曲线积分 （1） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ ． （2） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ． （3） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ． （4） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ ． 中，在平面 $D: x^{2}+y^{2}>0$ 上与路径无关的有 （A） 1 个． （B） 2 个． （C） 3 个． （D） 4 个．
652
📝 有解析
第652题
### 第652题 设曲线 $L: f(x, y)=1(f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数），过第 II 象限内的点 $M$ 和第 IV 象限内的点 $N, \Gamma$ 为 $L$ 上从点 $M$ 到点 $N$ 的一段弧，则下列积分小于零的是 （A） $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （B） $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （C） $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} s$ ． （D） $\int_{\Gamma} f_{x}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} x+f_{y}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y$ ．
653
📝 有解析
第653题
### 第653题 设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ 上半部分的上侧，则下列结论不正确的是 （A） $\iint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ． （B） $\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ． （C） $\iint_{\Sigma} y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ． （D） $\iint_{\Sigma} y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ． 答题 区
654
📝 有解析
第654题
### 第654题 设有曲线 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ ，从 $x$ 轴正向看去为逆时针方向，则 $\oint_{\Gamma} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ 等于 （A）$\sqrt{2} \pi a^{2}$ ． （B）$-\sqrt{2} \pi a^{2}$ ． （C）$-\sqrt{3} \pi a^{2}$ ． （D）$\sqrt{3} \pi a^{2}$ ．
655
📝 有解析
第655题
### 第655题 函数 $f(x, y, z)=x^{2} y^{3}+3 y^{2} z^{3}$ 在点 $(0,1,1)$ 处方向导数的最大值为 （A）$\sqrt{107}$ ． （B）$\sqrt{117}$ ． （C） 117 ． （D） 107 ．
658
📝 有解析
第658题
### 第658题 过点 $(1,0,0),(0,1,0)$ ，且与曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 相切的平面为 （A）$z=0$ 与 $x+y-z=1$ ． （B）$z=0$ 与 $2 x+2 y-z=2$ ． （C）$x=y$ 与 $x+y-z=1$ ． （D）$x=y$ 与 $2 x+2 y-z=2$ ． 答题 区
659
📝 有解析
第659题
### 第659题 曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,-1,0)$ 处的切线方程为 （A）$\displaystyle \frac{x-1}{2}=y+1=z$ ． （B）$\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}$ ． （C）$\displaystyle \frac{x-1}{-1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{1}$ ． （D）$\displaystyle x-1=y+1=-\frac{z}{2}$ ．
660
📝 有解析
第660题
### 第660题 函数 $f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 在点 $(1,-1,1)$ 处沿曲线 $x=t, y=-t^{2}, z=t^{3}$ 在该点指向 $x$ 轴负向一侧的切线方向的方向导数等于 （A）-12 ． （B） 12 ． （C）$\displaystyle -\frac{12}{\sqrt{14}}$ ． （D）$\displaystyle \frac{12}{\sqrt{14}}$ ． □
1
📝 有解析
第1题
## 第1题 (高等数学 - 未知) 设函数 $f(x)$ 为定义在 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数，且 $\forall x \in(-\infty,+\infty), f(x+2)- f(x)=f(2)$ ，若 $f(x)$ 是以 2 为周期的周期函数，则 $f(1)=$
2
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第2题
## 第2题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}4-x^{2}, & |x| \leqslant 2 \\ 0, & |x|>2\end{array}\right.$ ，则 $f(f(x))=$ $\_\_\_\_$ . ## □ 纠错笔记
3
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第3题
## 第3题 (高等数学 - 填空题) 设 $\displaystyle f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 3} f(x)=$ $\_\_\_\_$ ． ## 数学基础过关 660 题•数学一（习题 $\displaystyle 4 \quad I=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sin \frac{2}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^{x \cos \sqrt{\frac{x+1}{x^{2}}}}=$ 答题区 纠错笔记
4
📝 有解析
第4题
## 第4题 (线性代数 - 选择题) 设 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 是非齐次线性方程组， $\boldsymbol{\eta}_{1}, \boldsymbol{\eta}_{2}$ 是其任意两个解，则下列结论错误的是 （A） $\boldsymbol{\eta}_{1}+\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个解． （B）$\displaystyle \frac{1}{2} \boldsymbol{\eta}_{1}+\frac{1}{2} \boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的一个解． （C） $\boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个解． （D） $2 \boldsymbol{\eta}_{1}-\boldsymbol{\eta}_{2}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的一个解．
5
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第5题
## 第5题 (高等数学 - 填空题) I=$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[6]{x^{6}+x^{5}}-\sqrt[6]{x^{6}-x^{5}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
6
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第6题
## 第6题 (高等数学 - 填空题) \quad I=$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \sin x^{2}-2(1-\cos x) \sin x}{x^{4}}=$ $\_\_\_\_$ ．
7
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第7题
## 第7题 (高等数学 - 填空题) I=$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x}) \cdots(1-\sqrt[n]{\cos x})}{(1-\cos x)^{n-1}}=$ $\_\_\_\_$ ．
8
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第8题
## 第8题 (高等数学 - 填空题) I=$\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\mathrm{e}^{x^{2}}+x^{3}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}=$ $\_\_\_\_$ ．
9
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第9题
## 第9题 (高等数学 - 填空题) I=$\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{x^{2}}^{x} \frac{\sin (x t)}{t} \mathrm{~d} t}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ，$ －纠错笔记$
10
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第10题
## 第10题 (高等数学 - 填空题) $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}\left(2^{\frac{1}{x}}-2^{\frac{1}{x+1}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
11
📝 有解析
第11题
## 第11题 (高等数学 - 填空题) 设 $\alpha>0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x^{2}+x\right)^{x^{\alpha}}=$ $\_\_\_\_$ ．
12
📝 有解析
第12题
## 第12题 (高等数学 - 填空题) 数列极限 $\displaystyle I=\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\arctan \frac{2}{n}-\arctan \frac{2}{n+1}\right)=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区
13
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第13题
## 第13题 (高等数学 - 填空题) 设 $\displaystyle x_{0}=0, x_{n}=\frac{1+2 x_{n-1}}{1+x_{n-1}}(n=1,2,3, \cdots)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=$ $\_\_\_\_$ ．
14
📝 有解析
第14题
## 第14题 (高等数学 - 填空题) 设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right)}{x}=3$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ． ## ✓ 纠错笔记
15
📝 有解析
第15题
## 第15题 (高等数学 - 填空题) 设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1-x)+x f(x)}{x^{2}}=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-1}{x}=$ $\_\_\_\_$ ． ## －纠错笔记
16
📝 有解析
第16题
## 第16题 (高等数学 - 填空题) 设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 连续，且 $f(1)=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \ln \left[2+f\left(x^{\frac{1}{x}}\right)\right]=$ $\_\_\_\_$。
17
📝 有解析
第17题
## 第17题 (高等数学 - 填空题) 设 $a, b$ 为常数，且 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt[3]{1-x^{6}}-a x^{2}-b\right)=0$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．
18
📝 有解析
第18题
## 第18题 (高等数学 - 填空题) 设 $a, b, p$ 为非零常数，则 $\displaystyle I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a+b \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{a-b \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}} \cdot \frac{\sin p x}{|x|}=$ $\_\_\_\_$ ． 19当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\displaystyle \frac{1}{3^{n}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}$ 的等价无穷小形式为 $\mathrm{e}^{\alpha}(\beta \mathrm{e})^{n}$ ，则 $\alpha=$ $\_\_\_\_$ ，$\beta=$ $\_\_\_\_$。
20
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第20题
## 第20题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)$ 连续，当 $x \rightarrow a$ 时，$f(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小，则当 $x \rightarrow a$ 时 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的 $\_\_\_\_$阶无穷小。（填阶数） ◯纠错笔记
21
📝 有解析
第21题
## 第21题 (高等数学 - 填空题) 已知当 $x \rightarrow 0$ 时 $F(x)=\int_{0}^{x-\sin x} \ln (1+t) \mathrm{d} t$ 是 $x^{n}$ 的同阶无穷小，则 $n=$ $\_\_\_\_$ ．
22
📝 有解析
第22题
## 第22题 (高等数学 - 填空题) 设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x(b \cos x-1)}{\mathrm{e}^{x}+a}, & x>0 \\ \frac{\sin x}{\ln (1+3 x)}, & x<0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 点极限存在，则 $a, b$ 分别为 $\_\_\_\_$。
23
📝 有解析
第23题
## 第23题 (高等数学 - 填空题) 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}6, & x \leqslant 0 \\ \frac{\mathrm{e}^{a x^{3}}-1}{x-\arcsin x}, & x>0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{3 \sin (x-1)}{x-1}, & x<1 \\ \mathrm{e}^{b x}+1, & x \geqslant 1\end{array}\right.\right.$ ， 若 $f(x)+g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 连续，则 $a=$ $\_\_\_\_$且 $b=$ $\_\_\_\_$。
24
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第24题
## 第24题 (高等数学 - 填空题) 设 $\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-b}{(x-a)(x-b)}$ 有无穷间断点 $x=\mathrm{e}$ ，可去间断点 $x=1$ ，则 $(a, b)=$ $\_\_\_\_$ ．
25
📝 有解析
第25题
## 第25题 (高等数学 - 填空题) 设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x+x^{2} \mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}}$ ，则 $f(x)$ 的连续区间是 $\_\_\_\_$ ． ## ✓ 纠错笔记
26
📝 有解析
第26题
## 第26题 (高等数学 - 填空题) 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\arctan x, & x \leqslant 1 \\ \frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x^{2}-1}-x\right)+\frac{\pi}{4}, & x>1\end{array}\right.$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ． ## （－）纠错笔记
27
📝 有解析
第27题
## 第27题 (高等数学 - 填空题) 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\ln (1+b x)}{x}, & x \neq 0 \\ -1, & x=0\end{array}\right.$ ，其中 $b$ 为某常数，$f(x)$ 在定义域上处处可导，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ． ## 数学基础过关660题•数学一（习题册）
28
📝 有解析
第28题
## 第28题 (高等数学 - 填空题) 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \leqslant 0 \\ x^{\alpha} \sin \frac{1}{x}, & x>0\end{array}\right.$ ，若 $f(x)$ 可导，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$ ；若 $f^{\prime}(x)$ 连续，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$ ． 答题 区
29
📝 有解析
第29题
## 第29题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且是偶函数，$f^{\prime}(-2)=-1$ ，则 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{f(5-2 \sin h)-f(5)}=$ $\_\_\_\_$ ．
30
📝 有解析
第30题
## 第30题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导且 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=3$ ，则数列极限 $\displaystyle I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(\frac{1}{n}\right)\right)^{\frac{\frac{1}{n}}{1-\cos \frac{1}{n}}}=$ $\_\_\_\_$ ． ◯纠错笔记
31
📝 有解析
第31题
## 第31题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处二阶导数存在，则 $$ I=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f^{\prime}(a)}{h}= $$ $\_\_\_\_$ ．
32
📝 有解析
第32题
## 第32题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)=x^{\sin x}(x>0)$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
33
📝 有解析
第33题
## 第33题 (高等数学 - 填空题) $f(x)=x^{2}(x+1)^{2}(x+2)^{2} \cdots(x+n)^{2}$ ，则 $f^{\prime \prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ． ## 数学基础过关660题•数学一（习题册）
34
📝 有解析
第34题
## 第34题 (高等数学 - 填空题) 设 $y=y(x)$ 由参数方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2} \ln \left(1+t^{2}\right) \\ y=\arctan t\end{array}\right.$ 确定，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=$ $\_\_\_\_$ ， $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．$y=y(x)$ 在任意点处的曲率 $K=$ $\_\_\_\_$ ．
35
📝 有解析
第35题
## 第35题 (高等数学 - 填空题) 设 $y=y(x)$ 由方程 $y=\sin (x+y)$ 确定，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
36
📝 有解析
第36题
## 第36题 (高等数学 - 填空题) 曲线 $y=\ln x$ 上与直线 $x+y=2$ 垂直的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．
37
📝 有解析
第37题
## 第37题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)=\int_{0}^{x} \ln (1+\sin t) \mathrm{d} t$ ，则 $f^{\prime \prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区
38
📝 有解析
第38题
## 第38题 (高等数学 - 填空题) 设函数 $y=y(x)$ 为由方程 $x^{2}+\int_{0}^{y}\left(2+\sin t^{2}\right) \mathrm{d} t=1$ 确定的隐函数，则 $\mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$。
39
📝 有解析
第39题
## 第39题 (高等数学 - 填空题) 设 $y=y(x)$ 在 $(-1,1)$ 二阶可导，满足方程：$\displaystyle \left(1-x^{2}\right) \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}-x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+a^{2} y=0$ ，作变量替换 $x=\sin t$ 后，$y$ 作为 $t$ 的函数满足的方程是 $\_\_\_\_$ ．
40
📝 有解析
第40题
## 第40题 (高等数学 - 填空题) 设 $\displaystyle f(x)=\ln \frac{1-2 x}{1+3 x}, n \geqslant 2$ ，则 $f^{(n)}(0)=$ $\_\_\_\_$ ． （－）纠错笔记
41
📝 有解析
第41题
## 第41题 (高等数学 - 填空题) 曲线 $x=\cos ^{3} t, y=\sin ^{3} t$ 在 $t=t_{0}$ 相应的点曲率最小，则在该点处的曲率半径为 $\_\_\_\_$。 （ ）纠错笔记
42
📝 有解析
第42题
## 第42题 (高等数学 - 填空题) 设 $y=y(x)$ 是由方程 $2 y^{3}-2 y^{2}+2 x y-x^{2}=1$ 确定的，则 $y=y(x)$ 的极值点是 $\_\_\_\_$。 （－）纠错笔记
43
📝 有解析
第43题
## 第43题 (高等数学 - 填空题) 函数 $\displaystyle y=\frac{(x-3)^{2}}{4(x-1)}$ 的单调增区间是 $\_\_\_\_$ ，单调减区间是 $\_\_\_\_$ ，极值是 $\_\_\_\_$ ，凹区间是 $\_\_\_\_$ ，凸区间是 $\_\_\_\_$ ． 答题 区
44
📝 有解析
第44题
## 第44题 (高等数学 - 填空题) 设 $(1,3)$ 是曲线 $y=x^{3}+a x^{2}+b x+14$ 的拐点，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．
45
📝 有解析
第45题
## 第45题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)=3 x^{2}+A x^{-3}(x>0), A$ 为正常数，则 $A$ 至少为 $\_\_\_\_$时，有 $f(x) \geqslant 20(x>0)$ ． □
46
📝 有解析
第46题
## 第46题 (高等数学 - 填空题) 函数 $f(x)=\left|4 x^{3}-18 x^{2}+27\right|$ 在 $[0,2]$ 上的最小值等于 $\_\_\_\_$ ，最大值等于 $\_\_\_\_$。
47
📝 有解析
第47题
## 第47题 (高等数学 - 填空题) 设有界函数 $f(x)$ 在 $(c,+\infty)$ 内可导，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=b$ ，则 $b=$ $\_\_\_\_$ ． ◯纠错笔记48 曲线 $\displaystyle y=\sqrt{4 x^{2}+x} \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)$ 的全部渐近线是 $\_\_\_\_$ ． 答题 区
49
📝 有解析
第49题
## 第49题 (高等数学 - 填空题) 设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}-1}=2$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的法线方程为 $\_\_\_\_$ ．
50
📝 有解析
第50题
## 第50题 (高等数学 - 填空题) 设 $y=y(x)$ 二阶可导，且 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(4-y) y^{\beta}(\beta>0)$ ，若 $y=y(x)$ 的一个拐点是 $\left(x_{0}\right.$ ， $3)$ ，则 $\beta=$ $\_\_\_\_$ ． ## □ 纠错笔记
51
📝 有解析
第51题
## 第51题 (高等数学 - 填空题) $\int f^{\prime}\left(\mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x=-(1+x) \mathrm{e}^{-x}+C, f(1)=0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
52
📝 有解析
第52题
## 第52题 (高等数学 - 未知) I=$\displaystyle \int \sqrt{\frac{3-2 x}{3+2 x}} \mathrm{~d} x=$
53
📝 有解析
第53题
## 第53题 (高等数学 - 填空题) I=$\displaystyle \int \frac{\sqrt{x+1}+2}{(x+1)^{2}-\sqrt{x+1}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
54
📝 有解析
第54题
## 第54题 (高等数学 - 填空题) I=$\displaystyle \int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{x}}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
55
📝 有解析
第55题
## 第55题 (高等数学 - 填空题) I=$\displaystyle \int \frac{x^{4}+1}{1+x^{6}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
56
📝 有解析
第56题
## 第56题 (高等数学 - 填空题) $\displaystyle I=\int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
57
📝 有解析
第57题
## 第57题 (高等数学 - 填空题) I=$\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{x^{4}+1}}=$ $\_\_\_\_$ ．
58
📝 有解析
第58题
## 第58题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)=x^{2}-x \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x+2 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$。 ✓ 纠错笔记
59
📝 有解析
第59题
## 第59题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)$ 有一阶导数且满足 $\int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t=f(x)+x \sin x$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$。 ## （J）纠错笔记
60
📝 有解析
第60题
## 第60题 (高等数学 - 填空题) I=$\displaystyle \int_{0}^{2}\left(x \sqrt{2 x-x^{2}}-\sqrt{\left(1-\frac{1}{4} x^{2}\right)^{3}}\right) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
61
📝 有解析
第61题
## 第61题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)$ 为连续函数，$\varphi$ 为常数， $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(\sin (x+\varphi)) \mathrm{d} x=A \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$ ，则 $A=$ $\_\_\_\_$。 －纠错笔记
62
📝 有解析
第62题
## 第62题 (高等数学 - 填空题) $f(x)=$\left\{\begin{array}{cc}x \mathrm{e}^{-x^{2}}, & x \geqslant 0 \\ \frac{1}{1+\cos x}, & -1
63
📝 有解析
第63题
## 第63题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)$ 是定义于 $x \geqslant 1$ 的正值连续函数，则 $$ F(x)=\int_{1}^{x}\left[\left(\frac{2}{x}+\ln x\right)-\left(\frac{2}{t}+\ln t\right)\right] f(t) \mathrm{d} t(x \geqslant 1) $$ 的极小值点是 $x=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区 □
64
📝 有解析
第64题
## 第64题 (高等数学 - 填空题) 定积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x|\sin x \cos x|}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
65
📝 有解析
第65题
## 第65题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)=\max \left\{1, x^{2}\right\}$ ，则 $\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t=$ $\_\_\_\_$ ． □
66
📝 有解析
第66题
## 第66题 (高等数学 - 填空题) 在曲线 $y=x^{2}(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 上取一点 $\left(t, t^{2}\right)(0
67
📝 有解析
第67题
## 第67题 (高等数学 - 填空题) $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \sqrt{2 x^{2}-1}}=$ $\_\_\_\_$ ．
68
📝 有解析
第68题
## 第68题 (高等数学 - 填空题) I=$\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left[\frac{2 x^{2}+b x+a}{x(2 x+a)}-1\right] \mathrm{d} x=1$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．
69
📝 有解析
第69题
## 第69题 (高等数学 - 填空题) $$ $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x \mathrm{e}^{-x}}{\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x=$ $$ $\_\_\_\_$ ． □
70
📝 有解析
第70题
## 第70题 (高等数学 - 填空题) 摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ 与 $x$ 轴围成图形绕 $y=2 a$ 旋转一周而得旋转体的体积 $V=$ $\_\_\_\_$ ． □
71
📝 有解析
第71题
## 第71题 (高等数学 - 填空题) 设星形线方程为 $$ $\left\{\begin{array}{l}$ x=a \cos ^{3} t \\ y=a \sin ^{3} t $\end{array}\right.$ $$ 则它所围成的面积 $A$ 为 $\_\_\_\_$ ，它的弧长 $L$ 为 $\_\_\_\_$ ，它绕 $x$ 轴旋转而生成的旋转体体积 $V$ 为 $\_\_\_\_$ ，该旋转体的侧面积 $S=$ $\_\_\_\_$。
72
📝 有解析
第72题
## 第72题 (高等数学 - 填空题) 设有曲线 $y=\sqrt{x-1}$ ，过原点作其切线，则以曲线、切线及 $x$ 轴所围成平面图形绕 $x$轴旋转一圈所得到的表面积为 $\_\_\_\_$。 答题 区 □
73
📝 有解析
第73题
## 第73题 (高等数学 - 填空题) 已知抛物叶形线的一部分： $$ y^{2}=\frac{x}{9}(3-x)^{2}(0 \leqslant x \leqslant 3) $$ 如图所示，它围成的图形为 $M$ ，则 $M$ 的面积 $A=$ $\_\_\_\_$ ，$M$ 的质心 （形心）$(\bar{x}, \bar{y})=$ $\_\_\_\_$ ．
74
📝 有解析
第74题
## 第74题 (高等数学 - 填空题) 在水平放置的椭圆底柱形容器内储存某种液体，容器的尺寸如图所示，其中椭圆方程为 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$（单位： m ），则当液面过点 $(0, y)(-1 \leqslant y \leqslant 1)$ 处水平线时，容器内液体的体积是 $\_\_\_\_$ ，当容器内储满了液体后，以 $0.16 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}$ 的速度将液体从容器顶端抽出，则当液面降至 $y=0$ 时，液面下降的速度为 $\_\_\_\_$ ，如果 液体的密度为 $1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$ ，抽出全部液体所做的功为 $\_\_\_\_$。
75
📝 有解析
第75题
## 第75题 (高等数学 - 填空题) 设无穷长直线 $L$ 的线密度为 1 ，引力常数为 $k$ ，则 $L$ 对距直线为 $a$ 的单位质点 $A$ 的引力为 $\_\_\_\_$。 □
76
📝 有解析
第76题
## 第76题 (高等数学 - 填空题) 设 $y=y(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 可导，在 $\forall x \in(0,+\infty)$ 处的增量 $\Delta y=y(x+\Delta x)-y(x)$ 满足 $\displaystyle \Delta y(1+\Delta y)=\frac{y \Delta x}{1+x}+\alpha$ ，其中 $\alpha$ 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时是与 $\Delta x$ 等价的无穷小，又 $y(0)=1$ ．则 $y(x)=$ $\_\_\_\_$。 □
77
📝 有解析
第77题
## 第77题 (高等数学 - 填空题) 设 $a>0$ 是常数，连续函数 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=b, y=y(x)$ 是微分方程 $$ y^{\prime \prime}+a y^{\prime}=f(x) \quad(x \in[0,+\infty)) $$ 的解，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ， $\lim _{x \rightarrow+\infty} y^{\prime \prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
78
📝 有解析
第78题
## 第78题 (高等数学 - 填空题) 若通过点 $(1,0)$ 的曲线 $y=y(x)$ 上每一点 $(x, y)$ 处切线的斜率等于 $\displaystyle 1+\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}$ ，则此曲线的方程是 $\_\_\_\_$。 答题区 □
79
📝 有解析
第79题
## 第79题 (高等数学 - 填空题) 当 $y>0$ 时，微分方程 $\left(x-2 x y-y^{2}\right) \mathrm{d} y+y^{2} \mathrm{~d} x=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．
80
📝 有解析
第80题
## 第80题 (高等数学 - 填空题) 设 $y=y(x)$ 是微分方程 $\left(3 x^{2}+2\right) y^{\prime \prime}=6 x y^{\prime}$ 的一个特解，且当 $x \rightarrow 0$ 时 $y(x)$ 是与 $\mathrm{e}^{x}-1$ 等价的无穷小量，则该特解是 $\_\_\_\_$ ． □
81
📝 有解析
第81题
## 第81题 (高等数学 - 填空题) 方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=(6 x+2) \mathrm{e}^{x}$ 满足 $y(0)=3, y^{\prime}(0)=0$ 的特解 $y^{*}=$ $\_\_\_\_$ ． □
82
📝 有解析
第82题
## 第82题 (高等数学 - 填空题) 已知连续函数 $f(x)$ 满足 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x+\sin x+\int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{d} t$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区
83
📝 有解析
第83题
## 第83题 (高等数学 - 填空题) 设 $y=y(x)$ 是二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+2 m y^{\prime}+n^{2} y=0$ 满足 $y(0)=a$ 与 $y^{\prime}(0) =b$ 的特解，其中 $m>n>0$ ，则 $\int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区
84
📝 有解析
第84题
## 第84题 (高等数学 - 填空题) 已知 $y_{1}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}, y_{2}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}, y_{3}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{-x}$ 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，则此微分方程为 $\_\_\_\_$ ． □
85
📝 有解析
第85题
## 第85题 (高等数学 - 填空题) 设 $u=u\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\left(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0\right)$ 有二阶连续的偏导数，且满足 $$ $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}-\frac{1}{x} \frac{\partial u}{\partial x}+u=x^{2}+y^{2}$ $$ 则 $u\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
86
📝 有解析
第86题
## 第86题 (高等数学 - 填空题) 设 $\displaystyle f(x, y)=\frac{x^{2}+y^{2}}{\mathrm{e}^{x y}+x y \sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ，则 $f_{x}^{\prime}(1,0)=$ $\_\_\_\_$ ．
87
📝 有解析
第87题
## 第87题 (高等数学 - 填空题) 设 $z=\mathrm{e}^{x}+y^{2}+f(x+y)$ ，且当 $y=0$ 时，$z=x^{3}$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$。 ## Q
纠错笔记 ## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）
纠错笔记 ## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）
88
📝 有解析
第88题
## 第88题 (高等数学 - 填空题) 设 $z=(x-2 y)^{y-2 x}$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\substack{x=1 \\ y=0}}=$ $\_\_\_\_$ ． 纠错笔记 89 设 $f(x, y)=\ln |x+y|-\sin (x y)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}$ 在点 $(1, \pi)$ 处的值为 $\_\_\_\_$ ． －纠错笔记
90
📝 有解析
第90题
## 第90题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(u, v)$ 是二元可微函数，$z=f\left(x^{y}, y^{2 x}\right)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=$ $\_\_\_\_$ ． 答题区 □
91
📝 有解析
第91题
## 第91题 (高等数学 - 填空题) 设 $z=\mathrm{e}^{x y}+f(x+y, x y), f(u, v)$ 有二阶连续偏导数，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区 －纠错笔记
92
📝 有解析
第92题
## 第92题 (高等数学 - 填空题) 已知函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,2)$ 处可微，且 $f(1,2)=1, f_{x}^{\prime}(1,2)=2$ ， $f_{y}^{\prime}(1,2)=3$ ，设函数 $\varphi(x)=f(x, 2 f(x, 2 x))$ ，则 $\varphi^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ．
93
📝 有解析
第93题
## 第93题 (高等数学 - 填空题) 设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，且满足 $\displaystyle 4 \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}}-\frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}}=1$ ，又 $g(x, y)=f\left(x^{2}+\right. \left.y^{2}, x y\right)$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
94
📝 有解析
第94题
## 第94题 (高等数学 - 填空题) 设 $z=\int_{0}^{1}|x y-t| f(t) \mathrm{d} t, 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1$ ，其中 $f(x)$ 为连续函数，则 $z_{x x}^{\prime \prime}+z_{y y}^{\prime \prime}=$ $\_\_\_\_$ ．
95
📝 有解析
第95题
## 第95题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x), g(x)$ 可微，$u(x, y)=f(2 x+5 y)+g(2 x-5 y)$ ，且满足 $u(x, 0)=\sin 2 x$ ， $u_{y}^{\prime}(x, 0)=0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ． C）答题区
96
📝 有解析
第96题
## 第96题 (高等数学 - 填空题) 设 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=x+y$ ，且 $f(x, 0)=x, f(0, y)=y^{2}$ ，则 $f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．
97
📝 有解析
第97题
## 第97题 (高等数学 - 填空题) 设连续函数 $z=f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 1}} \frac{f(x, y)-2 x+y-2}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}=0$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}=$ $\_\_\_\_$ ． ## O
纠错笔记
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98
📝 有解析
第98题
## 第98题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-a-b x-c y}{\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)}=1$ ，其中 $a, b, c$ 为常数，则 $\left.\mathrm{d} f(x, y)\right|_{(0,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．
99
📝 有解析
第99题
## 第99题 (高等数学 - 填空题) 设 $\left(a x^{2} y^{2}-2 x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x^{3} y+b x^{2} y+1\right) \mathrm{d} y$ 是一个函数 $f(x, y)$ 的全微分，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ，$f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．
100
📝 有解析
第100题
## 第100题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x, y, z)=\mathrm{e}^{x}+y^{2} z$ ，其中 $z=z(x, y)$ 是由方程 $x+y+z+x y z=0$ 所确定的隐函数，则 $f_{x}^{\prime}(0,1,-1)=$ $\_\_\_\_$ ． □
101
📝 有解析
第101题
## 第101题 (高等数学 - 填空题) 若函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\mathrm{e}^{x+2 y+3 z}+x y z=1$ 确定，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=$ $\_\_\_\_$ ． ✓ 纠错笔记
102
📝 有解析
第102题
## 第102题 (高等数学 - 填空题) 设函数 $f(u, v)$ 可微，$z=z(x, y)$ 由方程 $(x+1) z-y^{2}=x^{2} f(x-z, y)$ 确定，则 $\left.\mathrm{d} \boldsymbol{z}\right|_{(0,1)}=$ $\_\_\_\_$ ．
103
📝 有解析
第103题
## 第103题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)$ 为连续函数，且 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=\int_{x}^{y} f(x+y-t) \mathrm{d} t$ 确定二元函数 $z=z(x, y)$ ，则 $\displaystyle z\left(\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}\right)=$ $\_\_\_\_$ ． □
104
📝 有解析
第104题
## 第104题 (高等数学 - 填空题) 二元函数 $f(x, y)=x^{2}\left(2+y^{2}\right)+y \ln y$ 的极小值为 $\_\_\_\_$ ． Q
105
📝 有解析
第105题
## 第105题 (高等数学 - 填空题) 设方程式 $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x-2 y-4 z-10=0$ 确定某隐函数 $z=z(x, y)>0$ ，则 $z=z(x, y)$ 的极 $\_\_\_\_$值点是 $\_\_\_\_$ ，相应的极值是 $\_\_\_\_$。 答题 区
106
📝 有解析
第106题
## 第106题 (高等数学 - 填空题) 设 $a>0$ ，交换积分次序 $\int_{0}^{a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{a y}} f(x, y) \mathrm{d} x+\int_{a}^{2 a} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2 a-y} f(x, y) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
107
📝 有解析
第107题
## 第107题 (高等数学 - 填空题) 交换积分次序 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{x^{2}} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{3} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\frac{1}{2}(3-x)} f(x, y) \mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
108
📝 有解析
第108题
## 第108题 (高等数学 - 填空题) 将直角坐标系下的累次积分转换成极坐标系下的累次积分并计算 $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2} R} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{y} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x+\int_{\frac{\sqrt{2}}{2} R}^{R} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{R^{2}-y^{2}}} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$。
109
📝 有解析
第109题
## 第109题 (高等数学 - 填空题) 交换积分次序 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r=$ $\_\_\_\_$ ． □
110
📝 有解析
第110题
## 第110题 (高等数学 - 填空题) 计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
111
📝 有解析
第111题
## 第111题 (高等数学 - 填空题) 计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
112
📝 有解析
第112题
## 第112题 (高等数学 - 填空题) 计算 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\arcsin y}^{\pi \arcsin y} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区 □
113
📝 有解析
第113题
## 第113题 (高等数学 - 填空题) 计算 $\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1}\left(x^{2}+2 y\right) \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ． （－）纠错笔记
114
📝 有解析
第114题
## 第114题 (高等数学 - 填空题) 设 $D$ 为圆域 $x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x+2 y$ ，则 $\iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区 ## －纠错笔记
115
📝 有解析
第115题
## 第115题 (高等数学 - 填空题) 设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=$ $\_\_\_\_$ ． □
116
📝 有解析
第116题
## 第116题 (高等数学 - 填空题) 设 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ ，则 $I=\iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
117
📝 有解析
第117题
## 第117题 (高等数学 - 填空题) 已知函数 $f(t)=\int_{0}^{t} \mathrm{~d} x \int_{x}^{t} \mathrm{e}^{t y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，则 $f^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区 －纠错笔记
118
📝 有解析
第118题
## 第118题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x, y)$ 为连续函数，且 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1}{\pi} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+y^{2}$ ，则 $f(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ． －纠错笔记
119
📝 有解析
第119题
## 第119题 (高等数学 - 填空题) 设积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant \mathrm{e}^{2}\right\}$ ，则 $\iint_{D} x^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．
120
📝 有解析
第120题
## 第120题 (高等数学 - 填空题) 设积分区域 $D$ 由曲线 $y=\ln x$ 以及直线 $x=2, y=0$ 围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{e}^{x y}}{x^{x}-1} \mathrm{~d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．
121
📝 有解析
第121题
## 第121题 (高等数学 - 选择题) 设有下列命题 （1）数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛（即存在极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ），则 $x_{n}$ 有界。 （2）数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n+l}=a$ ．其中 $l$ 为某个确定的正整数． （3）数列 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n-1}=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=a$ 。 （4）数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在 $\displaystyle \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}}{x_{n}}=1$ ． 则以上命题中正确的个数是 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．
122
📝 有解析
第122题
## 第122题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle 1
123
📝 有解析
第123题
## 第123题 (高等数学 - 选择题) 有以下命题：设 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow a} g(x)$ 不存在， $\lim _{x \rightarrow a} h(x)$ 不存在， （1） $\lim _{x \rightarrow a}(f(x) \cdot g(x))$ 不存在． （2） $\lim _{x \rightarrow a}(g(x)+h(x))$ 不存在． （3） $\lim _{x \rightarrow a}(h(x) \cdot g(x))$ 不存在． （4） $\lim _{x \rightarrow a}(g(x)+f(x))$ 不存在． 则以上命题中正确的个数是 （A） 0 ． （B） 1 ． （C）2． （D） 3 ． $$ $\begin{gathered}$ x \in(1,2) \cup(2,+\infty) \text {, 则 } f(x) \\ x=2 \end{gathered} $$
125
📝 有解析
第125题
## 第125题 (高等数学 - 选择题) 下列命题中正确的是 （A）若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x) \Rightarrow$ 存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时 $f(x) \geqslant g(x)$ ． （B）若存在 $\delta>0$ 使得当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ 且 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A_{0}$ ， $\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=B_{0}$ 均存在，则 $A_{0}>B_{0}$ ． （C）若存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时 $f(x)>g(x) \Rightarrow \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$ ． （D）若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)>\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x) \Rightarrow$ 存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ ． □ $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{n}\right)\right]^{n}=$
127
📝 有解析
第127题
## 第127题 (高等数学 - 选择题) 当 $n \rightarrow \infty$ 时，数列 $\displaystyle \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-\mathrm{e}$ 是 $\displaystyle \frac{1}{n}$ 的 （A）高阶无穷小。 （B）低阶无穷小。 （C）等价无穷小。 （D）同阶但非等价无穷小。 答题 区
128
📝 有解析
第128题
## 第128题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle u_{n}=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)$ ，则下列命题正确的是 （A） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=0$ ． （B） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=A>0$ ． （C） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}=+\infty$ ． （D） $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}$ 不存在，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n} \neq+\infty$ ．
129
📝 有解析
第129题
## 第129题 (高等数学 - 选择题) $f(x)=$\frac{\sin \pi x}{x-1} \mathrm{e}^{\frac{1}{(x-1)^{3}}}$ ，则当 $x \rightarrow 1$ 时有$ （A） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=-\pi$ ． （B） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$ ． （C） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\infty$ ． （D） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)$ 不存在，且 $\lim _{x \rightarrow 1} f(x) \neq \infty$ \．
130
📝 有解析
第130题
## 第130题 (高等数学 - 选择题) I=$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x \mathrm{e}^{x}\right)-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2} \mathrm{e}^{2 x}}}{x^{4}}=$$ （A） 0 ． （B）$-\frac{1}{6}$ ． （C）$-\frac{1}{8}$ ． （D）$-\frac{1}{12}$ ．$
131
📝 有解析
第131题
## 第131题 (高等数学 - 选择题) 若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2 x-\sqrt{\cos 2 x}}{x^{k}}=a \neq 0$ ，则 （A）$k=2, a=1$ ． （B）$k=-2, a=-1$ ． （C）$k=2, a=-2$ ． （D）$k=2, a=-1$ ．
132
📝 有解析
第132题
## 第132题 (高等数学 - 选择题) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{(1-\cos x) \sin ^{2} x}=$$ （A） 1 ． （B）$\frac{1}{2}$ ． （C）$\frac{1}{3}$ ． （D） 0 ． $$ $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}}{\mathrm{e}^{x}}=$ $$
134
📝 有解析
第134题
## 第134题 (高等数学 - 选择题) 已知 $\displaystyle I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x^{2}+b x+1-\mathrm{e}^{x^{2}-2 x}}{x^{2}}=2$ ，则 （A）$a=5, b=-2$ ． （B）$a=-2, b=5$ ． （C）$a=2, b=0$ ． （D）$a=3, b=-3$ ．
135
📝 有解析
第135题
## 第135题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x-(\sin x) f(x)}{x^{3}}=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{6-f(x)}{x^{2}}=$ （A） 0 ． （B） 35 ． （C） 36 ． （D）$\infty$ ． 答题 区 （J）纠错笔记
136
📝 有解析
第136题
## 第136题 (高等数学 - 选择题) 下列各题计算过程中正确无误的是 （A）数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(\ln n)^{\prime}}{n^{\prime}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$ ． （B） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin \pi x}{3 x^{2}-2 x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\pi \cos \pi x}{6 x-2}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{-\pi^{2} \sin \pi x}{6}=0$ ． （C） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x}}{\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}}{\cos x}$ 不存在． （D） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x+\sin x}{x-\sin x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\cos x}{1-\cos x}=\infty$ ． 答题 区
137
📝 有解析
第137题
## 第137题 (高等数学 - 选择题) $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}+n+1}+\frac{2}{n^{2}+n+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n+n}\right)=$$ （A） 3 ． （B） 2 ． （C）$\frac{2}{3}$ ． （D）$\frac{1}{2}$ ． 答题 区$
138
📝 有解析
第138题
## 第138题 (高等数学 - 选择题) 当 $x \rightarrow 0$ 时下列无穷小中阶数最高的是 （A）$(1+x)^{x^{2}}-1$ ． （B） $\mathrm{e}^{x^{4}-2 x}-1$ ． （C） $\int_{0}^{x^{2}} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ． （D）$\sqrt{1+2 x}-\sqrt[3]{1+3 x}$ ．
139
📝 有解析
第139题
## 第139题 (高等数学 - 选择题) 设 $x \rightarrow a$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 分别是 $x-a$ 的 $n$ 阶与 $m$ 阶无穷小，则下列命题 （1）$f(x) g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n+m$ 阶无穷小。 （2）若 $n>m$ ，则 $\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $x-a$ 的 $n-m$ 阶无穷小． （3）若 $n \leqslant m$ ，则 $f(x)+g(x)$ 是 $x-a$ 的 $n$ 阶无穷小． （4）若 $f(x)$ 连续，则 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是 $x-a$ 的 $n+1$ 阶无穷小． 中，正确的个数是 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．
140
📝 有解析
第140题
## 第140题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)=\int_{0}^{x} t \mathrm{e}^{\sin t} \mathrm{~d} t$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 为无穷小 $x$ 的阶为 （A）一阶。 （B）二阶。 （C）三阶。 （D）四阶．
141
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第141题
## 第141题 (高等数学 - 选择题) 以下函数 $f(g(x))$ 以 $x=0$ 为第二类间断点的是 （A）$f(u)=\ln \left(1+u^{2}\right), g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin ^{2} x+(x+1)^{2}, & x \leqslant 0 \\ x^{2}+1, & x>0\end{array}\right.$ ． （B）$f(u)=\left\{\begin{array}{ll}1-u, & u \leqslant 0 \\ u^{2}+1, & u>0\end{array}, g(x)=2 \cos x-1\right.$ ． （C）$\displaystyle f(u)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln \left(1-u^{2}\right)}{u} \sin \frac{1}{u}, & u<0 \\ 1-\cos \sqrt{u}, & u \geqslant 0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x<0 \\ x+\frac{\pi^{2}}{4}, & x \geqslant 0\end{array}\right.\right.$ ． （D）$\displaystyle f(u)=\mathrm{e}^{u^{2}}+1, g(x)= \begin{cases}\frac{1}{x}, & x<0 \\ 0, & x=0 \\ \sin \frac{1}{x}, & x>0\end{cases}$
142
📝 有解析
第142题
## 第142题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\arctan \frac{x-1}{x}}$ ，则 （A）$x=0$ 与 $x=1$ 都是 $f(x)$ 的第一类间断点。 （B）$x=0$ 与 $x=1$ 都是 $f(x)$ 的第二类间断点． （C）$x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点，$x=1$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点． （D）$x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点，$x=1$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点． 答题 区
143
📝 有解析
第143题
## 第143题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的某邻域内有定义，且 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 间断，则在点 $x_{0}$ 处必定间断的函数是 （A）$f(x) \sin x$ ． （B）$f(x)+\sin x$ ． （C）$f^{2}(x)$ ． （D）$|f(x)|$ ．
144
📝 有解析
第144题
## 第144题 (高等数学 - 选择题) ＂$f(x)$ 在 $x_{0}$ 点连续＂是 $|f(x)|$ 在 $x_{0}$ 点连续的 （A）充分条件，但不是必要条件． （B）必要条件，但不是充分条件． （C）充分必要条件． （D）既不是充分条件，也不是必要条件．
145
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第145题
## 第145题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 连续，则＂存在 $x_{n} \in[a,+\infty)$ ，有 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)= \infty$＂是 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 无界的 （A）充分非必要条件． （B）必要非充分条件． （C）充要条件． （D）既非充分又非必要条件．
146
📝 有解析
第146题
## 第146题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x^{2}}{x^{3}}, & x>0 \\ g(x) \arcsin ^{2} x, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 是有界函数，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处 （A）极限不存在． （B）极限存在，但不连续． （C）连续，但不可导． （D）可导．
147
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第147题
## 第147题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{\mathrm{e}^{x^{2}-1}}, & |x|<1 \\ x^{4}-b x^{2}+c, & |x| \geqslant 1\end{array}\right.$ 可导，则 $(b, c)=$ （A）$(2,1)$ ． （B）$(1,0)$ ． （C）$\displaystyle \left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$ ． （D）$(3,2)$ ．
148
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第148题
## 第148题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{g(x)-\mathrm{e}^{-x}}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 二阶连续可导，且 $g(0)=1, g^{\prime}(0)=-1$ ，则 （A）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)-1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续． （B）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)+1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续． （C）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)-1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上不连续． （D）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)+1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上不连续．
149
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第149题
## 第149题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(0)=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x^{2}\right)}{x^{2}}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导的 （A）充分非必要条件． （B）必要非充分条件． （C）充分必要条件． （D）既非充分又非必要条件．
150
📝 有解析
第150题
## 第150题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且 $f^{\prime}(4)=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1-3 \tan h)}{h}$ 等于 （A） 5 ． （B） 3 ． （C） 4 ． （D） 7 ． 答题 区 ## －纠错笔记
151
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第151题
## 第151题 (高等数学 - 选择题) 设函数 $g(x)$ 在 $x=a$ 点处连续，$f(x)=|x-a| g(x)$ 在 $x=a$ 点处可导，则 $g(a)$满足 （A）$g(a)=a$ ． （B）$g(a) \neq a$ ． （C）$g(a)=0$ ． （D）$g(a) \neq 0$ ． 答题 区
152
📝 有解析
第152题
## 第152题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{3 x}$ ，则 $f^{(n)}(0)=$ （A）$\displaystyle \frac{3^{n}}{n!}$ ． （B）$n^{2} 3^{n-1}$ ． （C） $3^{n-2} n(n-1)$ ． （D） $3^{n-2}(n-1)(n-2)$ ． □
153
📝 有解析
第153题
## 第153题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，则函数 $|f(x)|$ 在点 $x=a$ 处不可导的充分必要条件是 （A）$f(a)=0$ ，且 $f^{\prime}(a)=0$ ． （B）$f(a)=0$ ，且 $f^{\prime}(a) \neq 0$ ． （C）$f(a)>0$ ，且 $f^{\prime}(a)>0$ ． （D）$f(a)<0$ ，且 $f^{\prime}(a)<0$ ．
154
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第154题
## 第154题 (高等数学 - 选择题) 设 $\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f^{\prime}(x)=a$ ，则 （A）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必可导且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=a$ ． （B）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必连续，但未必可导。 （C）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必有极限但未必连续． （D）以上结论都不对。
155
📝 有解析
第155题
## 第155题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 为连续函数，$g(x)=\int_{-x}^{0} t f(x+t) \mathrm{d} t$ ，则 $g^{\prime}(x)=$ （A）$-\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u$ ． （B） $\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u$ ． （C）$-\int_{0}^{-x} f(u) \mathrm{d} u$ ． （D） $\int_{0}^{-x} f(u) \mathrm{d} u$ ． □
156
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第156题
## 第156题 (高等数学 - 选择题) 设常数 $a>1, y=x$ 为曲线 $y=a^{x}$ 的切线，则 （A）$a=\mathrm{e}$ ，切点为 $(\mathrm{e}, \mathrm{e})$ 。 （B）$\displaystyle a=\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}$ ，切点为 $(\mathrm{e}, \mathrm{e})$ ． （C）$a=\mathrm{e}$ ，切点为 $\displaystyle \left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}, \mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}\right)$ 。 （D）$\displaystyle a=\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}$ ，切点为 $\displaystyle \left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}, \mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}\right)$ ．
157
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第157题
## 第157题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(0)=0, f^{\prime}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 为严格单调增函数，则函数 $\displaystyle g(x)=\frac{1-f(x)}{x}$ 在 $(0$ ， $+\infty$ ） （A）有界函数． （B）有极值． （C）单调增函数． （D）单调减函数．
158
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第158题
## 第158题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 可导，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)>0$ ，则 $\exists \delta>0$ ，使得 （A）$f(x)$ 在 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ 单调上升． （B）$f(x)>f\left(x_{0}\right), x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right), x \neq x_{0}$ ． （C）$f(x)>f\left(x_{0}\right), x \in\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ ． （D）$f(x)
159
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第159题
## 第159题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 对一切 $x \in(-\infty,+\infty)$ 满足方程 $(x-1) f^{\prime \prime}(x)+2(x-1)\left[f^{\prime}(x)\right]^{3}= 1-\mathrm{e}^{1-x}$ ，且 $f(x)$ 在 $x=a(a \neq 1)$ 处 $f^{\prime}(a)=0$ ，则 $x=a$ （A）是 $f(x)$ 的极小值点． （B）是 $f(x)$ 的极大值点． （C）不是 $f(x)$ 的极值点． （D）是 $f(x)$ 的拐点．
160
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第160题
## 第160题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(1)=0, \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{(x-1)^{2}}=\frac{1}{2}$ ，则 （A）$f(1)$ 是 $f(x)$ 的极大值． （B）$f(1)$ 是 $f(x)$ 的极小值． （C）$(1, f(1))$ 是曲线 $f(x)$ 的拐点坐标． （D）$f(1)$ 不是 $f(x)$ 的极值，$(1, f(1))$ 也不是曲线 $f(x)$ 的拐点坐标．
161
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第161题
## 第161题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2-\cos x, & x \leqslant 0 \\ \sqrt{x}+1, & x>0\end{array}\right.$ ，则 （A）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,1)$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点． （B）$x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点． （C）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，且 $(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点． （D）$x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，$(0,1)$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点． 答题 区
162
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第162题
## 第162题 (高等数学 - 选择题) 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有定义，则下述命题中正确的是 （A）若 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导且单调增加，则对一切 $x \in(-\infty,+\infty)$ ，都有 $f^{\prime}(x)>0$ ． （B）若 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极值，则 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ ． （C）若 $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ ，则 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点坐标． （D）若 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，则 $x_{0}$ 一定不是 $f(x)$ 的极值点．
163
📝 有解析
第163题
## 第163题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可导，$f(a)=\max _{[a, b]} f(x)$ ，则 （A）$f_{+}^{\prime}(a)=0$ ． （B）$f_{+}^{\prime}(a) \geqslant 0$ ． （C）$f_{+}^{\prime}(a)<0$ ． （D）$f_{+}^{\prime}(a) \leqslant 0$ ．
164
📝 有解析
第164题
## 第164题 (高等数学 - 选择题) 数列 $1, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \cdots, \sqrt[n]{n}, \cdots$ 的最大项为 （A）$\sqrt{2}$ ． （B）$\sqrt[3]{3}$ ． （C）$\sqrt[4]{4}$ ． （D）$\sqrt[5]{5}$ ． 答题 区
165
📝 有解析
第165题
## 第165题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)=a x^{3}-6 a x^{2}+b$ 在区间 $[-1,2]$ 上的最大值是 3 ，最小值是 -29 ，且 $a>0$ ，则 （A）$a=2, b=-29$ ． （B）$a=3, b=2$ ． （C）$a=2, b=3$ ． （D）以上都不对．
166
📝 有解析
第166题
## 第166题 (高等数学 - 选择题) 曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t),\end{array}(a>0)\right.$ 在参数 $\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$ 对应的点处的曲率为 （A）$\displaystyle \frac{2 \sqrt{2}}{a}$ ． （B）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{a}$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2} a}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{2} a}$ ．
167
📝 有解析
第167题
## 第167题 (高等数学 - 选择题) 以下四个命题中，正确的是 （A）若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界． （B）若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界． （C）若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界． （D）若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界． □
168
📝 有解析
第168题
## 第168题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 可导，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 有界是 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 有界的 （A）必要非充分条件． （B）充分非必要条件． （C）充分且必要条件． （D）既非充分也非必要条件．
169
📝 有解析
第169题
## 第169题 (高等数学 - 选择题) 函数 $y=f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 连续，其二阶导函数的图形如图所示，则 $y=f(x)$ 的拐点的个数是 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．
170
📝 有解析
第170题
## 第170题 (高等数学 - 选择题) 设 $[0,+\infty)$ 区间上 $y=f(x)$ 的导函数的图形如下图所示， 则 $y=f(x)$ 的拐点的个数是 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ． ## 数学基础过关 660 题。数学一（习题册）
171
📝 有解析
第171题
## 第171题 (高等数学 - 选择题) 设曲线 $y=\sqrt[3]{x-4}$ ，则 （A）曲线的凸区间为 $(-\infty, 4)$ ，凹区间为 $(4,+\infty)$ ，拐点为 $(4,0)$ 。 （B）曲线的凹区间为 $(-\infty, 4)$ ，凸区间为 $(4,+\infty)$ ，拐点为 $(4,0)$ ． （C）曲线的凸区间为 $(-\infty, 4)$ ，凹区间为 $(4,+\infty)$ ，无拐点． （D）曲线的凹区间为 $(-\infty, 4)$ ，凸区间为 $(4,+\infty)$ ，无拐点． 172函数 $f(x)=3 \arccos x-\arccos \left(3 x-4 x^{3}\right)$ 在 $\displaystyle \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$
173
📝 有解析
第173题
## 第173题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 在 $(1-\delta, 1+\delta)$ 内存在导数，$f^{\prime}(x)$ 单调减少，且 $f(1)=f^{\prime}(1)=1$ ，则 （A）在 $(1-\delta, 1)$ 和 $(1,1+\delta)$ 内均有 $f(x)x$ ． （C）在 $(1-\delta, 1)$ 内有 $f(x)x$ ． （D）在 $(1-\delta, 1)$ 内有 $f(x)>x$ ，在 $(1,1+\delta)$ 内有 $f(x)
174
📝 有解析
第174题
## 第174题 (高等数学 - 选择题) 曲线 $\displaystyle y=\frac{x^{2}+1}{\sqrt{x^{2}-1}}$ （A）既有垂直又有水平与斜渐近线． （B）仅有垂直渐近线． （C）只有垂直与水平渐近线。 （D）只有垂直与斜渐近线。
175
📝 有解析
第175题
## 第175题 (高等数学 - 选择题) 函数 $f(x)=3 \ln x-x$ （A）没有零点． （B）有 1 个零点． （C）有 2 个零点． （D）有 3 个零点．
176
📝 有解析
第176题
## 第176题 (高等数学 - 选择题) 设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上的一个原函数，则 $f(x)+F(x)$ 在 $(a, b)$ 内 （A）可导． （B）连续． （C）存在原函数． （D）是初等函数．
177
📝 有解析
第177题
## 第177题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ 1, \quad x=0\end{array}, F(x)=\int_{-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$ ，则 $F(x)$ （A）在 $(-1,1)$ 为无界函数． （B）在 $(-1,1)$ 为连续有界函数． （C）在 $(-1,1)$ 有间断点 $x=0$ ． （D）在 $[-1,1]$ 不可积．
178
📝 有解析
第178题
## 第178题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 一阶可导，$f(x)>0, f^{\prime}(x)>0$ ，则当 $\Delta x>0$ 时 （A） $\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t>f(x) \Delta x>0$ ． （B） $\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t>0$ ． （D）$f(x) \Delta x<\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t<0$ ．
179
📝 有解析
第179题
## 第179题 (高等数学 - 选择题) 考察下列叙述： （1）设 $f^{2}(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续，则 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续． （2）设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续，则 $|f(x)|$ 在 $x=x_{0}$ 连续． （3）设 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积． （4）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 有界，只有有限个间断点，则 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 可积，即在 $[a, b]$ 存在定积分． 我们可知 （A）只有（1），（2）正确． （B）只有（2），（3）正确． （C）只有（2），（4）正确． （D）只有（3），（4）正确．
180
📝 有解析
第180题
## 第180题 (高等数学 - 选择题) 下列函数在指定区间上不存在定积分的是 （A）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, x \in[-1,1]\right.$ ． （B）$f(x)=\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{cl}1, & x>0 \\ 0, & x=0, x \in[a, b] \text { ．} \\ -1, & x<0\end{array}\right.$ （C）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\tan x, & x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \\ 0, & x= \pm \frac{\pi}{2}\end{array}, x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\right.$ ． （D）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, x \in[-1,1]\right.$.
181
📝 有解析
第181题
## 第181题 (高等数学 - 选择题) 下列命题中有一个正确的是 （A）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，$f(x) \geqslant 0, \not \equiv 0$ ，则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0$ ． （B）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，$g(x)$ 在 $[a, b]$ 不可积，则 $f(x)+g(x)$ 在 $[a, b]$ 不可积． （C）设 $f^{2}(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积． （D）设 $x_{0} \in(a, b), f(x)$ 在 $[a, b] /\left\{x_{0}\right\}$ 连续且有界，$x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的间断点，则 $F(x)= \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $x=x_{0}$ 不可导．
182
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第182题
## 第182题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，则下列结论中正确的个数为 （1）$f(x)$ 在 $[a, b]$ 的任意子区间 $[\alpha, \beta]$ 上 $\int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x)=0(\forall x \in[a, b])$ ． （2）$f(x) \geqslant 0(x \in[a, b])$ ，又 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x)=0(x \in[a, b])$ ． （3）$[\alpha, \beta] \subset[a, b]$ ，则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{a}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x$ ． （A） 0 ． （B） 1 ． （C） 2 ． （D） 3 ． 下述结论不正确的是
184
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第184题
## 第184题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x, K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x$ ，则 （A）$M>N>K$ ． （B）$M>K>N$ ． （C）$K>M>N$ ． （D）$K>N>M$ ．
185
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第185题
## 第185题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x, I_{2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ，则 （A）$I_{1}<1
186
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第186题
## 第186题 (高等数学 - 选择题) 下列用牛顿 一 莱布尼茨公式计算定积分的做法中，错误的做法一共有 （1） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin ^{3} x-\sin ^{5} x} \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\pi} \sin ^{\frac{3}{2}} x \cos x \mathrm{~d} x=\left.\frac{2}{5} \sin ^{\frac{5}{2}} x\right|_{0} ^{\pi}=0$ ． （2） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{x}=\left.\ln |x|\right|_{-1} ^{1}=0$ ． （3） $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{\sec ^{2} x}{2+\tan ^{2} x} \mathrm{~d} x=\left.\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right|_{0} ^{\pi}=0$ ． （4） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} x}\left(\arctan \frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x=\left.\arctan \frac{1}{x}\right|_{-1} ^{1}=\frac{\pi}{2}$ ． （A） 1 个． （B） 2 个． （C） 3 个． （D） 4 个．
187
📝 有解析
第187题
## 第187题 (高等数学 - 选择题) I=$\int_{0}^{\pi} x \sqrt{\cos ^{2} x-\cos ^{4} x} \mathrm{~d} x=$$ （A）$\pi$ ． （B）$\frac{\pi}{2}$ ． （C）$\frac{\pi}{3}$ ． （D）$\frac{\pi}{4}$ ．$
188
📝 有解析
第188题
## 第188题 (高等数学 - 选择题) I=$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x=$$ （A）$\pi$ ． （B）$\frac{\pi}{2}$ ． （C）$\frac{\pi}{4}$ ． （D）$\frac{\pi}{8}$ ． （V）纠错笔记$
189
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第189题
## 第189题 (高等数学 - 选择题) 积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{\sqrt{1-x}} \mathrm{~d} x=$ （A）$\displaystyle \frac{156}{315}$ ． （B）$\displaystyle \frac{256}{315}$ ． （C）$\displaystyle \frac{198}{315}$ ． （D）$\displaystyle \frac{208}{315}$ ．
190
📝 有解析
第190题
## 第190题 (高等数学 - 选择题) 设 $n, m$ 为非负整数，$I_{n, m}=\int_{0}^{1} x^{n} \ln ^{m} x \mathrm{~d} x$ 是 （A）定积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{n} n!}{(n+1)^{m}}$ ． （B）定积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{m} m!}{(n+1)^{m+1}}$ ． （C）反常积分且发散． （D）反常积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{m} m!}{(n+1)^{m+1}}$ ． ## －纠错笔记
191
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第191题
## 第191题 (高等数学 - 选择题) 设 $\sin x \ln |x|$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则不定积分 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$ （A）$\displaystyle x \cos x \ln |x|+x \cdot \frac{\sin x}{|x|}-\sin x \ln |x|+C$ ． （B）$x \cos x \ln |x|+\sin x-\sin x \ln |x|+C$ ． （C） $\displaystyle \cos x \ln |x|-\frac{\sin x}{|x|}-\sin x \ln |x|+C$ ． （D）以上均不正确． 答题 区
192
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第192题
## 第192题 (高等数学 - 选择题) $\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{\cos ^{2} x}^{2 x^{3}} \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}} \mathrm{~d} t=$ （A）$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+4 x^{6}}}-\frac{1}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ． （B）$\displaystyle \frac{6 x^{2}}{\sqrt{1+4 x^{6}}}-\frac{\sin 2 x}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ． （C）$\displaystyle \frac{6 x^{2}}{\sqrt{1+4 x^{6}}}+\frac{\sin 2 x}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ． （D）$\displaystyle \frac{6 x^{2}}{\sqrt{1+4 x^{6}}}-\frac{1}{\sqrt{1+\cos ^{4} x}}$ ．
193
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第193题
## 第193题 (高等数学 - 选择题) 设 $F(x)=\int_{0}^{x}\left(\int_{0}^{u^{2}} \ln \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t\right) \mathrm{d} u$ ，则曲线 $y=F(x)$ （A）在 $(-\infty, 0)$ 是凹的，在 $(0,+\infty)$ 是凸的． （B）在 $(-\infty, 0)$ 是凸的，在 $(0,+\infty)$ 是凹的． （C）在 $(-\infty,+\infty)$ 是凹的． （D）在 $(-\infty,+\infty)$ 是凸的． □ 194设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sqrt{4+x}, & x>0 \\ 0, & x=0, \\ \sqrt{1-x}, & x<0\end{array} \quad F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$ ，则
197
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第197题
## 第197题 (高等数学 - 选择题) 函数 $F(x)=\int_{x}^{x+\pi} \ln \left(1+\cos ^{2} t\right) \cos 2 t \mathrm{~d} t$ （A）为正数． （B）为负数． （C）恒为零． （D）不是常数．
198
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第198题
## 第198题 (高等数学 - 选择题) 设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(2 x)=2 f(x)$ ，则 $\int_{1}^{2} x f(x) \mathrm{d} x=a \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $a$ 为 （A） 5 ． （B） 6 ． （C） 7 ． （D） 8 ． ## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）
199
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第199题
## 第199题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \geqslant 0 \\ \cos x, & x<0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{cl}x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.\right.$ ，则在区间 $(-1,1)$ 上 （A）$f(x)$ 与 $g(x)$ 都存在原函数． （B）$f(x)$ 与 $g(x)$ 都不存在原函数． （C）$f(x)$ 存在原函数，$g(x)$ 不存在原函数． （D）$f(x)$ 不存在原函数，$g(x)$ 存在原函数．
200
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第200题
## 第200题 (高等数学 - 选择题) 数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right)=$ （A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ．
201
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第201题
## 第201题 (高等数学 - 选择题) 数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\int_{0}^{n \pi}|\sin x| \mathrm{d} x}{(n+1) \pi}=$ （A）0． （B）不存在． （C）$\displaystyle \frac{2}{\pi}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{\pi}$ ． 答题 区
202
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第202题
## 第202题 (高等数学 - 选择题) 下列反常积分发散的是 （A） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ． （B） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ． （C） $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ． （D） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
203
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第203题
## 第203题 (高等数学 - 选择题) 下列四个反常积分 （1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^{2}-1}}$ ． （2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x(x-1)}}$ ． （3） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2} \sqrt{x^{2}-1}}$ ． （4） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^{2}-1\right)}$ ． 中，收敛的个数是 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ．
204
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第204题
## 第204题 (高等数学 - 选择题) 设有下列命题 （1）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续是奇函数，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=0$ ． （2）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，又 $\lim _{R \rightarrow+\infty} \int_{-R}^{R} f(x) \mathrm{d} x$ 存在，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。 （3） $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x, \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 均发散，则 $\int_{a}^{+\infty}[f(x)+g(x)] \mathrm{d} x$ 可能发散，也可能收敛。 （4）若 $\int_{-\infty}^{0} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 均发散，则不能确定 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 是否收敛． 则以上命题中正确的个数是 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ． ## 数学基础过关 660 题。数学一（习题册）
205
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第205题
## 第205题 (高等数学 - 选择题) 曲线 $\displaystyle y=\cos x\left(x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\right)$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴所围面积被曲线 $y=a \sin x$ 等分，则 $a=$ （A）$\displaystyle \frac{2}{5}$ ． （B）$\displaystyle \frac{3}{5}$ ． （C）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
206
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第206题
## 第206题 (高等数学 - 选择题) 由曲线 $y=1-(x-1)^{2}$ 及直线 $y=0$ 围成图形绕 $y$ 轴旋转而成立体的体积 $V$ 是 （A） $\int_{0}^{1} \pi(1+\sqrt{1+y})^{2} \mathrm{~d} y$ ． （B） $\int_{0}^{1} \pi(1-\sqrt{1-y})^{2} \mathrm{~d} y$ ． （C） $\int_{0}^{1} \pi[(1+\sqrt{1-y})-(1-\sqrt{1-y})]^{2} \mathrm{~d} y$ ． （D） $\int_{0}^{1} \pi\left[(1+\sqrt{1-y})^{2}-(1-\sqrt{1-y})^{2}\right] \mathrm{d} y$ ．
207
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第207题
## 第207题 (高等数学 - 选择题) 曲线 $r=a \mathrm{e}^{b \theta}(a>0, b>0)$ 从 $\theta=0$ 到 $\theta=\alpha(\alpha>0)$ 的一段弧长为 （A）$s=\int_{0}^{\alpha} a \mathrm{e}^{b \theta} \sqrt{1+b^{2}} \mathrm{~d} \theta$ ． （B）$s=\int_{0}^{\alpha} \sqrt{1+\left(a b \mathrm{e}^{b \theta}\right)} \mathrm{d} \theta$ ． （C）$s=\int_{0}^{\alpha} \sqrt{1+\left(a \mathrm{e}^{b \theta}\right)^{2}} \mathrm{~d} \theta$ ． （D）$s=\int_{0}^{a} a b \mathrm{e}^{b \theta} \sqrt{1+\left(a b \mathrm{e}^{b \theta}\right)^{2}} \mathrm{~d} \theta$ ．
208
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第208题
## 第208题 (高等数学 - 选择题) 旋轮线的一支 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ 的质心是 （A）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{4}{3} a\right)$ ． （B）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{2}{3} a\right)$ ． （C）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{5}{4} a\right)$ ． （D）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{7}{4} a\right)$ ． ## （－）纠错笔记
209
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第209题
## 第209题 (高等数学 - 选择题) 峰值为 $V_{m}$ ，周期为 $T$ 的三角形波的电压平均值为 （A）$\displaystyle \frac{V_{m}}{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{V_{m}}{\sqrt{3}}$ ． （C）$\displaystyle \frac{V_{m}}{4}$ ． （D）$\displaystyle \frac{V_{m}}{\sqrt{2}}$ ． 答题 区
210
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第210题
## 第210题 (高等数学 - 选择题) 半圆形闸门半径为 $R$（米），将其垂直放人水中，且直径与水面齐．设 $\rho g=1$ 。若坐标原点取在圆心，$x$ 轴正向朝下，则闸门所受压力 $p$ 为 （A） $\int_{0}^{R} \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ． （B） $\int_{0}^{R} 2 \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$. （C） $\int_{0}^{R} 2 x \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ． （D） $\int_{0}^{R} 2(R-x) \sqrt{R^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ． ## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）
211
📝 有解析
第211题
## 第211题 (高等数学 - 选择题) 已知 $y_{1}(x)$ 和 $y_{2}(x)$ 是方程 $y^{\prime}+p(x) y=0$ 的两个不同的特解，则该方程的通解为 （A）$y=C y_{1}(x)$ ． （B）$y=C y_{2}(x)$ ． （C）$y=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)$ ． （D）$y=C\left(y_{1}(x)-y_{2}(x)\right)$ ．
212
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第212题
## 第212题 (高等数学 - 选择题) 设 $P(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且以 $T$ 为周期，则 $\int_{0}^{T} P(x) \mathrm{d} x=0$ 是方程 $$ $\begin{equation*}$ $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=0 \tag{*}$ \end{equation*} $$ 有解 $y=y(x) \not \equiv 0$ 且以 $T$ 为周期的 （A）必要非充分条件． （B）充分非必要条件． （C）充分且必要条件． （D）既不充分也不必要条件．
213
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第213题
## 第213题 (高等数学 - 选择题) 设 $y=y(x)$ 是 $y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0$ 的解，其中 $b, c$ 为正的常数，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)$ （A）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 有关，与 $b, c$ 无关． （B）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $b, c$ 均无关． （C）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $c$ 无关，只与 $b$ 有关。 （D）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $b$ 无关，只与 $c$ 有关。
214
📝 有解析
第214题
## 第214题 (高等数学 - 选择题) 已知 $y^{*}=\mathrm{e}^{-2 x}+\left(x^{2}+2\right) \mathrm{e}^{x}$ 是二阶常系数线性非齐次微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=(c x+$ d） $\mathrm{e}^{x}$ 的一个解，则方程中的系数 $a$ 与 $b$ 以及非齐次项中的常数 $c$ 和 $d$ 分别是 （A）$a=1, b=-2, c=6, d=2$ ． （B）$a=1, b=2, c=6, d=-2$ ． （C）$a=1, b=-2, c=-6, d=2$ ． （D）$a=1, b=-2, c=6, d=-2$ ．
215
📝 有解析
第215题
## 第215题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，在 $(0,+\infty)$ 内有连续导数且 $$ x \int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t+2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x f(x)+x^{3} $$ 则可得 （A）$f(x)=C x^{2}-3 x^{2} \ln (1+x)(x \in[0,+\infty)),(C$ 为任意常数）． （B）$f(x)=x^{2}-3 x^{2} \ln (1+x)(x \in[0,+\infty))$ ． （C）$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}C x^{2}-3 x^{2} \ln x, & x>0 \\ 0, & x=0\end{array},(C\right.$ 为任意常数）． （D）$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}-3 x^{2} \ln x, & x>0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ．
216
📝 有解析
第216题
## 第216题 (高等数学 - 选择题) 设 $L$ 是连接两点 $A(0,1)$ 与 $B(1,0)$ 的一条凸弧，$P(x$ ， $y)$ 是 $L$ 上的任意一点．已知凸弧 $L$ 与弦 $A P$ 围成的平面图形的面积等于 $x^{4}$ ，则 $L$ 的方程是 （A） $1-3 x+4 x^{3}$ ． （B） $1-4 x+3 x^{3}$ ． （C） $1+3 x-4 x^{3}$ ． （D） $1+4 x-3 x^{3}$ ．
217
📝 有解析
第217题
## 第217题 (高等数学 - 选择题) 设 $a, b, c$ 为待定常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=3 x-2 \mathrm{e}^{x}$ 的特解具有形式 （A）$(a x+b) \mathrm{e}^{x}$ ． （B）$(a x+b) x \mathrm{e}^{x}$ ． （C）$(a x+b)+c \mathrm{e}^{x}$ ． （D）$(a x+b)+c x \mathrm{e}^{x}$ ．
218
📝 有解析
第218题
## 第218题 (高等数学 - 选择题) 已知曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点的切线平行于直线 $2 x-y-5=0$ ，而 $y(x)$满足微分方程 $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ ，则此曲线的方程为 （A）$y=\sin 2 x$ ． （B）$\displaystyle y=\frac{1}{2} x^{2} \mathrm{e}^{2 x}+\sin 2 x$ ． （C）$\displaystyle y=\frac{x}{2}(x+4) \mathrm{e}^{3 x}$ ． （D）$y=\left(x^{2} \cos x+\sin 2 x\right) \mathrm{e}^{3 x}$ ．
219
📝 有解析
第219题
## 第219题 (高等数学 - 选择题) 设 $f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$ 的两个特解，$C_{1}, C_{2}$是两个任意常数，则 $C_{1} f_{1}(x)+C_{2} f_{2}(x)$ 是该方程通解的充分条件是 （A）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f^{\prime}{ }_{1}(x)=0$ ． （B）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f^{\prime}{ }_{1}(x)=0$ ． （C）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x) \neq 0$ ． （D）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f^{\prime}{ }_{1}(x) \neq 0$ ． 答题 区
220
📝 有解析
第220题
## 第220题 (高等数学 - 选择题) 若 $A, B$ 为非零常数，$k$ 为常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}+k^{2} y=\cos x$ 的特解可能具有形式 （A）$A \sin x+B \cos x$ ． （B）$A x \cos x$ ． （C）$A x \sin x$ ． （D）$A x \sin x+B x \cos x$ ．
221
📝 有解析
第221题
## 第221题 (高等数学 - 选择题) 设 $A, B$ 都是不等于零的常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=\mathrm{e}^{x} \cos 2 x$ 有特解 （A）$y^{*}=x \mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ． （B）$y^{*}=\mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ． （C）$y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \cos 2 x$ ． （D）$y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \sin 2 x$ ．
222
📝 有解析
第222题
## 第222题 (高等数学 - 选择题) 具有特解 $y_{1}=\mathrm{e}^{-x}, y_{2}=2 x \mathrm{e}^{-x}, y_{3}=3 \mathrm{e}^{x}$ 的三阶常系数齐次线性微分方程是 （A）$y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ ． （B）$y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$ ． （C）$y^{\prime \prime \prime}-6 y^{\prime \prime}+11 y^{\prime}-6 y=0$ ． （D）$y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0$ ．
223
📝 有解析
第223题
## 第223题 (高等数学 - 选择题) 微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+x y=\frac{x}{2 y} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ 满足 $y(0)=1$ 的特解是 （A）$\displaystyle y=\left(x^{2}+1\right) \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ ． （B）$\displaystyle y=\sqrt{\frac{1}{2} x^{2}+1} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} x^{2}}$ ． （C）$\displaystyle y=\left(\frac{1}{2} x^{2}+1\right) \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ ． （D）$\displaystyle y=\sqrt{\frac{1}{2} x^{2}+1} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ ．
224
📝 有解析
第224题
## 第224题 (高等数学 - 选择题) 微分方程 $\left(y^{2}-1\right) \mathrm{d} x+(2 x y-\cos y) \mathrm{d} y=0$ 的通解是 （A）$y^{2} x-\sin y=C$ ． （B）$y^{2} x-\cos y=C$ ． （C）$\left(y^{2}-1\right) x-\cos y=C$ ． （D）$\left(y^{2}-1\right) x-\sin y=C$ ． 其中 $C$ 为任意常数． □
225
📝 有解析
第225题
## 第225题 (高等数学 - 选择题) 方程 $x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-2 y=0$ 的通解为 （A）$y=C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} \mathrm{e}^{2 x}$ ． （B）$y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) \mathrm{e}^{x}$ ． （C）$y=C_{1} x+C_{2} x^{2}$ ． （D）$\displaystyle y=\frac{C_{1}}{x^{2}}+C_{2} x$ ．
226
📝 有解析
第226题
## 第226题 (高等数学 - 选择题) 设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\frac{\sin \left(x^{2} y+y^{4}\right)}{x^{2}+y^{2}}$ ，则 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=$ （A） 1 ． （B） 0 ． （C）$+\infty$ ． （D）不存在，也不为 $\infty$ ． （－）纠错笔记
227
📝 有解析
第227题
## 第227题 (高等数学 - 选择题) 设 $k$ 为常数，则极限 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2} \sin k y}{x^{2}+y^{4}}$ （A）等于 0 ． （B）等于 $\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （C）不存在． （D）存在与否和 $k$ 取值有关．
228
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第228题
## 第228题 (高等数学 - 选择题) 极限 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}$ （A）不存在． （B）等于 2 ． （C）等于 $\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （D）等于 0 ．
229
📝 有解析
第229题
## 第229题 (高等数学 - 选择题) 极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ （A）不存在． （B）等于 1 ． （C）等于 0 ． （D）等于 2 ． 答题 区
230
📝 有解析
第230题
## 第230题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）连续、偏导数存在． （B）连续、偏导数不存在． （C）不连续、偏导数存在． （D）不连续、偏导数不存在． 答题 区
231
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第231题
## 第231题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）不连续． （B）连续但偏导数不存在． （C）连续且偏导数存在但不可微． （D）可微。 答题 区 232设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
233
📝 有解析
第233题
## 第233题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）不连续． （B）连续，但偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在． （C）连续且偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 都存在，但不可微． （D）全微分存在但一阶偏导函数 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 不连续． 答题 区
234
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第234题
## 第234题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）连续，但偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在． （B）连续且偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 都存在，但不可微． （C）可微但 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 不连续． （D）可微且 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 连续． 答题 区
235
📝 有解析
第235题
## 第235题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)+2 x-y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=1$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）不连续． （B）连续但两个偏导数不存在． （C）两个偏导数存在但不可微． （D）可微． 236设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-1}{x^{2}+y^{2}}=2$ ，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处
237
📝 有解析
第237题
## 第237题 (高等数学 - 选择题) 函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微的充分条件是 （A） $\lim _{x \rightarrow 0} f_{x}^{\prime}(x, 0)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim _{y \rightarrow 0} f_{y}^{\prime}(0, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ ． （B） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$ ． （C） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}$ 和 $\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y}$ 都存在． （D） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{x}^{\prime}(x, y)=f_{x}^{\prime}(0,0)$ 且 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f_{y}^{\prime}(x, y)=f_{y}^{\prime}(0,0)$ ．
238
📝 有解析
第238题
## 第238题 (高等数学 - 选择题) 如果 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，那么下列命题正确的是 （A）若极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微． （B）若极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微． （C）若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在． （D）若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在．
239
📝 有解析
第239题
## 第239题 (高等数学 - 选择题) 二元函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续是函数 $z=f(x, y)$ 在该点处两个偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在的 （A）必要但非充分条件． （B）充分但非必要条件． （C）充要条件． （D）既非充分条件也非必要条件．
240
📝 有解析
第240题
## 第240题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处两个偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在，则 （A）$f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续． （B） $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 存在． （C） $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f\left(x, y_{0}\right)=\lim _{y \rightarrow y_{0}} f\left(x_{0}, y\right)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ． （D）$f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微．
241
📝 有解析
第241题
## 第241题 (高等数学 - 选择题) 函数 $f(x, y)$ 的两个偏导数在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续是函数 $f(x, y)$ 在该点处可微的 （A）充分但非必要条件． （B）必要但非充分条件． （C）充分必要条件． （D）既不充分也不必要条件．
242
📝 有解析
第242题
## 第242题 (高等数学 - 选择题) 设函数 $f(x, y)$ 可微，且对任意 $x, y$ 都有 $\displaystyle \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}>0, \frac{\partial f(x, y)}{\partial y}<0$ ，则使不等式 $f\left(x_{1}, y_{1}\right)x_{2}, y_{1}x_{2}, y_{1}>y_{2}$ ． （C）$x_{1}y_{2}$ ．
243
📝 有解析
第243题
## 第243题 (高等数学 - 选择题) 设可微函数 $f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}>1, \frac{\partial f}{\partial y}<-1, f(0,0)=0$ ，则下列结论正确的是 （A）$f(1,1)>1$ ． （B）$f(-1,1)>-2$ ． （C）$f(-1,-1)<0$ ． （D）$f(1,-1)>2$ ． ## （ ）纠错笔记
244
📝 有解析
第244题
## 第244题 (高等数学 - 选择题) 已知方程 $\displaystyle f\left(\frac{y}{x}, \frac{z}{x}\right)=0$ 确定了函数 $z=z(x, y), f(u, v)$ 可微，则 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$ （A）$z$ ． （B）$-z$ ． （C）$y$ ． （D）$-y$ ． 答题 区
245
📝 有解析
第245题
## 第245题 (高等数学 - 选择题) 设函数 $f(x, y)$ 可微且 $f(x+1, \ln (1+x))=(1+x)^{3}+x \ln (1+x)(x+1)^{\ln (x+1)}$ ， $f\left(x^{2}, x-1\right)=x^{4} \mathrm{e}^{x-1}+(x-1)\left(x^{2}-1\right) x^{2(x-1)}$ ，则 $\mathrm{d} f(1,0)=$ （A） $\mathrm{d} x+\mathrm{d} y$ ． （B） $\mathrm{d} x-2 \mathrm{~d} y$ ． （C） $\mathrm{d} x-\mathrm{d} y$ ． （D） $2 \mathrm{~d} x+\mathrm{d} y$ ．
246
📝 有解析
第246题
## 第246题 (高等数学 - 选择题) 已知 $\mathrm{d} f(x, y)=\left(2 y^{2}+2 x y+3 x^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(4 x y+x^{2}\right) \mathrm{d} y$ ，则 $f(x, y)=$ （A） $2 x y^{2}+x^{2} y$ ． （B） $2 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}$ ． （C） $2 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}+C$ ． （D） $3 x y^{2}+x^{2} y+x^{3}+C$ ．
247
📝 有解析
第247题
## 第247题 (高等数学 - 选择题) 设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)}{1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}}=-2$ ，则 （A）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在． （B）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 存在但不为零。 （C）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点取极大值． （D）$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点取极小值．
248
📝 有解析
第248题
## 第248题 (高等数学 - 选择题) 下列命题正确的是 （A）若 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $f(x, y)$ 的极值点，则 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 必为 $f(x, y)$ 的驻点． （B）若 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为 $f(x, y)$ 的驻点，则 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 必为 $f(x, y)$ 的极值点． （C）若 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为有界闭区域 $D$ 上连续的函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 内部唯一的极值点，且 $f(x, y)$在该点取极大值，则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 取得它在 $D$ 上的最大值． （D）若 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 取得极小值，则 $f\left(x, y_{0}\right)$ 在 $x=x_{0}$ 处取极小值，$f\left(x_{0}, y\right)$ 在 $y=y_{0}$ 处取极小值．
249
📝 有解析
第249题
## 第249题 (高等数学 - 选择题) 设 $F(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ．若一元函数 $y=y(x)$ 是由方程 $F(x, y)=0$ 所确定的在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 附近的隐函数，则 $x_{0}$ 是函数 $y=y(x)$ 的极小值点的一个充分条件是 （A）$F_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ． （B）$F_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)<0$ ． （C）$F_{y y}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>0$ ． （D）$F_{y y}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)<0$ ．
250
📝 有解析
第250题
## 第250题 (高等数学 - 选择题) 函数 $f(x, y)=k x^{2}+y^{3}-3 y$ 在点 $(0,1)$ 处 （A）取极大值． （B）取极小值． （C）不取得极值． （D）是否取得极值与 $k$ 取值有关．
251
📝 有解析
第251题
## 第251题 (高等数学 - 选择题) 函数 $f(x, y)=1+x+y$ 在区域 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 上的最大值与最小值之积为 （A）-1 ． （B） 1 ． （C） $1+\sqrt{2}$ ． （D） $1-\sqrt{2}$ ．
252
📝 有解析
第252题
## 第252题 (高等数学 - 选择题) 函数 $f(x, y)=\mathrm{e}^{-x y}$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid 4 x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上的最大值是 （A） $\mathrm{e}^{2}$ ． （B）e． （C） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{4}}$ ． （D） $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}$ ．
253
📝 有解析
第253题
## 第253题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x, y)=x^{3}-4 x^{2}+2 x y-y^{2}$ ，区域 $D=\{(x, y) \mid-1 \leqslant x \leqslant 4,-1 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则下面结论正确的是 （A）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点且是 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 的最大值点． （B）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点但不是 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 的最大值点． （C）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点． （D）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的驻点，但不是极值点．
254
📝 有解析
第254题
## 第254题 (高等数学 - 选择题) 已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 某邻域内连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)+4 x^{2}-y^{2}}{x^{4}+x^{2} y^{2}+y^{4}}=1$ ，则 （A）点 $(0,0)$ 不是 $f(x, y)$ 的极值点． （B）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点． （C）点 $(0,0)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点． （D）所给条件不足以判断点 $(0,0)$ 是否为 $f(x, y)$ 的极值点．
255
📝 有解析
第255题
## 第255题 (高等数学 - 选择题) 设有三个正数 $x, y, z$ 满足 $x+y+z=a$ ，其中 $a>0$ 为常数，又 $$ x y z \leqslant b $$ 则 $b$ 的最小取值是 （A）$\displaystyle \frac{a^{3}}{21}$ ． （B）$\displaystyle \frac{a^{3}}{18}$ ． （C）$\displaystyle \frac{a^{3}}{9}$ ． （D）$\displaystyle \frac{a^{3}}{27}$ ．
256
📝 有解析
第256题
## 第256题 (高等数学 - 选择题) 设 $D$ 是 $x O y$ 平面上以 $(1,1),(-1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 为顶点的三角形区域，$D_{1}$ 是 $D$ 在第一象限的部分，则 $\iint_{D}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} \sigma$ 等于 （A） $2 \iint_{D_{1}} \cos x \sin y \mathrm{~d} \sigma$ ． （B） $2 \iint_{D_{1}} x y \mathrm{~d} \sigma$ ． （C） $4 \iint_{D_{1}}(x y+\cos x \sin y) \mathrm{d} \sigma$ ． （D） 0 ．
257
📝 有解析
第257题
## 第257题 (高等数学 - 选择题) 累次积分 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{1}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ 可写成 （A） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （B） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{y}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （C） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{2-x} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （D） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{2-y} f(x, y) \mathrm{d} x$ ．
258
📝 有解析
第258题
## 第258题 (高等数学 - 选择题) 设 $x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ ，则在极坐标系 $(r, \theta)$ 中的累次积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) \mathrm{d} r$可化为直角坐标系 $(x, y)$ 中的累次积分 （A） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （B） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1-x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} y$ ． （C） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （D） $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x}^{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} y$ ．
259
📝 有解析
第259题
## 第259题 (高等数学 - 选择题) 累次积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ 可写成 （A） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1+\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （B） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （C） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{2 y-y^{2}}} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （D） $\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{0}^{2} f(x, y) \mathrm{d} y$ ．
260
📝 有解析
第260题
## 第260题 (高等数学 - 选择题) 累次积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{1} \frac{x y}{\sqrt{1+y^{3}}} \mathrm{~d} y=$ （A）$\displaystyle \frac{1}{4}(\sqrt{2}-1)$ ． （B）$\displaystyle \frac{1}{3}(\sqrt{2}-1)$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{4}(\sqrt{2}+1)$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{3}(\sqrt{2}+1)$ ．
261
📝 有解析
第261题
## 第261题 (高等数学 - 选择题) 设区域 $D$ 由 $y=x, y=x+1, y=1, y=3$ 围成，则 $\iint_{D} y \mathrm{~d} \sigma=$ （A） 2 ． （B） 3 ． （C） 4 ． （D） 6 ．
262
📝 有解析
第262题
## 第262题 (高等数学 - 选择题) 设积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x+2 y\right\}$ ，则 $\iint_{D}\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=$ （A） $6 \pi$ ． （B） $8 \pi$ ． （C） $10 \pi$ ． （D） $12 \pi$ ． （4）纠错笔记
263
📝 有解析
第263题
## 第263题 (高等数学 - 选择题) 设积分区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ，则二重积分 $\displaystyle I=\iint_{D} \frac{\mathrm{~d} \sigma}{\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}=$ （A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ．
264
📝 有解析
第264题
## 第264题 (高等数学 - 选择题) 设积分区域 $D=\left\{(x, y)| | x\left|\leqslant 1,|y| \leqslant 1, x^{2}+y^{2} \geqslant x\right\}\right.$ ，则 $\iint_{D}|x y| \mathrm{d} \sigma=$ （A）$\displaystyle \frac{5}{6}$ ． （B）$\displaystyle \frac{11}{12}$ ． （C）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ． （D）$\displaystyle \frac{7}{8}$ ． ## －纠错笔记
265
📝 有解析
第265题
## 第265题 (高等数学 - 选择题) 设积分区域 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{x}$ ，直线 $y=1$ 及 $y$ 轴围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ （A） $\displaystyle 1+\frac{2}{\mathrm{e}}$ ． （B） $\displaystyle 1-\frac{2}{\mathrm{e}}$ ． （C） $\displaystyle 1-\frac{1}{\mathrm{e}}$ ． （D） $\displaystyle 1+\frac{1}{\mathrm{e}}$ ． 答题 区
266
📝 有解析
第266题
## 第266题 (高等数学 - 选择题) 设积分区域 $D$ 由 $y=x$ 与 $y^{2}=x$ 围成，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sin \pi y}{y} \mathrm{~d} \sigma=$ （A）$\pi$ ． （B）$-\pi$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{\pi}$ ． （D）$\displaystyle -\frac{1}{\pi}$ ．
267
📝 有解析
第267题
## 第267题 (高等数学 - 选择题) 设积分区域 $D=\{(x, y) \mid \sqrt{|x|}+\sqrt{|y|} \leqslant 1\}$ ，则 $I=\iint_{D}(\sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ （A）$\displaystyle \frac{4}{15}$ ． （B）$\displaystyle \frac{2}{5}$ ． （C）$\displaystyle \frac{8}{15}$ ． （D）$\displaystyle \frac{4}{5}$ ．
268
📝 有解析
第268题
## 第268题 (高等数学 - 选择题) 设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \geqslant 1, x^{2}+y^{2} \leqslant 9, x \leqslant \sqrt{3} y, y \leqslant \sqrt{3} x\right\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{D} \arctan \frac{y}{x} \mathrm{~d} \sigma=$ （A）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ． （B）$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{6}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi^{2}}{3}$ ．
269
📝 有解析
第269题
## 第269题 (高等数学 - 选择题) 累次积分 $I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x$ 等于 （A）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{3} \ln (\sqrt{2}+1)$ ． （B）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{3} \ln (\sqrt{2}-1)$ ． （C）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{1}{6} \ln (\sqrt{2}+1)$ ． （D）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{1}{6} \ln (\sqrt{2}-1)$ ．
270
📝 有解析
第270题
## 第270题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle I_{1}=\iint_{D} \frac{x+y}{4} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_{2}=\iint_{D} \sqrt{\frac{x+y}{4}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_{3}=\iint_{D} \sqrt[3]{\frac{x+y}{4}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由不等式 $(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leqslant 2$ 所确定，则 （A）$I_{2}
271
📝 有解析
第271题
## 第271题 (高等数学 - 选择题) 设平面域 $D$ 由 $\displaystyle x+y=\frac{1}{2}, x+y=1$ 及两条坐标轴围成，$I_{1}=\iint_{D} \ln (x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ， $I_{2}=\iint_{D}(x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, I_{3}=\iint_{D} \sin (x+y)^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，则 （A）$I_{1}
272
📝 有解析
第272题
## 第272题 (高等数学 - 选择题) 设积分区域 $$ $\begin{gathered}$ D_{1}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\} ; D_{2}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2\right\} \\ D_{3}=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{1}{2} x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right.\right\} ; D_{4}=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^{2}+\frac{1}{2} y^{2} \leqslant 1\right.\right\} \end{gathered} $$ 记 $\displaystyle I_{i}=\iint_{D_{i}}\left[1-\left(x^{2}+\frac{1}{2} y^{2}\right)\right] \mathrm{d} \sigma(i=1,2,3,4)$ ，则 $\max \left\{I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}\right\}=$ （A）$I_{1}$ ． （B）$I_{2}$ ． （C）$I_{3}$ ． （D）$I_{4}$ ． 答题 区
273
📝 有解析
第273题
## 第273题 (高等数学 - 选择题) 设 $g(x)$ 有连续的导数，$g(0)=0, g^{\prime}(0)=a \neq 0, f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续，则 $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{g\left(r^{2}\right)}=$ （A）$\displaystyle \frac{f(0,0)}{a}$ ． （B）$\displaystyle \frac{f(0,0)}{2 a}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{a} f(0,0)$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi}{2 a} f(0,0)$ ． 答题 区
274
📝 有解析
第274题
## 第274题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x, y)$ 连续，且 $f(x, y)=x y+\iint_{D} f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$ ，其中 $D$ 是由 $y=0, y=x^{2}, x=$ 1 所围区域，则 $f(x, y)$ 等于 （A）$x y$ ． （B） $2 x y$ ． （C）$\displaystyle x y+\frac{1}{8}$ ． （D）$x y+1$ ．
275
📝 有解析
第275题
## 第275题 (高等数学 - 选择题) 设 $g(x)$ 是可微函数 $y=f(x)$ 的反函数，且 $\displaystyle f(1)=0, \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=\frac{2023}{2}$ ，则 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t$ 的值为 （A）0． （B） 2022 ． （C） 2023 ． （D） 2100 ．
576
📝 有解析
第576题
## 第576题 (高等数学 - 填空题) 在级数 （1）$\displaystyle \left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)+\cdots$ ， （2） $\displaystyle 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\cdots$ ， （3） $\displaystyle 2-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}-\frac{5}{4}+\cdots+\frac{n+1}{n}-\frac{n+2}{n+1}+\cdots$ ， （4）$\displaystyle \left(2-\frac{3}{2}\right)+\left(\frac{3}{2}-\frac{4}{3}\right)+\left(\frac{4}{3}-\frac{5}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{n+1}{n}-\frac{n+2}{n+1}\right)+\cdots$ 中，发散级数的序号是 $\_\_\_\_$ ．
577
📝 有解析
第577题
## 第577题 (高等数学 - 填空题) 若级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \sqrt{n}\left(\ln \frac{n+1}{n-1}\right)^{p}$ 收敛，则其中常数 $p$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．
578
📝 有解析
第578题
## 第578题 (高等数学 - 填空题) 设有正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 满足 $$ $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \frac{1}{a_{n}}}{\ln n}=q \neq 1$ $$ 则该级数收敛的充要条件是 $q$ 满足 $\_\_\_\_$ ． 579已知幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $x=1$ 处条件收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 的收敛半径为 $\_\_\_\_$ ．
580
📝 有解析
第580题
## 第580题 (高等数学 - 填空题) 设 $a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} 2^{n} x^{2 n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ． $Q^{\circ}$
581
📝 有解析
第581题
## 第581题 (高等数学 - 填空题) 已知幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{n}$ 在 $x=2$ 处发散，在 $x=-1$ 处收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 的收敛域是 $\_\_\_\_$ ．
582
📝 有解析
第582题
## 第582题 (高等数学 - 填空题) 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n\left[4^{n}+(-3)^{n}\right]}$ 的收敛半径 $R=$ 583幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2^{n}}\right) x^{n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ，和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ． $\_\_\_\_$ ，收敛域为 $\_\_\_\_$ ． ◯纠错笔记
584
📝 有解析
第584题
## 第584题 (高等数学 - 填空题) 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2 n+1}{(2 n)!} x^{2 n}$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ $(x \in$ $\_\_\_\_$ ）． 答题 区
585
📝 有解析
第585题
## 第585题 (高等数学 - 填空题) 幂级数 $$ 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{2 \cdot 4}-\frac{x^{6}}{2 \cdot 4 \cdot 6}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!!}+\cdots $$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区
586
📝 有解析
第586题
## 第586题 (高等数学 - 填空题) 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
587
📝 有解析
第587题
## 第587题 (高等数学 - 填空题) 把函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-2 x-3}$ 展开为 $x$ 的幂级数，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ． ## ✓ 纠错笔记
588
📝 有解析
第588题
## 第588题 (高等数学 - 填空题) $f(x)=$\ln \left(2+x-3 x^{2}\right)$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为 $\_\_\_\_$ ．$ 答题区 ◯纠错笔记
589
📝 有解析
第589题
## 第589题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)=x \arctan x-\ln \sqrt{1+x^{2}}$ ，则 $f(x)$ 的幂级数展开式是 $\_\_\_\_$ ． ## $(v)$
纠错笔记
纠错笔记
590
📝 有解析
第590题
## 第590题 (高等数学 - 填空题) 设 $f(x)$ 是周期为 2 的周期函数且 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ 0, & 1
591
📝 有解析
第591题
## 第591题 (线性代数 - 填空题) 设 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \neq \mathbf{0}$ ，若 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b} \times \boldsymbol{c}, \boldsymbol{b}=\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ ，则 $|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|+|\boldsymbol{c}|=$ $\_\_\_\_$ ．
592
📝 有解析
第592题
## 第592题 (高等数学 - 填空题) 过点 $P(-1,0,4)$ 且与平面 $3 x-4 y+z+10=0$ 平行，又与直线 $\displaystyle L: \frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{1}= \frac{z}{2}$ 相交的直线方程是 $\_\_\_\_$ ．
593
📝 有解析
第593题
## 第593题 (高等数学 - 填空题) 直线 $L:\left\{\begin{array}{l}2 y+3 z-5=0 \\ x-2 y-z+7=0\end{array}\right.$ 在平面 $\Pi: x-y+3 z+8=0$ 上的投影方程为 $\_\_\_\_$。
594
📝 有解析
第594题
## 第594题 (高等数学 - 填空题) 直线 $\displaystyle L: \frac{x-3}{2}=\frac{y-1}{3}=z+1$ 绕直线 $L_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=3\end{array}\right.$ 旋转一圈所产生的曲面方程是 $\_\_\_\_$。 －纠错笔记
595
📝 有解析
第595题
## 第595题 (高等数学 - 填空题) 平面 $\Pi: x-2 y+2 z+9=0$ 与以点 $M_{0}(2,0,-1)$ 为球心的球面相切，则该球面的方程是 $\_\_\_\_$ ． 答题 区
596
📝 有解析
第596题
## 第596题 (高等数学 - 填空题) 设 $\Omega$ 由 $\displaystyle x^{2}+\frac{y^{2}}{2^{2}}+\frac{z^{2}}{3^{2}} \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 1$ 所确定，则 $\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} v=$ $\_\_\_\_$ $\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} v=$ ．
597
📝 有解析
第597题
## 第597题 (高等数学 - 填空题) 设 $\Omega$ 是由曲线 $\left\{\begin{array}{l}y^{2}=2 z \\ x=0\end{array}\right.$ 绕 $z$ 轴旋转一周而成的曲面与平面 $z=2$ 和 $z=8$ 所围立体，则 $\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} v=$ $\_\_\_\_$ ． 设 $\Omega$ 是由曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 所围成的区域，则 $I=\iiint_{\Omega}(x+z) \mathrm{d} v=$ $\_\_\_\_$ ．
599
📝 有解析
第599题
## 第599题 (高等数学 - 填空题) 设球体 $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant z$ 上任一点处的密度等于该点到原点的距离的平方，则此球的质心的 $z$ 坐标为 $\_\_\_\_$。
600
📝 有解析
第600题
## 第600题 (高等数学 - 填空题) 设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x(a>0)$ ，则面积分 $\iint_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区 ✓
601
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第601题
## 第601题 (高等数学 - 填空题) 设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ ，则 $\iint_{\Sigma}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} S=$ $\_\_\_\_$ ． ## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）
602
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第602题
## 第602题 (高等数学 - 填空题) 设曲线 $C$ 为圆 $x^{2}+y^{2}=R^{2}$ ，则线积分 $\oint_{C}\left(x^{2}+y^{2}+2 x y\right) \mathrm{d} s=$ $\_\_\_\_$ ． 603设 $L$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，则 $\oint_{L}(x+2 y)^{2} \mathrm{~d} s=$ $\_\_\_\_$ ． □ 604已知曲线 $L$ 为曲面 $z=\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 与 $x^{2}+y^{2}=1$ 的交线，则 $\oint_{L} x^{2} y^{2} z^{2} \mathrm{~d} s=$ $\_\_\_\_$ ． $\theta^{\infty}$ 纠错笔记若曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} x-a y \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}-1}$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 内与路径无关，则 $a=$ $\_\_\_\_$。 答题 区
606
📝 有解析
第606题
## 第606题 (高等数学 - 填空题) 设 $C$ 为 $|x|+|y|=1$ ，取正向，则 $\displaystyle \oint_{C} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{|x|+|y|}=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区
607
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第607题
## 第607题 (高等数学 - 填空题) 设 $C$ 为上半圆周 $y=\sqrt{2 x-x^{2}}$ 从 $O(0,0)$ 到 $A(2,0)$ 的弧段，则 $\int_{C}\left(x \mathrm{e}^{y^{2}}-2 y\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-1\right) y \mathrm{e}^{y^{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ． 答题 区 608设 $C$ 为曲线 $y=\sqrt{\pi} x^{2}$ 上从 $O(0,0)$ 到 $A(1, \sqrt{\pi})$ 的曲线段，则 $\int_{C} \cos y^{2} \mathrm{~d} x-2 x y \sin y^{2} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ． □ 纠错笔记
609
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第609题
## 第609题 (高等数学 - 填空题) 设 $\Gamma$ 为曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=1 \\ x-y+z=2\end{array}\right.$ ，从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看去为顺时针方向，则 $I=\oint_{\Gamma}(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z=$ $\_\_\_\_$ ．
610
📝 有解析
第610题
## 第610题 (高等数学 - 填空题) 设 $\Omega$ 是由锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与半球面 $z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 围成的空间区域，$\Sigma$ 是 $\Omega$的整个边界的外侧，则 $\oiint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
611
📝 有解析
第611题
## 第611题 (高等数学 - 填空题) 设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 在第一卦限部分的下侧，则 $\iint_{\Sigma} x y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$。 ↓ 纠错笔记
612
📝 有解析
第612题
## 第612题 (高等数学 - 填空题) 设 $D$ 是由 $x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}, y \geqslant 0$ 所确定的上半圆域，则 $D$ 的形心的 $y$ 坐标 $\bar{y}=$ $\_\_\_\_$ ．
613
📝 有解析
第613题
## 第613题 (概率论与数理统计 - 填空题) 设 $\Gamma$ 为质量均匀分布的半圆 $y=\sqrt{1-x^{2}}$ ，线密度为 $\rho$ ，则 $\Gamma$ 对 $x$ 轴的转动惯量 $I_{x}=$ $\_\_\_\_$。 ◯纠错笔记614 设 $f(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ，则 $\left.\operatorname{div}(\operatorname{grad} f)\right|_{(1,-2,2)}=$ $\_\_\_\_$ ．
615
📝 有解析
第615题
## 第615题 (线性代数 - 填空题) 向量场 $\boldsymbol{A}(x, y, z)=(x+y+z) \boldsymbol{i}+x y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k}$ 的旋度 $\operatorname{rot} \boldsymbol{A}=$ $\_\_\_\_$。
616
📝 有解析
第616题
## 第616题 (高等数学 - 选择题) 设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 条件收敛，则 （A）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 都收敛。 （B）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 都发散。 （C）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 收敛而级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 发散。 （D）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right)$ 发散而级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ 收敛。 答题 区
617
📝 有解析
第617题
## 第617题 (高等数学 - 选择题) 在关于级数的如下四个结论中正确的结论是 （A）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}^{2}$ 都收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+v_{n}\right)^{2}$ 收敛。 （B）若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n} v_{n}\right|$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}^{2}$ 都收敛。 （C）若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\displaystyle u_{n} \geqslant \frac{1}{n}$ ． （D）若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，且 $u_{n} \geqslant v_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ 也收敛。
618
📝 有解析
第618题
## 第618题 (高等数学 - 选择题) 现有关于级数的如下四个结论： （1）若 $a_{n}>0$ 且 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1(n=1,2,3, \cdots)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。 （2）若 $a_{n}>0$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散． （3）若 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}+a_{2 n}\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。 （4）设 $a_{n}>0(n=1,2,3, \cdots)$ 且极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}$ 存在，又 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ． 其中正确的是 （A）（1），（2）． （B）（1），（3）． （C）（3），（4）． （D）（2），（4）．
619
📝 有解析
第619题
## 第619题 (高等数学 - 选择题) 设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是正项级数，$S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ 是它的部分和，则下列结论中 （1）若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} S_{n} a_{n}$ 发散。 （2）若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 收敛。 （3）若 $\left\{n a_{n}\right\}$ 是有界数列，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛。 （4）若 $a_{n}>a_{n+1}(n=1,2,3, \cdots)$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛。 正确的是 （A）（1），（2）． （B）（2），（3）． （C）（3），（4）． （D）（4），（1）． 答题 区
620
📝 有解析
第620题
## 第620题 (高等数学 - 选择题) 已知 $u_{n}>0(n=1,2,3, \cdots)$ ，且 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_{n}$ 条件收敛。若设 $v_{n}=3 u_{2 n-1}-u_{2 n} (n=1,2,3, \cdots)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} v_{n}$ （A）发散． （B）条件收敛。 （C）绝对收敛。 （D）收敛或发散取决于 $\left\{u_{n}\right\}$ 的具体形式．
621
📝 有解析
第621题
## 第621题 (高等数学 - 选择题) a_{n}$ 和 $b_{n}$ 符合下列哪一个条件，可由 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散推得 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散． （A）$a_{n} \leqslant b_{n}$ ． （B）$\left|a_{n}\right| \leqslant b_{n}$ ． （C）$a_{n} \leqslant\left|b_{n}\right|$ ． （D）$\left|a_{n}\right| \leqslant\left|b_{n}\right|$ ．$
622
📝 有解析
第622题
## 第622题 (高等数学 - 选择题) 在命题 （1）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛。 （2）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛且 $n \rightarrow \infty$ 时 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ 是等价无穷小，则 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛。 （3）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle a_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right)(n \rightarrow \infty)$ 。 （4）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，又 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 绝对收敛。 中正确的是 （A）（1）． （B）（2）． （C）（3）． （D）
624
📝 有解析
第624题
## 第624题 (高等数学 - 选择题) 设 $a>0$ 为常数，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \cdot \frac{a^{n}}{1+a^{n}}$ 条件收敛，则 $a$ 的取值范围是 （A）$a \in(0,+\infty)$ ． （B）$a \in(0,1]$ ． （C）$a \in[1,+\infty)$ ． （D）$\displaystyle a \in\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$ ．设 $\alpha, \beta, \gamma$ 均为大于 1 的常数，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{\gamma}+\alpha^{n}}{n^{\alpha}+\ln ^{\beta} n+\gamma^{n}}$
626
📝 有解析
第626题
## 第626题 (高等数学 - 选择题) 设正数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，且交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 发散，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left(\frac{1}{a_{n}+1}\right)^{n}$ （A）发散． （B）条件收敛． （C）绝对收敛。 （D）玫散性不能仅由题设条件确定．
627
📝 有解析
第627题
## 第627题 (高等数学 - 选择题) 在如下四个级数 （1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\ln n}{n}$ ． （2）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\left(\sin n^{2}\right) \ln ^{3} n}{\sqrt[3]{n^{4}+1}}$ ． （3）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}-(-1)^{n}}$ ． （4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right)$ ． 中，条件收敛的级数是 （A）（1），（2）． （B）（2），（3）． （C）（3），（4）． （D）（1），（4）．
628
📝 有解析
第628题
## 第628题 (高等数学 - 选择题) 下列四个级数中，发散的级数是 （A）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln \ln n}}$ ． （B）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{2^{n}}$ ． （C）$\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n \ln ^{\alpha} n(\ln \ln n)^{\beta}}$（其中 $\alpha>1, \beta>0$ ）． （D）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \sin \left[\left(n+\frac{1}{\ln n}\right) \pi\right]$ ．
629
📝 有解析
第629题
## 第629题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n!)}{n^{p}}$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是 （A）$p>1$ ． （B）$p>2$ ． （C） $0\frac{1}{2}$ ．
630
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第630题
## 第630题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 有连续的一阶导数且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=a>0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$ （A）发散． （B）绝对收敛． （C）条件收敛。 （D）敛散性与 $a$ 有关．
631
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第631题
## 第631题 (高等数学 - 选择题) 若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛域是 $(-8,8]$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n} x^{n}}{n(n-1)}$ 的收敛半径及 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{3 n}$ 的收敛域分别是 （A） $8,(-2,2]$ ． （B） $8,[-2,2]$ ． （C） $4,(-2,2]$ ． （D） $8,[-2,2)$ ．
632
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第632题
## 第632题 (高等数学 - 选择题) 级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{n}{3^{n}}$ 的和 $S=$ （A）$\displaystyle \frac{3}{32}$ ． （B）$\displaystyle \frac{3}{16}$ ． （C）$\displaystyle \frac{3}{8}$ ． （D）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ． ## $\sigma^{\circ}$
纠错笔记
纠错笔记
633
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第633题
## 第633题 (高等数学 - 选择题) 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n(n+1)}$ 的和函数 $S(x)=$ （A） $\displaystyle \ln (1-x)+\frac{1}{x} \ln (1-x)+1 \quad(-1 \leqslant x<1, x \neq 0)$ ． （B） $\displaystyle \ln (1+x)+\frac{1}{x} \ln (1-x)+1 \quad(-1
634
📝 有解析
第634题
## 第634题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1-\cos x}{x^{2}}, & x \neq 0 \\ \frac{1}{2}, & x=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处六阶导数 $f^{(6)}(0)$ （A）不存在． （B）等于 $\displaystyle -\frac{1}{6}$ ． （C）等于 $\displaystyle \frac{1}{56}$ ． （D）等于 $\displaystyle -\frac{1}{56}$ ．
635
📝 有解析
第635题
## 第635题 (高等数学 - 选择题) 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+1, & 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2} \\ x-1, & \frac{1}{2}
637
📝 有解析
第637题
## 第637题 (高等数学 - 选择题) 直线 $\displaystyle L: \frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-3}{1}$ 与平面 $\Pi: x-y+2 z+4=0$ 的夹角为 （A）$\pi$ ． （B）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ． 638直线 $L$ 为 $\left\{\begin{array}{l}x+3 y+2 z+1=0 \\ 2 x-y-10 z+3=0\end{array}\right.$ ，平面 $\Pi$ 为 $4 x-2 y+z-2=0$ ，则
639
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第639题
## 第639题 (高等数学 - 选择题) 点 $M_{1}(0,1,-1)$ 到直线 $\displaystyle L: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+1}{1}$ 的距离 $d=$ （A）$\sqrt{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ ． （D）$\sqrt{3}$ ． 答题 区 纠错笔记设 $\left|\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right| \neq 0$ ，则直线 $\displaystyle L_{3}: \frac{x-a_{3}}{a_{1}-a_{2}}=\frac{y-b_{3}}{b_{1}-b_{2}}=\frac{z-c_{3}}{c_{1}-c_{2}}$ 与直线 $\displaystyle L_{1}: \frac{x-a_{1}}{a_{2}-a_{3}}= \frac{y-b_{1}}{b_{2}-b_{3}}=\frac{z-c_{1}}{c_{2}-c_{3}}$ 是
641
📝 有解析
第641题
## 第641题 (高等数学 - 选择题) 设有空间区域 $\Omega_{1}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, z \geqslant 0$ ；及 $\Omega_{2}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant R^{2}, x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ， $z \geqslant 0$ ，则 （A） $\iiint_{\Omega_{1}} x \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} x \mathrm{~d} v$. （B） $\iiint_{\Omega_{1}} y \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} y \mathrm{~d} v$. （C） $\iiint_{\Omega_{1}} z \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} z \mathrm{~d} v$ ． （D） $\iiint_{\Omega_{1}} x y z \mathrm{~d} v=4 \iiint_{\Omega_{2}} x y z \mathrm{~d} v$ ．
642
📝 有解析
第642题
## 第642题 (高等数学 - 选择题) 设 $\Omega$ 是由曲面 $z=x^{2}+y^{2}, y=x, y=0, z=1$ 在第一卦限所围成的区域，$f(x, y$ ， $z)$ 在 $\Omega$ 上连续，则 $\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} v$ 等于 （A） $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{1-y^{2}}} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}+y^{2}}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$. （B） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} x \int_{y}^{\sqrt{1-y^{2}}} \mathrm{~d} y \int_{x^{2}+y^{2}}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ ． （C） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{1-y^{2}}} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ ． （D） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{1-y^{2}}} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}+y^{2}}^{1} f(x, y, z) \mathrm{d} z$ ．
643
📝 有解析
第643题
## 第643题 (高等数学 - 选择题) 设 $f(x)$ 有连续的导数，$f(0)=0$ ，区域 $\Omega$ 由柱面 $x^{2}+y^{2}=t^{2}(t>0)$ 和两平面 $z= 0, z=1$ 所围成，则 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^{4}} \iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} v$ 等于 （A）$\pi f^{\prime}(0)$ ． （B）$\pi f(0)$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{2} f(0)$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi}{2} f^{\prime}(0)$ ．
644
📝 有解析
第644题
## 第644题 (高等数学 - 选择题) 下列结论 （1）$\oint_{x^{2}+y^{2}=a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} s=a^{2} \oint_{x^{2}+y^{2}=a^{2}} \mathrm{~d} s=2 \pi a^{3}$ ． （2） $\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=a^{2} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}} \mathrm{~d} \sigma=\pi a^{4}$ ． （3）$\oiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} S=a^{2} \oiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}} \mathrm{~d} S=4 \pi a^{4}$ ． （4） $\displaystyle \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} v=a^{2} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant a^{2}} \mathrm{~d} v=\frac{4}{3} \pi a^{5}$ ． 中正确的条数为 （A） 1 条。 （B） 2 条． （C） 3 条． （D） 4 条．
645
📝 有解析
第645题
## 第645题 (高等数学 - 选择题) 设 $C_{k}(k=1,2,3)$ 分别为曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1, \frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1, x^{2}+y^{2}=2$ ，其方向为逆时针方向，$I_{k}=\oint_{C_{k}}\left(3 y x^{2}+y^{3}\right) \mathrm{d} x+(3 x+y) \mathrm{d} y(k=1,2,3)$ ．则 （A）$I_{1}
646
📝 有解析
第646题
## 第646题 (高等数学 - 选择题) 设曲线 $L$ 为椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ，其周长为 $l$ ，则 $\oint_{L}(b x+a y)^{2} \mathrm{~d} s$ 等于 （A）$(a+b) l$ ． （B）$\left(a^{2}+b^{2}\right) l$ ． （C）$a^{2} b^{2} l$ ． （D）$a b l$ ． 答题 区
647
📝 有解析
第647题
## 第647题 (高等数学 - 选择题) 设 $L$ 是以 $A(1,0), B(0,1), C(-1,0), D(0,-1)$ 为顶点的正方形边界，则 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x+y+1}{|x|+|y|} \mathrm{d} s$ 等于 （A） $4 \sqrt{2}$ ． （B） 0 ． （C） $2 \sqrt{2}$ ． （D） 4 ． ## －纠错笔记
648
📝 有解析
第648题
## 第648题 (高等数学 - 选择题) 在力场 $\displaystyle \boldsymbol{F}=\frac{y^{3} \boldsymbol{i}-x^{3} \boldsymbol{j}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ 的作用下，一质点沿圆周 $x^{2}+y^{2}=1$ 逆时针运动一圈所做的功为 （A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{3 \pi}{2}$ ． （C）$\displaystyle -\frac{\pi}{2}$ ． （D）$\displaystyle -\frac{3 \pi}{2}$ ．
649
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第649题
## 第649题 (线性代数 - 选择题) 设 $L$ 是圆周 $x^{2}+y^{2}=1, \boldsymbol{n}$ 为 $L$ 的外法线向量，$\displaystyle u(x, y)=\frac{1}{12}\left(x^{4}+y^{4}\right)$ ，则 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}} \mathrm{~d} s$ 等于 （A） 0 ． （B）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ． （C）$\pi$ ． （D）$-\pi$ ． ## －纠错笔记
650
📝 有解析
第650题
## 第650题 (线性代数 - 选择题) 设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 为该球面外法线向量的方向余弦，则 $\oiint_{\Sigma}\left(x^{3} \cos \alpha+y^{3} \cos \beta+z^{3} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S$ 等于 （A） $4 \pi R^{5}$ ． （B） $2 \pi R^{3}$ ． （C） $3 \pi R^{4}$ ． （D）$\displaystyle \frac{12 \pi R^{5}}{5}$ ． ## －纠错笔记
651
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第651题
## 第651题 (高等数学 - 选择题) 下列曲线积分 （1） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ ． （2） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ． （3） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ ． （4） $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}}$ ． 中，在平面 $D: x^{2}+y^{2}>0$ 上与路径无关的有 （A） 1 个． （B） 2 个． （C） 3 个． （D） 4 个．
652
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第652题
## 第652题 (高等数学 - 选择题) 设曲线 $L: f(x, y)=1(f(x, y)$ 具有一阶连续偏导数），过第 II 象限内的点 $M$ 和第 IV 象限内的点 $N, \Gamma$ 为 $L$ 上从点 $M$ 到点 $N$ 的一段弧，则下列积分小于零的是 （A） $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} x$ ． （B） $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} y$ ． （C） $\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} s$ ． （D） $\int_{\Gamma} f_{x}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} x+f_{y}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y$ ．
653
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第653题
## 第653题 (高等数学 - 选择题) 设 $\Sigma$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ 上半部分的上侧，则下列结论不正确的是 （A） $\iint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ． （B） $\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ． （C） $\iint_{\Sigma} y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ． （D） $\iint_{\Sigma} y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ． 答题 区
654
📝 有解析
第654题
## 第654题 (高等数学 - 选择题) 设有曲线 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ ，从 $x$ 轴正向看去为逆时针方向，则 $\oint_{\Gamma} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ 等于 （A）$\sqrt{2} \pi a^{2}$ ． （B）$-\sqrt{2} \pi a^{2}$ ． （C）$-\sqrt{3} \pi a^{2}$ ． （D）$\sqrt{3} \pi a^{2}$ ．
655
📝 有解析
第655题
## 第655题 (高等数学 - 选择题) 函数 $f(x, y, z)=x^{2} y^{3}+3 y^{2} z^{3}$ 在点 $(0,1,1)$ 处方向导数的最大值为 （A）$\sqrt{107}$ ． （B）$\sqrt{117}$ ． （C） 117 ． （D） 107 ．
656
📝 有解析
第656题
## 第656题 (线性代数 - 选择题) 函数 $\displaystyle f(x, y)=\arctan \frac{y}{x}$ 在点 $(1,0)$ 处的梯度向量为 （A）$-\boldsymbol{i}$ ． （B） $\boldsymbol{i}$ ． （C）$-j$ ． （D） $\boldsymbol{j}$ ．
657
📝 有解析
第657题
## 第657题 (线性代数 - 选择题) 设可微函数 $f(x, y, z)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处的梯度向量为 $\boldsymbol{g}, \boldsymbol{l}=(0,2,2)$ 为一常向量，且 $\boldsymbol{g} \cdot \boldsymbol{l}=1$ ，则函数 $f(x, y, z)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 处沿 $\boldsymbol{l}$ 方向的方向导数等于 （A） $2 \sqrt{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{2}}$ ． （C）$-2 \sqrt{2}$ ． （D）$\displaystyle -\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ ．
658
📝 有解析
第658题
## 第658题 (高等数学 - 选择题) 过点 $(1,0,0),(0,1,0)$ ，且与曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 相切的平面为 （A）$z=0$ 与 $x+y-z=1$ ． （B）$z=0$ 与 $2 x+2 y-z=2$ ． （C）$x=y$ 与 $x+y-z=1$ ． （D）$x=y$ 与 $2 x+2 y-z=2$ ． 答题 区
659
📝 有解析
第659题
## 第659题 (高等数学 - 选择题) 曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,-1,0)$ 处的切线方程为 （A）$\displaystyle \frac{x-1}{2}=y+1=z$ ． （B）$\displaystyle \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}$ ． （C）$\displaystyle \frac{x-1}{-1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{1}$ ． （D）$\displaystyle x-1=y+1=-\frac{z}{2}$ ．
660
📝 有解析
第660题
## 第660题 (高等数学 - 选择题) 函数 $f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 在点 $(1,-1,1)$ 处沿曲线 $x=t, y=-t^{2}, z=t^{3}$ 在该点指向 $x$ 轴负向一侧的切线方向的方向导数等于 （A）-12 ． （B） 12 ． （C）$\displaystyle -\frac{12}{\sqrt{14}}$ ． （D）$\displaystyle \frac{12}{\sqrt{14}}$ ． □
1
📝 有解析
第1题
### 第1题 设函数 $f(x)$ 为定义在 $(-\infty,+\infty)$ 的奇函数，且 $\forall x \in(-\infty,+\infty), f(x+2)- f(x)=f(2)$ ，若 $f(x)$ 是以 2 为周期的周期函数，则 $f(1)=$
52
📝 有解析
第52题
### 第52题 I=$\displaystyle \int \sqrt{\frac{3-2 x}{3+2 x}} \mathrm{~d} x=$
1
📝 有解析
第1题
### 【基础篇】第1题（选择题） 1．函数 $f(x)=x^{2} \tan x \mathrm{e}^{\cos x}$ 是（ ）． （A）有界函数 （B）单调函数 （C）周期函数 （D）奇函数
1
📝 有解析
第1题
### 【强化篇】第1题（填空题） 1． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\arcsin x}{x}\right)^{\frac{1}{\sin ^{2} x}}=$ $\_\_\_\_$ ．
2
📝 有解析
第2题
### 【基础篇】第2题（解答题） 2．设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义，在区间 $[0,2]$ 上，$f(x)=x\left(x^{2}-4\right)$ ，若对任意的 $x$ 都满足 $\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2} f(x+2)$ 。写出 $f(x)$ 在 $[-2,0)$ 上的表达式。
2
📝 有解析
第2题
### 【强化篇】第2题（填空题） 2． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_{0}^{x}(1+\sin 2 t)^{\frac{1}{t}} \mathrm{~d} t=$ $\_\_\_\_$ ．
3
📝 有解析
第3题
### 【基础篇】第3题（解答题） 3．设函数 $f(x)= \begin{cases}1-2 x^{2}, & x<-1, \\ x^{3}, & -1 \leqslant x \leqslant 2, \text { 写出 } f(x) \text { 的反函数 } g(x) \text { 的表达式．} \\ 12 x-16, & x>2 .\end{cases}$
3
📝 有解析
第3题
### 【强化篇】第3题（填空题） 3． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{\frac{2}{x}}-1\right)^{\frac{2}{\ln x}}=$ $\_\_\_\_$ ．
4
📝 有解析
第4题
### 【基础篇】第4题（解答题） 4．设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上满足
$$ f(x)=f(x-\pi)+\sin x $$
且 $f(x)=x, x \in[0, \pi)$ ，求 $f(x)$ 在 $[\pi, 3 \pi)$ 上的表达式。
4
📝 有解析
第4题
### 【强化篇】第4题（解答题） 4．计算 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x}\left[\mathrm{e}^{(1-x)^{2}}-1\right] \sin t \mathrm{~d} t}{x^{2}\left(\mathrm{e}^{x^{2}}-1\right)}$ ．
5
📝 有解析
第5题
### 【基础篇】第5题（选择题） 5．当 $x \rightarrow 0$ 时， $\mathrm{e}-\mathrm{e}^{\cos x}$ 是 $\sqrt[3]{1+x^{2}}-1$ 的（ ）。 （A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小 （C）同阶但非等价无穷小 （D）等价无穷小
5
📝 有解析
第5题
### 【强化篇】第5题（填空题） 5．设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[1+2 x+3 x^{2}+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}^{5}$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[1+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}=$ $\_\_\_\_$ ．
6
📝 有解析
第6题
### 【基础篇】第6题（选择题） 6．设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内有定义，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x-f(x-1)-1}{\ln x}=1$ ，则以下结论： （1）$f(0)=0$ ； （2） $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$ ； （3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$ ； （4）当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 是 $x$ 的高阶无穷小。 所有正确结论的序号为（ ）。 （A）（1）（2） （B）（2）（4） （C）（3）（4） （D）（2）（3）
6
📝 有解析
第6题
### 【强化篇】第6题（解答题） 6．设函数 $f(x)$ 在点 $x=3$ 的邻域内可微，且 $\lim _{x \rightarrow 3} f(x)=0, \lim _{x \rightarrow 3} f^{\prime}(x)=4016$ ．求
$$ $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 3} \frac{\int_{3}^{x}\left[t \int_{t}^{3} f(s) \mathrm{d} s\right] \mathrm{d} t}{(3-x)^{3}} .$ $$
7
📝 有解析
第7题
### 【基础篇】第7题（填空题） 7．已知当 $x \rightarrow 0$ 时，$a x^{3}$ 与 $\displaystyle \sqrt{1+x^{2}}-x \ln \left(1+\frac{x}{2}\right)+b$ 为等价无穷小，则 $a b=$ $\_\_\_\_$ ．
7
📝 有解析
第7题
### 【强化篇】第7题（选择题） 7．设 $f(x), g(x)$ 在点 $x=0$ 的某邻域内连续，且当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 与 $g(x)$ 为等价无穷小，则当 $x \rightarrow 0$ 时， $\int_{0}^{x} f(t)(1-\cos t) \mathrm{d} t$ 是 $\int_{0}^{x} t^{2} g(t) \mathrm{d} t$ 的 ）． （A）等价无穷小 （B）同阶但非等价无穷小 （C）高阶无穷小 （D）低阶无穷小
8
📝 有解析
第8题
### 【基础篇】第8题（选择题） 8．设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 2 x+x f(x)}{x^{3}}=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \cos x+f(x)}{x^{2}}=(\quad)$ ． （A） 0 （B）$\displaystyle -\frac{2}{3}$ （C）$\displaystyle \frac{4}{3}$ （D）$\infty$
8
📝 有解析
第8题
### 【强化篇】第8题（选择题） 8．当 $x \rightarrow 0$ 时，$a \int_{0}^{x^{2}} \cos t^{2} \mathrm{~d} t$ 与 $\sin x-b \ln (1+x)$ 是等价无穷小，则 $(a, b)=$ ． （A）$(1,2)$ （B）$(-1,2)$ （C）$\displaystyle \left(\frac{1}{2}, 1\right)$ （D）$\displaystyle \left(-\frac{1}{2}, 1\right)$
9
📝 有解析
第9题
### 【基础篇】第9题（选择题） 9． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{e}^{x}-x \arctan x}{\mathrm{e}^{r}+x}=(\quad)$ ． （A） 1 （B）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ （C） 0 （D）不存在
9
📝 有解析
第9题
### 【强化篇】第9题（选择题） 9．设当 $x \rightarrow 0$ 时， $\int_{0}^{x}\left(\mathrm{e}^{\cos t^{2}}-\mathrm{e}^{t}\right) \mathrm{d} t$ 与 $a x^{b}$ 是等价无穷小量，则 $(a, b)=$ ． （A）$\displaystyle \left(-\frac{1}{6}, 3\right)$ （B）$\displaystyle \left(-\frac{1}{24}, 4\right)$ （C）$\displaystyle \left(-\frac{1}{2}, 5\right)$ （D）$\displaystyle \left(-\frac{1}{12}, 6\right)$
10
📝 有解析
第10题
### 【基础篇】第10题（填空题） 10． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(2^{\frac{1}{x}}-3^{\frac{1}{x}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
10
📝 有解析
第10题
### 【强化篇】第10题（填空题） 10．已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{3}-3 x^{2}+b x^{2}+x-3 b x-3}{x+a}=25$ ，则 $a b=$ $\_\_\_\_$ ．
11
📝 有解析
第11题
### 【基础篇】第11题（填空题） 11．求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-\left(x-\frac{5}{2} x^{2}\right)}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
11
📝 有解析
第11题
### 【强化篇】第11题（解答题） 11．设函数 $f(x)$ 在 $0<|x|<1$ 上有定义，且满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\cos x+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{2}}=\mathrm{e}^{-1}$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sin ^{3} x}$ ．
12
📝 有解析
第12题
### 【基础篇】第12题（填空题） 12． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2-\sin x-\cos x}{1+x}\right)^{\frac{1}{\min x}}=$ $\_\_\_\_$ ．
12
📝 有解析
第12题
### 【强化篇】第12题（填空题） 12．设函数 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处连续，$\displaystyle f(0)=\frac{1}{2}$ ，且函数 $\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x} \sin \frac{x}{2}, & x<0, \\ x+\frac{1}{2}, & x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f(x)+g(x) \int_{0}^{2 x} \cos t^{2} \mathrm{~d} t}{x g(x)}=$ $\_\_\_\_$ ．
13
📝 有解析
第13题
### 【基础篇】第13题（填空题） 13．已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-2} \frac{2 x^{3}+a x^{2}-3 x+6}{x+2}=b$ ，则 $a b=$ $\_\_\_\_$ ．
13
📝 有解析
第13题
### 【强化篇】第13题（选择题） 13．$\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \pi^{x}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-\mathrm{e}\right]$ 在 $x=1$ 处（ ）。 （A）左极限存在，右极限不存在 （B）左极限不存在，右极限存在 （C）左、右极限都存在，但不相等 （D）连续
14
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第14题
### 【基础篇】第14题（填空题） 14． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^{2}-x \ln (1+x)}=$ $\_\_\_\_$ ．
14
📝 有解析
第14题
### 【强化篇】第14题（解答题） 14．计算 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{x^{x+1}}{(1+x)^{x}}-\frac{x}{\mathrm{e}}\right]$ ．
15
📝 有解析
第15题
### 【基础篇】第15题（填空题） 15． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \ln \left(1+2^{x}\right) \ln \left(1+\frac{2}{x}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
15
📝 有解析
第15题
### 【强化篇】第15题（填空题） 15． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{\sin ^{2} x}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
16
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第16题
### 【基础篇】第16题（填空题） 16． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{1}{x}+\sin \frac{1}{x}\right)^{\frac{x}{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
16
📝 有解析
第16题
### 【强化篇】第16题（解答题） 16．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1+\int_{0}^{x}(1+t)^{\frac{1}{r}} \mathrm{~d} t}{x}-\frac{1}{\sin x}\right]$ ．
17
📝 有解析
第17题
### 【基础篇】第17题（填空题） 17．$\displaystyle f(x)=\frac{\tan x}{1+x^{2}}$ 在 $x=0$ 处的 3 次泰勒多项式为 $\_\_\_\_$ ．
17
📝 有解析
第17题
### 【强化篇】第17题（解答题） 17．设函数 $f(x)$ 在点 $x=0$ 的某一邻域内可导，且 $f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} f(t) \mathrm{d} t}{x^{2} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t}$ ．
18
📝 有解析
第18题
### 【基础篇】第18题（填空题） 18．已知 $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)$ 存在，且 $f(x)=x^{2}+\mathrm{e}^{x} \lim _{x \rightarrow 1} f(x)$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
18
📝 有解析
第18题
### 【强化篇】第18题（填空题） 18．设存在 $0<\theta<1$ ，使得 $\int_{0}^{x} e^{t} \mathrm{~d} t=x \mathrm{e}^{\theta x}, x>0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \theta=$ $\_\_\_\_$ ．
19
📝 有解析
第19题
### 【基础篇】第19题（填空题） 19．设 $\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}+x \mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}-1}-\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处连续，则应补充 $f(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
19
📝 有解析
第19题
### 【强化篇】第19题（选择题） 19．已知 $\displaystyle f(x)= \begin{cases}1, & x \text { 是整数，} \\ -1, & x \text { 不是整数，} \text { 则 }^{\lim } \int_{x \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{1}{x}} f(x) \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t=(\quad) \text { ．}\end{cases}$ （A） $\mathrm{e}^{-1}$ （B） e （C） 0 （D） 1
20
📝 有解析
第20题
### 【基础篇】第20题（填空题） 20．设 $\displaystyle f(x)=\frac{1-x \cdot 2^{1-x}}{(2-x)(1-x)}(x \neq 1,2)$ ，若 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上连续，则 $f(1) f(2)=$ $\_\_\_\_$ ．
20
📝 有解析
第20题
### 【强化篇】第20题（填空题） 20．设当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)=\int_{0}^{x} \sin (t x)^{2} \mathrm{~d} t$ 与 $x^{n}$ 是同阶无穷小，则正整数 $n=$ $\_\_\_\_$ ．
21
📝 有解析
第21题
### 【基础篇】第21题（选择题） 21．函数 $\displaystyle f(x)=\frac{|x| x-1}{x(x+1) \ln |x|}$ 的可去间断点的个数为（ ． （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3
21
📝 有解析
第21题
### 【强化篇】第21题（选择题） 21．设 $\alpha(x)$ 是 $x \rightarrow 0$ 时的非零无穷小量，且 $\alpha(2 x)-\alpha(x)=o(x)$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha(x)}{x}$ 的值是（ ）。 （A） 0 （B） 1 （C）$\infty$ （D） 0 或 $\infty$
22
📝 有解析
第22题
### 【基础篇】第22题（选择题） 22．函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\ln |1-x|}{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)(x+2)}$ 的第二类间断点的个数为 ． （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3
22
📝 有解析
第22题
### 【强化篇】第22题（填空题） 22．若二次多项式 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内与 $g(x)=\sec x$ 的差为 $x^{2}$ 的高阶无穷小，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$。
23
📝 有解析
第23题
### 【基础篇】第23题（选择题） 23．设 $\displaystyle f(x)=\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{x+\mathrm{e}^{t x}}{1+\mathrm{e}^{t x}}$ ，则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的 ． （A）可去间断点 （B）跳跃间断点 （C）振荡间断点 （D）无穷间断点
23
📝 有解析
第23题
### 【强化篇】第23题（选择题） 23．当 $n \rightarrow \infty$ 时， $\displaystyle \mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ 与 $\displaystyle \frac{c}{n^{k}}$ 为等价无穷小，则 ． $\displaystyle (\mathrm{A})_{c}=\frac{\mathrm{c}}{3}, k \approx 2$ （B）$\displaystyle c=\frac{c}{2}, k=2$ （C）$\displaystyle c=\frac{c}{3}, k=1$ （D）$\displaystyle c=\frac{\mathrm{e}}{2}, k=1$
24
📝 有解析
第24题
### 【强化篇】第24题（选择题） 24．当 $x \rightarrow 0$ 时，$\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 是非零且不相等的等价无穷小量，以下 4 个结论： $(1) \alpha(x)+\beta(x)=2 \alpha(x)$ ； （2）$\alpha(x)+\beta(x)=2 \beta(x) ;$
第1章 函数极限与连续 （3）$\alpha(x)-\beta(x)=o(\alpha(x))$ ； （4）$\alpha(x)-\beta(x)=o(\beta(x))$ ． 所有正确结论的序号是 ． （A）（1）（3） （C）（1）（2）（3）（4） （B）（3）（4） （D）（2）（4）
25
📝 有解析
第25题
### 【强化篇】第25题（选择题） 25．当 $x \rightarrow 0$ 时，$(3+2 \tan x)^{x}-3^{x}$ 是 $\displaystyle 3 \sin ^{2} x+x^{3} \cos \frac{1}{x}$ 的（ ． （A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小 （C）等价无穷小 （D）同阶但非等价无穷小
26
📝 有解析
第26题
### 【强化篇】第26题（选择题） 26．当 $x \rightarrow 0$ 时，以下无穷小中，阶数最高的是 ）． （A） $\displaystyle \int_{0}^{\sin x}(1+t)^{\frac{2}{t}} \mathrm{~d} t$ （B） $\int_{0}^{\ln \left(1+x^{2}\right)} \sqrt{\cos ^{3} t} \mathrm{~d} t$ （C） $\int_{0}^{x}\left(\mathrm{e}^{\cos t}-\mathrm{e}^{\sin t}\right) \mathrm{d} t$ （D） $\int_{0}^{x-\tan x} \arctan t \mathrm{~d} t$
27
📝 有解析
第27题
### 【强化篇】第27题（填空题） 27．当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $f(x)=a x+b x^{2}+\ln (1+x)$ 与 $g(x)=1-\cos x$ 是等价无穷小，则 $a b=$ $\_\_\_\_$ ．
28
📝 有解析
第28题
### 【强化篇】第28题（填空题） 28．当 $x \rightarrow 0$ 时，$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x}-\arctan x$ 与 $g(x)=a x^{b}$ 是等价无穷小，则 $a b=$ $\_\_\_\_$ ．
29
📝 有解析
第29题
### 【强化篇】第29题（选择题） 29．当 $x \rightarrow 0$ 时， $\ln (1+x)-\tan x$ 与 $a x^{b}$ 是等价无穷小，则 $(a, b)=()$ 。 （A）$\displaystyle \left(-\frac{1}{2}, 2\right)$ （B）$\displaystyle \left(\frac{1}{2}, 2\right)$ （C）$\displaystyle \left(-\frac{1}{3}, 3\right)$ （D）$\displaystyle \left(\frac{1}{3}, 3\right)$
30
📝 有解析
第30题
### 【强化篇】第30题（选择题） 30．当 $x \rightarrow 0$ 时，$x-\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) \sim a x^{b}$ ，则 $a, b$ 的值分别是 ． （A）$\displaystyle \frac{1}{6}, 3$ （B）$\displaystyle \frac{1}{6}, 2$ （C）$\displaystyle \frac{1}{3}, 2$ （D）$\displaystyle \frac{1}{3}, 3$
31
📝 有解析
第31题
### 【强化篇】第31题（选择题） 31．当 $x \rightarrow 0$ 时， $\arcsin x-x$ 与 $a x^{b}$ 是等价无穷小，则 $(a, b)=$ ． （A）$\displaystyle \left(-\frac{1}{6}, 2\right)$ （B）$\displaystyle \left(\frac{1}{6}, 2\right)$ （C）$\displaystyle \left(-\frac{1}{6}, 3\right)$ （D）$\displaystyle \left(\frac{1}{6}, 3\right)$
32
📝 有解析
第32题
### 【强化篇】第32题（解答题） 32．设函数 $f(x)=x-[x]$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．
33
📝 有解析
第33题
### 【强化篇】第33题（选择题） 33．设函数 $\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ 在 $x=0$ 处的 2 次泰勒多项式为 $a+b x+c x^{2}$ ，则 ）． （A）$a=1, b=1, c=1$ （B）$\displaystyle a=1, b=1, c=\frac{1}{2}$ （C）$\displaystyle a=0, b=-1, c=\frac{1}{2}$ （D）$a=0, b=-1, c=1$
34
📝 有解析
第34题
### 【强化篇】第34题（解答题） 34．已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[a \frac{2+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1+\mathrm{e}^{\frac{4}{x}}}+(1+|x|)^{\frac{1}{x}}\right]$ 存在，求 $a$ 的值．
35
📝 有解析
第35题
### 【强化篇】第35题（解答题） 35．已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_{0}^{x} t^{2} \mathrm{e}^{x^{2}-t^{2}} \mathrm{~d} t+a \mathrm{e}^{x^{2}}}{x^{b}}=-\frac{1}{2}$ ，求 $a, b$ 的值．
36
📝 有解析
第36题
### 【强化篇】第36题（选择题） 36．设函数 $f(x)$ 满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x-1}-1}=1$ ，则 ． （A）$f(1)=0$ （B） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$ （C）$f^{\prime}(1)=0$ （D） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=1$
37
📝 有解析
第37题
### 【强化篇】第37题（选择题） 37．设 $g(x)=\mathrm{e}^{\sqrt{x^{2}-2 x+1}}$ ，则 ． （A） $\lim _{x \rightarrow 1} g(x)$ 不存在 （B） $\lim _{x \rightarrow 1} g(x)$ 存在，但在 $x=1$ 处 $g(x)$ 不连续 （C）在 $x=1$ 处 $g(x)$ 导数存在 （D）在 $x=1$ 处 $g(x)$ 连续，但不可导
38
📝 有解析
第38题
### 【强化篇】第38题（解答题） 38．若 $\displaystyle f^{\prime}(x)=1+x^{2}+x^{3}+o\left(x^{3}\right)(x \rightarrow 0), g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x}{f(x)-f(0)}, & x \neq 0, \\ a, & x=0,\end{array}\right.$ 且 $g(x)$ 连续． （1）求 $a$ 的值； （2）当 $x \rightarrow 0$ 时，计算 $g(x)$ 到 3 阶的带佩亚诺余项的泰勒公式。
39
📝 有解析
第39题
### 【强化篇】第39题（选择题） 39．下面结论正确的是（ ）。 （A）设 $u=f(x)$ 在 $x_{0}$ 处连续，而 $v=g(x)$ 在 $x_{0}$ 处不连续，则函数 $y=f(x) g(x)$ 在 $x_{0}$ 处一定不连续 （B）设 $u=f(x)$ 在 $x_{0}$ 处连续，而 $v=g(x)$ 在 $x_{0}$ 处不连续，则函数 $y=f(x)+g(x)$ 在 $x_{0}$ 处一定不连续 （C）设 $u=f(x)$ 在 $x_{0}$ 处连续，而 $v=g(u)$ 在 $u_{0}=f\left(x_{0}\right)$ 处不连续，则复合函数 $y=g[f(x)]$在 $x_{0}$ 处一定不连续 （D）以上选项均不正确
40
📝 有解析
第40题
### 【强化篇】第40题（解答题） 40．设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{n+1}+(\cos \pi x+1) \sin \alpha x}{x^{n}+(\cos \pi x+1)}$ ，为使 $f(x)$ 对于一切 $x$ 都连续，求常数 $\alpha$ 的最小正值．
41
📝 有解析
第41题
### 【强化篇】第41题（选择题） 41．设函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\cos x}$ 在 $x=0$ 处的 3 次泰勒多项式为 $a x+b x^{2}+c x^{3}$ ，则（）。 （A）$\displaystyle a=1, b=0, c=\frac{1}{2}$ （B）$\displaystyle a=0, b=1, c=\frac{1}{2}$ （C）$\displaystyle a=0, b=\frac{1}{2}, c=1$ （D）$\displaystyle a=\frac{1}{2}, b=1, c=0$
42
📝 有解析
第42题
### 【强化篇】第42题（选择题） 42．$\displaystyle f(x)=\frac{|\ln | x| |}{x^{2}-1}$ 有（ ）． （A）两个跳跃间断点，一个无穷间断点 （B）两个可去间断点，一个无穷间断点 （C）一个可去间断点，一个跳跃间断点，一个无穷间断点 （D）三个无穷间断点
## 第2章 数列极限
1
📝 有解析
第1题
### 【基础篇】第1题（选择题） 1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{4}{\pi} \arctan \frac{n}{n+1}\right)^{n}=$ ． （A） $\displaystyle \mathrm{e}^{-\frac{2}{\pi}}$ （B）$\displaystyle e^{-\frac{\pi}{2}}$ （C）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ （D）$\displaystyle \frac{2}{\pi}$
1
📝 有解析
第1题
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $\displaystyle a_{n}=(n+3) \frac{1}{n+3}, n=1,2, \cdots$ ，则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是（ ）． （A）单增的 （B）单减的 （C）不单调的 （D）无界的
2
📝 有解析
第2题
### 【基础篇】第2题（填空题） 2． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{99}}{n^{100}-(n-1)^{100}}=$ $\_\_\_\_$ ．
2
📝 有解析
第2题
### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $a_{n}$ 是方程 $x=\tan \sqrt{x}$ 在 $\displaystyle \left((n \pi)^{2},\left(n \pi+\frac{\pi}{2}\right)^{2}\right)(n=1,2, \cdots)$ 内的根，则 $\lim _{n+\infty}\left(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_{n}}\right)=$ （ ）． （A） 0 （B）$\displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ （C）$\sqrt{\pi}$ （D）$\pi$
3
📝 有解析
第3题
### 【基础篇】第3题（填空题） 3．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 非负有界，$\displaystyle b_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{a_{n}+n^{2}}$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{b_{n}}=$ $\_\_\_\_$ ．
3
📝 有解析
第3题
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．设正项数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调增加，则以下选项中使得 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛的是（ ）。 （A）$\displaystyle \left\{\left(1+a_{n}\right)^{\frac{1}{a_{n}}}\right\}$ 收敛于 1 （B）$\displaystyle \left\{\left(1+\frac{1}{a_{n}}\right)^{a_{n}}\right\}$ 收敛于 e （C）$\left\{a_{n} \ln a_{n}\right\}$ 收敛于 0 （D）$\displaystyle \left\{\frac{\ln a_{n}}{a_{n}}\right\}$ 收敛于 0
4
📝 有解析
第4题
### 【基础篇】第4题（解答题） 4．设 $\displaystyle x_{0}>0, x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right)(n=0,1,2, \cdots)$ ，且 $a>0$ ，证明 $\lim _{n \rightarrow-\infty} x_{n}$ 存在，并求此极限．
4
📝 有解析
第4题
### 【强化篇】第4题（解答题） 4．设 $f(x)$ 满足 $|f(x)-f(y)|<|x-y|$ ，对任意不同的 $x, y$ 均成立，且
$$ f\left(x_{1}\right)>x_{1}, f\left(x_{1}+1\right)
5
📝 有解析
第5题
### 【基础篇】第5题（填空题） 5．当 $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sin ^{n} x+\cos ^{n} x}=$ $\_\_\_\_$ ．
5
📝 有解析
第5题
### 【强化篇】第5题（解答题） 5．设 $\displaystyle 0 \leqslant x_{1} \leqslant \sqrt{c}, x_{n+1}=\frac{c\left(1+x_{n}\right)}{c+x_{n}}, n \in \mathbf{Z}^{+}, c>1$ ．证明数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其值．
6
📝 有解析
第6题
### 【基础篇】第6题（填空题） 6． $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3 n}}=$ $\_\_\_\_$ ．公众号：研池大叔 免费分享最新考研资料课程
6
📝 有解析
第6题
### 【强化篇】第6题（解答题） 6．（1）当 $\displaystyle 0\frac{2}{\pi} x$ ； （2）设数列 $\left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle x_{n+1}=\sin x_{n}, y_{n+1}=y_{n}^{2}, n=1,2,3, \cdots, x_{1}=y_{1}=\frac{1}{2}$ ，当 $n \rightarrow \infty$ 时、证明 $y_{n}$ 是比 $x_{n}$ 高阶的无穷小量。
7
📝 有解析
第7题
### 【基础篇】第7题（选择题） 7．设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $x_{n+1}=\ln x_{n}+1, x_{n}>0, n=1,2, \cdots$ ，则 $\left\{x_{n}\right\}$ ． （A）单调不减 （B）单调不增 （C）严格单增 （D）严格单减
7
📝 有解析
第7题
### 【强化篇】第7题（解答题） 7．设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle 0
8
📝 有解析
第8题
### 【基础篇】第8题（解答题） 8．若对于数列 $\left\{x_{n}\right\}$ ，存在常数 $k(0
8
📝 有解析
第8题
### 【强化篇】第8题（解答题） 8．已知数列 $\left\langle x_{a}\right\rangle$ 满足 $\displaystyle 0
9
📝 有解析
第9题
### 【基础篇】第9题（解答题） 9．若对于数列 $\left\{x_{n}\right\}, x_{n+1}=f\left(x_{n}\right), n=1,2, \cdots, f(x)$ 可导，$a$ 是 $f(x)=x$ 的唯一解，且对任意的 $x \in \mathbf{R}$ ，有 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant k<1$ ．证明 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛于 $a$ ．
9
📝 有解析
第9题
### 【强化篇】第9题（选择题） 9．设 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x, b_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} t \mathrm{~d} t$ ，则极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{(n+1) a_{n}}{b_{n}}\right]^{n}=$ ． （A） 0 （B）$e$ （C） $\mathrm{e}^{-1}$ （D）$+\infty$
10
📝 有解析
第10题
### 【基础篇】第10题（解答题） 10．设 $a_{n}>0, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=0$ ，且 $\mathrm{e}^{a_{n}}+a_{n}=\mathrm{e}^{b_{n}}, n=1,2, \cdots$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ．
10
📝 有解析
第10题
### 【强化篇】第10题（解答题） 10．设 $x_{1}<0, x_{n+1}=\mathrm{e}^{x_{n}}-1$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n+1}}\right)$ ．
11
📝 有解析
第11题
### 【基础篇】第11题（解答题） 11．设 $c=2 \ln (1+b), b>a>0$ ，且 $a$ 是方程 $x-2 \ln (1+x)=0$ 的唯一非零解，证明 $c>a$ ．
11
📝 有解析
第11题
### 【强化篇】第11题（解答题） 11．已知 $a_{n}=\int_{0}^{1} t^{n}|\ln t| \mathrm{d} t, n=1,2, \cdots$ ，计算 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(n^{2} a_{n}\right)^{n}$ ．
12
📝 有解析
第12题
### 【基础篇】第12题（解答题） 12．设单调递减数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $x_{n+1}=2 \ln \left(1+x_{n}\right), n=1,2, \cdots, x_{1}>a>0$ ，且 $a$ 是 $x-2 \ln (1+ x)=0$ 的唯一非零解，证明 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛。
12
📝 有解析
第12题
### 【强化篇】第12题（解答题） 12．设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}, n=2,3, \cdots$ ，计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)^{\ln \left(1+\mathrm{e}^{2 n}\right)}$ ．
13
📝 有解析
第13题
### 【强化篇】第13题（解答题） 13．设 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{n}{2}} \mathrm{~d} x, n=1,2, \cdots$ ． （1）证明 $a_{n+1}
14
📝 有解析
第14题
### 【强化篇】第14题（解答题） 14．设数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足：
$$ $\begin{gathered}$ a_{0}=\frac{1}{2}, a_{n+1}=a_{n}^{2}, n=0,1,2, \cdots \\ b_{n}=\tan b_{n+1}, 0<-b_{n}<\frac{\pi}{4}, n=0,1,2, \cdots \end{gathered} $$
计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ．
15
📝 有解析
第15题
### 【强化篇】第15题（解答题） 15．已知 $f(x)$ 可导，且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant \frac{1}{\mathrm{e}}$ ，方程 $f(x)=x$ 有唯一解 $x=0$ ，又 $x_{n+1}=f\left(x_{n}\right), n=1$ ， $2, \cdots$ ．证明：当 $n \rightarrow \infty$ 时，$x_{n}$ 是 $\displaystyle \mathrm{e}^{-\frac{n}{2}}$ 的高阶无穷小．
## 第3章 一元函数微分学的概念
1
📝 有解析
第1题
### 【基础篇】第1题（填空题） 1．设 $f(x)$ 浿足 $f(0)=0$ ，且 $f^{\prime}(0)$ 存在，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1-\cos x)}{\ln (1-x \sin x)}=$ $\_\_\_\_$。
1
📝 有解析
第1题
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．函数 $f(x)=\left(e^{x}-1\right)\left|x^{3}-x^{2}+x\right|$ 的不可导点的个数为 () 。 （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3
2
📝 有解析
第2题
### 【基础篇】第2题（选择题） 2、设 $F(x)=g(x) \varphi(x), \varphi(x)$ 在 $x=a$ 处连续但不可导，$g(x)$ 在 $x=a$ 处可导，$F(x)$ 在 $x=g$处可导，则一定有（ ）。 $(A)_{g}(a)=0$ （B）$g(a) \neq 0$ （C）$)_{g}^{\prime}(a)=0$ （D）$g(a)$ 可以为任意实数
2
📝 有解析
第2题
### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $f\left(x+x_{0}\right)=a f(x)$ 恒成立，$f^{\prime}(0)=\beta\left(\alpha, \beta\right.$ 为非零常数），则 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处（ ）。 （A）可导且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\alpha \beta$ （B）可导且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\alpha$ （C）可导且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\beta$ （D）不可导
3
📝 有解析
第3题
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设连续函数 $f(x)$ 满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 2} \frac{\ln (x-1)}{f(3-x)}=2$ ，且 $f(1)=0$ ，则 $f^{\prime}(1)$ 的值为 () 。 （A） 2 （B）-2 （C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ （D）$\displaystyle -\frac{1}{2}$
3
📝 有解析
第3题
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2} \sin \frac{t}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 其中 $t$ 为非零常数，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处（ ）。 （A）不连续 （B）连续但不可导 （C）可导但 $f^{\prime}(x)$ 不连续 （D）可导且 $f^{\prime}(x)$ 连续
4
📝 有解析
第4题
### 【基础篇】第4题（填空题） 4．设 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处可导，$f(0)=f^{\prime}(0)=\sqrt{2}$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{2}(x)-2}{x}=$ $\_\_\_\_$ ．
4
📝 有解析
第4题
### 【强化篇】第4题（选择题） 4．设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义，且在点 $x=0$ 处连续，则以下结论： （1）当 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt[3]{x}}=0$ 时，$f(x)$ 在点 $x=0$ 处可导； （2）当 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=0$ 时，$f(x)$ 在点 $x=0$ 处可导； （3）当 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处可导时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt[3]{x}}=0$ ． 所有正确结论的序号为（ ）。 （A）（1） （B）（2） （C）（2）（3） （D）（1）（2）
5
📝 有解析
第5题
### 【基础篇】第5题（填空题） 5．设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{n^{2}}, \frac{1}{(n+1)^{2}}
5
📝 有解析
第5题
### 【强化篇】第5题（选择题） 5．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 记 $F(x)=g[f(x)], g(x)$ 可导，则 $F(x)$ 在 $x=0$ 处（ ）。 （A）不连续 （B）可导且 $F^{\prime}(0)=0$ （C）连续但不可导 （D）可导且 $F^{\prime}(0) \neq 0$
6
📝 有解析
第6题
### 【基础篇】第6题（填空题） 6．设可导函数 $f(x)>0$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \ln \frac{f\left(\frac{1}{n}\right)}{f(0)}=$ $\_\_\_\_$ ．
6
📝 有解析
第6题
### 【强化篇】第6题（选择题） 6．设函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 内有定义，$f(0)=f^{\prime}(0)=a>0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(\sin x)-a}{\ln [f(x)]-\ln a}=(\quad)$ 。 （A）$\displaystyle \frac{1}{a}$ （B）$a$ （C） $\cos a$ （D）$a \cos a$
7
📝 有解析
第7题
### 【基础篇】第7题（选择题） 7．设函数 $f(x)$ 可导，$|f(x)|$ 在 $x=0$ 处不可导，则（ ）。 （A）$f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ （B）$f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0$ （C）$f(0) \neq 0, f^{\prime}(0)=0$ （D）$f(0) \neq 0, f^{\prime}(0) \neq 0$
7
📝 有解析
第7题
### 【强化篇】第7题（解答题） 7．设 $\displaystyle g(0)=g^{\prime}(0)=0, f(x)= \begin{cases}g(x) \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \text { ，求 } f^{\prime}(0) \text { ，} \\ 0, & x=0,\end{cases}$
8
📝 有解析
第8题
### 【基础篇】第8题（填空题） 8．设函数 $f(x)$ 连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-1}{\ln x}=2$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $x=1$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．
8
📝 有解析
第8题
### 【强化篇】第8题（解答题） 8．确定 $a, b$ 的值，使丽数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin a x, & x \leqslant 0, \\ \ln (1+x)+b, & x>0\end{array}\right.$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导．
9
📝 有解析
第9题
### 【基础篇】第9题（选择题） 9．设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导，且 $\Delta f(1)$ 是 $f(x)$ 在增量为 $\Delta x$ 时的函数值增量，则 $\displaystyle \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta f(1)-\mathrm{d} f(1)}{\Delta r}=(\quad)$ 。 （A）$f^{\prime}(1)$ （B） 1 （C）$\infty$ （D） 0
9
📝 有解析
第9题
### 【强化篇】第9题（解答题） 9．设函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 的某个邻域内可导且 $f(a)=0$ ，若其铯对值函数 $|f(x)|$ 在 $x=a$ 处
也可导，求 $f^{\prime}(a)$ 的值，并说明理由．
10
📝 有解析
第10题
### 【基础篇】第10题（选择题） 10．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{3} \sin \frac{1}{x}, & x>0, \\ x^{2}, & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处（ ）。 （A）不连续 （B）连续，但不可导 （C）可导，但导函数不连续 （D）可导，且导函数连续
10
📝 有解析
第10题
### 【强化篇】第10题（解答题） 10．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{g(x)-\mathrm{e}^{-x}}{x}, & x \neq 0, \\ a, & x=0,\end{array}\right.$ 其中 $g(x)$ 二阶连续可导，$g(0)=1, g^{\prime}(0)=-1$ ． （1）$a$ 为何值时，$f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续？ （2）当 $f(x)$ 为连续函数时，$f(x)$ 是否可导？若可导，求 $f^{\prime}(x)$ ．
11
📝 有解析
第11题
### 【基础篇】第11题（选择题） 11．设 $\varphi(x)$ 具有一阶连续导数，$f(x)=\varphi(x)[1+|\ln (1+x)|]$ ，则 $\varphi(0)=0$ 是 $f(x)$ 在 $x=$处可导的（ ）。 （A）充分必要杀件 （B）充分非必要条件 （C）必要非充分条件 （D）既非充分又非必要条件
11
📝 有解析
第11题
### 【强化篇】第11题（解答题） 11．设 $f(x)$ 有二阶连续导函数，且 $f(0)=0$ ，令 $\displaystyle g(x)= \begin{cases}\frac{f(x)}{x}, & x \neq 0, \\ f^{\prime}(0), & x=0 .\end{cases}$ （1）求 $g^{\prime}(x)$ ； （2）讨论 $g^{\prime}(x)$ 在点 $x=0$ 处的连续性．
12
📝 有解析
第12题
### 【基础篇】第12题（填空题） 12．设 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导，$\displaystyle x_{n}=\sin \frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(x_{0}+\frac{1}{n}\right)-f\left(x_{0}-x_{n}\right)}{\sin \frac{1}{n}}=$ $\_\_\_\_$ ．
12
📝 有解析
第12题
### 【强化篇】第12题（解答题） 12．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \arctan \frac{1}{\sqrt{x}}, & x>0, \\ \frac{\pi}{2}\left(\mathrm{e}^{\sin x}-1\right), & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 讨论 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处的连续性和可导性；若可导，讨论其导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性．
13
📝 有解析
第13题
### 【基础篇】第13题（填空题） 13．设 $f(x)$ 为在 $x=0$ 处可导的奇函数，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(t x)-5 f(x)}{x}=$ $\_\_\_\_$ ．
13
📝 有解析
第13题
### 【强化篇】第13题（选择题） 13．设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导，则 $|f(x)|$ 在 $x=a$ 处不可导的充分必要条件是（）。 （A）$f(a)=0, f^{\prime}(a)=0$ （B）$f(a)=0, f^{\prime}(a) \neq 0$ （C）$f(a) \neq 0, f^{\prime}(a)=0$ （D）$f(a) \neq 0, f^{\prime}(a) \neq 0$
14
📝 有解析
第14题
### 【基础篇】第14题（填空题） 14．设 $f(x)=\max \left\{2 x, x^{2}\right\}, x \in(0,4)$ ，且 $f^{\prime}(a)$ 不存在，$a \in(0,4)$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$。
14
📝 有解析
第14题
### 【强化篇】第14题（选择题） 14．设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}(1+x)^{x}-1, & x>-1, x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 则在 $x=0$ 处（ ）． （A）$f(x)$ 连续，但 $f^{\prime}(0)$ 不存在 （B）$f^{\prime}(0)$ 存在，但 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续 （C）$f^{\prime}(x)$ 连续，但 $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在 （D）$f^{\prime \prime}(0)$ 存在
15
📝 有解析
第15题
### 【基础篇】第15题（解答题） 15．设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2} \mathrm{e}^{n(x-1)}+a x+b}{5+\mathrm{e}^{n(x-1)}}$ ，求 $f(x)$ 并讨论 $f(x)$ 的连续性及可导性与 $a, b$ 的关系．
15
📝 有解析
第15题
### 【强化篇】第15题（解答题） 15．已知 $(1,0)$ 在曲线 $y=f(x)$ 上，且曲线在该点与 $y=\ln \left(2 x^{2}-1\right)$ 有公共的切线，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[f\left(\frac{n+1}{n}\right)-f\left(\frac{n+2}{n}\right)\right]=$
16
📝 有解析
第16题
### 【基础篇】第16题（解答题） 16．已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}+2 x+b, & x \leqslant 0, \\ \ln (1+a x), & x>0\end{array}\right.$ 处处可导，试确定常数 $a$ 和 $b$ 的值，并求出 $f^{\prime}(x)$ ．
16
📝 有解析
第16题
### 【强化篇】第16题（解答题） 16．设 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，且 $f(a) \neq 0$ ，计算 $\displaystyle I=\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{f\left(a+\frac{1}{x}\right)}{f(a)}\right]^{x}$ ．
17
📝 有解析
第17题
### 【强化篇】第17题（选择题） 17．设 $f(x)$ 在 $x=a$ 的某邻域内有定义，在 $x=a$ 的某去心邻域内可导，下述论断正确的是（）。 （A）若 $\lim _{x \rightarrow a} f^{\prime}(x)=A$ ，则 $f^{\prime}(a)=A$ （B）若 $f^{\prime}(a)=A$ ，则 $\lim _{x \rightarrow a} f^{\prime}(x)=A$ （C）若 $\lim _{x \rightarrow a} f^{\prime}(x)=\infty$ ，则 $f^{\prime}(a)$ 不存在 （D）若 $f^{\prime}(a)$ 不存在，则 $\lim _{x \rightarrow-a}(x)=\infty$
18
📝 有解析
第18题
### 【强化篇】第18题（填空题） 18．设 $\displaystyle f(x)=\frac{\ln |x|}{2 x^{2}-\ln |x|}$ ，则 $f^{\prime}(-1)=$ $\_\_\_\_$ ．
19
📝 有解析
第19题
### 【强化篇】第19题（填空题） 19．设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-b}{x-a}=A$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{\cos f(x)-\cos b}{x-a}=$ $\_\_\_\_$ ．
20
📝 有解析
第20题
### 【强化篇】第20题（解答题） 20．已知函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(\cos x)-3 f\left(1+\sin ^{2} x\right)}{x^{2}}=2$ ，求 $f^{\prime}(1)$ ．
21
📝 有解析
第21题
### 【强化篇】第21题（解答题） 21．设 $f(x)$ 是非负连续函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{2}(x)-a}{x^{2}-a^{2}}=1(a>0)$ ，求 $f^{\prime}(a)$ ．
22
📝 有解析
第22题
### 【强化篇】第22题（解答题） 22．已知 $\displaystyle a_{n}=1-\mathrm{e}^{\frac{1}{n}}-\sin \frac{1}{n^{2}}$ ，可导函数 $y=f(x)-\sin x$ 在 $x=0$ 处取得极值．计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(a_{n}\right)\right]$ ．
23
📝 有解析
第23题
### 【强化篇】第23题（选择题） 23．设连续函数 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 点可导，$f\left(x_{0}\right)=x_{0}^{2}, f^{\prime}\left(x_{0}\right)>2 x_{0}$ ，则存在 $\delta>0$ ，使 （1）$f(x)-x^{2}$ 在 $\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ 单调增加； （2）$f(x)-x^{2}$ 在 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}\right)$ 单调减少； （3）对任意 $x \in\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ ，有 $f(x)>x^{2}$ ； （4）对任意 $x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}\right)$ ，有 $f(x)
24
📝 有解析
第24题
### 【强化篇】第24题（选择题） 24．设函数 $f(x)$ 连续，给出下列四个条件： （1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-f(0)}{x}$ 存在； （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-|f(0)|}{x}$ 存在； （3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|}{x}$ 存在； （4） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{|f(x)|-|f(0)|}{x}$ 存在．
其中能得到＂$f(x)$ 在 $x=0$ 处可导＂的条件的个数是（ ）。 （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
25
📝 有解析
第25题
### 【强化篇】第25题（解答题） 25．设 $f(x)=a_{1} \sin x+a_{2} \sin 2 x+\cdots+a_{n} \sin n x$ ，其中 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 都是常数，且 $|f(x)| \leqslant |\sin x|$ ．证明：$\left|a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}\right| \leqslant 1$ ．
## 第4章 一元函数微分学的计算
1
📝 有解析
第1题
### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设 $f(x)=x^{2}, h(x)=f[1+g(x)]$ ，其中 $g(x)$ 可导，且 $g^{\prime}(1)=h^{\prime}(1)=2$ ，则 $g(1)=(\quad)$ 。 （A）-2 （B）$\displaystyle -\frac{1}{2}$ （C） 0 （D） 2
1
📝 有解析
第1题
### 【强化篇】第1题（填空题） 1．设 $f(x)$ 为三次多项式，且 $f(x)+1$ 能被 $(x-1)^{2}$ 整除，$f(x)-1$ 能被 $(x+1)^{2}$ 整除，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
2
📝 有解析
第2题
### 【基础篇】第2题（填空题） 2．设 $f(x)=(\ln x-1)\left(\ln ^{2} x-2\right) \cdots\left(\ln ^{n} x-n\right), n \geqslant 2$ ，则 $f^{\prime}(\mathrm{e})=$ $\_\_\_\_$ ．
2
📝 有解析
第2题
### 【强化篇】第2题（解答题） 2．设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内具有连续导数，且 $\displaystyle f(0)=1, f^{\prime}(x)=\frac{1}{2} f[f(x)-1]$ ，求 $f^{\prime \prime}(0)$ ．
3
📝 有解析
第3题
### 【基础篇】第3题（填空题） 3．设函数 $f(x)$ 可导，$f(0)=-1, f^{\prime}(0)=1$ ，若 $y(x)=|f(x-1)|$ ，则 $y^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ．
3
📝 有解析
第3题
### 【强化篇】第3题（填空题） 3．设 $y=y(x)$ 是由方程 $y^{3}+x y+x^{2}-2 x+1=0$ 确定并且满足 $y(1)=0$ 的函数，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)^{3}}{\int_{1}^{x} y(t) \mathrm{d} t}=$ $\_\_\_\_$。
4
📝 有解析
第4题
### 【基础篇】第4题（选择题） 4．设函数 $f(x)$ 可导，$\displaystyle f(1)=f^{\prime}(1)=\frac{1}{4}$ ，若 $y(x)=\mathrm{e}^{\sqrt{f(2 x-1)}}$ ，则 $y^{\prime}(1)=(\quad)$ ． （A）$\sqrt{\mathrm{e}}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{4} \sqrt{\mathrm{e}}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{2} \sqrt{\mathrm{e}}$ （D） $2 \sqrt{\mathrm{e}}$
4
📝 有解析
第4题
### 【强化篇】第4题（解答题） 4．设函数 $y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle \arctan \frac{x}{y}=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 确定，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 与 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．
5
📝 有解析
第5题
### 【基础篇】第5题（填空题） 5．已知函数 $y=y(x)$ 满足 $\left(x+y^{2}\right) y^{\prime}=1, y(-1)=0$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}\right|_{y=0}=$ $\_\_\_\_$ ．
5
📝 有解析
第5题
### 【强化篇】第5题（解答题） 5．设 $y=2 x+\sin x$ ，求其反函数 $x=x(y)$ 的二阶导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{~d} y^{2}}$ ．
6
📝 有解析
第6题
### 【基础篇】第6题（解答题） 6．设 $y=f(x)$ 由方程 $|x| y^{3}+y-1=0$ 确定，求 $y=f(x)$ 的极大值．
6
📝 有解析
第6题
### 【强化篇】第6题（填空题） 6．若 $y=\sin \left(\mathrm{e}^{-\sqrt{x}}\right)$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=1}=$ $\_\_\_\_$ ．
7
📝 有解析
第7题
### 【基础篇】第7题（填空题） 7．设 $\left\{\begin{array}{l}x=t-t^{2}, \\ t \mathrm{e}^{y}+y+1=0,\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{t=0}=$ $\_\_\_\_$。
7
📝 有解析
第7题
### 【强化篇】第7题（填空题） 7．设 $y=y(x)$ 由方程 $x^{2}-x y+y^{2}=1$ 确定，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
8
📝 有解析
第8题
### 【基础篇】第8题（选择题） 8．设函数 $y=f(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=2 t+|t| \\ y=|t| \tan t\end{array}\right.$ 所确定，则在 $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 内（ ）。 （A）$f(x)$ 连续，$f^{\prime}(0)$ 不存在 公众号：研池大叔 免费分享最新考研资料课程 （B）$f^{\prime}(0)$ 存在，$f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续 （C）$f^{\prime}(x)$ 连续，$f^{\prime \prime}(0)$ 不存在 （D）$f^{\prime \prime}(0)$ 存在，$f^{\prime \prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续
8
📝 有解析
第8题
### 【强化篇】第8题（填空题） 8．设 $y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle x=\int_{1}^{y-x} \sin ^{2}\left(\frac{\pi}{4} t\right) \mathrm{d} t$ 确定，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{x=0}=$ $\_\_\_\_$ ．
9
📝 有解析
第9题
### 【基础篇】第9题（填空题） 9．设可导的奇函数 $f(x)$ 满足 $f^{\prime}(x)=f^{2}(x)$ ，且 $f(-1)=1$ ，则 $f^{\prime \prime \prime}(1)=$ $\_\_\_\_$。
9
📝 有解析
第9题
### 【强化篇】第9题（填空题） 9．设函数 $y=y(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=t^{2}-2 t+1, \\ \mathrm{e}^{y} \sin t-y+1=0\end{array}\right.$ 确定，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=0}=$ $\_\_\_\_$ ．
10
📝 有解析
第10题
### 【基础篇】第10题（选择题） 10．设可导函数 $f(x)$ 满足 $f^{\prime}(x)=f^{2}(x)$ ，且 $f(0)=-1$ ，则在 $x=0$ 处的三阶导数 $f^{\prime \prime \prime}(0)=$ ）． （A）-6 （B）-4 （C） 4 （D） 6
10
📝 有解析
第10题
### 【强化篇】第10题（填空题） 10．设 $x=x(y)$ 由方程 $\displaystyle y=\int_{1}^{x-y} \cos ^{2}\left(\frac{\pi t}{4}\right) \mathrm{d} t$ 确定，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[n x\left(\frac{1}{n}\right)-n\right]=$ $\_\_\_\_$ ．
11
📝 有解析
第11题
### 【基础篇】第11题（填空题） 11．已知函数 $f(x)=x^{2} \ln (1-x)$ ，则当 $n \geqslant 3$ 时，$f^{(n)}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
11
📝 有解析
第11题
### 【强化篇】第11题（填空题） 11．设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处存在二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+x}{1-\cos x}=2$ ，则 $f^{\prime \prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
12
📝 有解析
第12题
### 【基础篇】第12题（填空题） 12．设 $\displaystyle f(t)=\lim _{n \rightarrow \infty} \cos t \cdot\left(\frac{n+t}{n-t}\right)^{n}$ ，则 $f^{\prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
12
📝 有解析
第12题
### 【强化篇】第12题（填空题） 12．设 $f^{\prime}(\ln x)=x \ln x$ ，则 $f^{(n)}(x)=$ $\_\_\_\_$。
13
📝 有解析
第13题
### 【基础篇】第13题（填空题） 13．设 $\displaystyle f(x)=\lim _{t \rightarrow \infty} x\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t \sin x}$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
13
📝 有解析
第13题
### 【强化篇】第13题（填空题） 13．设 $x=t^{3}+2 t+1, \int_{0}^{y+t} \mathrm{e}^{-u^{2}} \mathrm{~d} u=t$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=0}=$ $\_\_\_\_$ ．
14
📝 有解析
第14题
### 【基础篇】第14题（填空题） 14．设 $f(x)=\max \left\{x, x^{2}\right\}, 0
14
📝 有解析
第14题
### 【强化篇】第14题（填空题） 14．设 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1+x}{1-x}$ ，整数 $n \geqslant 0$ ，则 $f^{(2 n+1)}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
15
📝 有解析
第15题
### 【基础篇】第15题（填空题） 15．曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{e}^{t} \sin 2 t, \\ y=\mathrm{e}^{t} \cos t\end{array}\right.$ 在对应 $t=0$ 处的点的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．
15
📝 有解析
第15题
### 【强化篇】第15题（选择题） 15．设 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{1-x^{2}}$ ，则 $f^{(2 n)}(0)(n=1,2, \cdots)=(\quad)$ ． （A）$n!$ （B） 0 （C）$(2 n)!$ （D）$(2 n-1)!$
16
📝 有解析
第16题
### 【基础篇】第16题（选择题） 16．设 $\displaystyle f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}$ ，则 $f^{(n)}(x)=($ ． （A）$\displaystyle (n-1)!\left[\frac{1}{(1+x)^{n}}-\frac{1}{(1-x)^{n}}\right]$ （B）$\displaystyle (n-1)!\left[\frac{1}{(1+x)^{n}}+\frac{1}{(1-x)^{n}}\right]$ （C）$\displaystyle (n-1)!\left[\frac{(-1)^{n-1}}{(1+x)^{n}}-\frac{1}{(1-x)^{n}}\right]$ （D）$\displaystyle (n-1)!\left[\frac{(-1)^{n-1}}{(1+x)^{n}}+\frac{1}{(1-x)^{n}}\right]$
16
📝 有解析
第16题
### 【强化篇】第16题（选择题） 16．设 $f(x)=|x| \sin ^{2} x$ ，则使 $f^{(n)}(0)$ 存在的阶数 $n$ 的最大值为（）。 （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
17
📝 有解析
第17题
### 【强化篇】第17题（选择题） 17．设 $f(x)=3 x^{2}+x^{2}|x|$ ，使得 $f^{(n)}(0)$ 存在的最高阶数 $n$ 为（ ）。 （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
## 第5章 一元函数微分学的应用（一）——几何应用
1
📝 有解析
第1题
### 【基础篇】第1题（填空题） 1．函数 $\displaystyle y=\mathrm{e}^{x}+\frac{\mathrm{e}^{-x}}{2}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．
2
📝 有解析
第2题
### 【基础篇】第2题（填空题） 2．若函数 $f(x)=\mathrm{e}^{-a x}-\mathrm{e} x$ 的极值点小于零，则常数 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．
3
📝 有解析
第3题
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\cos |x|-1, & x \leqslant 0, \\ x \ln x, & x>0,\end{array}\right.$ 则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的 ）． （A）可导点，极值点 （B）不可导点，极值点 （C）可导点，非极值点 （D）不可导点，非极值点
4
📝 有解析
第4题
### 【基础篇】第4题（填空题） 4．已知 $\displaystyle x^{2}+a x^{-3} \geqslant \frac{10}{3}(x>0)$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$。
5
📝 有解析
第5题
### 【基础篇】第5题（选择题） 5．已知函数 $y=f(x)$ 连续，其二阶导函数的图像如图所示，则曲线 $y=f(x)$ 的拐点个数为 ． （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
6
📝 有解析
第6题
### 【基础篇】第6题（填空题） 6．设函数 $f(x)>0$ 且二阶可导，曲线 $y=\sqrt{f(x)}$ 有拐点 $(1, \sqrt{2}), f^{\prime}(1)=2$ ，则 $f^{\prime \prime}(1)=$ $\_\_\_\_$。
7
📝 有解析
第7题
### 【基础篇】第7题（选择题） 7．曲线 $y(x)=\ln \left|\mathrm{e}^{2 x}-1\right|$ 的斜渐近线为 ． （A）$\displaystyle y=2 x+\frac{1}{\mathrm{e}}$ （B）$y=2 x$ （C）$\displaystyle y=-2 x+\frac{1}{\mathrm{e}}$ （D）$y=-2 x$
8
📝 有解析
第8题
### 【基础篇】第8题（选择题） 8．曲线 $\displaystyle y=x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x}\right)$ 的斜渐近线为 ． （A）$y=x+e$ （B）$y=x-e$ （C）$\displaystyle y=x+\frac{1}{\mathrm{e}}$ （D）$\displaystyle y=x-\frac{1}{\mathrm{e}}$
9
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第9题
### 【基础篇】第9题（填空题） 9．曲线 $x^{2}-x y+y^{2}=1$ 在点 $(1,1)$ 处的曲率为 $\_\_\_\_$ ．
第5䈇 一元图数微分学的应用（一）—一几何应用
10
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第10题
### 【基础篇】第10题（选择题） 10．已知曲线 $y=f(x)$ 在其点 $(0,1)$ 处的曲率团方程为 $(x-1)^{2}+y^{2}=2$ ，且当 $x \rightarrow 0$ 时，二阶可导画数 $f(x)$ 与 $a+b x+x^{2}$ 的差为 $o\left(x^{2}\right)$ ，则（ ）。 （A）$\displaystyle a=0, b=1, c=\frac{3}{2}$ （B）$a-1, b=0, c=1$ （C）$a=1, b=1, c=-1$ （D）$a-1, b=0, c=-1$
11
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第11题
### 【基础篇】第11题（选择题） 11．设在 $(-\infty,+\infty)$ 内，$f^{\prime \prime}(x)<0, f(0) \geqslant 0$ ，则函数 $\displaystyle \frac{f(x)}{x}(\quad)$ 。 （A）在 $(-\infty, 0)$ 内单调减少，在 $(0,+\infty)$ 内单调增加 （B）在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0,+\infty)$ 内单调减少 （C）在 $(-\infty, 0)$ 内单调增加，在 $(0,+\infty)$ 内单调减少 （D）在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0,+\infty)$ 内单调增加
12
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第12题
### 【基础篇】第12题（选择题） 12．设 $f(x)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=k(k<0)$ ，则 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处（ ）。 （A）导数不存在 （B）导数存在，且 $f^{\prime}(0) \neq 0$ （C）取得极小值 （D）取得极大值
13
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第13题
### 【基础篇】第13题（选择题） 13．设 $M=\max \{1, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \cdots, \sqrt[n]{n}\}(n>4)$ ，则 $M=()$ 。 （A）$\sqrt{2}$ （B）$\sqrt[3]{3}$ （C）$\sqrt[4]{4}$ （D）$\sqrt[n]{n}$
14
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第14题
### 【基础篇】第14题（填空题） 14．设函数 $\displaystyle f(x)=n^{2} \mathrm{e}^{\frac{x}{n}}-(1+n) x$ ，若 $f(x)$ 在 $x=\xi_{n}$ 处取得极值，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \xi_{n}=$ $\_\_\_\_$ ．
15
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第15题
### 【基础篇】第15题（解答题） 15．函数 $f(x)$ 对于一切实数 $x$ 满足微分方程
$$ x f^{\prime \prime}(x)+5 x^{2}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}=2\left(1-\mathrm{e}^{-x}\right) $$
（1）若 $x=\alpha(\alpha \neq 0)$ 时，$f(x)$ 取极值，判别其是极大值还是极小值； （2）若 $x=0$ 时，$f(x)$ 取极值，判别其为极大值还是极小值．
16
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第16题
### 【基础篇】第16题（选择题） 16．设 $g(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内连续，$f(x)$ 具有一阶连续导数，且满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x}=-3, f^{\prime}(x)= \ln \left(1+x^{2}\right)-x \int_{0}^{1} g(x t) \mathrm{d} t$ ，则（ ）。公众号：研池大叔 免费分享最新考研资料课程 （A）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点 （B）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点 （C）$(0, f(0))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点 （D）以上结论均不正确
17
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第17题
### 【基础篇】第17题（选择题） 17．已知函数 $y=f(x)$ ，对一切 $x$ 满足 $\sqrt[3]{x} f^{\prime \prime}(x)+x f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x}-1$ ，若 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0\left(x_{0} \neq 0\right)$ ，则 （ ）． （A）$x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的极小值点 （B）$x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的极大值点 （C）$\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点 （D）以上结论均不正确
18
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第18题
### 【基础篇】第18题（解答题） 18．已知函数 $f(x)=a x^{3}+x^{2}+2$ 在 $x=0$ 和 $x=-1$ 处取得极值，求 $f(x)$ 的增减区间、极大值、极小值和拐点。
19
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第19题
### 【基础篇】第19题（选择题） 19．设 $f(x)=n x(1-x)^{n}\left(n \in \mathrm{~N}^{n}\right)$ ，且记 $M(n)=\max _{x \in[0,1]} f(x)$ ，则必有（ ）。 （A） $\lim _{n \rightarrow \infty} M(n)=\mathrm{e}$ （B） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} M(n)=\frac{1}{\mathrm{e}}$ （C） $\lim _{n \rightarrow \infty} M(n)=0$ （D） $\lim _{n \rightarrow \infty} M(n)=\infty$
20
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第20题
### 【基础篇】第20题（选择题） 20．曲线 $\displaystyle y=\frac{x^{2}+1}{\sqrt{x^{2}-1}}$ 的渐近线的条数为（ ． （A） 4 （B） 3 （C） 2 （D） 1
21
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第21题
### 【基础篇】第21题（选择题） 21．曲线 $\displaystyle y=\frac{2+\mathrm{e}^{-x^{4}}}{1-\mathrm{e}^{-x^{4}}}$ ）． （A）仅有斜渐近线 （B）仅有水平渐近线 （C）仅有铅直渐近线 （D）既有水平渐近线，又有铅直渐近线
22
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第22题
### 【基础篇】第22题（填空题） 22．曲线 $\displaystyle y=(4+5 x) \mathrm{e}^{-\frac{1}{x}}$ 的斜渐近线是 $\_\_\_\_$ ．
23
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第23题
### 【基础篇】第23题（填空题） 23．曲线 $y=x^{2}+x$ 在点 $(-1,0)$ 的曲率是 $\_\_\_\_$ ．
## 第6章 一元函数微分学的应用（二）——中值定理、微分等式与微分不等式
1
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第1题
### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设函数 $f(x)=x(2 x-3)(4 x-5)$ ，则方程 $f^{\prime}(x)=0$ 的实根个数为（ ）． （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3
1
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第1题
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．已知函数 $\displaystyle f(x)=a\left(\ln |x|+\frac{3}{2}\right)-b x^{2}$ 有 4 个不同的零点，则 $\displaystyle \frac{b}{a}$ 的取值范围是（ ）。 （A）$\displaystyle \left(0, \frac{\mathrm{e}}{2}\right)$ （B）$\displaystyle \left(\frac{\mathrm{e}}{2},+\infty\right)$ （C）$\displaystyle \left(0, \frac{\mathrm{e}^{2}}{2}\right)$ （D）$\displaystyle \left(\frac{\mathrm{e}^{2}}{2},+\infty\right)$
2
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第2题
### 【基础篇】第2题（选择题） 2．若方程 $x-\operatorname{eln} x-k=0$ 在 $(0,1]$ 上有解，则 $k$ 的最小值为（ ）． （A）-1 （B）$\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}$ （C） 1 （D） e
2
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第2题
### 【强化篇】第2题（解答题） 2．求函数 $y=\ln x$ 在 $x=2$ 处带拉格朗日余项的 $n$ 阶泰勒展开式。
3
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第3题
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设函数 $f(x)=a \mathrm{e}^{x}-b x(a>0)$ 有两个零点，则 $\displaystyle \frac{b}{a}$ 的取值范围是（ ）。 （A）$\displaystyle \left(0, \frac{1}{\mathrm{e}}\right)$ （B）$(0, \mathrm{e})$ （C）$\displaystyle \left(\frac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right)$ （D）$(e,+\infty)$
3
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第3题
### 【强化篇】第3题（解答题） 3．设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上可导，$f(0)=0, f(1)=1$ ，且 $f(x)$ 不恒等于 $x$ 。证明：存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)>1$ ．
4
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第4题
### 【基础篇】第4题（选择题） 4．已知函数 $\displaystyle f(x)=\ln x-\frac{x}{\mathrm{e}}+a(x>0)$ 有两个零点，则 $a$ 的取值范围是（ ）。 （A）$(-1,0)$ （B）$(0,1)$ （C）$(-\infty, 0)$ （D）$(0,+\infty)$
4
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第4题
### 【强化篇】第4题（解答题） 4．设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导． （1）若 $f(0)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，求证：存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，使 $f^{\prime}(\xi)=0$ ； （2）若 $\displaystyle 0 \leqslant f(x) \leqslant \ln \frac{2 x+1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}$ ，求证：存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{2}{2 \xi+1}-\frac{1}{\sqrt{1+\xi^{2}}}$ ．
5
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第5题
### 【基础篇】第5题（填空题） 5．设存在 $0<\theta<1$ ，使得 $\displaystyle \arcsin x=\frac{x}{\sqrt{1-(\theta x)^{2}}},-1 \leqslant x \leqslant 1$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \theta=$ $\_\_\_\_$ ．
5
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第5题
### 【强化篇】第5题（解答题） 5．设正值函数 $f(x)$ 二阶可导且满足 $\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}>f(x) f^{\prime \prime}(x)$ ，函数 $f(x)-x$ 在 $x=0$ 处取得极值 1 ，证明 $f(x) \leqslant \mathrm{e}^{x}$ ．
6
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第6题
### 【基础篇】第6题（解答题） 6．设 $x>0$ ，证明 $\displaystyle \frac{x}{1+x}<\ln (1+x)
6
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第6题
### 【强化篇】第6题（解答题） 6．设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x) \geqslant 0$ ．证明： （1）对于任意 $x_{0}, x \in(-\infty,+\infty)$ ，有 $f(x) \geqslant f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)$ ； （2）若存在常数 $M>0$ ，使得任意 $x \in(-\infty,+\infty)$ ，均有 $|f(x)| \leqslant M$ ，则 $f(x)$ 为常值函数。
7
📝 有解析
第7题
### 【基础篇】第7题（解答题） 7．设 $x>0$ ，证明 $\displaystyle \frac{1}{1+x}<\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)<\frac{1}{x}$ ．
7
📝 有解析
第7题
### 【强化篇】第7题（解答题） 7．设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，在区间 $(a, b)$ 上二阶可导，$f(a)=f(b)=0$ ，且存在一点 $c \in(a, b)$ ，使得 $f(c)>0$ 。证明：存在一点 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)<0$ 。
8
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第8题
### 【基础篇】第8题（解答题） 8．设函数 $f(x)$ 可导，且 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1, f(0)=1$ ，证明 $|f(x)| \leqslant 1+x, 0
8
📝 有解析
第8题
### 【强化篇】第8题（选择题） 8．设函数 $f(x)$ 在区间 $[-2,2]$ 上可导，且 $f^{\prime}(x)>2 f(x)>0$ ，则（ ）． （A）$\displaystyle \frac{f(-2)}{f(-1)}>1$ （B）$\displaystyle \frac{f(0)}{f(-1)}>\mathrm{e}^{2}$ （C）$\displaystyle \frac{f(1)}{f(-1)}<\mathrm{e}^{2}$ （D）$\displaystyle \frac{f(2)}{f(-1)}
9
📝 有解析
第9题
### 【基础篇】第9题（选择题） 9．设函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)(a>0)$ 上一阶导数连续， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ，则（ ）。 （A） $\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(2 x)+f(x)]=0$ （B） $\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(2 x)-f(x)]=0$ （C） $\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x+1)-f(x)]=0$ （D） $\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x+1)+f(x)]=0$
9
📝 有解析
第9题
### 【强化篇】第9题（选择题） 9．若可导函数 $f(x)$ 满足 $f^{\prime}(x)<2 f(x)$ ，则当 $b>a>0$ 时，有 () 。 （A）$b^{2} f(a)>a^{2} f(b)$ （B）$b^{2} f(\ln a)>a^{2} f(\ln b)$ （C）$b^{2} f(a)
10
📝 有解析
第10题
### 【基础篇】第10题（填空题） 10．设函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处一阶导数连续，且 $f^{\prime}(1)=2$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{f(x)-f(1)}{\ln x}=$ $\_\_\_\_$ ．
10
📝 有解析
第10题
### 【强化篇】第10题（解答题） 10．设 $f(x)=\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t, x \geqslant 0$ ． （1）证明： $\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t=x f^{\prime}[x \cdot \theta(x)]$ ，且 $\theta(x)$ 唯一，其中 $0<\theta(x)<1, x>0$ ； （2）求 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \theta(x)$ ．
11
📝 有解析
第11题
### 【基础篇】第11题（解答题） 11．设 $f^{\prime}(1)=2$ ，计算 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{f(x)-f(1)}{\ln x}$ ，并指出与第 10 题的区别．
11
📝 有解析
第11题
### 【强化篇】第11题（解答题） 11．设 $f(x)$ 在 $[2,4]$ 上一阶可导且 $f^{\prime}(x) \geqslant M>0, f(2)>0$ ．证明： （1）对任意的 $x \in[3,4]$ ，均有 $f(x)>M$ ； （2）存在 $\xi \in(3,4)$ ，使得 $\displaystyle f(\hat{\xi})>M \cdot \frac{\mathrm{e}^{\xi-3}}{\mathrm{e}-1}$ 。
12
📝 有解析
第12题
### 【基础篇】第12题（解答题） 12．（1）将 $\sin x$ 在 $x=0$ 处展开成一阶带拉格朗日余项的泰勒公式； （2）证明 $\displaystyle \left|\frac{\sin x}{x}-1\right| \leqslant \frac{1}{2}|x|, x \neq 0$ 。
12
📝 有解析
第12题
### 【强化篇】第12题（解答题） 12．设函数 $y=f(x)$ 在区间 $(\alpha, \beta)$ 内二阶可导，且其图像在 $(\alpha, \beta)$ 内有三个点满足关系 $y= a x^{2}+b x+c$ 。证明：必然存在一个点 $\xi \in(\alpha, \beta)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=2 a$ 。
13
📝 有解析
第13题
### 【基础篇】第13题（解答题） 13．求曲线 $\displaystyle y=\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}}$ 与曲线 $y=x^{3}-3 x$ 的交点个数．
13
📝 有解析
第13题
### 【强化篇】第13题（选择题） 13．设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则（ ）． （A）当 $f^{\prime}(x)<0$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)<0$ （B）当 $f^{\prime \prime}(x)<0$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)<0$ （C）当 $f^{\prime}(x)>0$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)<0$ （D）当 $f^{\prime \prime}(x)>0$ 时，$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)<0$
14
📝 有解析
第14题
### 【基础篇】第14题（选择题） 14．设 $f(x)$ 是连续可导函数，当 $0x f(a)$ （B）$b f(x)>x f(b)$ （C）$x f(x)>b f(b)$ （D）$x f(x)
14
📝 有解析
第14题
### 【强化篇】第14题（解答题） 14．设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且 $f(0)=f(1)=0$ ，在 $(0,1)$ 内二阶可导且 $f^{\prime \prime}(x)<0$ ，记 $M= \max _{0 \leqslant x \leqslant 1}\{f(x)\}$. （1）证明：对任意正整数 $n$ ，存在唯一的 $x_{n} \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{n}\right)=\frac{M}{n}$ ； （2）对（1）中得到的 $\left\{x_{n}\right\}$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=M$ ．
15
📝 有解析
第15题
### 【基础篇】第15题（选择题） 15．方程 $x^{4}+4 x+b=0$ 有两个不等的实根，则 $b$ 的取值满足 ． （A）$b<3$ （B）$b>3$ （C）$b<-3$ （D）$b>-3$
15
📝 有解析
第15题
### 【强化篇】第15题（选择题） 15．设函数 $f(x)=x-\operatorname{eln} x$ ，则 $f(x)$ 的零点个数为 () 。 （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3
16
📝 有解析
第16题
### 【基础篇】第16题（选择题） 16．设常数 $k>0$ ，函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\ln x-\frac{x}{\mathrm{e}}+k}$ 在 $(0,+\infty)$ 内的间断点个数为 ． （A） 3 （B） 2 （C） 1 （D） 0
16
📝 有解析
第16题
### 【强化篇】第16题（解答题） 16．确定常数 $k$ 的取值范围，使方程 $x-\arctan x=k x^{3}$ 在 $(0,1]$ 内有实根．
17
📝 有解析
第17题
### 【基础篇】第17题（选择题） 17．设 $f(x), g(x)$ 为恒大于零的可导函数，且 $f^{\prime}(x) g(x)f(x) g(b)$ （B）$f(x) g(a)>f(b) g(x)$ （C）$f(a) g(b)>f(b) g(x)$ （D）$f(x) g(b)>f(b) g(x)$
17
📝 有解析
第17题
### 【强化篇】第17题（选择题） 17．设方程 $\displaystyle \frac{\tan x}{x}=k$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ 内有实根，则常数 $k$ 的取值范围为（）。 （A） $\displaystyle 0
18
📝 有解析
第18题
### 【基础篇】第18题（解答题） 18．设 $0 \leqslant x \leqslant 1, p>1$ ，证明 $\displaystyle \frac{1}{2^{p-1}} \leqslant x^{p}+(1-x)^{p} \leqslant 1$ ．
18
📝 有解析
第18题
### 【强化篇】第18题（解答题） 18．已知方程 $\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{\mathrm{e}^{x}-1}=k$ 在区间 $(-\infty, 0)$ 内有实根，求常数 $k$ 的取值范围．
19
📝 有解析
第19题
### 【基础篇】第19题（解答题） 19．对于 $k$ 的不同取值情况，确定方程 $x^{3}-3 x+k=0$ 实根的个数，并证明你的结论．
19
📝 有解析
第19题
### 【强化篇】第19题（选择题） 19．若函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x \mathrm{e}^{-x}-a}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内处处连续，则常数 $a$ 的取值范围为（）． （A）$a<0$ （B）$a>\mathrm{e}^{-1}$ （C）$a<\mathrm{e}^{-1}$ （D） $0
20
📝 有解析
第20题
### 【基础篇】第20题（解答题） 20．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导（ $a>0$ ），证明：在 $(a, b)$ 内
$$ 2 x[f(b)-f(a)]=\left(b^{2}-a^{2}\right) f^{\prime}(x) $$
至少有一个实根．
20
📝 有解析
第20题
### 【强化篇】第20题（选择题） 20．设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，在区间 $(0,1)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x)>0, f(0)=1$ ，则当 $x \in(0,1)$ 时，有 $(\quad)$ ． （B）$f(x)>\mathrm{e}^{f(x)-1}$ （A）$f(x)<\mathrm{e}^{f(x)-1}$ （D）$f(x)>\mathrm{e}^{f(x)+1}$ （C）$f(x)<\mathrm{e}^{-f(x)+1}$ （D）$f(x)>\mathrm{e}^{f(x)+1}$
21
📝 有解析
第21题
### 【基础篇】第21题（选择题） 21．设 $\displaystyle a_{0}+\frac{a_{1}}{2}+\cdots+\frac{a_{n}}{n+1}=0\left(a_{i}\right.$ 为实数，$\left.i=0,1,2, \cdots, n\right)$ ，则在区间 $(0,1)$ 内，方程 $a_{0}+a_{1} x+\cdots+ a_{n} x^{n}=0($ ）． （A）没有实根 （B）至少有一个实根 （C）仅有一个实根 （D）是否有实根不能判定
21
📝 有解析
第21题
### 【强化篇】第21题（选择题） 21．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导，且 $f(a)=f(b), f^{\prime \prime}(x) \neq 0$ ，则下列结论正确的是（ ）。 （A）在 $(a, b)$ 内，$f^{\prime}(x) \neq 0$ （B）存在 $\varsigma_{1}, \hat{\varsigma}_{2} \in(a, b)$ ，使 $f^{\prime}\left(\hat{\varsigma}_{1}\right)=f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=0$ （C）存在唯一的 $\xi \in(a, b)$ ，使 $f^{\prime}(\xi)=0$ （D）存在 $\xi \in[a, b]$ ，使 $f(\xi)=0$
22
📝 有解析
第22题
### 【基础篇】第22题（选择题） 22．设 $f(x), g(x)$ 为恒大于零的可导函数，且 $[\ln f(x)]^{\prime}<[\ln g(x)]^{\prime}$ ，则当 $a\frac{g(x)}{g(b)}$ （B）$\displaystyle \frac{f(x)}{f(a)}>\frac{g(x)}{g(a)}$ （C）$\displaystyle \frac{f(x)}{f(b)}>\frac{g(b)}{g(x)}$ （D）$\displaystyle \frac{f(x)}{f(a)}>\frac{g(a)}{g(x)}$
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📝 有解析
第22题
### 【强化篇】第22题（解答题） 22．设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$(a, b)$ 内二阶可导，且 $f(a)=f(b)=0, f(c)<0, a0$ ．
23
📝 有解析
第23题
### 【强化篇】第23题（解答题） 23．设 $f(x)>0, f^{\prime \prime}(x)$ 存在且 $f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0, x \in[0,+\infty)$ ． 证明：对于任意 $x \in[0,+\infty), f^{\prime}(x) \geqslant 0$ ．
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📝 有解析
第24题
### 【强化篇】第24题（选择题） 24．设 $b>0>a$ ，则 $($ ． （A）$a \mathrm{e}^{a}\left(\mathrm{e}^{b}-1\right)>b \mathrm{e}^{b}\left(\mathrm{e}^{a}-1\right)$ （B）$a \mathrm{e}^{a}\left(\mathrm{e}^{b}-1\right)a \mathrm{e}^{b}\left(\mathrm{e}^{a}-1\right)$ （D）$b \mathrm{e}^{a}\left(\mathrm{e}^{b}-1\right)
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📝 有解析
第25题
### 【强化篇】第25题（解答题） 25．设 $\mathrm{e}
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📝 有解析
第26题
### 【强化篇】第26题（解答题） 26．设 $f^{\prime \prime}(x)<0$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$ ，证明：$f(x) \leqslant x$ ．
27
📝 有解析
第27题
### 【强化篇】第27题（解答题） 27．设 $b \geqslant a>0$ ，求证： $\displaystyle \arctan \frac{b-a}{2} \geqslant \frac{\arctan b-\arctan a}{2}$ ．
28
📝 有解析
第28题
### 【强化篇】第28题（解答题） 28．设函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内可导．证明：导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内严格单调增加的充分必要条件是对 $(a, b)$ 内任意的 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，当 $x_{1}
1
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第1题
### 【基础篇】第1题（填空题） 1．一动点 $P$ 在曲线 $9 y=4 x^{2}$ 上运动，设坐标轴的单位长度是 1 cm ，若点 $P$ 横坐标的变化究是 $30 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ ，则当点 $P$ 经过点 $(3,4)$ 时，点 $P$ 到原点距离的变化率为 $\_\_\_\_$。
1
📝 有解析
第1题
### 【强化篇】第1题（填空题） 1．质点 $P$ 沿抛物线 $x=y^{2}(y>0)$ 移动，$P$ 的横坐标 $x$ 的变化速度为 $5 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ ．当 $x=9$ 时，点 $P$到原点 $O$ 的距褕变化速度为 $\_\_\_\_$ ．
2
📝 有解析
第2题
### 【基础篇】第2题（选择题） 2．设二阶可导函数 $y=f(t)$ 表示某人在 10 分钟内心跳次数的变化曲线，如图所示。则关于此人心跳次数的增长速度，说法正确的是 。 （A） $0 \sim 3$ 分钟增速变小； $7 \sim 10$ 分钟增速变大 （B） $0 \sim 3$ 分钟增速变大； $7 \sim 10$ 分钟增速变小 （C） $0 \sim 3$ 分钟增速变大； $7 \sim 10$ 分钟增速变大 （D） $0 \sim 3$ 分钟增速变小； $7 \sim 10$ 分钟增速变小
2
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第2题
### 【强化篇】第2题（解答题） 2．球的半径以 $5 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度匀速增长，问球的半径为 50 cm 时，球的表面积和体积的增长速度各是多少？
3
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第3题
### 【基础篇】第3题（解答题） 3．已知一容器中水增加的速率为 $1 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}$ ，且水的体积 $V$ 与水面高度 $y$ 满足 $\displaystyle V=\frac{\pi}{2} y^{2}$ ，当水面上升到高为 1 m 时，求水面高度上升的速率。
4
📝 有解析
第4题
### 【基础篇】第4题（选择题） 4．已知某圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为 $2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s},-3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ ，且圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为 $-100 \pi \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s}, 40 \pi \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}$ ，则圆柱体的底面半径与高分别为 ． （A） $5 \mathrm{~cm}, 5 \mathrm{~cm}$ （B） $10 \mathrm{~cm}, 5 \mathrm{~cm}$ （C） $5 \mathrm{~cm}, 10 \mathrm{~cm}$ （D） $10 \mathrm{~cm}, 10 \mathrm{~cm}$
5
📝 有解析
第5题
### 【基础篇】第5题（选择题） 5．一物体在距离同一水平面上的地面观测器 10 m 处离地匀速铅直上升，其速度为 $a \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ．若该物体上升到离地 20 m 时，观测器视线倾角的变化率为 $\displaystyle \frac{1}{10}$ ，则 $a=$ ． （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 5
## 第8章 一元函数积分学的概念与性质
1
📝 有解析
第1题
### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，则 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=$ ． （A） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{3 k-1}{3 n}\right) \frac{1}{3 n}$ （B） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{3 k-1}{3 n}\right) \frac{1}{n}$ （C） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{3 n} f\left(\frac{k-1}{3 n}\right) \frac{1}{n}$ （D） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{3 n} f\left(\frac{k}{3 n}\right) \frac{3}{n}$
1
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第1题
### 【强化篇】第1题（填空题） 1．极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{i-\frac{1}{2}}{n^{4}} \sqrt{n^{4}-\left(i-\frac{1}{2}\right)^{4}}=$ $\_\_\_\_$ ．
2
📝 有解析
第2题
### 【基础篇】第2题（填空题） 2． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}[\ln (3 n-2 i)-\ln (n+2 i)]=$ $\_\_\_\_$。
2
📝 有解析
第2题
### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续奇函数，则 $\int_{a+(b+1) T}^{a+(b+2) T} f(x) \mathrm{d} x$ 的取值（ ）。 （A）与 $a, b, T$ 均有关 （B）与 $a, b, T$ 均无关 （C）只与 $T$ 有关 （D）只与 $a, T$ 有关
3
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第3题
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．甲、乙两人赛跑，图中实线和虚线分别为甲和乙的速度曲线（单位： $\mathrm{m} / \mathrm{s}$ ），三块阴影部分面积依次为 $15,20,10$ ，且当 $t=0$ 时，甲在乙前面 10 m 处，则在 $\left[0, t_{3}\right]$ 上，甲、乙相遇的次数为 。 （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
3
📝 有解析
第3题
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．设 $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{2 \pi} x \sin x \mathrm{~d} x, I_{2}=\int_{0}^{2 \pi} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ ，则（ ）。 （A）$I_{1}<0, I_{2}>0$ （B）$I_{1}<0, I_{2}<0$ （C）$I_{1}>0, I_{2}>0$ （D）$I_{1}>0, I_{2}<0$
4
📝 有解析
第4题
### 【基础篇】第4题（选择题） 4．设 $\displaystyle M=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\left(1+\frac{x}{1+x^{2}}\right) \mathrm{d} x, N=\int_{0}^{1} \frac{(1+x) \ln ^{2}(1+x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x, K=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+x} \mathrm{~d} x$ ，则 ． （A）$M>N>K$ （B）$N>K>M$ （C）$K>M>N$ （D）$K>N>M$
4
📝 有解析
第4题
### 【强化篇】第4题（选择题） 4．下列各式不成立的是（ ）。 （A） $\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x \leqslant \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ （B） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{12} x \mathrm{~d} x \leqslant \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ （C） $\int_{0}^{\pi} \mathrm{e}^{-x^{2}} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x \leqslant \int_{\pi}^{2 \pi} \mathrm{e}^{-x^{2}} \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ （D） $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{1} x^{2} \ln x \mathrm{~d} x<\int_{-2}^{2} x^{3} 2^{x} \mathrm{~d} x$
5
📝 有解析
第5题
### 【基础篇】第5题（选择题） 5．设 $f(x)$ 是 $(0,+\infty)$ 内的正值连续函数，且 $f^{\prime}(x)<0, g(x)=\int_{1}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $\displaystyle g\left(\frac{1}{2}\right)$ 和 $\displaystyle g\left(\frac{3}{2}\right)$ 的可能取值是 ． （A）$-2,1$ （B）$-2,3$ （C） $2,-1$ （D） $2,-3$
5
📝 有解析
第5题
### 【强化篇】第5题（选择题） 5．设 $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{\sqrt{2 \pi}} \sin x^{2} \mathrm{~d} x, I_{2}=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\mathrm{~d} x}{1+\sin x}$ ，则（ ） （A）$I_{1}>0, I_{2}>0$ （B）$I_{1}<0, I_{2}<0$ （C）$I_{1}>0, I_{2}<0$ （D）$I_{1}<0, I_{2}>0$
6
📝 有解析
第6题
### 【基础篇】第6题（选择题） 6．设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x \ln x, & x>0, \\ x^{2}+x, & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 若 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x(a
6
📝 有解析
第6题
### 【强化篇】第6题（选择题） 6．设 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的偶函数，且 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，令 $F(x)= \int_{0}^{x} \sin (x-t) f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $F(x)$ 一定为 () 。 （A）偶函数 （B）奇函数 （C）以 $\pi$ 为最小正周期的周期函数 （D）以 $2 \pi$ 为最小正周期的周期函数
7
📝 有解析
第7题
### 【基础篇】第7题（选择题） 7．设函数 $g(x)$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续，若在 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内 $g^{\prime}(x) \geqslant 0$ ，则对任意的 $\displaystyle x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，有 ． （A） $\displaystyle \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} g(t) \mathrm{d} t \geqslant \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} g(\sin t) \mathrm{d} t$ （B） $\int_{x}^{1} g(t) \mathrm{d} t \leqslant \int_{x}^{1} g(\sin t) \mathrm{d} t$ （C） $\int_{x}^{1} g(t) \mathrm{d} t \geqslant \int_{x}^{1} g(\sin t) \mathrm{d} t$ （D） $\displaystyle \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} g(t) \mathrm{d} t \leqslant \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} g(\sin t) \mathrm{d} t$
7
📝 有解析
第7题
### 【强化篇】第7题（选择题） 7．议 $f(x)=\int_{0}^{|\sin x|} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t, g(x)=\int_{0}^{|x|} \sin t^{2} \mathrm{~d} t$ ，则在 $(-\pi, \pi)$ 内（ ）、 （A）$f(x)$ 是可导的奇函数 （B）$g(x)$ 是可导的偶函数 （C）$f(x)$ 是奇函数且 $f^{\prime}(0)$ 不存在 （D）$g(x)$ 是偶雨数且 $g^{\prime}(0)$ 不存在
8
📝 有解析
第8题
### 【基础篇】第8题（选择题） 8．若 $\sqrt{1-x^{2}}$ 是 $x f(x)$ 的一个原函数，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x=(\quad)$ ． （A）-1 （B）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ （C）$\displaystyle -\frac{\pi}{4}$ （D） 1
8
📝 有解析
第8题
### 【强化篇】第8题（解答题） 8．设 $f(x)=3 x-\sqrt{1-x^{2}} \int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ ，求 $f(x)$ 的表达式。
9
📝 有解析
第9题
### 【基础篇】第9题（填空题） 9．已知函数 $f$ 是 $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{o}^{r^{r}}} \frac{1}{1+t^{3}} \mathrm{~d} t$ 的反函数，则 $f^{\prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
9
📝 有解析
第9题
### 【强化篇】第9题（选择题） 9．设常数 $m>0, n>0$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{n} \sqrt{x}\left[\frac{m}{x}\right] \mathrm{d} x$（ $[\cdot]$ 是取整符号）的敛散性 ． （A）仅与 $m$ 有关 （B）仅与 $n$ 有关 （C）与 $m, n$ 均有关 （D）与 $m, n$ 均无关
10
📝 有解析
第10题
### 【基础篇】第10题（选择题） 10．设 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上可导的奇函数，任意的 $x \in(-\infty,+\infty)$ ，均有 $\displaystyle f(x+1)-f(x)= f(1), f\left(\frac{1}{2}\right)=0$ ，则以下是偶函数的是（ ）。 （A） $\int_{0}^{x}[\sin f(t)+f(t+1)] \mathrm{d} t$ （B） $\int_{0}^{x}\left[\sin f^{\prime}(t)+f^{\prime}(t+1)\right] \mathrm{d} t$ （C） $\int_{0}^{x}[\cos f(t)+f(t+2)] \mathrm{d} t$ （D） $\int_{0}^{x}\left[\cos f^{\prime}(t)+f^{\prime}(t+2)\right] \mathrm{d} t$
10
📝 有解析
第10题
### 【强化篇】第10题（选择题） 10．已知 $\alpha>0$ ，则对于反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x^{a}} \mathrm{~d} x$ 的敛散性的判别，下列选项中正确的是 ． （A）当 $\alpha \geqslant 1$ 时，积分收敛 （B）当 $\alpha<1$ 时，积分收敛 （C）敛散性与 $\alpha$ 的取值无关，必收敛 （D）敛散性与 $\alpha$ 的取值无关，必发散
11
📝 有解析
第11题
### 【基础篇】第11题（选择题） 11．设 $f(x)$ 是实数集上连续的偶函数，在 $(-\infty, 0)$ 上有唯一零点 $x_{0}=-1$ ，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=1$ ，则函数 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 的严格单调增区间是（ ）。公众号：研池大叔 免费分享最新考研资料课程 （A）$(-\infty,-1)$ （B）$(-1,+\infty)$ （C）$(-1,1)$ （D）$(1,+\infty)$
11
📝 有解析
第11题
### 【强化篇】第11题（选择题） 11．已知 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{a}+x^{b}} \mathrm{~d} x$ 收敛，且 $a>b>0$ ，则 ． （A）$a \leqslant 1$ （B）$b \leqslant 1$ （C）$a>1$ （D）$b>1$
12
📝 有解析
第12题
### 【基础篇】第12题（选择题） 12．设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上单调连续，$f(0)=1, f(2)=2$ ，且对任意 $x_{1}, x_{2} \in[0,2]$ 总有 $\displaystyle f\left(\frac{x_{1}+x_{2}}{2}\right)>\frac{f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2}, g(x)$ 是 $f(x)$ 的反函数，$P=\int_{1}^{2} g(x) \mathrm{d} x$ ，则（ ）。 （A） $3
12
📝 有解析
第12题
### 【强化篇】第12题（选择题） 12．设 $p$ 为常数，若反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x^{p}(1-x)^{1-p}} \mathrm{~d} x$ 收敛，则 $p$ 的取值范围是 ． （A）$(-1,1)$ （B）$(-1,2)$ （C）$(-\infty, 1)$ （D）$(-\infty, 2)$
13
📝 有解析
第13题
### 【基础篇】第13题（选择题） 13．下列反常积分中，发散的是（ ）． （A） $\int_{0}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$ （B） $\int_{-\infty}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ （C） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\arctan x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ （D） $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$
13
📝 有解析
第13题
### 【强化篇】第13题（选择题） 13．已知 $\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{1}{|\ln x|^{0}} \mathrm{~d} x$ 收敛，$a$ 为常数，则 ． （A） $12$
14
📝 有解析
第14题
### 【基础篇】第14题（选择题） 14．若反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{(1+x) x^{1-p}} \mathrm{~d} x$ 收敛，则（ ）． （A）$p<1$ （B）$p>1$ （C） $0
14
📝 有解析
第14题
### 【强化篇】第14题（填空题） 14．若反常积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\left(\mathrm{e}^{-\cos \frac{1}{x}}-\mathrm{e}^{-1}\right) x^{k} \mathrm{~d} x$ 收敛，则 $k$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．
15
📝 有解析
第15题
### 【基础篇】第15题（选择题） 15．下列反常积分收敛的是（）。 （A） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln x} \mathrm{~d} x$ （B） $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ （C） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$ （D） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x}{\ln ^{2}(1+x)} \mathrm{d} x$
15
📝 有解析
第15题
### 【强化篇】第15题（选择题） 15．下列反常积分中发散的是 ． （A） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-x}}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ （B） $\int_{0}^{+\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ （C） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x \ln ^{2} x}$ （D） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{(x+2) \ln ^{2}(x+2)}$
16
📝 有解析
第16题
### 【基础篇】第16题（填空题） 16． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left[\sqrt{n^{2}-1}+\sqrt{n^{2}-2^{2}}+\cdots+\sqrt{n^{2}-(n-1)^{2}}\right]=$ $\_\_\_\_$ ．
16
📝 有解析
第16题
### 【强化篇】第16题（选择题） 16．下列反常积分中收敛的是 ． （A） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^{2}-1}}$ （B） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x(x-1)}}$ （C） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2} \sqrt{x^{2}-1}}$ （D） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x\left(x^{2}-1\right)}$
17
📝 有解析
第17题
### 【基础篇】第17题（填空题） 17． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+9 i^{2}}=$ $\_\_\_\_$。
17
📝 有解析
第17题
### 【强化篇】第17题（解答题） 17．求 $p$ 的取值范围，使得 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \sin \frac{\pi}{x} \cdot \frac{\mathrm{~d} x}{\ln ^{\beta} x}$ 收敛。
18
📝 有解析
第18题
### 【基础篇】第18题（选择题） 18．定积分 $\displaystyle I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ 的值满足（）。 （A） $\displaystyle 0 \leqslant I \leqslant \frac{1}{2}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{2} \leqslant I \leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$ （C）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \leqslant I \leqslant 1$ （D） $1 \leqslant I \leqslant 2 \sqrt{2}$
18
📝 有解析
第18题
### 【强化篇】第18题（解答题） 18．设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x}{n}\left(\mathrm{e}^{\frac{x^{2}}{n^{2}}}+\mathrm{e}^{\frac{4 x^{2}}{n^{2}}}+\cdots+\mathrm{e}^{-x^{2}}\right)$ ，求： （1）$f(x)$ 的表达式； （2）曲线 $y=c^{r^{3}} f(x)$ 的拐点。
19
📝 有解析
第19题
### 【基础篇】第19题（选择题） 19．设 $f(x) \neq 0$ 为 $(-\infty,+\infty)$ 上可导的奇函数，则下列函数为奇函数的是（ ）。 （A）$x^{3} \int_{0}^{x} f^{\prime}(t) \mathrm{d} t$ （B） $\int_{0}^{x} f(-t) \mathrm{d} t$ （C） $\int_{0}^{x}\left[f^{\prime}(t)+f(t)\right] \mathrm{d} t$ （D） $\int_{0}^{x}|f(t)| \mathrm{d} t$
19
📝 有解析
第19题
### 【强化篇】第19题（选择题） 19．设 $f(x)=x^{2},[\varphi(x)]=-x^{2}+2 x+3$ 且 $\varphi(x) \geqslant 0$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{3}} \sum_{i=1}^{N} i^{2}(n-i) \cdot \frac{1}{n+\varphi(x)}=$ ． （A）$\displaystyle \frac{1}{12}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{6}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ （D）$\displaystyle \frac{2}{3}$
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📝 有解析
第20题
### 【基础篇】第20题（选择题） 20．设 $\displaystyle M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{1+x^{2}} \cos ^{5} x \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^{2} \sin x+\sin ^{2} x \cos x\right) \mathrm{d} x, P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^{3} x-\cos ^{4} x\right) \mathrm{d} x$ ，则有 （ ）． （A）$N
21
📝 有解析
第21题
### 【基础篇】第21题（填空题） 21．已知 $x^{2} \mathrm{e}^{x}$ 是 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的一个原函数，则 $\int f(\ln x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
22
📝 有解析
第22题
### 【基础篇】第22题（填空题） 22．设 $F(x)=\int_{0}^{x}(t-[t]) \mathrm{d} t$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $F_{-}^{\prime}(1)-F_{+}^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ．
23
📝 有解析
第23题
### 【基础篇】第23题（选择题） 23．下列命题中不成立的是（）。 （A）若 $f(x)$ 连续，$x \in[a, b]$ ，则 $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 必为 $f(x)$ 的原函数 （B）若 $f(x)$ 可积，$x \in[a, b]$ ，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内存在原函数 （C）若 $f(x)$ 连续，且为奇函数，$x \in[-a, a]$ ，则 $\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0$ （D）若 $f(x)$ 连续，$T$ 为其周期，则 $\int_{a}^{a+T} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x$
24
📝 有解析
第24题
### 【基础篇】第24题（选择题） 24．设 $\displaystyle f(x-5)=\frac{4}{x^{2}-10 x}$ ，则 $\int_{0}^{4} f(2 x+1) \mathrm{d} x(\quad)$ 。 （A）为反常积分，且发散 （B）为反常积分，且收敛 （C）不是反常积分，且其值为 10 （D）不是反常积分，且其值为 $\displaystyle \frac{\pi}{4}$
25
📝 有解析
第25题
### 【基础篇】第25题（选择题） 25．下列表达式中正确的是（ ）。 （A） $\int_{\pi}^{2 \pi}|\sin x| \mathrm{d} x \leqslant \int_{\pi}^{2 \pi} \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ （B） $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos x} \mathrm{~d} x<\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\sin x}{1+x^{4}}+\frac{1}{1+x^{2}}\right) \mathrm{d} x$ （C） $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{c}^{d} f(x) \mathrm{d} x,[a, b] \subset[c, d], f(x)$ 连续，$x \in[c, d]$ （D） $\int_{-1}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x=2 \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x, f(x)$ 连续，$x \in[-1,1]$
## 第9章 一元函数积分学的计算
1
📝 有解析
第1题
### 【基础篇】第1题（解答题） 1．计算下列不定积分． （1） $\int \cos ^{3} x \mathrm{~d} x$ ； （2） $\int \sin ^{3} x \mathrm{~d} x$ ； （3） $\int \sec x \mathrm{~d} x$ ； （4） $\int \sec ^{3} x \mathrm{~d} x$ ； （5） $\displaystyle \int \frac{1}{a^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} x(a \neq 0)$ ； （6） $\displaystyle \int \frac{1}{x^{2}-a^{2}} \mathrm{~d} x(a \neq 0)$ ； （7） $\displaystyle \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x(a \neq 0)$ ； （8） $\displaystyle \int \frac{1}{a^{2}+(x+b)^{2}} \mathrm{~d} x(a \neq 0)$ ； （9） $\displaystyle \int \frac{1}{a^{2}-(x+b)^{2}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ； （10） $\displaystyle \int \frac{1}{(x+b)^{2}-a^{2}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ； （11） $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ； （12） $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ； （13） $\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}} \mathrm{~d} x(a>0)$ ； （14） $\int \csc ^{3} x \mathrm{~d} x$ ； （15） $\int \tan ^{2} x \mathrm{~d} x$ ； （16） $\int \tan ^{3} x \mathrm{~d} x$ ； （17） $\int \tan ^{4} x \mathrm{~d} x$ ； （18） $\int \cot ^{3} x \mathrm{~d} x$ ； （19） $\displaystyle \int \frac{\cos x}{1+\sin x} \mathrm{~d} x$ ； （20） $\displaystyle \int \frac{1}{a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ； （21） $\displaystyle \int \frac{1}{\sin 2 x} \mathrm{~d} x$ ； （22） $\displaystyle \int \frac{1}{\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ； （23） $\displaystyle \int \frac{1}{a+b \cos x} \mathrm{~d} x(a>0, b>0)$ ； （24） $\displaystyle \int \frac{1}{a+b \sin x} \mathrm{~d} x(a>0, b>0)$ ．
1
📝 有解析
第1题
### 【强化篇】第1题（填空题） 1． $\displaystyle \int_{0}^{1} \ln \frac{1}{1-x} d x=$ $\_\_\_\_$ ．
2
📝 有解析
第2题
### 【基础篇】第2题（解答题） 2．计算不定积分 $\displaystyle \int \frac{\mathrm{e}^{2 x}}{\sqrt{\mathrm{e}^{x}-1}} \mathrm{~d} x$ ．
2
📝 有解析
第2题
### 【强化篇】第2题（解答题） 2．求 $\displaystyle \int \frac{x+2}{(2 x+1)\left(x^{2}+x+1\right)} d x$ ．
3
📝 有解析
第3题
### 【基础篇】第3题（解答题） 3．计算不定积分 $\displaystyle \int \ln \left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) \mathrm{d} x(x>0)$ ．
3
📝 有解析
第3题
### 【强化篇】第3题（填空题） 3． $\int_{1}^{0} \cos (\ln x) d x=$ $\_\_\_\_$ ．
4
📝 有解析
第4题
### 【基础篇】第4题（解答题） 4．计算不定积分 $\int \mathrm{e}^{2 x} \arctan \sqrt{\mathrm{e}^{x}-1} \mathrm{~d} x$ ．
4
📝 有解析
第4题
### 【强化篇】第4题（解答题） 4．设函数 $f(x)$ 荫足方程 $x f(x)+f(1-x)=x^{2}$ ，求 $\int f(x) \mathrm{d} x$ ．
5
📝 有解析
第5题
### 【基础篇】第5题（选择题） 5．定积分 $\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=(\quad)$ ． （A） 2 （B） $\displaystyle 2-\frac{4}{\mathrm{e}}$ （C） $\displaystyle 1-\frac{2}{\mathrm{e}}$ （D） $\displaystyle 1-\frac{1}{\mathrm{e}}$
5
📝 有解析
第5题
### 【强化篇】第5题（填空题） 5．$\sum_{n-1}^{\infty} \int_{n}^{n+1} 2^{-\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$。
6
📝 有解析
第6题
### 【基础篇】第6题（填空题） 6． $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{4 x-3}{x^{2}-x+1} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
6
📝 有解析
第6题
### 【强化篇】第6题（填空题） 6．已知 $f(x)$ 是连续的偶函数，且 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=2$ ，则 $\int_{0}^{2} x f(1-x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
7
📝 有解析
第7题
### 【基础篇】第7题（填空题） 7． $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}(1+x)} \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
7
📝 有解析
第7题
### 【强化篇】第7题（填空题） 7．已知 $f(x)$ 连续，$f\left(x^{2}+1\right)-f\left(x^{2}\right)=x(x>0), \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=1$ ，则 $\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
8
📝 有解析
第8题
### 【基础篇】第8题（填空题） 8． $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sec ^{3} \theta \mathrm{~d} \theta=$ $\_\_\_\_$ ．
8
📝 有解析
第8题
### 【强化篇】第8题（解答题） 8．设 $f(t)=\int_{0}^{1} t|t-x| \mathrm{d} x$ ，求 $\int_{-1}^{2} f(t) \mathrm{d} t$ ．
9
📝 有解析
第9题
### 【基础篇】第9题（填空题） 9．设连续函数 $f(x)$ 满足：$f(x+1)-f(x)=x \ln x, \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$
9
📝 有解析
第9题
### 【强化篇】第9题（选择题） 9．设 $f(x)$ 是以 2 为周期的连续函数， $\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=1, g(x)$ 是过点 $\displaystyle \left(-\frac{1}{2}, 0\right)$ 和 $(0,1)$ 的直线，则 $\int_{0}^{2} \mathscr{J}[g(x)] d \tau=(\quad)$. （A）-2 （B）-1 （C） 1 （D） 2
10
📝 有解析
第10题
### 【基础篇】第10题（填空题） 10．设 $\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ，则 $\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} x y \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
10
📝 有解析
第10题
### 【强化篇】第10题（填空题） 10．已知 $f^{\prime}(x)=\arctan (x-1)^{2}, f(0)=0$ ，则 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
11
📝 有解析
第11题
### 【基础篇】第11题（选择题） 11．若 $\mathrm{e}^{-x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\displaystyle \int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{1}{x^{2}} f(\ln x) \mathrm{d} x=$ ． （A）$\displaystyle -\frac{1}{4}$ （B）-1 （C）$\displaystyle \frac{1}{4}$ （D） 1
11
📝 有解析
第11题
### 【强化篇】第11题（填空题） 11．设 $g(x)=x^{2}, g[f(x)]=-x^{2}+2 x+3$ ，且 $f(x)>0$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
12
📝 有解析
第12题
### 【基础篇】第12题（选择题） 12．若函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle g(x)=\int_{0}^{2 x} f\left(x+\frac{t}{2}\right) \mathrm{d} t$ ，则当 $x \rightarrow 0^{+}$时，$g(x)$ 是的（ ． （A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小 （C）等价无穷小 （D）同阶但非等价无穷小
12
📝 有解析
第12题
### 【强化篇】第12题（解答题） 12．求 $\int_{-1}^{1} x \ln \left(1+\mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x$ ．
13
📝 有解析
第13题
### 【基础篇】第13题（选择题） 13．设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内连续，在 $x=0$ 处可导，且 $\displaystyle f(0)=0, \varphi(x) \left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x^{2}} \int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array}\right.$ 则 $\varphi(x)$ 在 $x=0$ 处 $($ ． （A）不连续 （B）连续但不可导 （C）可导但 $\varphi^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续 （D）可导且 $\varphi^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处连续
13
📝 有解析
第13题
### 【强化篇】第13题（解答题） 13．求 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{d x}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)}$ ．
14
📝 有解析
第14题
### 【基础篇】第14题（选择题） 14．若连续周期函数 $y=f(x)$（不恒为常数），对任何 $x$ 恒有 $\int_{-1}^{x+6} f(t) \mathrm{d} t+\int_{x-3}^{4} f(t) \mathrm{d} t=14$ 成：则 $f(x)$ 的周期是 ． （A） 7 （B） 8 （C） 9 （D） 10
14
📝 有解析
第14题
### 【强化篇】第14题（解答题） 14．议 $F(x)>0$ 为 $\mathbf{R}$ 上的连续可导函数，$F(0)=\sqrt{\pi}$ ，且 $\displaystyle F(x) F^{\prime}(x)=\frac{\cos x}{2 \sin ^{2} x+\cos ^{2} x}$ 。求 $F(x)$ ，
15
📝 有解析
第15题
### 【基础篇】第15题（选择题） 15．设 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上是连续的偶函数，$a>0, g(x)=\int_{-a}^{a}|x-t| \circ f(t) \mathrm{d} t$ ，则在 $[-a, a]$ ）． （A）$g(x)$ 是单调递增函数 （B）$g(x)$ 是单调递减函数 （C）$g(x)$ 是偶函数 （D）$g(x)$ 是奇函数
15
📝 有解析
第15题
### 【强化篇】第15题（解答题） 15．求 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x$ ，
16
📝 有解析
第16题
### 【基础篇】第16题（选择题） 16．若 $F(x)=\int_{-\pi}^{\pi}|x-t| \sin t \mathrm{~d} t$ ，则 $F^{\prime}(0)=$ ． （A）-4 （B）-2 （C） 2 （D） 4
16
📝 有解析
第16题
### 【强化篇】第16题（解答题） 16．求 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{5}{4}} \frac{d x}{\sin ^{2} x+3 \cos ^{2} x}$ ，
17
📝 有解析
第17题
### 【基础篇】第17题（选择题） 17．若函数 $y(x)=\int_{2}^{x^{2}} \mathrm{e}^{-\sqrt{t}} \mathrm{~d} t$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2}[y(x)]}{\mathrm{d} x^{2}}\right|_{x=-1}=$ ）． （A） 0 （B） 1 （C） $4 e^{-1}$ （D） 4 e
17
📝 有解析
第17题
### 【强化篇】第17题（解答题） 17．求 $\displaystyle \int_{1}^{y} \frac{d r}{\sqrt{2 x-x^{2}}}$
18
📝 有解析
第18题
### 【基础篇】第18题（填空题） 18．已知函数 $f(x)=\int_{1}^{x} \sqrt{1+t^{3}} \mathrm{~d} t$ ，则 $\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
18
📝 有解析
第18题
### 【强化篇】第18题（填空题） 18．设 $n$ 为非负整数，则 $\int_{0}^{1} x^{2} \ln ^{n} x \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
19
📝 有解析
第19题
### 【基础篇】第19题（填空题） 19．设连续函数 $f(x)$ 满足 $\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x \mathrm{e}^{x}$ ，则 $\displaystyle \int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{f(\ln x)}{x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
19
📝 有解析
第19题
### 【强化篇】第19题（选择题） 19．设 $f(x)=\int_{0}^{1} \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y, 0 \leqslant x \leqslant 1$ ，则 $f_{+}^{\prime}(0)=(\quad)$ ． （A）$\displaystyle -\frac{\pi}{2}$ （B）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ （C）$-\pi$ （D）$\pi$
20
📝 有解析
第20题
### 【基础篇】第20题（填空题） 20．设 $a_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x(n=0,1,2, \cdots)$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n-2}}\right)^{n}=$ $\_\_\_\_$ ．
20
📝 有解析
第20题
### 【强化篇】第20题（解答题） 20．设 $|x| \leqslant 1$ ，求积分 $I(x)=\int_{-1}^{1}|t-x| \mathrm{e}^{2 t} \mathrm{~d} t$ 的最大值．
21
📝 有解析
第21题
### 【基础篇】第21题（填空题） 21． $\displaystyle \int_{\sqrt{5}}^{5} \frac{1}{\sqrt{\left|x^{2}-9\right|}} \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
21
📝 有解析
第21题
### 【强化篇】第21题（解答题） 21．设函数 $f(x)=\int_{0}^{1}\left|t^{2}-x^{2}\right| \mathrm{d} t(x>0)$ ，求 $f^{\prime}(x)$ ，并求 $f(x)$ 的最小值．
22
📝 有解析
第22题
### 【基础篇】第22题（填空题） 22． $\int_{-\infty}^{+\infty}|x| \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
22
📝 有解析
第22题
### 【强化篇】第22题（解答题） 22．设 $f(x)=x, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\cos x, & x \leqslant \pi, \\ 0, & x>\pi,\end{array}\right.$ 求 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) g(x-t) \mathrm{d} t(x \geqslant 0)$ ．
23
📝 有解析
第23题
### 【基础篇】第23题（选择题） 23．设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1-x^{2 n}}{1+x^{2 n}} x$ ，且 $\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=a$ ，则 $a$ 等于（ ）。 ）． （A） 2 （B） 1 （C） 0 （D）-1
23
📝 有解析
第23题
### 【强化篇】第23题（填空题） 23．设 $y=f(x)=x \int_{0}^{2} \mathrm{e}^{-(x)^{2}} \mathrm{~d} t+x^{2}$ ，其在 $x=0$ 的某邻域内与 $x=g(y)$ 互为反函数，则 $g^{\prime \prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
24
📝 有解析
第24题
### 【基础篇】第24题（填空题） 24． $\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(\frac{1}{1+2^{\frac{1}{x}}}\right)^{\prime} \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．公众号：研池大叔 免费分享最新考研资料课程
24
📝 有解析
第24题
### 【强化篇】第24题（解答题） 24．$\displaystyle F(x)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|\sin x-\sin t| \mathrm{d} t(x \geqslant 0)$ 在 $x \rightarrow 0^{+}$处的 2 次泰勒多项式为 $a+b x+c x^{2}$ ，求 $a$ ， $b, c$ 的值．
25
📝 有解析
第25题
### 【基础篇】第25题（填空题） 25． $\displaystyle \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{|x|(\arcsin x+\arccos x)}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$。
25
📝 有解析
第25题
### 【强化篇】第25题（解答题） 25．求定积分 $\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{\mathrm{~d} x}{x \sqrt{3 x^{2}-2 x-1}}$ ．
26
📝 有解析
第26题
### 【基础篇】第26题（填空题） 26．积分 $\displaystyle I=\int_{1}^{\frac{3}{2}} \frac{(1-x) \arcsin (1-x)}{\sqrt{2 x-x^{2}}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
26
📝 有解析
第26题
### 【强化篇】第26题（选择题） 26．反常积分 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \cos x \mathrm{~d} x()$ 。 （A）取值为正 （B）取值为负 （C）取值为 0 （D）发散
27
📝 有解析
第27题
### 【基础篇】第27题（填空题） 27．若 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}+x^{3} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
27
📝 有解析
第27题
### 【强化篇】第27题（选择题） 27．设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array} g(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.\right.$ 则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t-x) g(t) \mathrm{d} t=(\quad)$ 。 （A） $\displaystyle \begin{cases}\frac{(x-1)^{2}}{2}, & -1 \leqslant x \leqslant 0, \\ \frac{x^{2}-1}{2}, & 01\end{cases}$ （B） $\displaystyle \begin{cases}\frac{(1-x)^{2}}{2}, & -1 \leqslant x \leqslant 0, \\ \frac{1-x^{2}}{2}, & 01\end{cases}$ （C） $\displaystyle \begin{cases}\frac{x^{2}-1}{2}, & -1 \leqslant x \leqslant 0, \\ \frac{(x-1)^{2}}{2}, & 01\end{cases}$ （D） $\displaystyle \begin{cases}\frac{1-x^{2}}{2}, & -1 \leqslant x \leqslant 0 \\ \frac{(1-x)^{2}}{2}, & 01\end{cases}$
28
📝 有解析
第28题
### 【基础篇】第28题（填空题） 28． $\int_{-1}^{1}\left[x^{3} \cos x+\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)\right] \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
28
📝 有解析
第28题
### 【强化篇】第28题（填空题） 28． $\displaystyle \int_{0}^{1-\cdots} \frac{x \ln x}{1+x^{4}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ，
29
📝 有解析
第29题
### 【基础篇】第29题（选择题） 29．设 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\cos t}{1+\sin ^{2} t} \mathrm{~d} t$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f^{\prime}(x)}{1+f^{2}(x)} \mathrm{d} x=$ ． （A）$\displaystyle -\frac{\pi}{4}$ （B）$\displaystyle -\arctan \frac{\pi}{4}$ （C）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ （D） $\displaystyle \arctan \frac{\pi}{4}$
30
📝 有解析
第30题
### 【基础篇】第30题（选择题） 30．设 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，$\displaystyle f(x)=x^{3} \mathrm{e}^{-x^{2}}+\frac{1}{x(1+x)} \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ ，则 $\int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=$ ． （A）$\displaystyle \frac{1}{1-\ln 2}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{\ln 2}$ （C）$\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{1-\ln 2}$ （D）$\displaystyle \frac{1}{(1-\ln 2) \mathrm{e}}$
31
📝 有解析
第31题
### 【基础篇】第31题（选择题） 31．设 $\alpha(x)=\int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t, \beta(x)=\int_{0}^{x} x f(t) \mathrm{d} t, f(x)>0$ ，且 $f^{\prime}(x)=o(x)\left(x \rightarrow 0^{+}\right)$，则当 $x \rightarrow 0^{+}$时，$\alpha(x)$ 是 $\beta(x)$ 的（ ）． （A）高阶无穷小 （B）低阶无穷小 （C）等价无穷小 （D）同阶但非等价无穷小
32
📝 有解析
第32题
### 【基础篇】第32题（选择题） 32．设函数 $f(x)$ 及其反函数 $f^{-1}(x)$ 都可导，且有 $\displaystyle \int_{2}^{f(x)} f^{-1}(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{3} x^{\frac{3}{2}}-9$ ，则 $f(x)=$ ． （A）$\sqrt{x}-1$ （B）$\sqrt{x}+1$ （C） $2 \sqrt{x}-1$ （D） $2 \sqrt{x}+1$
33
📝 有解析
第33题
### 【基础篇】第33题（选择题） 33．设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有连续的导数，则 $\displaystyle \lim _{a \rightarrow+0^{+}} \frac{1}{4 a^{2}} \int_{-a}^{a}[f(t+a)-f(t-a)] \mathrm{d} t=$ ． （A） 0 （B）$f^{\prime}(0)$ （C）$\displaystyle \frac{1}{4} f^{\prime}(0)$ （D）不存在
34
📝 有解析
第34题
### 【基础篇】第34题（解答题） 34．设 $f(x)=\int_{1}^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ ，求 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．
35
📝 有解析
第35题
### 【基础篇】第35题（填空题） 35． $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x \sqrt{x^{2}+2 x-1}}=$ $\_\_\_\_$ ．
36
📝 有解析
第36题
### 【基础篇】第36题（填空题） 36． $\int_{0}^{+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)^{2} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
## 第10章 一元函数积分学的应用（一）——几何应用
1
📝 有解析
第1题
### 【基础篇】第1题（填空题） 1．曲线 $\displaystyle y=\frac{1}{x^{2}+4 x+5}$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上与 $x$ 轴所围成图形的面积为 $\_\_\_\_$ ．
1
📝 有解析
第1题
### 【强化篇】第1题（填空题） 1．曲线 $\mathrm{e}^{y}+x y+x^{3}=\mathrm{e}$ 在点 $(0,1)$ 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 $\_\_\_\_$ ．
2
📝 有解析
第2题
### 【基础篇】第2题（填空题） 2．曲线 $\displaystyle y=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ 在 $\left[1, \mathrm{e}^{2}\right]$ 上与 $x$ 轴所围图形的面积是 $\_\_\_\_$。
2
📝 有解析
第2题
### 【强化篇】第2题（填空题） 2．曲线 $\displaystyle r=2 \cos 3 \theta\left(0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{6}\right)$ 与 $\theta=0$ 及 $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$ 所围图形面积为 $\_\_\_\_$。
3
📝 有解析
第3题
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．如图所示，抛物线 $y=(\sqrt{2}-1) x^{2}$ 把 $y=x(b-x)(b>0)$ 与 $x$ 轴所围成的闭区域分为面积为 $S_{A}$ 与 $S_{B}$ 的两部分，则 ． （A）$S_{A}S_{B}$ （D）$S_{A}$ 与 $S_{B}$ 大小关系与 $b$ 的数值有关
3
📝 有解析
第3题
### 【强化篇】第3题（填空题） 3．若曲线 $r=a(1+\cos \theta)(a>0)$ 所围图形的面积为 $6 \pi$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
4
📝 有解析
第4题
### 【基础篇】第4题（选择题） 4．过点 $(p, \sin p)$ 作曲线 $y=\sin x$ 的切线（见图），设该曲线与切线及 $y$ 轴所围成图形的面积为 $S_{1}$ ，曲线与直线 $x=p$ 及 $x$ 轴所围成图形的面积为 $S_{2}$ ，则 ． （A） $\displaystyle \lim _{p \rightarrow 0^{+}} \frac{S_{2}}{S_{1}+S_{2}}=\frac{1}{3}$ （B） $\displaystyle \lim _{p \rightarrow 0^{+}} \frac{S_{2}}{S_{1}+S_{2}}=\frac{1}{2}$ （C） $\displaystyle \lim _{p \rightarrow 0^{+}} \frac{S_{2}}{S_{1}+S_{2}}=\frac{2}{3}$ （D） $\displaystyle \lim _{p \rightarrow 0^{+}} \frac{S_{2}}{S_{1}+S_{2}}=1$
4
📝 有解析
第4题
### 【强化篇】第4题（解答题） 4．设函数 $y=y(x)$ 满足方程 $y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=\mathrm{e}^{-x}$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{x}=1$ ，求曲线 $y=y(x)$ 与 $x$ 轴正半轴之间的平面图形的面积及该平面图形绕 $y$ 轴旋转一周所形成的旋转体体积．
5
📝 有解析
第5题
### 【基础篇】第5题（解答题） 5．设 $f(x)$ 具有二阶连续导数，若曲线 $y_{1}=f(x)$ 过点 $(0,0)$ ，且与曲线
5
📝 有解析
第5题
### 【强化篇】第5题（填空题） 5．曲线 $y=\sqrt{x}$ 与 $y=x^{2}$ 所围平面有界区域绕直线 $y=x$ 旋转一周所得旋转体的体积为 $\_\_\_\_$。
6
📝 有解析
第6题
### 【基础篇】第6题（填空题） 6．设平面区域 $D$ 由曲线段 $y=\sin \pi x(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 与 $x$ 轴围成，则 $D$ 绕 $y$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为 $\_\_\_\_$。
6
📝 有解析
第6题
### 【强化篇】第6题（解答题） 6．过坐标原点作曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 的切线，该切线与曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 以及 $x$ 轴围成的向 $x$ 轴负向无限伸展的图形记为 $D$ 。 （1）求 $D$ 的面积； （2）求 $D$ 绕直线 $x=1$ 旋转一周所成的旋转体体积．
7
📝 有解析
第7题
### 【基础篇】第7题（填空题） 7．已知函数 $\displaystyle f(x)=x \int_{1}^{x} \frac{\mathrm{e}^{t^{2}}}{t} \mathrm{~d} t$ ，则 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上的平均值为 $\_\_\_\_$ ．
7
📝 有解析
第7题
### 【强化篇】第7题（解答题） 7．求曲线 $\displaystyle y=\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} \sqrt{\sin x}(x \geqslant 0)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积。
8
📝 有解析
第8题
### 【基础篇】第8题（解答题） 8．已知曲线 $L: y=\mathrm{e}^{-x}(x \geqslant 0)$ ，设 $P$ 是 $L$ 上的动点，$V$ 是 $L$ 上从点 $A(0,1)$ 到点 $P$ 的一段弧绕 $x$轴旋转一周所得的旋转体体积，当 $P$ 运动到点 $\displaystyle \left(1, \frac{1}{\mathrm{e}}\right)$ 时，沿 $x$ 轴正向的速度为 1 ，求此时 $V$ 关于时间 $t$ 的变化率．
8
📝 有解析
第8题
### 【强化篇】第8题（解答题） 8．设曲线 $y=a x^{2}(x \geqslant 0$ ，常数 $a>0)$ 与曲线 $y=1-x^{2}$ 交于点 $A$ ，过坐标原点 $O$ 和点 $A$ 的直线与曲线 $y=a x^{2}$ 围成一平面图形 $D$ 。 （1）求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成的旋转体体积 $V(a)$ ； （2）求使 $V(a)$ 为最大值时 $a$ 的值．
9
📝 有解析
第9题
### 【基础篇】第9题（填空题） 9．曲线 $\displaystyle y=\ln \sin x\left(\frac{\pi}{6} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{3}\right)$ 的弧长为 $\_\_\_\_$ ．
9
📝 有解析
第9题
### 【强化篇】第9题（解答题） 9．设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且满足 $x f^{\prime}(x)=f(x)+x^{2}$ ．已知曲线 $y=f(x)$ 与 $x=0, x=1, y=0$ 所围的图形 $S$ 面积为 2 。求 $f(x)$ 的表达式，以及图形 $S$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。
10
📝 有解析
第10题
### 【基础篇】第10题（填空题） 10．曲线 $r=\mathrm{e}^{g}$ 从 $\theta=0$ 到 $\theta=1$ 的弧长为 $\_\_\_\_$ ．
10
📝 有解析
第10题
### 【强化篇】第10题（填空题） 10．当 $x \geqslant 0$ 时，在曲线 $y=\mathrm{e}^{-2 x}$ 上面作一个台阶曲线，台阶的宽度皆为 1 （见图）．则图中无穷多个阴影部分的面积之和 $S=$ $\_\_\_\_$。
11
📝 有解析
第11题
### 【基础篇】第11题（填空题） 11．已知函数 $y=y(x)$ 由方程 $y^{4}-6 x y+3=0(1 \leqslant y \leqslant 2)$ 所确定，则曲线 $y=y(x)$ 从点 $\displaystyle \left(\frac{2}{3}, 1\right)$ 到点 $\displaystyle \left(\frac{19}{12}, 2\right)$ 的长度为 $\_\_\_\_$。
11
📝 有解析
第11题
### 【强化篇】第11题（解答题） 11．设函数 $y=f(x)$ 满足微分方程 $\displaystyle y^{\prime}+y=\frac{\mathrm{e}^{-x} \cos x}{2 \sqrt{\sin x}}$ ，且 $f(\pi)=0$ ，求曲
12
📝 有解析
第12题
### 【基础篇】第12题（选择题） 12．曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 与其过原点的切线及 $y$ 轴所围图形的面积为（）。 （A） $\int_{0}^{1}(\ln y-y \ln y) \mathrm{d} x$ （B） $\int_{0}^{1}\left(e^{x}-e x\right) d x$ （C） $\int_{1}^{e}(\ln y-y \ln y) \mathrm{d} x$ （D） $\int_{1}^{0}\left(\mathrm{e}^{x}-x \mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x$
12
📝 有解析
第12题
### 【强化篇】第12题（解答题） 12．设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内非负连续，且
$$ $\int_{0}^{x} t f\left(x^{2}\right) f\left(x^{2}-t^{2}\right) \mathrm{d} t=\sin ^{2} x^{2}$ $$
求 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的平均值．
13
📝 有解析
第13题
### 【基础篇】第13题（填空题） 13．曲线 $y=x^{2} \mathrm{e}^{-x}(0 \leqslant x<+\infty)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积为 $\_\_\_\_$。
13
📝 有解析
第13题
### 【强化篇】第13题（填空题） 13．已知 $\displaystyle \frac{1}{1+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}$ 是函数 $f(x)$ 的一个原函数，则 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的平均值为 $\_\_\_\_$ ．
14
📝 有解析
第14题
### 【基础篇】第14题（填空题） 14．$f(x)=x \ln x(0
14
📝 有解析
第14题
### 【强化篇】第14题（填空题） 14．已矢函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内是函数 $\displaystyle \frac{\sin \pi x}{x}$ 的一个原函数，且 $f(1)=0$ ，则 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的平均值为 $\_\_\_\_$ ．
15
📝 有解析
第15题
### 【基础篇】第15题（填空题） 15．曲线 $\displaystyle y=\frac{1}{2} x^{2}(x \in[0,1])$ 的长度为 $\_\_\_\_$。
15
📝 有解析
第15题
### 【强化篇】第15题（填空题） 15．设函数 $f(x)$ 非负连续，且 $f(x) \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} l=2 x^{2}$ ，则 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的平均值为 $\_\_\_\_$。
16
📝 有解析
第16题
### 【基础篇】第16题（选择题） 16．设平面 $D$ 是由 $y=\ln x, x=1, y=1$ 围成的第一象限的有界区域，记 $D$ 绕 $x$ 轴与绕 $y=1$ 旋转一周所得旋转体的体积分别为 $V_{1}, V_{2}$ ，则（ ． （A）$\displaystyle V_{1}>\frac{\pi}{2}>V_{2}$ （B）$\displaystyle V_{2}>\frac{\pi}{2}>V_{1}$ （C）$\displaystyle \frac{\pi}{2}>V_{1}>V_{2}$ （D）$\displaystyle \frac{\pi}{2}>V_{2}>V_{1}$
16
📝 有解析
第16题
### 【强化篇】第16题（填空题） 16．设 $f(x)$ 为 $[0,3]$ 上的非负连续函数，且满足 $f(x) \int_{1}^{2} f(x t-x) \mathrm{d} t=2 x^{2}, x \in[0,3]$ ，则 $f(x)$在区用 $[1,3]$ 上的平均值为 $\_\_\_\_$。
17
📝 有解析
第17题
### 【基础篇】第17题（填空题） 17．曲线 $y=x^{2}$ 从点 $(1,1)$ 到点 $(2,4)$ 的一段弧绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的侧面积为 $\_\_\_\_$。
17
📝 有解析
第17题
### 【强化篇】第17题（填空题） 17．已知函数 $f(x)$ 在 $\displaystyle \left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]$ 上连续，在 $\displaystyle \left(0, \frac{3 \pi}{2}\right)$ 内是函数 $\displaystyle \frac{\cos x}{2 x-3 \pi}$ 的一个原函数，且 $f(0)=0$ ，则 $f(x)$ 在区间 $\displaystyle \left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]$ 上的平均值为 $\_\_\_\_$ ．
18
📝 有解析
第18题
### 【基础篇】第18题（填空题） 18．函数 $\displaystyle y=\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}$ 在区间 $[0,1]$ 的平均值为 $\_\_\_\_$ ．
18
📝 有解析
第18题
### 【强化篇】第18题（解答题） 18．设 $f(x)=\int_{-1}^{x} t|t| \mathrm{d} t$ ，求曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴所围成的封闭图形的面积．
19
📝 有解析
第19题
### 【基础篇】第19题（解答题） 19．设 $P$ 为曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\cos t, \\ y=2 \sin ^{2} t,\end{array} t \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\right.$ 上的一点，该曲线与直线 $O P$ 及 $x$ 轴所围图形的面积为 $S$ ，求函数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{~d} t}$ 取得最大值时点 $P$ 的坐标．
19
📝 有解析
第19题
### 【强化篇】第19题（解答题） 19．已卵函数 $f(x), g(x)$ 分别满足
$$ f^{\prime}(x)=2 \sqrt{f(x)}, g^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{x-2}+\frac{x-2}{x}, f(0)=1, g(1)=0 $$
求曲线 $f(x)+g(y)=0$ 所围图形绕直线 $x=-1$ 旋转一周所成旋转体体积。
20
📝 有解析
第20题
### 【基础篇】第20题（解答题） 20．求常数 $a(a>0)$ ，使曲线 $y=a\left(1-x^{2}\right)$ 与其在 $(-1,0)$ 及 $(1,0)$ 两点处的法线所围成图形的面积最小。
20
📝 有解析
第20题
### 【强化篇】第20题（解答题） 20．在曲线 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 上的横坐标为 $a(0
21
📝 有解析
第21题
### 【强化篇】第21题（解答题） 21．设函数 $x=x(y)$ 满足 $\displaystyle y=\int \frac{4 y^{3}}{4-y^{6}} \mathrm{~d} x, L$ 为曲线 $x=x(y)(-2 \leqslant y \leqslant-1)$ ，且 $\displaystyle x(-1)=-\frac{9}{16}$ ，记 $L$ 的长度为 $s$ ，求： （1）$s$ ； （2）$x$ 的最大值．
22
📝 有解析
第22题
### 【强化篇】第22题（解答题） 22．设平面区域 $D$ 由 $y=0, y=a, x=0, x=\sqrt{a^{2}+y^{2}}$ 围成 $(a>0)$ 。求 $D$ 绕 $y$ 轴旋转所生成的旋转体的体积 $V$ ，以及旋转体的表面积 $S$（表面积 $=$ 侧面积 + 上下底面积）。
23
📝 有解析
第23题
### 【强化篇】第23题（解答题） 23．设非负函数 $y(x)$ 是微分方程 $2 y y^{\prime}=\cos x$ 满足条件 $y(0)=0$ 的解，求曲线 $f_{n}(x)=$刀 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{n}} y(1) \mathrm{d} l(0 \leqslant x \leqslant n \pi)$ 的弧长。
24
📝 有解析
第24题
### 【强化篇】第24题（解答题） 24．设函数 $y=f(x)$ 在区间 $[0, a]$ 上非负，$f^{\prime \prime}(x)>0$ ，且 $f(0)=0$ ．有一块质量均匀分布的平板 $D$ ，其占据的区域是曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=a$ 以及 $x$ 轴围成的平面图形。用 $\bar{x}$ 表示平板 $D$ 的质心的横坐标（见图）。证明： $\displaystyle \bar{x}>\frac{2}{3} a$ 。
25
📝 有解析
第25题
### 【强化篇】第25题（解答题） 25．求㭷线的一拱 $\left\{\begin{array}{l}x=a(l-\sin l), \\ y=a(1-\cos l)\end{array}(0 \leqslant l \leqslant 2 \pi, a>0)\right.$ 与 $x$ 轴围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所形成的旋转体的体积与表面积。
26
📝 有解析
第26题
### 【强化篇】第26题（解答题） 26．已知揌钱的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=a(1-\sin t), \\ y-a(1-\cos t),\end{array}\right.$ 其中 $0 \leqslant 1 \leqslant 2 \pi$ ，常数 $a>0$ 。设该摆线一拱的弧长的数值等于淡孤段绕 $x$ 轴旋转一周所形成的旋钫曲面面积的数值，求 $a$ 的值．
## 第11章 一元函数积分学的应用（二）——积分等式与积分不等式
1
📝 有解析
第1题
### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设 $a>0$ ，则在 $[0, a]$ 上方程 $\displaystyle \int_{0}^{x} \sqrt{4 a^{2}-t^{2}} \mathrm{~d} t+\int_{a}^{x} \frac{1}{\sqrt{4 a^{2}-t^{2}}} \mathrm{~d} t=0$ 根的个数为（ ）． （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3
1
📝 有解析
第1题
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上二阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x)>0, f(0)=-1$ ，则 () ． （A） $\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x>0$ （B） $\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x<0$ （C） $\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x>-2$ （D） $\int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x<-2$
2
📝 有解析
第2题
### 【基础篇】第2题（选择题） 2．当 $x \geqslant 0$ 时，函数 $f(x)$ 可导，有反函数 $g(x)$ ，且恒等式 $\int_{1}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=x^{2}-1$ 成立，则函数 $f(x)=(\quad)$. （A） $2 x+1$ （B） $2 x-1$ （C）$x^{2}+1$ （D）$x^{2}$
2
📝 有解析
第2题
### 【强化篇】第2题（解答题） 2．设函数 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数，利用分部积分法证明：
$$ $\int_{0}^{1}\left[\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} f(t) \mathrm{d} t\right] \mathrm{d} x=\int_{0}^{1}\left(\sqrt{x}-x^{2}\right) f(x) \mathrm{d} x$ $$
3
📝 有解析
第3题
### 【基础篇】第3题（解答题） 3．设 $S(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，其中 $f(x)=|\arcsin (\sin x)|$ ． （1）写出 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的表达式； （2）计算 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{S(x)}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ．
3
📝 有解析
第3题
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的可导函数，$f(0)=f(1)=1, \max _{0 \leqslant r \leqslant 1}\left\{\left|f^{\prime}(x)\right|\right\}=1$ ，则（ ）． （A）$\displaystyle \frac{1}{4}<\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x<\frac{1}{2}$ （B）$\displaystyle \frac{1}{2}<\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x<\frac{3}{4}$ （C）$\displaystyle \frac{3}{4}<\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x<\frac{5}{4}$ （D）$\displaystyle \frac{5}{4}<\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x<\frac{7}{4}$
4
📝 有解析
第4题
### 【基础篇】第4题（解答题） 4．设 $f(x)$ 连续，证明： $\int_{0}^{x}\left[\int_{0}^{t} f(u) \mathrm{d} u\right] \mathrm{d} t=\int_{0}^{x} f(t)(x-t) \mathrm{d} t$ ．
4
📝 有解析
第4题
### 【强化篇】第4题（解答题） 4．证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\int_{x}^{\sqrt{x}} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t\right) \mathrm{d} x=1-\sin 1$ ．
5
📝 有解析
第5题
### 【基础篇】第5题（解答题） 5．设 $f(x), g(x)$ 连续，$x \in[a, b]$ ，证明至少存在一点 $\xi \in(a, b)$ ，使
$$ f(\xi) \int_{\xi}^{b} g(x) \mathrm{d} x=g(\xi) \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x $$
5
📝 有解析
第5题
### 【强化篇】第5题（解答题） 5．设函数 $f(x), g(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，对任意的 $x \in[a, b]$ ，满足 $\int_{a}^{x} g(t) \mathrm{d} t \leqslant \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，且 $\int_{a}^{b} g(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明： $\int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} x g(x) \mathrm{d} x$ ．
6
📝 有解析
第6题
### 【基础篇】第6题（解答题） 6．证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{4}}=\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{2}}{1+x^{4}} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{2}}{4} \pi$ ．
6
📝 有解析
第6题
### 【强化篇】第6题（解答题） 6．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，且 $f^{\prime}(x)$ 连续，$f(a)=0$ ．证明：
$$ $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leqslant \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x$ $$
7
📝 有解析
第7题
### 【基础篇】第7题（选择题） 7．已知函数 $f(x), g(x)$ 可导，且 $f^{\prime}(x)>0, g^{\prime}(x)<0$ ，则（ ）． （A） $\int_{-1}^{0} f(x) g(x) \mathrm{d} x>\int_{0}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ （B） $\int_{-1}^{0}|f(x) g(x)| \mathrm{d} x>\int_{0}^{1}|f(x) g(x)| \mathrm{d} x$ （C） $\int_{-1}^{0} f[g(x)] \mathrm{d} x>\int_{0}^{1} f[g(x)] \mathrm{d} x$ （D） $\int_{-1}^{0} f[f(x)] \mathrm{d} x>\int_{0}^{1} g[g(x)] \mathrm{d} x$
7
📝 有解析
第7题
### 【强化篇】第7题（解答题） 7．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $\int_{0}^{1} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ． 证明：至少存在一点 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $\int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．
8
📝 有解析
第8题
### 【基础篇】第8题（选择题） 8．设 $f(x), g(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，则使得 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x \int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{0}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 成立的条件是在 ［ 0,1 ］上（ ）。公众号：研池大叔 免费分享最新考研资料课程 （A）$f(x), g(x)$ 均为增函数 （B）$f(x), g(x)$ 均为减函数 （C）$f(x)$ 为减函数，$g(x)$ 为增函数 （D）$f(x)$ 为奇函数，$g(x)$ 为偶函数
8
📝 有解析
第8题
### 【强化篇】第8题（解答题） 8．设 $y=f(x)$ 是可导的单调函数，$f(a)=0, g(x)$ 是 $f(x)$ 的反函数．证明：
$$ $\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{y} g(t) \mathrm{d} t=x y .$ $$
9
📝 有解析
第9题
### 【基础篇】第9题（解答题） 9．设 $f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$f(a)=f(b)=0$ ，证明：当 $x \in(a, b)$ 时，$|f(x)| \leqslant$ $\displaystyle \frac{1}{2} \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x$.
9
📝 有解析
第9题
### 【强化篇】第9题（解答题） 9．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有二阶导数，$f(0)=f(1)=0, f^{\prime \prime}(x)<0,0 \leqslant f(x) \leqslant 1$ ．记曲线 $y= f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的长度为 $a$ ，证明： （1）存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得对任意 $x \in(0, \xi)$ ，有 $f^{\prime}(x)>0$ ； （2）$a<3$ ．
10
📝 有解析
第10题
### 【基础篇】第10题（解答题） 10．设 $f^{\prime}(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(0)=0$ ，证明：
$$ $\displaystyle \left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{2},$ $$
其中 $M=\max _{0 \leqslant \leqslant 1}\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．
11
📝 有解析
第11题
### 【基础篇】第11题（解答题） 11．设 $f(x)=\int_{x}^{x+1} \sin u^{2} \mathrm{~d} u$ ，证明：当 $x>0$ 时，有 $\displaystyle |f(x)| \leqslant \frac{1}{x}$ ．
## 第12章 一元函数积分学的应用（三）——物理应用
1
📝 有解析
第1题
### 【基础篇】第1题（填空题） 1．设沿 $y$ 轴上的区间 $[0,1]$ 放置一长度为 1 且线密度为 $\rho$ 的均匀细杆，在 $x$ 轴上 $x=1$ 处有一单位质点，则该细杆对此质点的引力（ $G$ 为引力常量）沿 $x$ 轴正向的分力为 $\_\_\_\_$。
1
📝 有解析
第1题
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．一三角形平面薄板铅直地浸没于水中，设当该薄板的一条边与水面相平齐时薄板一侧所受的水压力的大小为 $F_{1}$ ，当倒转薄板使原来与水面相平齐的那条边与水面平行而该边相对的顶点与水面相齐时薄板一侧所受的水压力的大小为 $F_{2}$ ，则（ ）。 （A）$\displaystyle F_{2}=\frac{3}{2} F_{1}$ （B）$\displaystyle F_{2}=\frac{4}{3} F_{1}$ （C）$F_{2}=2 F_{1}$ （D）$F_{2}=3 F_{1}$
2
📝 有解析
第2题
### 【基础篇】第2题（填空题） 2．边长为 $a$ 的正方形平板置于水面下，且一个顶点与水面相齐，其中一条对角线与水面垂直，如图所示．记水的密度为 $\rho$ ，重力加速度为 $g$ ，则其一侧所受的静水压力为 $\_\_\_\_$。
2
📝 有解析
第2题
### 【强化篇】第2题（解答题） 2．边长为 2 的等边三角形薄平板铅直沉没在水中，且一条边与水面相齐。记重力加速度为 $g$ ，水的密度为 $p$ 。 （1）求该平板一侧所受的水压力； （2）当水面开始以 0.1 的速度上涨时，求平板一侧所受水压力的变化率．
3
📝 有解析
第3题
### 【基础篇】第3题（填空题） 3．将地面上质量为 1 的物体铅直向上举高，记地球半径为 $R$ ，质量为 $M$ ， 引力常数为 $G$ ，则物体摆脱地球引力至少需做功 $\_\_\_\_$。
3
📝 有解析
第3题
### 【强化篇】第3题（解答题） 3．已知曲线 $L: y=\ln \sqrt{x}(2 \leqslant x \leqslant 4)$ ，在 $L$ 上的任意点 $P(x, y)$ 作切线，记切线与曲线 $L$ 在 $2 \leqslant x \leqslant 4$ 时所围成的有界区域的面积为 $S$ ． （1）求一点 $P_{0}$ ，使上述面积 $S$ 关于 $x$ 的变化率为零； （2）当点 $P(x, y)$ 在曲线上移动至 $\displaystyle \left(\mathrm{e}, \frac{1}{2}\right)$ 时，横坐标关于时间的变化率为 1 ，求此时面积关于时间的变化率 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{~d} t}$ ．
4
📝 有解析
第4题
### 【基础篇】第4题（解答题） 4．有一内表面为旋转抛物面的水缸，其深为 $a$（单位：米），缸口直径为 $2 a$（单位：米），缸内盛满了水，设水的密度为 $\rho$（单位：千克／立方米）。若以每秒 $Q$ 立方米的速率将缸中的水全部抽出，问： （1）共需多少时间？ （2）需做多少功？
4
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第4题
### 【强化篇】第4题（选择题） 4．设有半圆形板：$x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}(y \geqslant 0)$ ，它在点 $P(x, y)$ 的密度与点 $P$ 到原点的距离成正比，则半圆形板的重心坐标为（ ）。 （A）$\displaystyle \left(0, \frac{\pi a}{3}\right)$ （B）$\displaystyle \left(0, \frac{\pi a}{2}\right)$ （C）$\displaystyle \left(0, \frac{4 a}{3 \pi}\right)$ （D）$\displaystyle \left(0, \frac{3 a}{2 \pi}\right)$
5
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第5题
### 【基础篇】第5题（解答题） 5．在一个高为 1 m 的圆柱形容器内储存某种液体，并将容器横放．底面圆的方程为 $x^{2}+y^{2}=$ 1 （单位：m）．如果容器内存满了液体后，以 $0.2 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}$ 的速率将液体从容器顶端抽出。 （1）当液面在 $y=0$ 时，求液面下降的速率； （2）如果 $1 \mathrm{~m}^{3}$ 液体所受重力为 1 N ，求抽完全部液体需做多少功？
5
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第5题
### 【强化篇】第5题（填空题） 5．曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 与直线 $x=1, x=-1$ 及 $x$ 轴所围平面有界区域 $D$ 的形心为 $\_\_\_\_$ ．
6
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第6题
### 【基础篇】第6题（解答题） 6．设有一个内表面为旋转抛物面的容器，其深为 $a$ 米，容器口直径为 $2 a$ 米，若以每秒 $Q$ 立方米的速率往容器内注水，求： （1）容器的容积及内表面的面积； （2）当容器中水深为 $\displaystyle \frac{1}{2} a$ 米时，水面上升的速率．
7
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第7题
### 【基础篇】第7题（解答题） 7．以 $y O z$ 面上的平面曲线段 $y=f(z)(z \geqslant 0)$ 绕 $z$ 轴旋转一周所成旋转曲面与 $x O y$ 面围成一个无上盖容器（见图），现以 $3 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{s}$ 的速率把水注入容器内，水面的面积以 $\pi \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}$ 的速率增大。已知容器底面积为 $16 \pi \mathrm{~cm}^{2}$ ，求曲线 $y=f(z)$ 的方程。
8
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第8题
### 【基础篇】第8题（解答题） 8．设长轴与短轴分别为 $2 a$ 及 $2 b$ 的半椭圆形薄板铅直沉入水中，其短轴与水面平行且位于水面下 $c$ 处，记水的密度为 $\rho$ ，重力加速度为 $g$ ．求水对薄板的压力．
## 第13章 多元函数微分学
1
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第1题
### 【基础篇】第1题（填空题） 1．设 $z=\arctan [x y+\cos (x+y)]$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0, \pi)}=$ $\_\_\_\_$ ．
1
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第1题
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设函数 $f(x, y)=|x|+y|y|$ ，则 $\quad)$ ． （A）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 存在，$f_{y}^{\prime}(0,0)$ 存在 （B）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 存在，$f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在 （C）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在，$f_{y}^{\prime}(0,0)$ 存在 （D）$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 不存在，$f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在
2
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第2题
### 【基础篇】第2题（填空题） 2．设函数 $f(u)$ 可导，$z=f(\cos y-\cos x)+x y$ ，则 $\displaystyle \frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{1}{\sin y} \cdot \frac{\partial z}{\partial y}=$ $\_\_\_\_$。
2
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第2题
### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\sin x \cos y, & x \neq 0, \\ 1-\cos y, & x=0,\end{array}\right.$ 则 $(\quad)$ 。 （A）$f_{x}^{\prime}(0,0)=0$ （B） $\lim _{x \rightarrow 0} \lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)=0$ （C）$f_{x x}^{\prime \prime}(0,0)=1$ （D）$f_{y}^{\prime}(0,0)=1$
3
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第3题
### 【基础篇】第3题（填空题） 3．设函数 $f(u)$ 可导，$z=y f\left(x^{y^{2}}\right)$ ，则 $\displaystyle 2 x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$ $\_\_\_\_$ ．
3
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第3题
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．已知函数 $f(x, y)=x|x|+x|y|+y|x|+y|y|$ ，则以下命题： （1） $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=f(0,0)$ ； （2）$\displaystyle \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(0,0)}=0$ ； （3）$\displaystyle \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(0,0)}=1$ ； （4）$\left.\mathrm{d} f\right|_{(0,0)}=0$ ． 正确命题的个数为（ ）。 （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
4
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第4题
### 【基础篇】第4题（填空题） 4．设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $(x+1) z+2 y \ln z-\arctan (x y)=1$ 确定，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(0,2)}=$ $\_\_\_\_$。
4
📝 有解析
第4题
### 【强化篇】第4题（解答题） 4．若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点的某个邻域内有定义，$f(0,0)=0$ ，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=a$ ，其中 $a$ 为常数． （1）讨论函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点的连续性； （2）当 $a$ 为何值时，函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点可微？并求 $\left.\mathrm{d} f\right|_{(0,0)}$ ．
5
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第5题
### 【基础篇】第5题（填空题） 5．设 $F(x, y)=\int_{0}^{x-y}(x-y-t) \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
5
📝 有解析
第5题
### 【强化篇】第5题（解答题） 5．设函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$ 回答以下问题，并说明理由： （1）函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处是否连续？ （2）函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的两个一阶偏导数是否存在？若存在，求出这两个偏导数． （3）函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处是否可微？若可微，求出函数的微分．
6
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第6题
### 【基础篇】第6题（填空题） 6．设函数 $f(x, \sin x)=x+\sin x, f_{x}^{\prime}(x, y)=1+2 \cos x$ ，则 $\left.f_{y}^{\prime}(x, y)\right|_{y=\sin x}=$ $\_\_\_\_$ ．
6
📝 有解析
第6题
### 【强化篇】第6题（选择题） 6．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{x^{2}+y^{2}} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 $(\quad)$ 。 （A）两个偏导数都存在，函数也连续 （B）两个偏导数都存在，但函数不连续 （C）偏导数不存在，但函数连续 （D）偏导数不存在，函数也不连续
7
📝 有解析
第7题
### 【基础篇】第7题（填空题） 7．设函数 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2}[f(x, y)]}{\partial x \partial y}=1, f(0, y)=\sin y, f(x, 0)= \sin x$ ，则 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．公众号：研池大叔 免费分享最新考研资料课程
7
📝 有解析
第7题
### 【强化篇】第7题（填空题） 7．设函数 $z=f(x, y)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(1,0)} \frac{f(x, y)-3 x+y+5}{(x-1)^{2}+y^{2}}=\frac{1}{4}$ ，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(1,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．
8
📝 有解析
第8题
### 【基础篇】第8题（填空题） 8．设 $\displaystyle f\left(x+y, \frac{x}{y}\right)=x^{2}-x y+y^{2}$ ，则 $f_{x}^{\prime}(x, y)=$ $\_\_\_\_$ ．
8
📝 有解析
第8题
### 【强化篇】第8题（填空题） 8．设函数 $f(u, v)$ 具有连续偏导数，$z=f(x y, x+y)$ ．若 $\left.\mathrm{d} z\right|_{\substack{x=2 \\ y=3}}=6 \mathrm{~d} x+5 \mathrm{~d} y$ ，则 $f_{u}^{\prime}(6,5)+ f_{v}^{\prime}(6,5)=$ $\_\_\_\_$。
9
📝 有解析
第9题
### 【基础篇】第9题（解答题） 9．设函数 $f(x, y)=\sqrt{|x y|}$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial[f(x, y)]}{\partial x}$ ．
9
📝 有解析
第9题
### 【强化篇】第9题（填空题） 9．设函数 $z=f(x, y)(x y \neq 0)$ 满足 $\displaystyle f\left(x y, \frac{y}{x}\right)=y^{2}\left(x^{2}-1\right)$ ，则 $\mathrm{d} z=$ $\_\_\_\_$ ．
10
📝 有解析
第10题
### 【基础篇】第10题（选择题） 10．设 $\displaystyle Q(x, y)=\frac{x}{y^{2}}, y>0, P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 是某二元函数的全微分，则 $P(x, y)$ 可取为（ ）。 （A）$\displaystyle y^{2}-\frac{x^{2}}{y^{3}}$ （B）$\displaystyle x^{2}-\frac{1}{y}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{y^{2}}-\frac{x^{2}}{y^{3}}$ （D）$\displaystyle \frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{y}$
10
📝 有解析
第10题
### 【强化篇】第10题（填空题） 10．设函数 $f(x, y)=\int_{0}^{x y} \mathrm{e}^{x t^{2}} \mathrm{~d} t$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)}=$ $\_\_\_\_$ ．
11
📝 有解析
第11题
### 【基础篇】第11题（填空题） 11．函数 $z=x^{y}$ 在点 $(1,2)$ 处的全微分为 $\mathrm{d} z=$ $\_\_\_\_$。
11
📝 有解析
第11题
### 【强化篇】第11题（填空题） 11．设 $z=z(x, y)$ 是由 $z+\mathrm{e}^{z}=x y$ 所确定的二元函数，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}\right|_{z=0}=$ $\_\_\_\_$ ．
12
📝 有解析
第12题
### 【基础篇】第12题（填空题） 12．设 $f$ 具有二阶连续偏导数，且 $u=f\left(x^{2}+y, x y\right)$ ，则 $u_{x y}^{\prime \prime}=$ $\_\_\_\_$。
12
📝 有解析
第12题
### 【强化篇】第12题（填空题） 12．设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $\mathrm{e}^{x-2 y+3 z}-2 x \mathrm{e}^{-y} \cos z=1$ 所确定的函数，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．
13
📝 有解析
第13题
### 【基础篇】第13题（解答题） 13．设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，函数 $\displaystyle g(x, y)=x y-f\left(\frac{y}{x}, \frac{x}{y}\right)$ ，求
$$ x^{2} \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}+2 x y \frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}} $$
13
📝 有解析
第13题
### 【强化篇】第13题（选择题） 13．已知 $\displaystyle \frac{a y \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} x}{x^{2}+y^{2}-1}\left(x^{2}+y^{2}<1\right)$ 是某二元函数的全微分，则 $a=(\quad)$ ． （A） 1 （B）-1 （C） 2 （D）-2
14
📝 有解析
第14题
### 【基础篇】第14题（解答题） 14．设函数 $\displaystyle z=x y f\left(\frac{y}{x}\right)$ ，其中 $f(u)$ 可导、且满足 $\displaystyle x \frac{\partial x}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=y^{2}\left(\ln y^{\prime}-\ln x\right)$ ，求： （1）$f(x)$ 的表达式； （2）$f(x)$ 与 $x$ 轴所围图形的面积及该图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积．
14
📝 有解析
第14题
### 【强化篇】第14题（填空题） 14．设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\sin (x-y)+\int_{1}^{z} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t=0$ 确定，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,0)}=$ $\_\_\_\_$。
15
📝 有解析
第15题
### 【基础篇】第15题（解答题） 15．设 $f(u)=\ln u, u=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2}[f(u)]}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}[f(u)]}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}[f(u)]}{\partial z^{2}}$ ．
15
📝 有解析
第15题
### 【强化篇】第15题（解答题） 15．设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $z+\ln z-\int_{y}^{x} \mathrm{e}^{-t^{2}} \mathrm{~d} t=1$ 确定的函数，计算 $\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}\right|_{(0,0)}$ ．
16
📝 有解析
第16题
### 【基础篇】第16题（解答题） 16．设函数 $u=f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，作变量代换 $\xi=x, \eta=y-x$ ，将方程
$$ $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$ $$
化为以 $\xi, \eta$ 为自变量的方程．
16
📝 有解析
第16题
### 【强化篇】第16题（选择题） 16．设函数 $f$ 与 $g$ 均可微，$z=f[x y, \ln x+g(x y)]$ ，则 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}-y \frac{\partial z}{\partial y}=(\quad)$ 。 （A）$f_{1}^{\prime}$ （B）$f_{2}^{\prime}$ （C）$f_{1}^{\prime}+f_{2}^{\prime}$ （D）$f_{1}^{\prime}-f_{2}^{\prime}$
17
📝 有解析
第17题
### 【基础篇】第17题（解答题） 17．设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle F\left(x+\frac{z}{y}, y+\frac{z}{x}\right)=0$ 确定，且 $F(u, v)$ 具有连续偏导数，求 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}+ y \frac{\partial z}{\partial y}$.
17
📝 有解析
第17题
### 【强化篇】第17题（选择题） 17．设 $F(u, v)$ 具有一阶连续偏导数，且 $z=z(x, y)$ 由方程 $\displaystyle F\left(\frac{x}{z}, y z\right)=0$ 所确定．设题中出现的分母不为零，则 $\displaystyle x \frac{\partial z}{\partial x}-y \frac{\partial z}{\partial y}=(\quad)$ ． （A） 0 （B）$z$ （C）$\displaystyle \frac{1}{z}$ （D） 1
18
📝 有解析
第18题
### 【基础篇】第18题（选择题） 18．设 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，在 $D$ 内有一阶偏导数．若 $f(x, y)$ 在 $D$ 的边界 $\partial D$ 上的值均为 0 ，且 $\displaystyle \frac{\partial[f(x, y)]}{\partial x}+\frac{\partial[f(x, y)]}{\partial y}=f(x, y)$ ，则 $f(x, y)(\quad)$ 。 （A）在 $D$ 内有正的最大值 （B）在 $D$ 内有负的最小值 （C）只在 $D$ 的边界 $\partial D$ 上取到最大值 （D）在 $D$ 的边界 $\partial D$ 上可以取到最小值
18
📝 有解析
第18题
### 【强化篇】第18题（填空题） 18．设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $3 x+x y z+z^{3}=1$ 所确定的函数，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}\right|_{\substack{x=0 \\ y=0}}=$ $\_\_\_\_$ ．
19
📝 有解析
第19题
### 【基础篇】第19题（选择题） 19．设 $f(x, y)$ 在平面有界闭区域 $D$ 上具有二阶连续偏导数，且满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}>0$ 与 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0$ ，则（ ）。 （A）$f(x, y)$ 的最小值点和最大值点都在 $D$ 的内部 （B）$f(x, y)$ 的最小值点和最大值点都在 $D$ 的边界上 （C）$f(x, y)$ 的最小值点在 $D$ 的内部，最大值点在 $D$ 的边界上 （D）$f(x, y)$ 的最大值点在 $D$ 的内部，最小值点在 $D$ 的边界上
19
📝 有解析
第19题
### 【强化篇】第19题（解答题） 19．已知方程 $2 z-\mathrm{e}^{z}+1+\int_{y}^{x^{2}} \sin \left(t^{2}\right) \mathrm{d} t=0$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=(1,1,0)$ 的某个邻域中确定了一个隐函数 $z=z(x, y)$ ，求 $\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)}$ ．
20
📝 有解析
第20题
### 【基础篇】第20题（选择题） 20．设 $f(x, y)=x^{4}+y^{4}-(x+y)^{2}$ ，且 $(1,1)$ 与 $(-1,-1)$ 为函数 $f(x, y)$ 的两个驻点，则（ ）。 （A）$f(1,1)$ 与 $f(-1,-1)$ 都是极大值 （B）$f(1,1)$ 与 $f(-1,-1)$ 都是极小值 （C）$f(1,1)$ 是极大值，$f(-1,-1)$ 是极小值 （D）$f(1,1)$ 是极小值，$f(-1,-1)$ 是极大值
20
📝 有解析
第20题
### 【强化篇】第20题（解答题） 20．设 $f(u, v)$ 存在二阶连续偏导数，$z=z(x, y)$ 是由方程 $f(z-x, z-y)=1$ 确定的隐函数，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．
21
📝 有解析
第21题
### 【基础篇】第21题（填空题） 21．设 $\mathrm{e}^{x}+y^{2}+|z|=3$ ，其中 $x, y, z$ 为实数，若 $\mathrm{e}^{x} y^{2}|z| \leqslant k$ 恒成立，则 $k$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$。
21
📝 有解析
第21题
### 【强化篇】第21题（填空题） 21．已知函数 $f(x, y)=\mathrm{c}^{-x}\left(a x+b-y^{2}\right)$ ，若 $f(-1,0)$ 为其极大值，则 $a, b$ 满足 $\_\_\_\_$ ．
22
📝 有解析
第22题
### 【基础篇】第22题（解答题） 22．求函数 $f(x, y)=(y-x)\left(y-x^{2}\right)$ 的极值．
22
📝 有解析
第22题
### 【强化篇】第22题（选择题） 22．设函数 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处取极大值，记 $\displaystyle a=\left.\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}, b= \left.\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}$ ，则 ． （A）$a>0, b>0$ （B）$a \geqslant 0, b \geqslant 0$ （C）$a<0, b<0$ （D）$a \leqslant 0, b \leqslant 0$
23
📝 有解析
第23题
### 【基础篇】第23题（解答题） 23．求函数 $f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x y$ 的极值．
23
📝 有解析
第23题
### 【强化篇】第23题（解答题） 23．设 $a>0, b>0$ ，函数 $\displaystyle f(x, y)=2 \ln |x|+\frac{(x-a)^{2}+b y^{2}}{2 x^{2}}$ 在 $x<0$ 时的极小值为 2 ，且．$f_{y y}^{\prime \prime}(-1,0)=1$ ． （1）求 $a, b$ 的值； （2）求 $f(x, y)$ 在 $x>0$ 时的极值．
24
📝 有解析
第24题
### 【基础篇】第24题（解答题） 24．求函数 $f(x, y)=x^{3}-3 x y-y^{2}-y-9$ 的极值．
24
📝 有解析
第24题
### 【强化篇】第24题（选择题） 24．设函数 $f(x, y)=x^{2}+x y$ ，则点 $(0,0)()$ ． （A）不是驻点，也不是极值点 （B）不是驻点，但是极值点 （C）是驻点，但不是极值点 （D）是驻点，也是极值点
25
📝 有解析
第25题
### 【基础篇】第25题（解答题） 25．求函数 $f(x, y)=x y$ 在约束条件 $x+y=2$ 下的极值．
25
📝 有解析
第25题
### 【强化篇】第25题（解答题） 25．求函数 $\displaystyle f(x, y)=\frac{x+y}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+y^{2}\right)}$ 的极值．
26
📝 有解析
第26题
### 【基础篇】第26题（解答题） 26．求 $\displaystyle f(x, y)=x^{4}-\frac{1}{12} x^{6}-2 x^{2} y-\frac{1}{2} y^{2}$ 的极值点．
26
📝 有解析
第26题
### 【强化篇】第26题（解答题） 26．求由方程 $2 x^{2}+2 y^{2}+z^{2}+8 x z-z+8=0$ 所确定的函数 $z=z(x, y)$ 的极值，并指出是极大值还是极小值．
27
📝 有解析
第27题
### 【基础篇】第27题（解答题） 27．设 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\left(x^{2}+y^{2}-4 x+4\right) \mathrm{e}^{\mathrm{r}}, \frac{\partial f}{\partial y}=2 y \mathrm{e}^{\mathrm{r}}, f(0,0)=0$ ，求： （1）$f(x, y)$ 的表达式； （2）$f(x, y)$ 的极值．
27
📝 有解析
第27题
### 【强化篇】第27题（解答题） 27．设 $f(x, y)=3 x+4 y-a x^{2}-2 a y^{2}-2 b x y$ 。当 $a, b$ 满足何种条件时，$f(x, y)$ 有唯一的极大值，并说明理由。
28
📝 有解析
第28题
### 【强化篇】第28题（解答题） 28．求 $|z|$ 在约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+9 y^{2}-2 z^{2}=0, \\ x+3 y+3 z=5\end{array}\right.$ 下的最大值与最小值．
29
📝 有解析
第29题
### 【强化篇】第29题（解答题） 29．求曲线 $C:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-2 z^{2}=0, \\ x+y+3 z=5\end{array}\right.$ 上距离 $x O y$ 平面最远和最近的点的坐标．
30
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第30题
### 【强化篇】第30题（解答题） 30．求函数 $u=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ 在约束条件 $x+2 y=1$ 与 $x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ 下的最值．
31
📝 有解析
第31题
### 【强化篇】第31题（解答题） 31．求曲线 $x^{2}-x y+y^{2}=1(x>0, y>0)$ 上的一点 $P$ ，使该点处的切线与 $x$ 轴，$y$ 轴在第一象限所围的图形的面积最小。
32
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第32题
### 【强化篇】第32题（解答题） 32．已知 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=2 x+y+1, \frac{\partial u}{\partial y}=x+2 y+3, u(0,0)=1$ ．求 $u(x, y)$ 及 $u(x, y)$ 的极值，并判断极值是极大值还是极小值？说明理由．
33
📝 有解析
第33题
### 【强化篇】第33题（解答题） 33．已知 $f(x, y)$ 满足 $\displaystyle \mathrm{e}^{-2 x} \frac{\partial f}{\partial x}=4 y+2 y^{2}+2 x+1$ ，且 $f(0, y)=2 y+y^{2}$ ．求： （1）$f(x, y)$ 的表达式； （2）$f(x, y)$ 的极值．
34
📝 有解析
第34题
### 【强化篇】第34题（解答题） 34．设函数 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且满足 $f(x, 0)=x^{2}, f_{y}^{\prime}(x, 0)=\sqrt{2} x, f_{x}^{\prime \prime}(x, y)=4$ ，求 $f(x, y)$ 在约束条件 $x^{2}+2 y^{2}=4$ 下的最大值与最小值．
35
📝 有解析
第35题
### 【强化篇】第35题（解答题） 35．设函数 $u=x z+a y^{3}(z \geqslant 0)$ ，且 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ ． （1）当 $\displaystyle a=\frac{1}{3}$ 时，求 $u$ 的最大值； （2）当 $a=l$（ $l$ 为变量）时，$u$ 是否有最大值，若有，求出最大值，若没有，说明理由．
36
📝 有解析
第36题
### 【强化篇】第36题（解答题） 36．设 $D=\{(x, y) \mid x+y \leqslant 3, x \geqslant 0, y \geqslant 0\}$ ，求函数 $f(x, y)=2 x^{3}+2 y^{3}-6 x-6 y+5$ 在区域 $D$ 上的最大值与最小值．
37
📝 有解析
第37题
### 【强化篇】第37题（选择题） 37．设二元函数 $z=f(x, y)$ 的全微分 $\mathrm{d} x=\left(3 x^{2}-3\right) \mathrm{d} x+(6 y-6) \mathrm{d} y$ ，则（ ）。 （A）$f(1,1)$ 是极小值，$f(-1,1)$ 不是极值 （B）$f(1,1)$ 是极大值，$f(-1,1)$ 不是极值 （C）$f(1,1)$ 是极大值，$f(-1,1)$ 是极小值 （D）$f(1,1)$ 是极小值，$f(-1,1)$ 是极大值
38
📝 有解析
第38题
### 【强化篇】第38题（选择题） 38．设 $f(x, y)=x^{3}-y^{3}-3 x+3 y$ ，则（ ）。 （A）$f(1,-1)$ 是极大值，$f(-1,1)$ 是极小值 （B）$f(1,-1)$ 是极小值，$f(-1,1)$ 是极大值 （C）$f(1,1)$ 是极大值，$f(-1,-1)$ 是极小值 （D）$f(1,1)$ 是极小值，$f(-1,-1)$ 是极大值
39
📝 有解析
第39题
### 【强化篇】第39题（选择题） 39．已知函数 $\displaystyle f(x, y)=x \mathrm{e}^{\cos y}+\frac{x^{2}+\mathrm{e}^{2}}{2}$ ，则 ． （A）（－ $\mathrm{e}, 2 \pi$ ）是 $f(x, y)$ 的极小值点 （B）（一 $\mathrm{e}, 2 \pi)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点 （C）$\displaystyle \left(-\frac{1}{\mathrm{e}}, 3 \pi\right)$ 是 $f(x, y)$ 的极小值点 （D）$\displaystyle \left(-\frac{1}{\mathrm{e}}, 3 \pi\right)$ 是 $f(x, y)$ 的极大值点
40
📝 有解析
第40题
### 【强化篇】第40题（选择题） 40．设 $f(x, y)=\left(x-y^{2}+1\right) \mathrm{e}^{-x}$ ，则函数 $f(x, y)($ ． （A）有一个极小值，没有极大值 （B）有一个极大值，没有极小值 （C）有一个极大值，一个极小值 （D）没有极值
41
📝 有解析
第41题
### 【强化篇】第41题（选择题） 41．已知 $\displaystyle F(a, b)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(a \sin x-\sin ^{2} x+b\right)^{2} \cos x \mathrm{~d} x$ ，则使得 $F(a, b)$ 取得最小值的 $a, b$ 分别为 ）． （A） $\displaystyle 1, \frac{1}{6}$ （B） $\displaystyle 1,-\frac{1}{6}$ （C）$\displaystyle -1, \frac{1}{6}$ （D）$\displaystyle -1,-\frac{1}{6}$
42
📝 有解析
第42题
### 【强化篇】第42题（选择题） 42．设 $z=z(x, y)$ 由 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=u \mathrm{e}^{v}, \\ y=u v,(u>0, v>1) \text { 所确定，则 } \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}= \\ z=v\end{array}\right.$ ． （A）$\displaystyle \frac{x y}{z(1-z)^{3}}$ （B）$\displaystyle \frac{x y}{z(z-1)^{3}}$ （C）$\displaystyle \frac{z}{x y(1-z)^{3}}$ （D）$\displaystyle \frac{z}{x y(z-1)^{3}}$
43
📝 有解析
第43题
### 【强化篇】第43题（选择题） 43．已知函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，$f(1,1)=1$ 是 $f(x, y)$ 的极值，且 $z=f[x y$ ， $f(x, y)]$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)}=$ ． （A）$f_{u u}^{\prime \prime}(1,1)+f_{v v}^{\prime \prime}(1,1)$ （B） $2 f_{u v}^{\prime \prime}(1,1)$ （C） 0 （D）$f_{\text {tue }}^{\prime \prime}(1,1)$
44
📝 有解析
第44题
### 【强化篇】第44题（解答题） 44．已知 $f(u)$ 在 $(0,+\infty)$ 内有二阶连续导数，且 $\displaystyle z=f\left(\frac{y}{x}\right)$ 满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ ．求 $f(u)$ 的表达式．
45
📝 有解析
第45题
### 【强化篇】第45题（解答题） 45．设 $z=z(x, y)$ 二阶偏导数连续，且 $\left\{\begin{array}{l}u=x+a y, \\ v=x+b y\end{array}(a
46
📝 有解析
第46题
### 【强化篇】第46题（解答题） 46．设函数 $u(x, y)$ 的全微分 $\mathrm{d} u=\left[\mathrm{e}^{r}+f^{\prime}(x)\right] y \mathrm{~d} x+f^{\prime}(x) \mathrm{d} y$ ，其中 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有二阶连续的导数，且 $f(0)=4, f^{\prime}(0)=3$ ，求 $f(x)$ ．
47
📝 有解析
第47题
### 【强化篇】第47题（选择题） 47．设函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,1)$ 的某邻域内一阶偏导数连续，$f(0,1)=0, f_{y}^{\prime}(0,1)=1$ ，则 $f\left(x, \int_{1}^{1} \ln x \mathrm{~d} x\right)=0(\quad)$ 。 （A）在点 $(0,1)$ 附近可确定 $t=t(x)$ ，且 $t^{\prime}(0)=-f_{r}^{\prime}(0,1)$ （B）在点 $(0,1)$ 附近可确定 $t=t(x)$ ，且 $t^{\prime}(0)=-1$ （C）在点 $(0, \mathrm{e})$ 附近可确定 $t=t(x)$ ，且 $t^{\prime}(0)=-f_{x}^{\prime}(0,1)$ （D）在点 $(0, \mathrm{e})$ 附近可确定 $t=t(x)$ ，且 $t^{\prime}(0)=-1$
48
📝 有解析
第48题
### 【强化篇】第48题（选择题） 48．设函数 $z_{1}=x^{3}+y^{2}$ 与 $z_{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}$ ，易知有驻点 $(0,0)$ ，则在该点处（ ）。 （A）函数 $z_{1}=x^{3}+y^{2}$ 有极小值，而函数 $z_{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}$ 无极值 （B）函数 $z_{1}=x^{3}+y^{2}$ 无极值，而函数 $z_{2}=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}$ 有极小值 （C）上述两个函数都有极值 （D）上述两个函数都无极值
49
📝 有解析
第49题
### 【强化篇】第49题（解答题） 49．设函数 $u=u(x, y)$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid 2 x^{2}+3 y^{2} \leqslant 4\right\}$ 上连续，在区域 $D$ 的内部有二阶连续偏导数，且满足 $\displaystyle -2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-3 \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=u^{2}$ 。在区域 $D$ 的边界 $2 x^{2}+3 y^{2}=4$ 上 $u(x, y) \geqslant 0$ 。
证明：当 $2 x^{2}+3 y^{2} \leqslant 4$ 时，$u(x, y) \geqslant 0$ ．
50
📝 有解析
第50题
### 【强化篇】第50题（解答题） 50．求曲线 $x^{2}+x y+y^{2}+2 x-2 y-12=0$ 上的点到原点距离的最大值和最小值．
51
📝 有解析
第51题
### 【强化篇】第51题（解答题） 51．设曲线 $L_{1}: x^{2}+y^{2}=2 y$ 内切于曲线 $\displaystyle L_{2}: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0)$ ，求 $a, b$ 的值，使 $L_{2}$ 所围面积最小。
52
📝 有解析
第52题
### 【强化篇】第52题（解答题） 52．求二元函数 $f(x, y)=y\left(x^{2}+y^{2}+\sqrt{2} x-2\right)$ 在闭区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 3\right\}$ 上的最大值与最小值．
## 第14章 二重积分
1
📝 有解析
第1题
### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设 $x \geqslant 0, y \geqslant 0$ ，曲线 $l_{1}: x^{2}+y^{2}-x y=1, l_{2}: x^{2}+y^{2}-x y=2$ ，直线 $\displaystyle l_{3}: y=\frac{\sqrt{3}}{3} x, l_{4}: y=\sqrt{3} x$ ．区域 $D_{1}$ 由 $l_{1}, l_{2}, x=0, y=0$ 围成，$D_{2}$ 由 $l_{1}, l_{2}, l_{3}, y=0$ 围成，$D_{3}$ 由 $l_{1}, l_{2}, l_{4}, x=0$ 围成，则对于 $I_{1}=\iint_{D_{i}} \sqrt[3]{y-x} \mathrm{~d} \sigma(i=1,2,3)$ ，有 ． （A）$I_{1}
1
📝 有解析
第1题
### 【强化篇】第1题（填空题） 1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{(n+i) \sqrt{n^{2}+j^{2}}}=$ $\_\_\_\_$ ．
2
📝 有解析
第2题
### 【基础篇】第2题（选择题） 2． $\displaystyle \lim _{r \rightarrow 0} \frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant r^{2}} \mathrm{e}^{x^{2}-y^{2}} \cos (x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ ）． （A） 0 （B） 1 （C）$\pi r^{2}$ （D）$\displaystyle \frac{1}{\pi r^{2}}$
2
📝 有解析
第2题
### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $D=\left\{(x, y)| | x|+|y| \leqslant 3\}, D_{k}(k=1,2,3,4)\right.$ 是 $D$ 的第 $k$ 象限部分，$I_{k}=\iint_{D_{k}} \sin (x- y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，则（ ）． （A）$I_{1}>0$ （B）$I_{2}>0$ （C）$I_{3}>0$ （D）$I_{4}>0$
3
📝 有解析
第3题
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设 $D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leqslant 1\right\}, I_{i}=\iint_{D} f_{i}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, f_{i}(x, y)=(x+y)^{i}(i=1$ ， $2,3)$ ，则 $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ 之间的大小顺序为 ． （A）$I_{3}
3
📝 有解析
第3题
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．设 $M=\iint_{D} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, N=\iint_{D}\left[\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)\right]^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, P=\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}-1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D= \left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 2\right\}$ ，则必有（ ）。 （A）$M
4
📝 有解析
第4题
### 【基础篇】第4题（选择题） 4．设 $I=\iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma, J=\iint_{|x|+|y| \leqslant 1} \sin \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma, K=\iint_{|x|+|y| \leqslant 1}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma$ ，则 $I$ ， $J, K$ 的大小关系是 ． （A）$I
4
📝 有解析
第4题
### 【强化篇】第4题（解答题） 4．设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数且其在 $[0,1]$ 上的平均值 $\displaystyle \bar{f}=\frac{1}{2}$ ，满足 $f(x)+a \int_{1}^{x} f(y) f(y-$ x） $\mathrm{d} y=1$ ，求常数 $a$ 的值．
5
📝 有解析
第5题
### 【基础篇】第5题（填空题） 5．设 $D=\{(x, y) \mid 1 \leqslant x \leqslant 2,1 \leqslant y \leqslant 2\}$ ，则 $\iint_{D}(x-y)^{2}[\tan (x-y)+\sin (x-y)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
5
📝 有解析
第5题
### 【强化篇】第5题（选择题） 5．设 $J_{i}=\iint_{D_{i}} \sqrt[3]{x-y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y(i=1,2,3)$ ，其中 $D_{1}=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}, D_{2}=\{(x$, y） $\mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant \sqrt{x}\}, D_{3}=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1, x^{2} \leqslant y \leqslant 1\right\}$ ，则（ ）． （A）$J_{1}
6
📝 有解析
第6题
### 【基础篇】第6题（选择题） 6．$I=\int_{1}^{0} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\ln y} f(x, y) \mathrm{d} x$（其中 $f(x, y)$ 连续），交换积分次序得 ． （A）$I=\int_{0}^{\ln y} \mathrm{~d} x \int_{1}^{\mathrm{c}} f(x, y) \mathrm{d} y$ （B）$I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{0} f(x, y) \mathrm{d} y$ （C）$I=\int_{1}^{0} \mathrm{~d} x \int_{0}^{\ln y} f(x, y) \mathrm{d} y$ （D）$I=\int_{c^{\prime}}^{0} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1} f(x, y) \mathrm{d} y$
6
📝 有解析
第6题
### 【强化篇】第6题（填空题） 6． $\displaystyle \int_{-1}^{0} \mathrm{~d} x \int_{\left(1-x^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}}^{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}(1-\sin x \cos y) \mathrm{d} y+\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{\left(1-x^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}}^{\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}(1-\sin x \cos y) \mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$。
7
📝 有解析
第7题
### 【基础篇】第7题（填空题） 7． $\displaystyle \int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{2}^{y} \frac{y}{\sqrt{1+x^{5}}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
7
📝 有解析
第7题
### 【强化篇】第7题（解答题） 7．设有界区域 $D$ 是由圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 和直线 $y=x$ 以及 $x$ 轴所围成的在第一象限的图形，计算二重积分 $\iint_{D} e^{(x+y)^{2}}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
8
📝 有解析
第8题
### 【基础篇】第8题（填空题） 8． $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{x}} \sqrt{1+x^{3}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
8
📝 有解析
第8题
### 【强化篇】第8题（填空题） 8．设
$$ D=\left\{(x, y) \mid 4 x^{2}+y^{2}<1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}, $$
则积分 $J=\iint_{D}\left(1-12 x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
9
📝 有解析
第9题
### 【基础篇】第9题（填空题） 9．已知函数 $\displaystyle f(L)=\int_{1}^{r^{2}} \mathrm{~d} x \int_{1}^{\sqrt{x}} \sin \frac{x}{y} \mathrm{~d} y$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
9
📝 有解析
第9题
### 【强化篇】第9题（解答题） 9．设平面区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{1}{\sqrt{3}} x \leqslant y \leqslant \sqrt{3} x\right., 1 \leqslant x \leqslant 2\right\}$ ，求二重积分
$$ I=\iint_{D} y \mathrm{e}^{\frac{y}{x}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$
10
📝 有解析
第10题
### 【基础篇】第10题（填空题） 10．已知曲线 $L$ 的极坐标方程为 $\displaystyle r=\sin 3 \theta\left(0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{3}\right), D$ 为曲线 $L$ 围成的区域，则 $\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
10
📝 有解析
第10题
### 【强化篇】第10题（填空题） 10． $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{1}^{x} \frac{\tan y}{y} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
11
📝 有解析
第11题
### 【基础篇】第11题（填空题） 11．已知平面区域 $D=\left\{(x, y)| | x \mid \leqslant y,\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3} \leqslant y^{4}\right\}$ ，则 $\displaystyle \iint_{D} \frac{|x|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$。
11
📝 有解析
第11题
### 【强化篇】第11题（填空题） 11．设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ，则 $\iint_{D}(x-2 y)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
12
📝 有解析
第12题
### 【基础篇】第12题（填空题） 12．设 $D$ 是第一象限内由三条曲线 $y=x^{2}, y^{2}=x, x^{2}+y^{2}=1$ 所围成的以原点为一个顶点的曲边三角形，化二重积分为累次积分（先积 $y$ ，后积 $x$ ），则 $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$。
12
📝 有解析
第12题
### 【强化篇】第12题（解答题） 12．设 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1\right.\right\}$ ，常数 $a>0, b>0, a \neq b$ ，计算
$$ I=\iint_{D}\left[(x-1)^{2}+(2 y+3)^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$
13
📝 有解析
第13题
### 【基础篇】第13题（解答题） 13．设平面区域 $D$ 由曲线 $y=\sqrt{3\left(1-x^{2}\right)}$ 与直线 $y=\sqrt{3} x$ 及 $y$ 轴所围成．计算二重积分
$$ $\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ $$
13
📝 有解析
第13题
### 【强化篇】第13题（解答题） 13．计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}+y^{2}}{|x|+|y|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y)|1 \leqslant|x|+|y| \leqslant 2\}$ ．
14
📝 有解析
第14题
### 【基础篇】第14题（解答题） 14．设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 4, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$ ，计算
$$ $\displaystyle \iint_{D} \frac{x \cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ $$
14
📝 有解析
第14题
### 【强化篇】第14题（填空题） 14． $\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} y \int_{-1}^{y} y \sqrt{1+x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
15
📝 有解析
第15题
### 【基础篇】第15题（解答题） 15．设 $D$ 是由 $y=|x|$ 及 $y=1$ 围成的有界区域，计算二重积分
$$ $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}-x \cos y-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ $$
15
📝 有解析
第15题
### 【强化篇】第15题（填空题） 15． $\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{\sqrt{2-x^{2}}}(x+1) y \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
16
📝 有解析
第16题
### 【基础篇】第16题（解答题） 16．计算二重积分 $\iint_{D} \sqrt{1-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant y\right\}$ ．
16
📝 有解析
第16题
### 【强化篇】第16题（解答题） 16．计算二重积分 $\iint_{D}|x-|y|| \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 x, x \leqslant 1\right\}$ ．
17
📝 有解析
第17题
### 【基础篇】第17题（解答题） 17．设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{3} \leqslant y \leqslant 1,-1 \leqslant x \leqslant 1\right\}, f(x)$ 是定义在 $[-a, a](a \geqslant 1)$ 上的任意连续函数，求 $\iint_{D}[(x+1) f(x)+(x-1) f(-x)] \sin y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
17
📝 有解析
第17题
### 【强化篇】第17题（解答题） 17．计算二重积分 $\iint_{D}\left|x^{2}+y^{2}-\sqrt{2}(x+y)\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}$ ．
18
📝 有解析
第18题
### 【基础篇】第18题（解答题） 18．计算 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{\sqrt{2 y-y^{2}}} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} \cdot \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．
18
📝 有解析
第18题
### 【强化篇】第18题（解答题） 18．设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ ，计算 $\iint_{D}|x y-1| \mathrm{d} \sigma$ ．
19
📝 有解析
第19题
### 【基础篇】第19题（解答题） 19．计算 $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \geqslant 2 x\right\}$ ，
$$ f(x, y)= \begin{cases}y, & 1 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant x, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases} $$
19
📝 有解析
第19题
### 【强化篇】第19题（解答题） 19．设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^{2}+y^{2} \geqslant 1,(x-2)^{2}+y^{2} \leqslant 4, y \geqslant x\right\}$ ，计算 $\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma$ ．
20
📝 有解析
第20题
### 【基础篇】第20题（解答题） 20．设平面区域 $D=\{(x, y) \mid x+y \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\}$ ，计算 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{e}^{-(x+y)}}{\sqrt{x y}} \mathrm{~d} \sigma$ ．
20
📝 有解析
第20题
### 【强化篇】第20题（填空题） 20． $\displaystyle \int_{-\sqrt{2}}^{0} \mathrm{~d} x \int_{-x}^{\sqrt{4-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y+\int_{0}^{2} \mathrm{~d} x \int_{\sqrt{2 x-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
21
📝 有解析
第21题
### 【基础篇】第21题（解答题） 21．已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ ，计算二重积分 $I=\iint_{D}\left(x^{2}-3 y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
21
📝 有解析
第21题
### 【强化篇】第21题（解答题） 21．设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant \sqrt{\pi}, 0 \leqslant y \leqslant \sqrt{\pi}\}$ ，计算二重积分 $\iint_{D} \sin \left(\max \left\{x^{2}, y^{2}\right\}\right) \mathrm{d} \sigma$ ．
22
📝 有解析
第22题
### 【基础篇】第22题（解答题） 22．计算二重积分 $\iint_{D}\left(x+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant x+y\right\}$ ．
22
📝 有解析
第22题
### 【强化篇】第22题（填空题） 22． $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{x^{4}-y^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
23
📝 有解析
第23题
### 【基础篇】第23题（解答题） 23．计算二重积分 $I=\iint_{D} x\left[1+y f\left(x^{2}+y^{2}\right)\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由曲线 $y=x^{3}$ 及直线 $y=1, x=-1$围成，$f(u)$ 为连续函数．
23
📝 有解析
第23题
### 【强化篇】第23题（填空题） 23． $\int_{0}^{1} x^{2} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1} \mathrm{e}^{-y^{2}} \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
24
📝 有解析
第24题
### 【基础篇】第24题（解答题） 24．计算 $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\frac{1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 为圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 所包围的在第一象限内的区域。
24
📝 有解析
第24题
### 【强化篇】第24题（解答题） 24．设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4,(x-1)^{2}+y^{2} \geqslant 1, y \geqslant 0\right\}$ ，计算
$$ $\iint_{D}\left(x y+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma$ $$
25
📝 有解析
第25题
### 【强化篇】第25题（填空题） 25．设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leqslant 1\right\}$ ，则 $\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．
26
📝 有解析
第26题
### 【强化篇】第26题（解答题） 26．设平面区域 $D=\left\{(x, y)| | x|+|y| \leqslant 1\}\right.$ ，求 $\displaystyle \iint_{D} \frac{|y|}{e|x|+|y|} \mathrm{d} \sigma$ ．
27
📝 有解析
第27题
### 【强化篇】第27题（选择题） 27． $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{d} y \int_{y}^{2 y} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=(\quad)$ ． （A） 1 （B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ （C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ （D）$\displaystyle \frac{1}{4}$
28
📝 有解析
第28题
### 【强化篇】第28题（填空题） 28．已知函数 $\displaystyle f(t)=\int_{1}^{t^{2}} \mathrm{~d} x \int_{t}^{\sqrt{x}} \mathrm{e}^{\frac{x}{y}} \mathrm{~d} y$ ，则 $f^{\prime}(\pi)=$ $\_\_\_\_$ ．
29
📝 有解析
第29题
### 【强化篇】第29题（填空题） 29．设 $D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^{2}+(y-1)^{2} \leqslant 2\right\}$ ，则 $\iint_{D}(x+y) \mathrm{d} \sigma=$ $\_\_\_\_$ ．
30
📝 有解析
第30题
### 【强化篇】第30题（解答题） 30．设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2 \mathrm{e}\}$ ，计算二重积分 $\iint_{D} x\left|y-\mathrm{e}^{x}\right| \mathrm{d} \sigma$ ．
31
📝 有解析
第31题
### 【强化篇】第31题（解答题） 31．设 $f(x, y)=\max \left\{\sqrt{x^{2}+y^{2}}, 1\right\}, D=\{(x, y)| | x \mid \leqslant y \leqslant 1\}$ ．求 $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ．
32
📝 有解析
第32题
### 【强化篇】第32题（填空题） 32．已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{x}, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 则 $\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d} x \int_{-\infty}^{+\infty} f(y) f(x-y) \mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
33
📝 有解析
第33题
### 【强化篇】第33题（解答题） 33．设平面区域 $D=\{(r, \theta) \mid r \leqslant 1, r \leqslant 2 \cos \theta, \sin \theta \geqslant 0\}$ ，计算 $\displaystyle \iint_{D} r^{2}\left(\cos \theta+\frac{1}{2} r \sin 2 \theta\right) \mathrm{d} r \mathrm{~d} \theta$ ．
34
📝 有解析
第34题
### 【强化篇】第34题（选择题） 34．设函数 $f(u)$ 连续，区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2 y\right\}$ ，则 $\iint_{D} f(x y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=(\quad)$ ． （A） $\int_{-1}^{1} \mathrm{~d} x \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x y) \mathrm{d} y$ （B） $2 \int_{0}^{2} \mathrm{~d} y \int_{0}^{\sqrt{2 y-y^{2}}} f(x y) \mathrm{d} x$ （C） $\int_{0}^{\pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} f\left(r^{2} \sin \theta \cos \theta\right) \mathrm{d} r$ （D） $\int_{0}^{\pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{2 \sin \theta} f\left(r^{2} \sin \theta \cos \theta\right) r \mathrm{~d} r$
35
📝 有解析
第35题
### 【强化篇】第35题（填空题） 35．设 $D$ 是由直线 $y=x, x=1$ 及 $x$ 轴所围成的平面区域，则 $\displaystyle \iint_{D} x \sin \frac{y}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
36
📝 有解析
第36题
### 【强化篇】第36题（解答题） 36．设平面区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y)| | x \mid \leqslant y, x^{2}+y^{2} \leqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\frac{y}{2}\right\}$ ，计算 $\displaystyle \iint_{D} \frac{x+y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
37
📝 有解析
第37题
### 【强化篇】第37题（解答题） 37．计算 $\iint_{D}\left[x+y+\left(\mathrm{e}^{x} \cos x-\mathrm{e}^{y} \cos y\right) \sin (x y)\right] \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid x+y \geqslant 0, x \leqslant 1, y \leqslant 1\}$ ．
38
📝 有解析
第38题
### 【强化篇】第38题（解答题） 38．设平面区域 $D=\left\{(x, y)\left|x^{2}+y^{2} \leqslant 1,|y| \leqslant|x|\right\}\right.$ ，计算
$$ $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sqrt{x^{2} y^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}+x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} \sigma .$ $$
39
📝 有解析
第39题
### 【强化篇】第39题（解答题） 39．设连续函数 $f(x)$ 满足
$$ f(x)=x \iint_{D} f(x+y) \mathrm{d} \sigma+x^{2} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x+x^{3} $$
其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^{2}+y^{2} \leqslant \frac{1}{\sqrt{\pi}}\right.\right\}$ ，求 $f(x)$ 的表达式．
40
📝 有解析
第40题
### 【强化篇】第40题（选择题） 40．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}} \operatorname{arccot}\left(x^{2}+y^{2}\right), & (x, y) \neq(0,0), \\ \frac{\pi}{2}, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 平面区域 $D=\{(x, y)\} \left.x^{2}+y^{2} \leqslant a^{2}\right\}$ ，则 $\displaystyle \lim _{a \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi a^{2}} \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=(\quad)$ ． （A）$\pi$ （B）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ （C） 0 （D）$\infty$
41
📝 有解析
第41题
### 【强化篇】第41题（解答题） 41．设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid 2 x^{2}+y^{2} \leqslant 2 \sqrt{x^{2}+y^{2}}, y \geqslant x \geqslant 0\right\}$ ，若 $\displaystyle \iint_{D} \frac{f(x, y)}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} \sigma=a>0$ ， $f(x, y)$ 是 $D$ 上的连续函数． （1）计算 $\displaystyle \iint_{D} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} \sigma$ ； （2）证明：存在 $(\xi, \eta) \in D$ ，使得 $\displaystyle |f(\xi, \eta)| \geqslant \frac{\sqrt{2}}{\pi} a$ ．
## 第15章 微分方程
1
📝 有解析
第1题
### 【基础篇】第1题（选择题） 1．若 $f^{\prime}(x)-f(x)=2 x \mathrm{e}^{x}$ 的积分曲线没有极值点，但有拐点，则 $f(x)=()$ ． （A） $\mathrm{e}^{x}(x+C), 1 \leqslant C<2$ （B） $\mathrm{e}^{x}\left(x^{2}+C\right), 1 \leqslant C<2$ （C） $\mathrm{e}^{x}\left(x^{2}+C\right), 0 \leqslant C<1$ （D） $\mathrm{e}^{x}(x+C), 0 \leqslant C<1$
1
📝 有解析
第1题
### 【强化篇】第1题（填空题） 1．以 $y_{1}=x^{2}$ 和 $y_{2}=x^{2}-\mathrm{e}^{2 x}$ 为特解的一阶非齐次线性微分方程为 $\_\_\_\_$。
2
📝 有解析
第2题
### 【基础篇】第2题（选择题） 2．设一曲线过点 $(\mathrm{e}, 1)$ ，且此曲线上任一点 $M(x, y)$ 处的法线斜率为 $\displaystyle \frac{-x \ln x}{x+y \ln x}$ ，则此曲线方程为（ ）。 （A）$\displaystyle y=\frac{x}{\mathrm{e}}+x \ln (\ln x)$ （B）$\displaystyle y=\frac{x}{\mathrm{e}}+\ln (\ln x)$ （C）$\displaystyle y=\frac{x}{\mathrm{e}}+x \ln x$ （D）$y=\mathrm{e} x+x \ln (\ln x)$
2
📝 有解析
第2题
### 【强化篇】第2题（解答题） 2．已每微分方程 $y^{\prime}+y=e^{(m) ~} 2$ ，证明方程存在唯一的以 $2 \pi$ 为周期的解。
3
📝 有解析
第3题
### 【基础篇】第3题（填空题） 3．微分方程 $y^{\prime} \sec ^{2} y-\sec ^{2} y-1=0$ 的通解是 $\_\_\_\_$ ．
3
📝 有解析
第3题
### 【强化篇】第3题（填空题） 3．设 $f(u, v)$ 具有连续偏导数，且满足 $f_{u}^{\prime}(u, v)+f_{v}^{\prime}(u, v)=u v$ ，则函数 $y=\mathrm{e}^{-2 x} f(x, x)$ 满足条件 $\left.y\right|_{x-0}=1$ 的表达式为 $\_\_\_\_$。
4
📝 有解析
第4题
### 【基础篇】第4题（解答题） 4．求微分方程 $\left(2 x-3 x y^{2}-y^{3}\right) y^{\prime}+y^{3}=0$ 的通解．
4
📝 有解析
第4题
### 【强化篇】第4题（选择题） 4．设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续且有水平浙近线 $y=b \neq 0$ ，则 ． （A）当 $a>0$ 时，$y^{\prime}+a y=f(x)$ 的任意解都满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)=\frac{b}{a}$ （B）当 $a>0$ 时，$y^{\prime}+a y=f(x)$ 的任意解都满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)=\frac{a}{b}$ （C）当 $a<0$ 时，$y^{\prime}+a y=f(x)$ 的任意解都满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)=\frac{b}{a}$ （D）当 $a<0$ 时，$y^{\prime}+a y=f(x)$ 的任意解都满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)=\frac{a}{b}$
5
📝 有解析
第5题
### 【基础篇】第5题（解答题） 5．求微分方程 $\left(1+y^{2}\right) \mathrm{d} x+(x-\arctan y) \mathrm{d} y=0$ 的通解．
5
📝 有解析
第5题
### 【强化篇】第5题（选择题） 5．若二阶常系数齐次微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上均有周期性，则（ （A）$a<0, b<0$ （B）$a>0, b>0$ （C）$a=0, b<0$ （D）$a=0, b>0$
6
📝 有解析
第6题
### 【基础篇】第6题（解答题） 6．设函数 $y(x)$ 是微分方程 $\displaystyle y^{\prime}+\frac{1}{x^{2}} y=2 \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$ 满足 $\displaystyle y\left(\frac{1}{2}\right)=0$ 的解。 （1）求 $y=y(x)$ 的表达式；公众号：研池大叔 免费分享最新考研资料课程 （2）求曲线 $y(x)$ 的斜渐近线。
6
📝 有解析
第6题
### 【强化篇】第6题（填空题） 6．微分方程 $x+y y^{\prime}=y-x y^{\prime}$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．
7
📝 有解析
第7题
### 【基础篇】第7题（解答题） 7．已知微分方程 $\displaystyle \mathrm{e}^{y}=t+\frac{1}{y^{\prime}}$ 满足 $y(0)=0$ ． （1）求该微分方程的特解 $y=y(t)$ ； （2）设 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{1+t^{2}}, \\ y=y(t),\end{array}\right.$ 计算 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=1}$ ．
7
📝 有解析
第7题
### 【强化篇】第7题（选择题） 7．以 $y=x$ 与 $y=x \mathrm{e}^{-2 r}$ 为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程为 ． （A）$y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}=0$ （B）$y^{\prime \prime \prime}+4 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0$ （C）$y^{(4)}+2 y^{\prime \prime \prime}=0$ （D）$y^{(4)}+4 y^{\prime \prime \prime}+4 y^{\prime \prime}=0$
8
📝 有解析
第8题
### 【基础篇】第8题（解答题） 8．设曲线 $L$ 过点 $(1,1), L$ 上任一点 $P(x, y)$ 处的切线交 $x$ 轴于点 $T$ ，且 $|P T|=|O T|$ ，求曲线 $L$的方程．
8
📝 有解析
第8题
### 【强化篇】第8题（选择题） 8．已知函数 $y=y(x)$ 在任意点 $x$ 处的增量 $\displaystyle \Delta y=\frac{x y}{1+x^{2}} \Delta x+o(\Delta x)$ ，且 $y(0)=1$ ，则 $y^{\prime}(1)=$ （ ）． （A）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ （B）$\sqrt{2}$ （C） 2 （D） $2 \sqrt{2}$
9
📝 有解析
第9题
### 【基础篇】第9题（解答题） 9．设 $f(x)$ 有连续导数，$x \in[0,+\infty)$ ，且满足方程
$$ $\int_{0}^{x}(x-1) f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{d} t=x$ $$
求函数 $f(x)$ ．
9
📝 有解析
第9题
### 【强化篇】第9题（填空题） 9．撤分方程 $(x+y) \mathrm{d} y+(y+1) \mathrm{d} x=0$ 满足 $\left.y\right|_{x=1}=2$ 的特解是 $\_\_\_\_$ ．
10
📝 有解析
第10题
### 【基础篇】第10题（解答题） 10．设 $\varphi(x)$ 为连续函数，$|\varphi(x)| \leqslant k$（ $k$ 为常数），求微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+y=\varphi(x)$ 满足初始条件 $y(0)=0$ 的特解 $y(x)$ ，并证明当 $x \geqslant 0$ 时，有 $|y(x)| \leqslant k\left(1-\mathrm{e}^{-x}\right)$ 。
10
📝 有解析
第10题
### 【强化篇】第10题（填空题） 10．微分方椙 $\displaystyle \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x+y^{2}}$ 满足初始条件 $\left.y\right|_{x-2}=1$ 的特解是 $\_\_\_\_$ ．
11
📝 有解析
第11题
### 【基础篇】第11题（解答题） 11．设函数 $y=y(x)$ 是微分方程 $2 x y^{\prime}-4 y=2 \ln x-1$ 满足条件 $\displaystyle y(1)=\frac{1}{4}$ 的解，求曲线 $y= y(x)$ 在 $[1, \mathrm{e}]$ 上的平均值．
11
📝 有解析
第11题
### 【强化篇】第11题（填空题） 11．设当 $x \geqslant 0$ 时，$f(x)$ 有连续的一阶导数，并且满足 $f(x)=-1+x+2 \int_{0}^{x}(x-t) f(t) f^{\prime}(t) d t$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
12
📝 有解析
第12题
### 【基础篇】第12题（解答题） 12．设曲线 $y=y(x)(x>0)$ 经过点 $(1,0)$ ，该曲线上任一点 $P(x, y)$ 到 $y$ 轴的距离等于该点处的
切线在 $y$ 轴上的截讵，求 $y(x)$ 在区间 $(0,1)$ 上与 $x$ 轴所围平面图形的面积．
12
📝 有解析
第12题
### 【强化篇】第12题（解答题） 12．设 $f(x)$ 是 $(0,+\infty)$ 上的连续函数，且对任意 $x>0$ 满足 $x \int_{0}^{1} f(t x) \mathrm{d} t=-2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t+ x f(x)+x^{1}, f(1)=0$ ．求函数 $f(x)$ ．
13
📝 有解析
第13题
### 【基础篇】第13题（选择题） 13．设曲线 $y=y(x)$ 上点 $P(0,4)$ 处的切线垂直于直线 $x-2 y+5=0$ ，且该曲线满足微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=0$ ，则此肺线方程为 ． （A）$\displaystyle y=\frac{9}{2} x \mathrm{c}^{-9}$ （B）$\displaystyle y=\left(4+\frac{9}{2} x\right) \mathrm{e}^{-x}$ （C）$y=\left(C_{1} x+C_{2}\right) e^{-\cdots}$ （D）$y=2(x+2) \mathrm{e}^{-x}$
13
📝 有解析
第13题
### 【强化篇】第13题（解答题） 13．设函数 $y=f(x)$ 满足
$$ f^{\prime}(x)+2 f(x)+2 x \int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t+\mathrm{e}^{-x}=0 $$
且 $f(x)-x$ 在 $x=0$ 处取得极值，求 $f(x)$ 的表达式．
14
📝 有解析
第14题
### 【基础篇】第14题（选择题） 14．设由线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点处的切线与直线 $2 x+y+6=0$ 平行，而 $y(x)$ 满足峭分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=0$ ，则此曲线的方程为 ． （A）$y=e^{T} \sin 2 x$ （B）$y=-e^{x} \sin 2 x$ （C）$y^{\prime}=c^{7}(\cos 2 x-\sin 2 x)$ （D）$y=\mathrm{e}^{x}(\sin 2 x-\cos 2 x)$
14
📝 有解析
第14题
### 【强化篇】第14题（填空题） 14．已知函数 $y=y(x)$ 满足 $y^{\prime}+2 \sqrt{2} x \sqrt{y}=0$ ，且其积分曲线的拐点的横坐标为 -2 ，则 $y(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
15
📝 有解析
第15题
### 【基础篇】第15题（填空题） 15．设 $y=y(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0$ ，且 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=1$ ，则 $\int_{-\infty}^{0} y(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
15
📝 有解析
第15题
### 【强化篇】第15题（解答题） 15．若函数 $f(x)$ 满足关系式 $f^{\prime}(x)+a f(x)=\int_{x}^{0} f(t) \mathrm{d} t, a>0$ ，求 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ ．
16
📝 有解析
第16题
### 【基础篇】第16题（填空题） 16．已知某常系数齐次线性微分方程的通解为 $y=C_{1}+\mathrm{e}^{x}\left(C_{2} \cos 2 x+C_{3} \sin 2 x\right)$ ，则该微分方程为 $\_\_\_\_$。
16
📝 有解析
第16题
### 【强化篇】第16题（解答题） 16．已知函数 $y=y(x)$ 满足
$$ x(\ln x-1) y^{\prime}(x)+\left(3-\ln x^{2}\right) y(x)=0, x>\mathrm{e}, $$
且 $\displaystyle y\left(\mathrm{e}^{2}\right)=\frac{\mathrm{e}^{4}}{2}$ ，求 $y=y(x)$ 的最小值．
17
📝 有解析
第17题
### 【基础篇】第17题（选择题） 17．微分方程 $\displaystyle 4 y^{\prime \prime}-12 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{\frac{2}{2} x}\left(3 x^{2}+2\right)$ 的特解形式为 ． （A）$\displaystyle A x^{2}+B x+C+D \mathrm{e}^{\frac{2}{2} x}$ （B）$\displaystyle \left(A x^{2}+B x+C\right) \mathrm{e}^{\frac{3}{2} x}$ （C）$\displaystyle x\left(A x^{2}+B x+C\right) e^{\frac{3}{2} x}$ （D）$\displaystyle x^{2}\left(A x^{2}+B x+C\right) \mathrm{e}^{\frac{3}{2} x}$
17
📝 有解析
第17题
### 【强化篇】第17题（填空题） 17．设 $y=y(x)$ 满足 $y^{\prime}+2(\ln x+1) y=0, y(1)=1$ ，则 $y(x)$ 在 $(0,1]$ 上的最大值为 $\_\_\_\_$ ．
18
📝 有解析
第18题
### 【基础篇】第18题（填空题） 18．已物 $y_{1}=x \mathrm{e}^{7}+\mathrm{e}^{25}, y_{2}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}, y_{3}=x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{2 x}-\mathrm{e}^{-x}$ 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，则此微分方程为 $\_\_\_\_$ ．
18
📝 有解析
第18题
### 【强化篇】第18题（填空题） 18．若微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\left(a+\sin ^{2} x\right) y=0$ 的所有解都以 $\pi$ 为周期，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
19
📝 有解析
第19题
### 【基础篇】第19题（解答题） 19．求微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=2\left(3 x^{2}-2\right) \mathrm{e}^{x}$ 的通解．
19
📝 有解析
第19题
### 【强化篇】第19题（选择题） 19．当 $x>0$ 时，函数 $f(x)$ 满足关系式 $x^{2} f^{\prime}(x)+(-1+\ln x) f(x)=0$ ，且 $f(1)=1$ ，则 $f(x)$的最大值为 ． （A） $\mathrm{e}^{-\mathrm{c}}$ （B）$e^{e}$ （C）$\displaystyle e^{-\frac{1}{c}}$ （D）$\displaystyle e^{\frac{1}{e}}$
20
📝 有解析
第20题
### 【基础篇】第20题（解答题） 20．求微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+5 y=8 \cos x$ ，当 $x \rightarrow-\infty$ 时为有界的特解。
20
📝 有解析
第20题
### 【强化篇】第20题（解答题） 20．设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，且满足 $\displaystyle f(x)-\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=-\frac{1}{2}+\sin x$ ． （1）求 $f(x)$ 的表达式； （2）求曲线 $y=f(x)$ 与 $y=0$ 在 $\displaystyle \left[\frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]$ 上围成的图形绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积．
21
📝 有解析
第21题
### 【基础篇】第21题（填空题） 21．欧拉方程 $x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}+3 y=0$ 满足条件 $y(1)=0, y^{\prime}(1)=\sqrt{2}$ 的解为 $y=$ $\_\_\_\_$ ．
21
📝 有解析
第21题
### 【强化篇】第21题（解答题） 21．已知函数 $f(x), g(x)$ 满足方程 $f^{\prime}(x)-g(x)=\mathrm{e}^{x}$ 及 $g^{\prime}(x)-f(x)=0, f(0)=g(0)=0$ ，计算 $\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x^{2}}\left[f^{\prime}(x)-2 x g^{\prime}(x)\right] \mathrm{d} x$ ．
22
📝 有解析
第22题
### 【强化篇】第22题（解答题） 22．设连续函数 $f(x)$ 满足方程 $f(x)=x \mathrm{e}^{x}-\int_{0}^{x} t f(x-t) \mathrm{d} t$ ，求函数 $f(x)$ 的解析式．
23
📝 有解析
第23题
### 【强化篇】第23题（选择题） 23．设下列 $A, B, C$ 为任意常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}+4 y=\sin ^{2} x$ 有特解形如（ ）。 （A）$A \sin ^{2} x$ （B）$A \cos ^{2} x$ （C）$x(A+B \cos 2 x+C \sin 2 x)$ （D）$A+x(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$
24
📝 有解析
第24题
### 【强化篇】第24题（解答题） 24．求微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=-3 x-5$ 满足条件 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=5$ 的特解。
25
📝 有解析
第25题
### 【强化篇】第25题（解答题） 25．求微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=(3 x+2) \mathrm{e}^{-x}$ 的通解。
26
📝 有解析
第26题
### 【强化篇】第26题（填空题） 26．微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=x \mathrm{e}^{x}$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．
27
📝 有解析
第27题
### 【强化篇】第27题（填空题） 27．微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}=x$ 的通解为 $\_\_\_\_$。
28
📝 有解析
第28题
### 【强化篇】第28题（填空题） 28．设 $y=1, y=\mathrm{e}^{-x}, y=2 \mathrm{e}^{-x}$ 为某二阶常系数线性微分方程的解，则该微分方程为 $\_\_\_\_$ ．
29
📝 有解析
第29题
### 【强化篇】第29题（选择题） 29．设三阶常系数齐次线性微分方程有特解 $\cos x$ 与 $\mathrm{e}^{2 x}$ ，则该微分方程为（）。 （A）$y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}+2 y=0$ （B）$y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0$ （C）$y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0$ （D）$y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0$
30
📝 有解析
第30题
### 【强化篇】第30题（选择题） 30．以函数 $y_{1}=x \mathrm{e}^{x}, y_{2}=\mathrm{e}^{x} \sin x$ 为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程是（ ）。 （A）$y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-2 y=0$ （B）$y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ （C）$y^{(4)}-2 y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-2 y=0$ （D）$y^{(4)}-4 y^{\prime \prime \prime}+7 y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+2 y=0$
31
📝 有解析
第31题
### 【强化篇】第31题（解答题） 31．设函数 $y(x)$ 满足微分方程 $y^{(1)}-y^{\prime \prime}=0$ ，且当 $x \rightarrow 0$ 时 $y(x) \sim x^{3}$ ．求 $y(x)$ ．
32
📝 有解析
第32题
### 【强化篇】第32题（填空题） 32．设函数 $y=y(. x)$ 满足方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0$ ，且在 $x=0$ 处取得极值 -1 ，则曲线 $y=y(x)$的拐点坐标为 $\_\_\_\_$。
33
📝 有解析
第33题
### 【强化篇】第33题（解答题） 33．将以 $y=y(x)$ 为末知函数的微分方程 $y^{\prime \prime}+\left(x+\mathrm{e}^{y}+\sin y\right)\left(y^{\prime}\right)^{3}=0$ 化为以 $x=x(y)$ 为未知函数的形式，并求其通解。
34
📝 有解析
第34题
### 【强化篇】第34题（填空题） 34．设 $y=y(x)$ 满足关系式 $\mathrm{e}^{2 x}\left(y^{\prime \prime}+y^{\prime}\right)+y=\mathrm{e}^{-x}$ ，且 $\displaystyle x=-\ln t, t>0, y\left(\ln \frac{2}{\pi}\right)=\frac{\pi}{2}$ ，则 $y(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
35
📝 有解析
第35题
### 【强化篇】第35题（填空题） 35．已知某三阶常系数齐次线性微分方程有两个特解，分别为 $\displaystyle \mathrm{e}^{\frac{1}{2} x} \cos \frac{\sqrt{3}}{2} x$ 与 $\mathrm{e}^{x}$ ，则该微分方程为 $\_\_\_\_$ ．
36
📝 有解析
第36题
### 【强化篇】第36题（选择题） 36．若某三阶常系数齐次线性微分方程具有特解 $y=2 x \mathrm{e}^{x}$ 与 $y=3 \mathrm{e}^{-2 x}$ ，则该微分方程为（ ）。 （A）$y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0$ （B）$y^{\prime \prime \prime}+3 y^{\prime \prime}-4 y=0$ （C）$y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=0$ （D）$y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0$
37
📝 有解析
第37题
### 【强化篇】第37题（解答题） 37．设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，在 $(0,+\infty)$ 上可导，$f(0)=0$ ，且存在反函数，其反函数为 $g(x)$ 。若 $\int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t+\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=x \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}+1$ ．求 $f(x)$ ．
38
📝 有解析
第38题
### 【强化篇】第38题（选择题） 38．微分方程 $\displaystyle y^{\prime}+x y=\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ 满足 $y(0)=0$ 的积分曲线的拐点个数为（ ）。 （A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
39
📝 有解析
第39题
### 【强化篇】第39题（选择题） 39．若微分方程 $y^{\prime}+p y=\mathrm{e}^{q x}$ 的任何积分曲线均有拐点，则（ ）。 （A）$p+q>0$ （B）$p+q<0$ （C）$p=-q \neq 0$ （D）$p+q \neq 0, p q \neq 0$
40
📝 有解析
第40题
### 【强化篇】第40题（解答题） 40．求微分方程 $\displaystyle y^{\prime}(x)+y(x)=\frac{(-x)^{n-1}}{3^{n} \mathrm{e}^{x}}$ 的通解，其中 $n$ 为任意正整数．
41
📝 有解析
第41题
### 【强化篇】第41题（填空题） 41．微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-\frac{1}{x}=\mathrm{e}^{-y}$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．
42
📝 有解析
第42题
### 【强化篇】第42题（填空题） 42．设曲线 $y=y(x)$ 过原点且在原点处与曲线 $y=\sin x$ 有公共切线，且函数 $y(x)$ 满足方程 $y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0$ ，则 $\int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$。
43
📝 有解析
第43题
### 【强化篇】第43题（解答题） 43．设函数 $f(x)$ 可微，且满足方程 $\displaystyle f(x)-1=\int_{1}^{x}\left[f^{2}(t) \ln t-\frac{f(t)}{t}\right] \mathrm{d} t$ ，求 $f(x)$ ．
44
📝 有解析
第44题
### 【强化篇】第44题（解答题） 44．设函数 $f(x)$ 满足 $\displaystyle f^{\prime}(x)=f\left(\frac{2}{x}\right)(x>0)$ ． （1）证明 $x^{2} f^{\prime \prime}(x)+2 f(x)=0(x>0)$ ； （2）令 $x=e^{t}$ ，化（1）中方程为常系数线性微分方程，并求 $f(x)$ 。
45
📝 有解析
第45题
### 【强化篇】第45题（填空题） 45．已饬过点 $(a, 1)(a>0)$ 的单调递减曲线 $y=f(x)$ ，其上任意一点的切线在 $x$ 轴上的截距与该点横坐标的距离恒为 $a$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$。
46
📝 有解析
第46题
### 【强化篇】第46题（填空题） 46．设可导函数 $y=\int(x)$ 单调增加且在 $y$ 轴上的截距为 2 ，其弧长 $s(x)=\int_{0}^{x} \sqrt{3 t+5} \mathrm{~d} t$ ，则 $f(x)$的表达式为 $\_\_\_\_$ ．
47
📝 有解析
第47题
### 【强化篇】第47题（填空题） 47．微分方程 $2 y^{\prime \prime}=3 y^{2}$ 满足初始条件 $y(-2)=1, y^{\prime}(-2)=1$ 的特解为 $\_\_\_\_$ ．
48
📝 有解析
第48题
### 【强化篇】第48题（解答题） 48．设平面曲线 $y=y(x)$ 满足 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=0$ ，且对曲线上任意点 $P(x, y)(x>0)$ ，沿曲线
从点 $(0,1)$ 到点 $P(x, y)$ 的弧长等于该曲线在点 $P(x, y)$ 的切线斜率． （1）求 $y(x)(x>0)$ ； （2）求 $y(x)$ 与 $x=\ln 2$ 及坐标轴所围平面区域 $D$ 的形心。
49
📝 有解析
第49题
### 【强化篇】第49题（解答题） 49．设曲线 $L: r=r(\theta), P(r, \theta)$ 为 $L$ 上任意一点，$P_{0}(2,0)$ 为 $L$ 上的一定点，且曲线 $L$ 与极径 $O P_{0}, O P$ 所围成的曲边扇形面积值等于曲线 $L$ 上 $P_{0}, P$ 两点间弧长值的一半，求曲线 $L$ 的方程．
50
📝 有解析
第50题
### 【强化篇】第50题（解答题） 50．设第一象限中有一光滑凹曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴相切于 $(1,0)$ ，其上任意两点 $A, B$ 之间的弧长等于曲线在 $A, B$ 点的切线在 $y$ 轴上的截距之间的距离，求 $f(x)$ 的表达式。
51
📝 有解析
第51题
### 【强化篇】第51题（解答题） 51．设 $f(x)$ 具有二阶连续导数，$f(0)=0, f^{\prime}(0)=1$ ，且微分方程
$$ [x y(x+y)-f(x) y] \mathrm{d} x+\left[f^{\prime}(x)+x^{2} y\right] \mathrm{d} y=0 $$
为全微分方程． （1）求 $f(x)$ ； （2）求该全微分方程的通解．
52
📝 有解析
第52题
### 【强化篇】第52题（解答题） 52．欧拉方程 $\displaystyle x^{2} \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}+4 x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+2 y=0(x>0)$ 的通解为
## 第16章 无穷级数
1
📝 有解析
第1题
### 【基础篇】第1题（选择题） 1．设正项数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\},\left\{c_{n}\right\}$ ，则＂$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{c_{n}}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_{n}}{b_{n}}$ 均收敛＂是＂$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}$ 收敛＂的（ ）。 （A）充分必要条件 （B）充分非必要条件 （C）必要非充分条件 （D）既非充分又非必要条件
1
📝 有解析
第1题
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．对级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a n}{2 n+b}\right)^{n}(a>0, b>0)$ ，下列结论正确的是（ ）。 （A）对任意 $a$ ，级数都收敛 （B）对任意 $a$ ，级数都发散 （C）当 $a \geqslant 2$ 时，级数一定发散 （D）级数的敛散性与 $b$ 有关
2
📝 有解析
第2题
### 【基础篇】第2题（解答题） 2．判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\ln \frac{1}{n}-\ln \sin \frac{1}{n}\right)$ 的敛散性．
2
📝 有解析
第2题
### 【强化篇】第2题（选择题） 2．设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收敛，$\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 绝对收敛，则下列命题： （1）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\left|a_{n}\right|-\left|b_{n}\right|\right)$ 绝对收敛； （2）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\left|a_{n}\right|-\left|b_{n}\right|\right)$ 条件收敛； （3）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}-b_{n}\right)$ 绝对收敛； （4）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}-b_{n}\right)$ 条件收敛。
所有正确命题的序号为（ ）。 （A）（1）（3） （B）（1） （C）（2）（4） （D）（4）
3
📝 有解析
第3题
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．若 $\sum_{n=1}^{\infty} m u_{n}$ 绝对收敛，则（ ）。 （A）$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} u_{n}$ 条件收敛 （B）$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} u_{n}$ 绝对收敛 （C）$\sum_{n=1}^{\infty}\left[u_{n}+(-1)^{n}\right]$ 条件收敛 （D）$\sum_{n=1}^{\infty}\left[u_{n}+(-1)^{n}\right]$ 绝对收敛
3
📝 有解析
第3题
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．下列叙述正确的是（ ）。 （A）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} u_{n}$ 条件收敛 （B）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}\left(u_{n}>0\right)$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{2}$ 收敛 （C）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{u_{n+1}}{u_{n}}<1$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛 （D）若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n}+A\right)(A>0)$ 收敛
4
📝 有解析
第4题
### 【基础篇】第4题（选择题） 4．以下结论正确的是（ ）。 （A）若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛，则 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}^{3}$ 收敛 （B）若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}^{2}$ 发散，则 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}^{3}$ 发散 （C）若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}^{3}$ 收敛，则 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}^{4}$ 收敛 （D）若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}^{3}$ 发散，则 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}^{4}$ 发散
4
📝 有解析
第4题
### 【强化篇】第4题（选择题） 4．设常数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收敛，$r$ 是实数，则（ ）． （A）当 $|r| \geqslant 1$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} r^{n}$ 发散 （B）当 $|r| \leqslant 1$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 发散 （C）当 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1} r^{2 n-1}$ 发散时，$|r| \geqslant 1$ （D）当 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n} r^{2 n}$ 发散时，$|r| \leqslant 1$
5
📝 有解析
第5题
### 【基础篇】第5题（选择题） 5．设 $u_{n}=\sqrt{\arctan (n+k)-\arctan n}, k$ 为正常数，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} u_{n}(\quad)$ 。 （A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）玫散性与 $k$ 有关
5
📝 有解析
第5题
### 【强化篇】第5题（选择题） 5．设 $\sum_{n-1}^{\infty} u_{n}$ 为任意项级数，记 $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{2}\left(u_{n}+\left|u_{n}\right|\right), b_{n}=\frac{1}{2}\left(u_{n}-\left|u_{n}\right|\right)$ ，则当 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 条件收敛时，以下结论： （1）$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 均收敛； （2）$\sum_{n-1}^{\cdots}\left(a_{n}-b_{n}\right)$ 发散； （3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} a_{k}}{\sum_{k=1}^{n} b_{k}}=-1$ ．
正确结论的个数为（ ）。 （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3
6
📝 有解析
第6题
### 【基础篇】第6题（选择题） 6．设 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n+1}-u_{n}\right)$ 收敛，则下列级数中收敛的是（ ）。 （A）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_{n}}{n}$ （B）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{u_{n}}$ （C）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{u_{n}}{u_{n+1}}\right)$ （D）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n+1}^{2}-u_{n}^{2}\right)$
6
📝 有解析
第6题
### 【强化篇】第6题（选择题） 6．设 $\lambda>0$ 是常数，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{\lambda+2 n^{2}}{n^{3}}()$ 。 （A）发散 （B）条件收敛 （C）绝对收敛 （D）敛散性与 $\lambda$ 有关
7
📝 有解析
第7题
### 【基础篇】第7题（解答题） 7．设函数 $y=y(x)$ 满足 $(1-x) y^{\prime}+2 y=0, y(0)=1, a_{n}(x)=\int_{0}^{x} y(t) \sin ^{n} t \mathrm{~d} t, n=1,2, \cdots$ ． （1）求 $y(x)$ 的表达式； （2）证明 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$（1）收敛。
7
📝 有解析
第7题
### 【强化篇】第7题（解答题） 7．设数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $\mathrm{e}_{n}-\mathrm{e}^{-a_{n}}=a_{n}\left(\mathrm{e}_{n}+\mathrm{e}^{-b_{n}}\right), 0b_{n}, n=1,2, \cdots$ ； （2）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(b_{n}-a_{n}\right)$ 收敛。
8
📝 有解析
第8题
### 【基础篇】第8题（填空题） 8．设軍级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}(x+1)^{n}$ 的收敛区间为 $(-3,1)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{2 n}$ 的收敛区间为 $\_\_\_\_$ ．
8
📝 有解析
第8题
### 【强化篇】第8题（解答题） 8．已知 $\displaystyle \ln \left|\frac{x+2}{x-1}\right|-\frac{1}{(1+x)^{2}}+1=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}(-1
9
📝 有解析
第9题
### 【基础篇】第9题（填空题） 9．级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} \mathrm{e}^{-n x}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$。
9
📝 有解析
第9题
### 【强化篇】第9题（解答题） 9．设 $n$ 为正整数，$y=y_{n}(x)$ 是微分方程 $x y^{\prime}-n y=0$ 满足条件 $y_{n}(1)=(n+1)(n+3)$ 的解。 （1）求 $y_{n}(x)$ ； （2）求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} y_{n}(x)$ 的收敛域及和函数．
10
📝 有解析
第10题
### 【基础篇】第10题（填空题） 10．设函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-x-1}{x^{2}(x+1)}$ 的幂级数展开式为 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}, x \in(0,2)$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(-1)^{n} a_{n}}{\sqrt{n^{2}+1}}=$ $\_\_\_\_$ ．
10
📝 有解析
第10题
### 【强化篇】第10题（解答题） 10．设 $a_{n}(x)$ 满足
$$ a_{n}^{\prime}(x)-\frac{n}{(1+x) \ln (1+x)} a_{n}(x)+\ln ^{n}(1+x)=0, x>0, n=1,2, \cdots, a_{n}(1)=0 . $$
（1）求 $a_{n}(x)$ 的表达式； （2）判别 $\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{1} a_{n}(x) \mathrm{d} x$ 的敛散性。
11
📝 有解析
第11题
### 【基础篇】第11题（填空题） 11．篇级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \cdot \frac{x^{\frac{n}{2}}}{n}$ 在 $(0,1]$ 内的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
11
📝 有解析
第11题
### 【强化篇】第11题（解答题） 11．设 $u_{n}=\int_{0}^{1} x(1-x) \sin ^{2 n} x \mathrm{~d} x$ ，讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 的玫散性．
12
📝 有解析
第12题
### 【基础篇】第12题（填空题） 12．$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1) 2^{n}}=$ $\_\_\_\_$ ．
12
📝 有解析
第12题
### 【强化篇】第12题（选择题） 12．若数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} m a_{n}(x+2)^{n}$ 在 $x=-\sqrt{2}$ 处（ ）。 （A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）敛散性不能确定
13
📝 有解析
第13题
### 【基础篇】第13题（解答题） 13．求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^{n}+2}{2^{n}(2 n+1)} x^{2 n}$ 的收敛域及和函数 $S(x)$ ．
13
📝 有解析
第13题
### 【强化篇】第13题（选择题） 13．若级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} 2^{n}$ 条件收敛，则真级数 $\sum_{n=0}^{\infty} m a_{n}(x+1)^{n}$ 的收敛区间为（ ）。 （A）$(-3,1)$ （B）$(-1,3)$ （C）$(-2,2)$ （D）$(-4,2)$
14
📝 有解析
第14题
### 【基础篇】第14题（选择题） 14．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}, & 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2}, \\ x-1, & \frac{1}{2}
14
📝 有解析
第14题
### 【强化篇】第14题（选择题） 14．设 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}, \sum_{n-0}^{\infty} b_{n} x^{n}$ 的收敛半径均为 $r(0
15
📝 有解析
第15题
### 【基础篇】第15题（填空题） 15．设 $f(x)=\sin x$ ，若 $\displaystyle f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x, x \in[0, \pi]$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \ln \left(1+a_{2 n}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
15
📝 有解析
第15题
### 【强化篇】第15题（解答题） 15．设 $a_{n}$ 表示由曲线 $y=x^{n}$ 与 $y=x^{n+1}$ 所围成的平面图形的面积，$n=1,2, \cdots$ ． （1）求晽级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛域与和函数 $S(x)$ ； （2）求数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(n+1) 2^{n}}$ 的和．
16
📝 有解析
第16题
### 【基础篇】第16题（解答题） 16．已知 $f(x)=|x|,-\pi \leqslant x \leqslant \pi$ ． （1）将 $f(x)$ 展开成余弦级数； （2）求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}$ ．
16
📝 有解析
第16题
### 【强化篇】第16题（解答题） 16．设 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x, b_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} t \mathrm{~d} t, n=1,2, \cdots$ ，计算 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ．
17
📝 有解析
第17题
### 【基础篇】第17题（解答题） 17．设级数 $1+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在收敛区间 $(-R, R)$ 内的和函数是微分方程 $\displaystyle y^{\prime}-\frac{y}{6}=\frac{x y^{7}}{6}$ 的一个解，求该级数的和函数．
17
📝 有解析
第17题
### 【强化篇】第17题（解答题） 17．设 $a_{n}=\int_{0}^{+\infty} x^{n} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x, n=0,1,2, \cdots$ ． （1）求 $a_{n}$ 的表达式； （2）计算 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi^{2}}{a_{n}}$ ．
18
📝 有解析
第18题
### 【强化篇】第18题（解答题） 18．设 $a_{n}=\int_{0}^{1} x^{2} \ln ^{n} x \mathrm{~d} x, n=0,1,2, \cdots$ ． （1）求 $a_{n}$ 的表达式； （2）计算 $\displaystyle \sum_{n-0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n!}$ ．
19
📝 有解析
第19题
### 【强化篇】第19题（解答题） 19．设函数 $y=f(x)$ 满足 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=0$ ，且 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=-1$ ． （1）求 $f(x)$ 的表达式； （2）设 $a_{n}=\int_{n \pi}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 。
20
📝 有解析
第20题
### 【强化篇】第20题（解答题） 20．设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{1}=1,(n+1) a_{n+1}=\left(n+\frac{1}{2}\right) a_{n}$ ，证明：当 $|x|<1$ 时，幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 收敛，并求其和函数。
21
📝 有解析
第21题
### 【强化篇】第21题（填空题） 21．设级数 $\sum_{n \rightarrow 1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的系数 $a_{n}$ 满足关系式 $\displaystyle a_{n}=\frac{a_{n-1}}{n}+1-\frac{1}{n}, n=2,3, \cdots, a_{1}=2$ ，则当 $|x|<$ 1 时，级数 $\sum_{n-1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
22
📝 有解析
第22题
### 【强化篇】第22题（解答题） 22．（1）求微分方程 $\displaystyle y^{\prime}(x)+y(x)=\frac{(-x)^{n-1}}{3^{n} \mathrm{e}^{x}}$ 的通解，其中 $n$ 为任意正整数； （2）记 $a_{n}(x)(n=1,2, \cdots)$ 是（1）中满足条件 $y(0)=0$ 的特解，求级数 $\sum_{n-1}^{\infty} a_{n}(x)$ 的和函数。
23
📝 有解析
第23题
### 【强化篇】第23题（解答题） 23．求级数 $\displaystyle \sum_{n=-9}^{n} \frac{1}{\left(n^{2}-1\right) 2^{n}}$ 的和。
24
📝 有解析
第24题
### 【强化篇】第24题（解答题） 24．设数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\langle b_{n}\right\rangle$ 满足 $\int_{o_{n}}^{\ln n a_{a}} \mathrm{c}^{x^{2}} \mathrm{~d} x=\ln \left(1+b_{n}\right)^{o_{n}}, a_{n}>0, b_{n}>0, n=1,2, \cdots$ ，且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛．证明： （1） $\lim _{n \rightarrow \cdots} b_{n}=0$ ； （2）级数 $\displaystyle \sum_{n-1}^{\infty} \frac{b_{n}^{2}}{a_{n}^{2}}$ 收敛。
25
📝 有解析
第25题
### 【强化篇】第25题（解答题） 25．求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n^{2}}{2^{n}}$ 的和。
26
📝 有解析
第26题
### 【强化篇】第26题（解答题） 26．设曲线 $\displaystyle y=x^{\frac{1}{n}}$ 与其在点 $(1,1)$ 处的切线和 $y$ 轴所围成的平面图形的面秎为 $a_{n}$ ，其中 $n=2$ ， $3, \cdots$ ． （1）求 $a_{n}$ 的表达式； （2）求暒级数 $\sum_{n=2}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛域与和函数 $S(x)$ ．
27
📝 有解析
第27题
### 【强化篇】第27题（解答题） 27．已知函数 $\displaystyle y=f(x)=x \ln x+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+2}}{(n+1) \cdot(n+1)!}$ 。求 $f(x)$ 的定义域，证明 $y=f(x)$ 满足微分方程 $x y^{\prime}-y=x \mathrm{e}^{x}$ ，且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} y(x)=0$ ．
28
📝 有解析
第28题
### 【强化篇】第28题（解答题） 28．将函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ 展开成 $x+1$ 的幂级数，求该幂级数的收敛域，并求 $\sum_{n=1}^{\infty} n^{2}(x+1)^{\mathrm{a}}$ 的和函数 $S(x)$ 。
29
📝 有解析
第29题
### 【强化篇】第29题（填空题） 29．幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ．
30
📝 有解析
第30题
### 【强化篇】第30题（解答题） 30．求数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n(n+1)}{2^{n}}$ 的和．
31
📝 有解析
第31题
### 【强化篇】第31题（解答题） 31．设 $a_{n}=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-n^{2} x^{2}} \mathrm{~d} x, n=1,2, \cdots$ ，求 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n} a_{n+2}$ 。
32
📝 有解析
第32题
### 【强化篇】第32题（填空题） 32．级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{n!}$ 的和为 $\_\_\_\_$ ．
33
📝 有解析
第33题
### 【强化篇】第33题（填空题） 33．$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+2) \cdot n!}=$ $\_\_\_\_$ ．
34
📝 有解析
第34题
### 【强化篇】第34题（填空题） 34．$\sum_{n=0}^{\infty} x^{2} 2^{-\pi}(x>0)$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
35
📝 有解析
第35题
### 【强化篇】第35题（解答题） 35．求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(2 n-1)}$ 的和．
36
📝 有解析
第36题
### 【强化篇】第36题（填空题） 36．$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n+2}{n!}=$ $\_\_\_\_$ ．
37
📝 有解析
第37题
### 【强化篇】第37题（解答题） 37．求 $\displaystyle \sum_{n-1}^{\infty} \frac{\left[2+(-1)^{n}\right]^{n}}{n \cdot 6^{n}}$ 的值。
38
📝 有解析
第38题
### 【强化篇】第38题（解答题） 38．已知函数 $f(x)$ 满足 $f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)=0$ 及 $f^{\prime \prime}(x)+2 f^{\prime}(x)+f(x)=-1$ ，且 $f(0)=0$ ． （1）求 $f(x)$ 的表达式； （2）设 $a>0$ ，级数 $\sum_{n-2}^{\infty} f\left(n^{-a} \ln n\right)$ 收敛，求 $a$ 的取值范围。
39
📝 有解析
第39题
### 【强化篇】第39题（填空题） 39．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+1, & 0 \leqslant x \leqslant \pi, \\ 0, & -\pi \leqslant x<0,\end{array} S(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n-1}^{\cdots}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)\right.$ 是 $f(x)$ 以 $2 \pi$ 为周期的傅里叶级数，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=$ ， $\_\_\_\_$ 考研数学题源探析经典 1000 题（数学一） （A）$\displaystyle -\frac{\pi}{4}$ （B）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ （C）$\displaystyle -\frac{\pi}{2}$ （D）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$
40
📝 有解析
第40题
### 【强化篇】第40题（填空题） 40．设 $f(x)$ 是周期为 2 的周期函数，且 $f(x)=1-x, x \in[0,1]$ ．若 $\displaystyle f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n \pi x$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n}=$ $\_\_\_\_$ ．
41
📝 有解析
第41题
### 【强化篇】第41题（填空题） 41．设 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上连续且满足 $f(x+\pi)=-f(x)$ ，则 $f(x)$ 的傅里叶系数 $a_{2 n}=$ $\_\_\_\_$ $(n=1,2, \cdots)$ 。
42
📝 有解析
第42题
### 【强化篇】第42题（解答题） 42．将下列函数进行傅里叶展开． （1）在 $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 展开 $f(x)=x \cos x$ 为傅里叶级数； （2）将函数 $f(x)=x$ 在 $[0, \pi]$ 上展开为余弦级数，并求 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2 n+1)^{2}}$ 的和； （3）将函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\pi-x}{2}$ 在区间 $[0, \pi]$ 上分别展开为余弦级数和正弦级数．
43
📝 有解析
第43题
### 【强化篇】第43题（解答题） 43．设 $f(x)$ 是周期为 2 的周期函数，且 $f(x)=\mathrm{e}^{x}, x \in[0,2]$ ．若 $S(x)$ 是 $f(x)$ 的傅里叶级数的和函数，试求 $S(0), S(2), S(3)$ 的值．
## 第17章 多元函数积分学的预备知识
1
📝 有解析
第1题
### 【基础篇】第1题（填空题） 1．已知函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微，$f(0,0)=0, f_{x}^{\prime}(0,0)=1, f_{y}^{\prime}(0,0)=-1$ ，且 $\boldsymbol{n}=(-1$ ， $1,1)$ ，则 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{(x, y, f(x, y)) \cdot n}{\mathrm{e}^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}-1}=$ $\_\_\_\_$。
1
📝 有解析
第1题
### 【强化篇】第1题（选择题） 1．设 $f(x, y)=\mathrm{e}^{-\left(x^{2}+2 y^{2}\right)}$ ，曲线 $y=y(x)$ 上任一点 $P$ 的切线方向始终指向 $f(x, y)$ 变化率最大的方向，且 $y(1)=2$ ，则 $y(x)=(\quad)$ 。 （A） $2 x^{2}$ （B）$x^{2}+x$ （C） $\mathrm{e}^{-x^{2}+1}+x$ （D） $2 \mathrm{e}^{-x^{2}+1}$
2
📝 有解析
第2题
### 【基础篇】第2题（填空题） 2．设可微函数 $z=f(x, y)$ 的图形与 $x O y$ 面的交线方程为 $y=\int_{0}^{x} \mathrm{e}^{t^{2}} \mathrm{~d} t+x$ ，且 $f_{x}^{\prime}(0,0)=1$ ，则 $f_{y}^{\prime}(0,0)=$ $\_\_\_\_$ ．
2
📝 有解析
第2题
### 【强化篇】第2题（解答题） 2．求曲面 $4 z=3 x^{2}-2 x y+3 y^{2}$ 上的点到平面 $x+y-4 z=1$ 的最短距离．
3
📝 有解析
第3题
### 【基础篇】第3题（填空题） 3．过点 $(1,0,1)$ 与 $(0,1,1)$ 且与曲面 $z=1+x^{2}+y^{2}$ 相切的平面为 $\_\_\_\_$ ．
3
📝 有解析
第3题
### 【强化篇】第3题（填空题） 3．空间曲线 $L:\left\{\begin{array}{l}y^{2}=z, \\ x=2(y-1)\end{array}\right.$ 在 $y=1$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$。
4
📝 有解析
第4题
### 【基础篇】第4题（填空题） 4．曲面 $z=2 x+y+\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)$ 在点 $(0,0,0)$ 处的切平面方程为 $\_\_\_\_$ ．
4
📝 有解析
第4题
### 【强化篇】第4题（填空题） 4．曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=6, \\ x+y+z=3\end{array}\right.$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切线方程为 $\_\_\_\_$。
5
📝 有解析
第5题
### 【基础篇】第5题（填空题） 5．曲面 $z=4-x^{2}-y^{2}$ 在点 $P(1,1,2)$ 处的切平面方程为 $\_\_\_\_$。
5
📝 有解析
第5题
### 【强化篇】第5题（解答题） 5．求抛物面 $\Sigma: z=x^{2}+y^{2}$ 上的点到空间图形 $\Omega: x^{2}+y^{2} \leqslant z \leqslant 1$ 的形心的最短距离．
6
📝 有解析
第6题
### 【基础篇】第6题（填空题） 6．已知曲面 $z=f(x, y)$ 由方程 $z-x \ln \left(1+z^{2}\right)+\mathrm{e}^{y}=0$ 所确定，则该曲面在点 $(0,0,-1)$ 处的切平面方程为 $\_\_\_\_$ ．
6
📝 有解析
第6题
### 【强化篇】第6题（填空题） 6．设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 附近有定义，且 $f_{x}^{\prime}(0,0)=3$ ，则曲线 $\left\{\begin{array}{l}z=f(x, y) \text { ，在点 }(0,0, \\ y=0\end{array}\right. f(0,0)$ ）处的法平面方程为 $\_\_\_\_$ ．
7
📝 有解析
第7题
### 【基础篇】第7题（解答题） 7．求以 $M_{0}(1,1,1)$ 为顶点，以曲线 $C\left(C\right.$ 是平面 $z=0$ 上 $y^{2}=x$ 被 $x=1$ 截下的有限部分）为准线的锥面方程．
7
📝 有解析
第7题
### 【强化篇】第7题（填空题） 7．曲面 $\mathrm{e}^{z}-x z+y=3$ 在点 $(1,2,0)$ 处的切平面方程为 $\_\_\_\_$。
8
📝 有解析
第8题
### 【基础篇】第8题（填空题） 8．设函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}|y|}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处沿 $l=(1,1)$ 的方向导数是 $\_\_\_\_$ ．
8
📝 有解析
第8题
### 【强化篇】第8题（选择题） 8．设可微函数 $f(u, v)$ 满足 $f\left(x-y, x+\mathrm{e}^{y}\right)=x^{2}-y^{2}$ ，则 $f(u, v)$ 在点 $(1,2)$ 处的方向导数的最大值等于 ． （A） 1 （B）$\sqrt{2}$ （C）$\sqrt{3}$ （D） 2
9
📝 有解析
第9题
### 【基础篇】第9题（填空题） 9．函数 $f(x, y)=2 x^{2}+y^{2}$ 在点 $(0,1)$ 的最大方向导数为 $\_\_\_\_$。
9
📝 有解析
第9题
### 【强化篇】第9题（填空题） 9．$f(x, y, z)=x^{2} \int_{1}^{y} \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t+2 z$ 在点 $(1,1,2)$ 处的梯度为 $\_\_\_\_$ ．
10
📝 有解析
第10题
### 【基础篇】第10题（填空题） 10．设 $f(x, y, z)=x^{2} \mathrm{e}^{z^{2}}$ ，则 $f(x, y, z)$ 在点 $(-1,0,1)$ 处的方向导数的最小值为 $\_\_\_\_$。
10
📝 有解析
第10题
### 【强化篇】第10题（填空题） 10．已知函数 $z=f(x, y)$ 可微，其在点 $P_{0}(1,2)$ 处沿从 $P_{0}$ 到 $P_{1}(2,3)$ 的方向的方向导数为 $2 \sqrt{2}$ ，沿从 $P_{0}$ 到 $P_{2}(1,0)$ 的方向的方向导数为 -3 ，则 $z$ 在点 $P_{0}$ 处的最大方向导数为 $\_\_\_\_$ ．
11
📝 有解析
第11题
### 【基础篇】第11题（解答题） 11．设 $a, b$ 为实数，函数 $z=2+a x^{2}+b y^{2}$ 在点 $(1,2)$ 处的方向导数中，沿方向 $l=i+2 j$ 的方向导数最大，最大值为 10 ．求 $a, b$ ．
11
📝 有解析
第11题
### 【强化篇】第11题（填空题） 11．函数 $u(x, y, z)=x y-2 z^{2}$ 在点 $(1,1,-2)$ 处的最大方向导数为 $\_\_\_\_$。
12
📝 有解析
第12题
### 【基础篇】第12题（解答题） 12．设 $g(x, y)$ 是函数 $f(x, y)=x+2 y+x y$ 在点 $(x, y)$ 处的最大方向导数． （1）求 $g(x, y)$ 的表达式； （2）求 $g(x, y)$ 在曲线 $C: x^{2}+y^{2}=5$ 上的最大值．
12
📝 有解析
第12题
### 【强化篇】第12题（选择题） 12．已知 $f(x, y)= \begin{cases}x^{2}, & y=0, \\ x y, & \text { 其他，} l \text { 是单位向量．以下结论：}\end{cases}$ （1）$f(x, y)$ 在原点处连续； （2）$\displaystyle \left.\frac{\partial[f(x, y)]}{\partial l}\right|_{(0,0)}=0$ ； （3）$\left.\mathrm{d}[f(x, y)]\right|_{(0,0)}=0$ ． 所有正确结论的序号是 ． （A）（1）（2） （B）（2）（3） （C）（1）（3） （D）（1）（2）（3）
13
📝 有解析
第13题
### 【基础篇】第13题（解答题） 13．设可微函数 $z=z(x, y)$ 在平面上任一点 $(x, y)$ 处沿 $x$ 轴正向 $i$ 与 $y$ 轴正向 $j$ 的方向导数分别为 $\left[\mathrm{e}^{-x}-f(x)\right] y$ 与 $f(x)$ ，其中 $f(x)$ 的一阶导数连续，且 $f(0)=1$ 。 （1）求 $z(x, y)$ 的表达式； （2）判断 $z(x, y)$ 是否有极值，若有，求之，若无，说明理由．
13
📝 有解析
第13题
### 【强化篇】第13题（填空题） 13．设 $f(x, y)$ 可微，$p(x, y), p_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为曲面 $x=f(x, y)$ 上的点，则（ ）。 （A） $\displaystyle \lim _{p \rightarrow p_{0}} \frac{f(p)+\left[f\left(p_{0}\right)-\left.\operatorname{grad} f\right|_{p_{0}} \cdot \overrightarrow{p_{0} p}\right]}{\left|\overrightarrow{p_{0} p}\right|}=0$ $\_\_\_\_$ （B） $\displaystyle \lim _{p \rightarrow p_{0}} \frac{f(p)-\left[f\left(p_{0}\right)-\left.\operatorname{grad} f\right|_{p_{0}} \cdot \overrightarrow{p_{0} p}\right]}{\left|\overrightarrow{p_{0} p}\right|}=0$ （C） $\displaystyle \lim _{p \rightarrow p_{0}} \frac{f(p)+\left[f\left(p_{0}\right)+\left.\operatorname{grad} f\right|_{p_{0}} \cdot \overrightarrow{p_{0} p}\right]}{\left|\overrightarrow{p_{0} p}\right|}=0$ （D） $\displaystyle \lim _{p \rightarrow p_{0}} \frac{f(p)-\left[f\left(p_{0}\right)+\left.\operatorname{grad} f\right|_{p_{0}} \cdot \overrightarrow{p_{0} p}\right]}{\left|\overrightarrow{p_{0} p}\right|}=0$
14
📝 有解析
第14题
### 【基础篇】第14题（填空题） 14．设 $\boldsymbol{F}(x, y, z)=x y i-y \cos z j+z \sin x k$ ，则 $\left.\operatorname{rot} \boldsymbol{F}\right|_{(1,1,0)}=$ $\_\_\_\_$ ．
14
📝 有解析
第14题
### 【强化篇】第14题（解答题） 14．在曲面 $\Sigma: x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ 上求一点，使函数 $f(x, y, z)=2 x^{2}+y^{2}+z$ 在该点沿方向 $n$ 的方向导数最大，其中 $\boldsymbol{n}$ 是曲面 $\Sigma$ 在点 $\displaystyle P\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 的外侧法向量．
15
📝 有解析
第15题
### 【强化篇】第15题（解答题） 15．设 $\boldsymbol{u}=\left(\mathrm{e}^{x} \cos y+y z\right) i+\left(x z-\mathrm{e}^{x} \sin y\right) j+(a x y+z) k$ 是某三元函数 $f(x, y, z)$ 的梯度向量， $f(1,0,1)=\mathrm{e}$ ． （1）求 $a$ 的值； （2）求 $f(x, y, z)$ 的表达式．
## 第18章 多元函数积分学
1
📝 有解析
第1题
### 【基础篇】第1题（填空题） 1．设 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leqslant z \leqslant 1\right\}$ ，则 $\Omega$ 的形心的竖坐标 $\bar{z}=$ $\_\_\_\_$ ．
1
📝 有解析
第1题
### 【强化篇】第1题（填空题） 1．设 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0\right\}$ ，则 $\iiint_{\Omega}\left(x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=$ $\_\_\_\_$ ．
2
📝 有解析
第2题
### 【基础篇】第2题（填空题） 2．设 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2} \leqslant y \leqslant x, 0 \leqslant z \leqslant 2-x-y\right\}$ ，则 $\iiint_{\Omega} x \mathrm{e}^{y+z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=$ $\_\_\_\_$ ．
2
📝 有解析
第2题
### 【强化篇】第2题（填空题） 2．设曲线 $L$ 的方程为 $2 x=y^{2}(0 \leqslant y \leqslant 1)$ ，则 $\int_{L} y \mathrm{~d} s=$ $\_\_\_\_$ ．
3
📝 有解析
第3题
### 【基础篇】第3题（选择题） 3．设 $L$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，则 $\oint_{L}(x+z) y \mathrm{~d} s=$ ． （A） $2 \pi$ （B）$-\pi$ （C）$\displaystyle -\frac{\pi}{3}$ （D）$\displaystyle -\frac{2 \pi}{3}$
3
📝 有解析
第3题
### 【强化篇】第3题（选择题） 3．设 $L$ 为曲线 $\displaystyle \left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$ ，取逆时针方向，$I=\oint_{L} 4 y \mathrm{~d} x+(x+y)^{2} \mathrm{~d} y, J= \oint_{L} 4 x \mathrm{~d} x+(x+y)^{2} \mathrm{~d} y, K=\oint_{L} 4 x y \mathrm{~d} x+(x+y)^{2} \mathrm{~d} y$ ，则 $I, J, K$ 的大小顺序为 $($ ． （A）$I
4
📝 有解析
第4题
### 【基础篇】第4题（填空题） 4．锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 被抛物柱面 $z^{2}=2 x$ 截下的曲面的面积为 $\_\_\_\_$。
4
📝 有解析
第4题
### 【强化篇】第4题（填空题） 4．设 $\Gamma$ 为空间圆周 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, \\ x+y+z=a\end{array}(a>0)\right.$ ，则空间第一型曲线积分 $\oint_{\Gamma} x^{2} \mathrm{~d} s=$ $\_\_\_\_$ ．
5
📝 有解析
第5题
### 【基础篇】第5题（解答题） 5．设 $a, b$ 为实数，函数 $z=1+a x^{2}+b y^{2}$ 在点 $(1,1)$ 处的方向导数中，沿方向 $l=2 i+4 j$ 的方向导数最大，且最大值为 $2 \sqrt{5}$ 。公众号：研池大叔 免费分享最新考研资料课程 （1）求 $a, b$ ； （2）求曲面 $z=1+a x^{2}+b y^{2}$ 被曲面 $z=2\left(x^{2}+3 y^{2}\right)$ 所截部分的面积．
5
📝 有解析
第5题
### 【强化篇】第5题（填空题） 5．设 $\Gamma$ 是空间圆周 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} \\ x+y+z=\frac{3}{2} a\end{array}(a>0)\right.$ ，则 $\oint_{\Gamma}(2 y z+2 z x+2 x y) \mathrm{d} s=$ $\_\_\_\_$ ．
6
📝 有解析
第6题
### 【基础篇】第6题（选择题） 6．设平面曲线 $L: f(x, y)=1$ 过第一象限的点 $A$ 和第三象限的点 $B, f(x, y)$ 有一阶连续偏导数， $\Gamma$ 为 $L$ 上从点 $A$ 到点 $B$ 的一段弧，设
$$ I_{1}=\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} x, I_{2}=\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} s, I_{3}=\int_{\Gamma} f_{x}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} x+f_{y}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y $$
则（ ）。 （A）$I_{1}>I_{3}>I_{2}$ （B）$I_{2}>I_{3}>I_{1}$ （C）$I_{3}>I_{1}>I_{2}$ （D）$I_{3}>I_{2}>I_{1}$
6
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第6题
### 【强化篇】第6题（填空题） 6．设 $\Gamma$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与平面 $x=y$ 的交线，则 $\oint_{\Gamma}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} s=$ $\_\_\_\_$ ．
7
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第7题
### 【基础篇】第7题（选择题） 7．使得 $\oint_{L}\left(2 y^{3}-3 y\right) \mathrm{d} x-x^{3} \mathrm{~d} y$ 的值最大的平面正向边界曲线 $L$ 为 ． （A） $3 x^{2}+y^{2}=1$ （B） $2 x^{2}+y^{2}=1$ （C）$x^{2}+3 y^{2}=1$ （D）$x^{2}+2 y^{2}=1$
7
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第7题
### 【强化篇】第7题（解答题） 7．计算曲线积分 $\oint_{\Gamma}\left(x^{2}+y^{2}+z\right) \mathrm{d} s$ ，其中 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, \\ x+y+z=R\end{array}(R>0)\right.$ ．
8
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第8题
### 【基础篇】第8题（填空题） 8．设 $\displaystyle x>0, I=\int_{L} x(1+y \sin x) \mathrm{d} x+\frac{f(x)}{x} \mathrm{~d} y$ 与路径 $L$ 无关，$f(x)$ 有连续导数且 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ ．当 $L$ 是从点 $\displaystyle A\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 到点 $B(\pi, 0)$ 的任一曲线时，$I=$ $\_\_\_\_$ ．
8
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第8题
### 【强化篇】第8题（填空题） 8．设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 4\right\}, \partial D$ 为 $D$ 的正向边界，则 $\displaystyle \oint_{\partial D} \frac{\left(x \mathrm{e}^{x^{2}+4 y^{2}}+y\right) \mathrm{d} x+\left(4 y \mathrm{e}^{x^{2}+4 y^{2}}-x\right) \mathrm{d} y}{x^{2}+4 y^{2}}=$ $\_\_\_\_$。
9
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第9题
### 【基础篇】第9题（解答题） 9．设 $D \subset \mathbf{R}^{2}$ 是有界单连通闭区域，$I(D)=\iint_{D}\left(1-x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 取得最大值的积分域记为 $D_{1}$ ． （1）求 $I\left(D_{1}\right)$ 的值； （2）计算 $\displaystyle \oint_{\partial D_{1}} \frac{\left(x \mathrm{e}^{x^{2}+2 y^{2}}+y\right) \mathrm{d} x+\left(2 y \mathrm{e}^{x^{2}+2 y^{2}}-x\right) \mathrm{d} y}{x^{2}+2 y^{2}}$ ，其中 $\partial D_{1}$ 是 $D_{1}$ 的正向边界．
9
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第9题
### 【强化篇】第9题（解答题） 9．设函数 $f(x), g(x)$ 二阶导数连续，$f(0)=0, g(0)=0$ ，且对于平面上任一简单闭曲线 $L$ ，均有
$$ $\oint_{L}\left[y^{2} f(x)+2 y \mathrm{e}^{x}+2 y g(x)\right] \mathrm{d} x+2[y g(x)+f(x)] \mathrm{d} y=0 .$ $$
（1）求 $f(x), g(x)$ 的表达式； （2）设 $L_{1}$ 为任一条从点 $(0,0)$ 到点 $(1,1)$ 的曲线，计算
$$ $\int_{L_{1}}\left[y^{2} f(x)+2 y \mathrm{e}^{\mathrm{r}}+2 y g(x)\right] \mathrm{d} x+2[y g(x)+f(x)] \mathrm{d} y .$ $$
10
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第10题
### 【基础篇】第10题（解答题） 10．设 $\sum$ 是曲面 $x=\sqrt{1-3 y^{2}-3 z^{2}}$ 的前侧，计算曲面积分
$$ I=\iint_{\Sigma} y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{3}+2\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$
10
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第10题
### 【强化篇】第10题（解答题） 10．设 $P(x, y, z)$ 为球面 $\Sigma: x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 z=0$ 上的动点，球面 $\Sigma$ 在点 $P(x, y, z)$ 处的法线与平面 $x+z=0$ 平行． （1）求点 $P$ 的轨迹 $\Gamma$ 的方程； （2）计算曲线积分 $\oint_{\Gamma} y^{2} \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} y+x^{2} \mathrm{~d} z$ ，从 $z$ 轴正向看下去，$\Gamma$ 取逆时针方向。
11
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第11题
### 【基础篇】第11题（填空题） 11．攼 $\Sigma$ 为空间区域 $\left\{(x, y, z) \mid x^{g}+2 y^{2} \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 1\right\}$ 表面的外假，则曲面积分 $\oiint_{x}^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+ y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} \tau+z^{2} \mathrm{~d} \tau \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
11
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第11题
### 【强化篇】第11题（解答题） 11．已知 $\sum$ 为曲面 $4 x^{2}+y^{2}+z^{2}=1(x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0)$ 的上侧（见图），$L$ 为 $\Sigma$ 的边界曲线，其方向与 $\Sigma$ 的正法向量满足右手法则，计算曲线积分
$$ I=\oint_{L}\left(y z^{2}-\cos z\right) \mathrm{d} x+2 x z^{2} \mathrm{~d} y+(2 x y z+x \sin z) \mathrm{d} z $$
12
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第12题
### 【基础篇】第12题（填空题） 12．设 $\Sigma$ 为曲面 $x^{2}+y^{2}+2 z^{2}=1(z \geqslant 0)$ 的上卯，则 $\iint_{\Sigma} \sqrt{1-x^{2}-2 z^{2}} d x d y=$ $\_\_\_\_$。
12
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第12题
### 【强化篇】第12题（填空题） 12．设曲面 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 与平面 $z=-x$ 的交线为 $L$ ，起点为 $A(0,1,0)$ ，终点为 $B(0,-1,0)$ ，则 $\int_{L}(x+y-z) \mathrm{d} x+|y| \mathrm{d} z=$ $\_\_\_\_$ ．
13
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第13题
### 【基础篇】第13题（填空题） 13．设 $\Sigma$ 为平面 $x-y+z=1$ 介于三坐标平面间的有限部分，法向量与 $z$ 轴正向夹角为锐角， $f(x)$ 阵续，则 $\int_{\Sigma}\left[\int_{\Sigma}(x z)+x\right] \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+[2 f(x z)+y] \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+[f(x z)+z] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$。
13
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第13题
### 【强化篇】第13题（填空题） 13．设 $L$ 为曲线 $y=2 \sqrt{1-x^{2}}$ 上从点 $(0,2)$ 到点 $(1,0)$ 的一段弧，则曲线积分 $\int_{L}(2 y+1) \mathrm{d} x+ (3 x+2) \mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$。
14
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第14题
### 【基础篇】第14题（解答题） 14．计算曲线积分 $I=\oint_{\Gamma} y z \mathrm{~d} x-z x \mathrm{~d} y+3 x y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma$ 为曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-2 y=0, \\ 2 y-z+1=0,\end{array}\right.$ 从 $z$ 轴正向往下看、 $\Gamma$ 为遡时针方向。
14
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第14题
### 【强化篇】第14题（填空题） 14．设函数 $f(x, y)$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+4 y^{2} \leqslant 4\right\}$ 上二阶偏导数连续，$\partial D$ 是 $D$ 取正向的边界曲线，则 $\oint_{\partial D}\left[f_{x}^{\prime}(x, y)-y\right] \mathrm{d} x+f_{y}^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
15
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第15题
### 【基础篇】第15题（解答题） 15．设曲面 $\Sigma$ 是由直线段
$$ L:\left\{\begin{array}{l} x=\frac{\sqrt{2}}{2} t-\frac{\sqrt{2}}{2} \\ y=\frac{\sqrt{2}}{2} t+\frac{\sqrt{2}}{2},(t \in[0,1]) \\ z=t $\end{array}\right.$ $$
挄 $z$ 轴旋转而得。 $\Omega$ 是 $\Sigma$ 与平面 $z=0, z=1$ 所围成的立体，其体密度为 $\displaystyle \mu(x, y, z)=\frac{z}{1+x^{2}+y^{2}}$ ，求： （1）曲面 $\Sigma$ 的直角坐标方程； （2）$\Omega$ 的质量．
15
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第15题
### 【强化篇】第15题（填空题） 15．设 $y^{\prime}=f(x, y)$ 是一条简单封闭曲线 $L$（取正向），$f(x, y) \neq 0$ ，其所围区域记为 $D, D$ 的面积为 $a, a>0$ ，则 $\displaystyle I=\oint_{L} x f(x, y) \mathrm{d} x-\frac{y}{f(x, y)} \mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$。
16
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第16题
### 【强化篇】第16题（解答题） 16．设曲线 $L$ 是 $x O y$ 平面上有界单连通闭区域 $D$ 的正向边界，当曲线 $L$ 的方程为 $x^{2}+y^{2}=1$ 时， $\displaystyle I=\oint_{L}\left(a x+\frac{a}{3} x^{3}-\frac{1}{2} x \mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} y+\left(\frac{1}{2} y \mathrm{e}^{x^{2}+y^{2}}-\frac{a}{3} y^{3}\right) \mathrm{d} x$ 的值最大，求： （1）常数 $a$ 的值； （2）$I$ 的最大值．
17
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第17题
### 【强化篇】第17题（解答题） 17．求 $\int_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $L$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 在第一卦限部分的边界线。从球心看 $L, L$ 为逆时针方向。
18
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第18题
### 【强化篇】第18题（填空题） 18．设 $L$ 为从点 $A(-1,0)$ 到点 $B(3,0)$ 的上半个圆周 $(x-1)^{2}+y^{2}=2^{2}, y \geqslant 0$ ，则 $\displaystyle \int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
19
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第19题
### 【强化篇】第19题（填空题） 19．设 $f(x)$ 有连续导数，且 $f(0)=0$ ，若对于平面内的任意简单封闭曲线 $L$ ，均有曲线积分 $\oint_{L}\left[f(x)-\mathrm{e}^{x}\right] y^{2} \mathrm{~d} x-2 y f(x) \mathrm{d} y=0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$。
20
📝 有解析
第20题
### 【强化篇】第20题（解答题） 20．设 $I_{1}=\int_{L} f(x, y) \mathrm{d} x+(6 x y-6 x) \mathrm{d} y, I_{2}=\int_{L}\left(6 x^{2} y+6 x y+x\right) \mathrm{d} x+f(x, y) \mathrm{d} y$ 。已知曲线积分 $I_{1}$ 与 $I_{2}$ 均在整个 $x O y$ 平面内与路径无关，且 $f(0,0)=0$ ，求函数 $f(x, y)$ 的极值．
21
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第21题
### 【强化篇】第21题（解答题） 21．已知有界闭区域 $\Omega$ 由锥面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与平面 $z=1$ 围成，计算三重积分
$$ I=\iiint_{\Omega}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z $$
22
📝 有解析
第22题
### 【强化篇】第22题（解答题） 22．设 $\Sigma$ 是由直线 $\left\{\begin{array}{l}x=0, \\ y=0\end{array}\right.$ 绕直线 $\left\{\begin{array}{l}x=t, \\ y=t,(t \text { 为参数 }) \text { 旋转一周得到的曲面，} \Sigma_{1} \text { 是 } \Sigma \text { 介于平面 } x+ \\ z=t\end{array}\right. y+z=0$ 与 $x+y+z=1$ 之间部分的外侧．计算曲面积分
$$ I=\iint_{\Sigma_{1}} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(y+1) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z+2) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y . $$
23
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第23题
### 【强化篇】第23题（解答题） 23．设锥面 $\Sigma$ 的顶点是 $A(0,1,1)$ ，准线是 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=1, \\ z=0,\end{array}\right.$ 直线 $L$ 过顶点 $A$ 和准线上任一点 $M_{1}\left(x_{1}, y_{1}, 0\right) . \Omega$ 是 $\sum(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 与平面 $z=0$ 所围成的锥体． （1）求 $L$ 和 $\Sigma$ 的方程； （2）求 $\Omega$ 的形心坐标。
24
📝 有解析
第24题
### 【强化篇】第24题（解答题） 24．设一空间物体是由曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 及平面 $z=2 x$ 所围成的，其体密度为 $\rho=y^{2}$ ，求它关于 $\approx$ 轴的转动惯量。
25
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第25题
### 【强化篇】第25题（解答题） 25．设 $a, b$ 为实数，函数 $f(x, y)=a x^{2}+b y^{2}$ 在点 $(1,1)$ 处沿方向 $l=i+j$ 的方向导数最大，最大值为 $2 \sqrt{2}$ ．若 $\Sigma$ 为曲面 $x^{2}+z^{2}=2 z$ 被曲面 $z=\sqrt{f(x, y)}$ 所截取的部分． （1）求 $a, b$ 的值； （2）计算 $\iint_{\Sigma} z \mathrm{~d} S$ ．
26
📝 有解析
第26题
### 【强化篇】第26题（选择题） 26．设 $\Sigma$ 是柱面 $x^{2}+y^{2}=1$ 介于平面 $z=0, z=2$ 之间的部分，方向向外．记 $I_{1}=\iint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} S, I_{2}= \iint_{\Sigma}^{2} z^{2} \mathrm{~d} S, I_{3}=\iint_{\Sigma}\left(x^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z$ ，则 $(\quad)$ 。 （A）$I_{1}>I_{2}>I_{3}$ （B）$I_{2}>I_{1}>I_{3}$ （C）$I_{3}>I_{1}>I_{2}$ （D）$I_{3}>I_{2}>I_{1}$
27
📝 有解析
第27题
### 【强化篇】第27题（解答题） 27．设 $P=2 x z f(y+z)-y^{3}, Q=2 y z f(y+z)+x^{3}, R=\int_{0}^{x^{2}+y^{2}} f(z-t) \mathrm{d} t$ ，其中 $f$ 具有一阶连续导数．$L$ 为曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 与平面 $y+z=1$ 的交线，从 $z$ 轴正向往下看为逆时针方向，计算
$$ $\oint_{L} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z$ $$
28
📝 有解析
第28题
### 【强化篇】第28题（填空题） 28．设 $\Sigma$ 为曲面 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}, \alpha, \beta$ 分别为曲面 $\Sigma$ 的外法线向量与 $x$ 轴，$z$ 轴的夹角，则 $\iint_{\Sigma}\left(|x y| \cos \alpha+z^{2} \cos \beta\right) \mathrm{d} S=$ $\_\_\_\_$ ．
29
📝 有解析
第29题
### 【强化篇】第29题（解答题） 29．设曲面 $\Sigma: z=1-x^{2}-y^{2}(z \geqslant-3)$ ，取上侧，求曲面积分
$$ I=\iint_{\Sigma} y z \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+x z \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(x^{2} y^{2}-2 x y \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$